National math Olympiad questions 2010
১. নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্য থেকে মৌলিক সংখ্যা এবং যৌগিক বা কৃত্রিম সংখ্যাগুলো পৃথক কর।
111, 239, 379, 455
Determine which of the following are (is) prime and which are (is) composite 111, 239, 379, 455
২. কোন স্থানের 6 মাসের মাসিক গড় বৃষ্টিপাতের পরিমাণ 28.5 মিলিমিটার। যদি সে সময়ে আরো 36 মিলিমিটার বেশি বৃষ্টি হতো তাহলে মাসিক গড় বৃষ্টিপাতের পরিমাণ কত হতো? মাসিক গড় কত বৃদ্ধি পেতো ?
The average monthly rainfall for 6 months was 28.5 millimeter. If it had rained 36 millimeter more within this six months what would the average have been? By how much would average have been increase?
৩. ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ। এই ত্রিভুজের জন্য AC × AC = AB × AB + BC × BC, যদি \[\frac{AB}{AC} = \frac35, \frac{BC}{AC} = \frac45 \] এবং AB, BC, AC এর গ. সা. গু. 1 হয় তাহলে AC এর মান কত?
ABC is a right angled triangle. For this triangle, AC × AC = AB × AB + BC× BC . If \[\frac{AB}{AC} = \frac35, \frac{BC}{AC} = \frac45 \] and the ged of AB, BC, AC is 1 then find AC.
৪. জেরি ঠিক করলো সে একটি 10.1 মিটার লম্বা এবং 4.2 মিটার চওড়া একটি সবজি বাগান করবে। কিন্তু, টমের আগমন ঠেকানোর জন্য তাকে চারদিকে বেড়া দিতে হবে। জেরী ঠিক করলো সে 11.2 মিটার লম্বা ও 5.0 মিটার চওড়া বেড়া দেবে। বেড়া ও বাগানের মধ্যবর্তী অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Jerry decided to grow a garden so he could make salad. He wants to make it 10.1 m long and 4.2 m wide. However, in order to avoid Tom from entering his garden he must make a fence surrounding the garden. He decides to make the fence 11.2 m long and 5.0 m wide. What is the area between the fence and the garden?
৫. জেরি ঠিক করেছে যে, সে 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 সংখ্যাগুলোর প্রত্যেকটি মাত্র একবার করে একটি বৃত্তের পারপাশে এমনভাবে বসাবে যাতে পাশাপাশি দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল 4 এর চেয়ে কম না হয়। জেরি কী সেটা পারবে। পারলে, সেই বৃত্তটিতে সংখ্যাগুলো বসিয়ে দেখাও।
Jerry decided to find out whether it is possible or not to write all numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 each of them once, around some circle so that the difference of every two neighboring numbers would be not less than 4? If possible, draw the circle with the numbers.
৬. ব্ল্যাকবোর্ডে লেখা ছিল 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 16। কোথা থেকে হাজির হলো টম আর জেরি। প্রথমে টম একটি নম্বর মুছে ফেললো। তখন জেরিও একটা মুছলো। আবার টম, আবার জেরি। এভাবে প্রত্যেকে 4টি করে নম্বর মুছলো। দেখা গেল টমের মুছে ফেলা নম্বরগুলোর যোগফল জেরির মুছে ফেলা নম্বরগুলোর যোগফলের তিনগুন। প্রশ্ন হলো সব শেষে কোন সংখ্যাটি ব্ল্যাকবোর্ডে রয়ে গেল?
On the blackboard the numbers 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 16 are written. Tom and Jerry in turn, one after another, are crossing out four numbers each. Tom starts first, so Jerry is the second. It was found that the sum of all 4 numbers crossed out by Tom appeared to be strictly 3 times as big as the sums of the numbers, which were crossed out by Jerry. What number finally remained on the blackboard?
National math olympiad questions 2010 pdf
৭. পাঁচ জন লোক হয় নীল অথবা লাল টুপি পড়েছে। যদি এদের কেউ কথা বলে তাহলে নীল টুপির লোকেরা সবসময় সত্য কথা বলে এবং লাল টুপির লোকেরা কেবল মিথ্যা কথা বলে। তাদের প্রত্যেকে অন্য চারজনের টুপি দেখতে পায়।
A বলল “ আমি 4 টি নীল টুপি দেখছি।”
B বলল “ আমি 3 টি নীল টুপি ও 1 টি লাল টুপি দেখছি।”
C বলল “ আমি দেখছি 1টি নীল আর 3 টি লাল টুপি ।”
D বলল “ আমি 4 টি লাল টুপি দেখছি।”
E কিছুই বলল না।
ওরা কে কোন রঙ এর টুপি পড়ে আছে।
Five men are wearing either blue or red hats. A man wearing a blue hat always tells the truth. A man wearing a red hat always lies. They look at each other’s hat.
A Says “I see 4 blue hats.”
B Says “I see 3 blue hats and 1 red hat.”
C Says “I see 1 blue hat and 3 red hats.”
D says “I see 4 red hats.”
E Does not say anything.
Find the color of each person’s hat.
৮. একটি সনাতনী ঘড়িতে ঘণ্টার ও মিনিটের কাঁটা আছে। 3 টা ও 4 টার মধ্যে যদি মিনিটের কাঁটা ঘণ্টার কাঁটার ঠিক ওপরে থাকে তখন তাহলে সময় কতো?
Consider a traditional clock, with hands that go around the face. If the two hands point to the same spot on the clock, between the 3 and the 4, what time is it?
৯. এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয় কর যেন সেটিকে 4, 5, 6 অথবা 9 দ্বারা ভাগ করলে 1 অবশিষ্ট থাকে এবং সংখ্যাটি 13 দ্বারা বিভাজ্য হয়।
Find the smallest number, divisible by 13, such that the remainder is 1 when divided by 4, 5, 6 or 9.
১০. নন্টে আর ফন্টের মাঝে প্রতিযোগিতা হচ্ছে, ওদেরকে কতগুলো সংখ্যা দিয়ে দেওয়া হয়েছে, ওরা সেখান থেকে দুটি করে সংখ্যা নেবে যেন ঐ সংখ্যা দুটির যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়। নন্টেকে 1 থেকে 40 এর মধ্য থেকে সংখ্যাগুলো দেওয়া হয়েছে, ফন্টেকে 1 থেকে 100 এর মধ্যে বিজোড় সংখ্যাগুলো দেওয়া হয়েছে। যে যত বেশি ভাবে 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা বানাতে পারবে সে জিতবে। কে জিতবে এবং কেন?
Nonte has been given all the numbers from 1 to 40 & Fonte has been given all the odd numbers from 1 to 100. They have to take any two of given numbers so that the summation of those 2 numbers is divisible of 3. He, who will make the numbers divisible by 3 in most ways, will be announced winner. Who will be winner and why?
Junior Category
১. তিন অংকের একটি সংখ্যা, 1*3 ; সংখ্যাটি 11 দ্বারা বিভাজ্য হলে * চিহ্নিত স্থানের অংকটি কতো সেটা প্রমাণ সহ নির্ণয় কর। The three digit number 1 * 3 is divisible by 11. Find, with proof, the missing digit (represented by the asterisk).
২. একই ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র এবং একটি বর্গক্ষেত্রের মধ্যে কোনটির পরিসীমা বড় সেটি যথাযথ প্রমাণ সহ নির্ণয় কর। A rectangle and a square have the same area, find, with proof, which one has a greater perimeter.
৩. টম বসে একদিন সংখ্যা নিয়ে খেলছিল। টম 1 থেকে 22 পর্যন্ত সব সংখ্যাকে একবার করে ব্যবহার করে মোট 11 টি ভগ্নাংশ লিখেছে। ভগ্নাংশগুলোর লব ও হরে যে কোন সংখ্যা সে বসাতে পারে। এগুলোর মাঝে সর্বোচ্চ কতগুলো পূর্ণসংখ্যা হতে পারে ? One day Tom was playing with numbers. He wrote 11 fractions using all natural numbers from 1 to 22 exactly once – either as numerator or as denominator. How many of these fractions, at most, are integers?
৪. এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয় কর যেন সেটিকে 4, 6 অথবা 9 দ্বারা ভাগ করলে 1 অবশিষ্ট থাকে এবং সংখ্যাটি 13 দ্বারা বিভাজ্য হয়। Find the smallest number, divisible by 13, such that the remainder is 1 when divided by 4, 6 or 9.
৫. (m, n) এর ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার কোন কোন মানের জন্য \[M^3 + 1331 = n^3 \] সমীকরণটি শুদ্ধ। Find all pairs of positive integers (m, n) which satisfy \[M^3 + 1331 = n^3 \]
৬. নন্টে আর ফন্টের মাঝে প্রতিযোগিতা হচ্ছে, ওদেরকে কতগুলো সংখ্যা দিয়ে দেওয়া হয়েছে, ওরা সেখান থেকে দুটি করে সংখ্যা নেবে যেন ঐ সংখ্যা দুটির যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়। নন্টেকে 1 থেকে 40 এর মধ্য থেকে সংখ্যাগুলো দেওয়া হয়েছে, ফন্টেকে 1 থেকে 100 এর মধ্যে বিজোড় সংখ্যাগুলো দেওয়া হয়েছে। যে যত বেশি ভাবে 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা বানাতে পারবে সে জিতবে। কে জিতবে এবং কেন ?
Nonte has been given all the numbers from 1 to 40 & Fonte has been given all the odd numbers from 1 to 100. They have to take any two of given numbers so that the summation of those 2 numbers is divisible of 3. He, who will make the numbers divisible by 3 in most ways, will be announced winner. Who will be winner and why?
7. একটি তলে 25 টি বিন্দু আছে, এর মধ্যে একই রেখায় তিনটি বিন্দুও একই সরলরেখায় নেই। সব বিন্দুকে আলাদা করে রাখতে হলে কমপক্ষে কয়টি রেখা লাগবে?
There are 25 points on a plane, no three of which lie on a line. Find the minimum number of lines needed to separate them from one another.
৮. ট্রাপিজিয়াম হলো সেই চতুর্ভুজ যার দুইটি বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অন্য দুইটি সমান্তরাল নয়। একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়মের কর্ণ এটিকে দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে ভাগ করেছে। ট্রাপিজিয়ামের কোণগুলোর মান নির্ণয় করো।
Trapezium is any quadrilateral two opposite sides of which are parallel and another two are not. The diagonal of isosceles trapezium divides it into tow isosceles triangle. Find the angles of the trapezium?
9. টম ও জেরীর কাছে মোট 14 টি টাইলস আছে। এর মধ্যে ৪ টি নীল ও 6 টি লাল। তারা এগুলো এক লাইনে এমনভাবে সাজাতে চায় যে, প্রতি দুইটি লাল টাইলসের মাঝখানে কমপক্ষে একটি নীল টাইলস থাকবে। সম্ভাব্য কতভাবে টম ও জেরী এই কাজ করতে পারবে।
Tom and Jerry have 14 tiles in total. Of them 8 are colored blue and 6 are colored red. They want to arrange them in a straight line such that between any two red tiles there is at least one blue tile. How many possible ways are there of arranging them in this line?
১০. ABCD একটি চতুর্ভুজ। এর AB, BC ও CD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q ও R | যদি PQ = 3, QR= 4 এবং PR = 5 হয় তবে ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল বের করো।
ABCD is a quadrilateral. P, Q and R are the midpoints of AB, BC and CD respectively. If PQ = 3, QR = 4 and PR = 5; find the area of ABCD.
National math olympiad questions 2010 pdf download
Secondary Category
১. একটি পার্টিতে তুমি ছাড়াও আরো 20 জন লোক রয়েছে। ঐ পার্টিতে তুমি যতজনকে চেন, আবার ঠিক ততজনকেই চেননা। তুমি কতজনকে চেন?
There are 20 people in a party excluding you. It is known that you know the same number of people as you don’t know. How many of them do you know?
২. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের B কোণটি সমকোণ এবং AB = 3। এর যেকোন একটি শীর্ষকে কেন্দ্র করে একটি একক ব্যাসার্ধের বৃত্ত আঁকা হল। ত্রিভুজের যে অংশ বৃত্তের অন্তর্ভূক্ত নয় তার সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল বের কর।
Isosceles triangle ABC is right angled at B and AB = 3. A circle of unit radius is drawn with its centre on any of the vertices of this triangle. Find the maximum value of the area of that part of the triangle that is not shared by the circle.
৩. বাস্তব সংখ্যায় সমাধান নির্ণয় করঃ \[\frac{|x^2 – 1|}{x – 2}= x\]
[সাহায্যঃ ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের সমাধান হল x = \[\frac{ – b ± \sqrt{b^2 – – 4ac} }{2a}\]
Solve for real x: \[\frac{|x^2 – 1|}{x – 2}= x\]
[Hint: The solutions to the equation ax2 + bx + c = 0 are x = \[\frac{ – b ± \sqrt{b^2 – – 4ac} }{2a}\]
৪. একটি ধারাকে নিচের সংজ্ঞা অনুযায়ী গঠন করা হলঃ
A(1) = 1
A(n) = f(m) সংখ্যক f(m) এবং তার পর f(m) সংখ্যক 0; এখানে 111 হচ্ছে A(n-1) এর অংক সংখ্যা।
A(30) নির্ণয় কর। উল্লেখ্য, 11 কে 9 দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগশেষ থাকে সেটিই f(m)।
A series is formed in the following manner:
A(1) = 1;
A(n) = f(m) numbers of f(m) followed by f(m) numbers of o; m is the number of digits in A(n-1)
Find A(30). Here f(m) is the remainder when m is divided by 9.
৫. ABC ত্রিভুজের B কোণটি সমকোণ। ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে। G এই ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দু৷ GD|| AB হলে ∠C এর মান নির্ণয় কর।
Triangle ABC is right angled at B. The bisector of ∠BAC meets BC at D. Let G denote the centroid (common point of the medians) of the triangle ABC. Suppose that GD is parallel to AB. Find ∠C.
৬. যথাযথ প্রমাণসহ এমন সকল পূর্ণবর্গ সংখ্যা নির্ণয় কর যারা চারটি ক্রমিক ধনাত্মক বেজোড় সংখ্যার গুণফল।
Find, with proof, all the perfect squares each of which is the product of four consecutive odd natural numbers.
৭. যথাযথ প্রমাণসহ ছয় অংকের 13**45* সংখ্যাটিতে প্রত্যেকটি তারকাচিহ্নকে (*) ভিন্ন ভিন্ন অংক দ্বারা প্রতিস্থাপিত কর যেন সংখ্যাটি 792 দ্বারা বিভাজ্য হয়।
Replace each asterisk with proof in the six digit number 13**45* by different digits such that the resulting number is divisible by 792.
৮. ABC ত্রিভুজের A কোণটি সমকোণ। BC এর উপর D একটি বিন্দু। AC এবং AB এর সাপেক্ষে D এর প্রতিফলন যথাক্রমে E এবং F । দেখাও যে, [ABC] ≥ [DEF] এবং সমতা হবার জন্য D এর সকল সম্ভাব্য অবস্থান নির্ণয় কর। ([x] দ্বারা x এর ক্ষেত্রফল নির্দেশ করা হচ্ছে)
Triangle ABC is right angled at A. Let D be a point on BC. E and F are reflections of D on AC and AB respectively. Prove that [ABC] ≥ [DEF]. Find all possible positions of D for equality. (Here [x] denotes the area of x)
৯. এমন সকল মৌলিক সংখ্যা p এবং ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা a, b নির্ণয় কর যেন \[ p^a + p^b\] একটি পূর্ণ বর্গ হয়।
Find all the prime numbers p and positive integers a and b such that \[ p^a + p^b\] is the square of an integer.
১০. 131 টি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার একটি সেটে যেকোন সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকগুলো 42 এর চেয়ে ছোট। দেখাও যে, এই সেট থেকে এমন চারটি সংখ্যা নির্বাচন করা যাবে যেন তাদের গুণফল একটি পূর্ণ বৰ্গ হয়।
In a set of 131 natural numbers, no number has a prime factor greater than 42. Prove that it is possible to choose four numbers from this set such that their product is a perfect square.
Higher Secondary
১. যদি S = \[ 1^1 + 2^2 + 3^3 + ….. + 2010^{2010} \] হয় তাহলে S কে 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা নির্ণয় কর। Let S = \[ 1^1 + 2^2 + 3^3 + ….. + 2010^{2010} \]. What is the remainder when S is divided by 2?
২. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের B কোণটি সমকোণ এবং AB = 3। এর যেকোন একটি শীর্ষকে কেন্দ্র করে একটি একক ব্যাসার্ধের বৃত্ত আঁকা হল। ত্রিভুজের যে অংশ বৃত্তের অন্তর্ভুক্ত নয় তার সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল বের কর।
Isosceles triangle ABC is right angled at B and AB = 3. A circle of unit radius is drawn with its centre on any of the vertices of this triangle. Find the maximum value of the area of that part of the triangle that is not shared by the circle.
৩. একটি ধারাকে নিচের সংজ্ঞা অনুযায়ী গঠন করা হলঃ
A(1) = 1
A(n) = f(m) সংখ্যক f(m) এবং তার পর f(m) সংখ্যক ০;
এখানে 111 হচ্ছে A(n-1) এর অংক সংখ্যা।
A(30) নির্ণয় কর। উল্লেখ্য 1 কে 9 দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগশেষ থাকে সেটিই f(m)।
A series is formed in the following manner:
A(1) = 1;
A(n) = f(m) numbers of f(m) followed by f(m) numbers of o; m is the number of digits in A (n-1)
Find A(30). Here f(m) is the remainder when m is divided by 9.
৪. একটি বৃত্ত এর ভেতরে P একটি বিন্দু । এই বিন্দু দিয়ে দুটি জ্যা আঁকা হল যারা পরস্পরের উপর লম্ব। এই জ্যা দুটি বৃত্তকে ঘড়ির কাটার দিকে a; b; c; d এই চারটি ভাগে ভাগ করে যার মধ্যে a অংশটি বৃত্তের কেন্দ্রকে ধারণ করে। দেখাও যে, [a] + [c] ≥ [b] + [d], এখানে [x] দ্বারা x এর ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে।
Given a point P inside a circle г, two perpendicular chords through P divide à into distinct regions a; b; e; d clockwise such that a contains the centre of T. Prove that [a] + [c] 2 [b] + [d], where [x] = area of x.
৫. একটি 2010 বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের শীর্ষগুলো ব্যবহার করে কতগুলো সুষম বহুভুজ আঁকা সম্ভব? (2010 বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোর ক্রম মুখ্য নয়।)
How many regular polygons can be constructed from the vertices of a regular polygon with 2010 sides? (Assume that the vertices of the 2010-gon are indistinguishable)
৬. a এবং b দুটি পূর্ণ সংখ্যা যেন 1 ≤ a, b < 2010 এবং a + b; এমন কতগুলো ক্রমজোড় (a, b) আছে যেখানে \[ a^2 + b^2 \], 5 দ্বারা বিভাজ্য? a + b এর মান কোন মানের জন্য \[ a^2 + b^2 \] সবচেয়ে বড় হবে?
a and b are two positive integers both less than 2010; a b. Find the number of ordered pairs (a, b) such that \[ a^2 + b^2 \] is divisible by 5. Find a + b so that \[ a^2 + b^2 \] is maximum.
৭. ABC ত্রিভুজের AC > AB । এর BC বাহুর লম্বসমদ্বিখণ্ডক এবং CAB কোণ এর অন্তসমদ্বিখণ্ডক P বিন্দুতে ছেদ করে। P থেকে AB এবং AC বাহুর উপরে অঙ্কিত লম্বদ্বয় বাহুদুটিকে যথাক্রমে X এবং Y বিন্দুতে ছেদ করে। XY এবং BC এর ছেদবিন্দু Z, \[ \frac{BZ}{ZC} \] এর মান নির্ণয় কর।
Let ABC be a triangle with AC > AB: Let P be the intersection point of the perpendicular bisector of BC and the internal angle bisector of angle CAB: Let X and Y be the feet of the perpendiculars from P to lines AB and AC; respectively. Let Z be the intersection point of BZ lines XY and BC: Determine the value of \[ \frac{BZ}{ZC} \].
৮. এমন সকল মৌলিক সংখ্যা p এবং পূর্ণ সংখ্যা a, b (ঋণাত্মকও হতে পারে) নির্ণয় কর যেন \[ p^a + p^b \] একটি মূলদ সংখ্যার বর্গ হয়।
Find all prime numbers p and integers a and b (not necessarily positive) such that \[ p^a + p^b \] is the square of a rational number.
Math Olympiad questions for Class 10 in bangladesh
৯. \[ (x + y)^{2010} \] এর বিস্তৃতিতে বিজোড় সহগের সংখ্যা নির্ণয় কর।
Find the number of odd coefficients in expansion of \[ (x + y)^{2010} \].
10. \[a_1,a_2,…,a_k,…,a_n \] ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার এমন একটি ধারা যার কোন দুটি পদই সমান নয় এবং \[a_1<a_2<…<a_k \] এবং \[ a_k>a_{k+1}>…>a_n \] । একটি ঘাসফড়িং মূলবিন্দু O থেকে বাস্তব অক্ষ বরাবর ডানদিক বরাবর যথাক্রমে \[a_1,a_2,…,a_n \] দূরত্বগুলো অতিক্রম করে লাফিয়ে লাফিয়ে চলে। প্রমাণ কর যে, সবার ডানে পৌঁছে গিয়ে সে a1, 2, •••, বী ধারার পদগুলোকে কোন এক ক্রমে অনুসরণ করে বামদিক বরাবর লাফিয়ে লাফিয়ে সেখান থেকে মূলবিন্দুতে ফিরে আসতে পারে যেন যাবার পথে সে যে বিন্দুগুলোতে নেমেছিল আসার সময় সেগুলোর কোনটিতেই না নেমে থাকে (মূলবিন্দু এবং সর্বডানের বিন্দু হল ব্যতিক্রম) ।
\[a_1,a_2,…,a_k,…,a_n \] is a sequence of distinct positive real numbers such that \[a_1<a_2<…<a_k \] and \[ a_k>a_{k+1}>…>a_n \]. A Grasshopper is to jump along the real axis, startin g at the point O and making n jumps to the right of lengths \[a_1,a_2,…,a_n \] respectively. Prove that, once he reaches the rightmost point, he can come back to point O by making n jumps to the left of lengths \[a_1,a_2,…,a_n \] in some order such that he never lands on a point which he already visited while jumping to the right. (The only exceptions are point O and the rightmost point)
