Bd national math Olympiad questions of 2008
Primary Category
1. দুইটি পরপর বেজোড় সংখ্যার গুণফল 143। সংখ্যা দুইটি বের কর। (সাহায্য – প্রথম বেজোড় সংখ্যা হলে x পরেরটি কতো? The product of two consecutive odd numbers is 143. Find the numbers. (Hint: If the first odd number is x, what is the next odd number?)
2. বাস্কেটবল লিগে মোট দলে 6 স্কুল অংশ নিচ্ছে। প্রতোক দল প্রত্যেক দলের বিরুদ্ধে একবার করে খেলছে। মোট কয়টি খেলা অনুষ্ঠিত হবে? There are six teams in a basketball league. Each team plays each other team only once during the season. How many total games will be played in the league during the season?
3. ১২ জন লোক অথবা ১৫ জন মহিলা ৪৪ দিনে একটি ক্ষেতের ফসল কাটতে পারে। ৮ জন লোক ও ১২ জন মহিলা একত্রে ঐ মাঠের ফসল কতদিনে কাটতে পারবে? 12 men or 15 women can reap a field in 44 days. In how many days, 8 men and 12 women will take to reap the given field?
4.
ছবি থেকে দেখা যাচ্ছে যে, এক কাঠি ভূমি বিশিষ্ট ত্রিভুজ বানাতে ওটি ম্যাচ কাঠি লাগে, 2 কাঠি ভূমির জন্য ৭টি এবং 3 কাঠির জন্য 18টি কাঠি লাগে। 7 কাঠি ভুমি বিশিষ্ট ত্রিভুজ বানাতে কয়টি ম্যাচের কাঠি লাগবে ?
Referring to the sketches, it is seen that 3 matches are required to make the triangular pattern with a 1-match base, 9 matches are required to make the triangular pattern with a 2-match base, 18 matches are required to make the triangular pattern with a 3-match base. How many matches would be required to construct a similar figure with a 7-match base?
5. একটি বর্গাকার বাগানের চারপাশে 1.5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা তৈরী করা হল। রাস্তার ক্ষেত্রফল 129 বর্গমিটার হলে রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল কত? A path 1.5 meters in width is laid all around a square lawn on the ouside. If the area of the path is 129 m2, then what is the area of the lawn (excluding the path?
6. বাবুল, বদরুল ও জসিম একই সময়ে একটি বৃত্তাকর পথে দৌড়াতে শুরু করল। প্রতি মিনিটে বাবুল \frac13 চক্কর, বদরুল \frac15 চক্কর ও জসিম \frac16 চক্কর দৌড়াতে পারে। সর্বনিম্ন কতো চক্কর দৌড়ালে ওরা সবাই একই সঙ্গে দৌড়ের শেষ সীমায় পৌছাবে ? Babul, Badrul and Jashim start at the same time at the start line. Babul runs \frac13 rd lap per minute. Badrul runs \frac15 th lap per min., and Jashim runs \frac16 th lap per min. How many laps need to be run by all in order to cross the finish line at the same time?
7. কোন পরীক্ষায় 24 জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর 42। যদি যে শিক্ষার্থী ৪৪ পেয়েছে সে অনুপস্থিত থাকতো তাহলে তাদের গড় নম্বর কতো হতো? The average mark of 24 candidates taking an examination is 42. Find what the average mark would have been if one candidate, who scored 88, had been absent.
৪. দুই অংকের কয়টি সংখ্যা আছে যার অঙ্কদ্বয়ের স্থান বিনিময় করলে তা 9 বেড়ে যায়? How many two-digit integers are increased by exactly nine when the digits are reversed?
9. সেই সংখ্যাটি কতো যাকে, প্রথমে 3 দ্বারা গুন করা হল, এরপর এর সঙ্গে গুনফলের তিন-চতুর্থাংশ যোগ করা হল, 7 দিয়ে ভাগ করা হল, ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ বাদ দেওয়া হল, প্রাপ্ত সংখ্যা দিয়ে গুন করা হল, বিয়োগ করা হল 52, 8 যোগ করে 10 দিয়ে ভাগ করে পাওয়া গেল 2? Which is the number that, multiplied by 3, then increased by three-fourths of the product, divided by 7, diminished by one-third of the quotient, multiplied by itself, diminished by 52, the square root found, addition of 8, division by 10 gives the number 2?
10.200 মিটার দীর্ঘ একটি দৌড় প্রতিযোগিতায় আরমান মানিকের চেয়ে 20 মিটার ও বিথির চেয়ে 29 মিটার এগিয়ে থেকে দৌড় শেষ করলো। যদি তখনো মানিক ও বিথী আগের গতিতে দৌড়ায় তাহলে বিথির কতো মিটার আগে মানিক দোড় প্রতিযোগিতা শেষ করবে? In a race of 200m, Arman finishes 20 m ahead of Manik and 29 m ahead of Bithi . If Manik and Bithi continue to run at their previous speeds, by how many meters will Manik finish ahead of Bithi ?
Junior Category
1. তোমাকে অফুরন্ত 1×1, 2×2, 3×3, 4×4 5×5 36×6 আকারের ব্লক দেওয়া হল। এ থেকে 10টি ব্লক বাছাই করো যাতে মোট কেত্রফল 48 হয়।
You are given an unlimited supply of 1×1, 2×2, 3×3, 4×4 5×5, and 6×6 square. Find a set of 10 squares whose areas add
to 48.
2. ফারিয়া তার মটর সাইকেলে করে নাজিয়ার বাসার দিকে রওনা হল। একই সময়ে নাজিয়াও তার গাড়িতে, একই সোজা রাস্তায় ফারিয়ার বাসার দিকে রওনা হল। কতক সময় পরে তারা রাস্তায় নিজেদের অতিক্রম করলো, যদিও কেউ কাউকে লক্ষ করেনি। এর কিছুক্ষন পরে, নাজিয়া ফারিয়ার বাসায় পৌঁছে দেখলো ফারিয়া বাসায় নেই। তখন সে সেখানে 22 মিনিট অপেক্ষা করলো। তারপর সে আবার একই রাস্তায় নিজের বাসার দিকে রওনা দিল। ফারিয়া আর নাজিয়া দুজনেই একসঙ্গে নাজিয়ার বাসায় পৌঁছালো। ফারিয়ার গতিবেগ ছিল সবসময় একই। অন্যদিকে ফারিয়ার বাসায় যাওয়ার সময় নাজিয়ার গাড়ির গতি ছিল ফারিয়ার মটর সাইকেলের গতির 4 গুন আর ফেরার পথে 5 গুন। নাজিয়ার বাসায় পৌঁছানোর জন্য ফারিয়ার কতো সময় লেগেছে।
Faria sets of her bike to Nazia’s house. At exactly the same time, Nazia sets off to Faria’s house along the same straight road in her car. A while later, they pass each other (neither spotting the other) and shortly after, Nazia arrives at Faria’s house and find that she is not there. Nazia waits for 22 minutes and then heads back along the same road, arriving at her own place at exactly the same time as Faria. Faria traveled at the same speed the whole time whereas Nazia traveled 4 times as fast as Faria on the way to Faria’s house and 5 times as fast on the way back. How many minutes did it take Faria to reach Nazia’s house.
3. নিচের ধারার দশম পদটি কত? n তম পদই বা কত?
Find the 10th terms of the following sequence? What is the n-th term?
3,8,17,32,57…
4. p, 3-এর চেয়ে বড় একটি মৌলিক সংখ্যা। p^2 কে 12 দ্বারা ভাগ করলে কতো অবশিষ্ট থাকবে?
p is a prime number and given that p>3. What be the reminder if p^2 is divided by 12.
5. কোন একটি ত্রিভূজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a,b,c। যদি a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca হয় তবে প্রমাণ কর যে, ত্রিভূজটি সমবাহু।
The three sides of a triangle are a,b,c . Given that a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca. Prove that the triangle is equilateral.
6. একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের এর দৈর্ঘ্যর চেয়ে 2 সেমি বেশি। যদি এর প্রস্ত 10 সেমি হয় তবে এর দৈর্ঘ্য কত? The diagonal of a rectangle exceeds the length by 2 cm. If the width of the rectangle is 10 cm, find the length.
7. একটি ভাল সংখ্যা হল দুইঅঙ্কের একটি সংখ্যা যার অঙ্ক দ্বয় ভিন্ন, এবং এর অদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংক্যা পাওয়া যায় তার যোগফল। যেমন 110 = 37+73 একটি ভাল সংখ্যা। কতগুলো
A good number is the sum of a two-digit number, with distinct digits, and its reverse. For example, 110 = 37+73 is good. How many good numbers are perfect squares?
৪. 100-এর ছোট চারটি মৌলিক সংখ্যা বের করো যা 3^{32} – 2^{32} এর উৎপাদক। Find four prime numbers less than 100 which are factors of 3^{32} – 2^{32}
9. ABCD একটি চতুর্ভুজ। এর AB রেখায় M ও N দুইটি বিন্দু যাতে AM=MN=NB এবং CD রেখায় ও Q বিন্দু যাতে CP=PQ=QDI প্রমাণ করো যে, ক্ষেত্রফল AMCP = \frac13 ক্ষেত্রফল ABCD In the convex quadrilateral ABCD, points M, N lie on the side AB such that AM = MN = NB, and points P, Q lie on the side CD such that CP PQ = QD. Prove that Area
of AMCP = \frac13 Area of ABCD.
10. ABC ত্রিভুজে D, E ও F যথাক্রমে AB, BC ও CA বাহুর ওপর অবস্থিত। এবং AD = DB, CE = 3BE ও AF = 2CF. যদি ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 480 বর্গ সেমি হয় তবে DEF ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল PO? In triangle ABC, points D, E, F are on sides AB, BC, CA respectively, with AD DB, CE = 3BE and AF = 2CF. If the area of triangle ABC is 480 square cm, then find the area of the triangle DEF.
Secondary Category
1. প্রথম 2008টি ধনাত্বক জোড় সংখ্যার যোগফল থেকে প্রথম 2008টি বেজোড় সংখ্যার যোগফল বিয়োগ করা হল। বিয়োগফল কতো ? The sum of the first 2008 odd positive integer is subtracted from the sum of the first 2008 even positive integers. Find the result.
2. একটি মুদ্রার পিঠে1, দুইটি ভিন্ন মুদ্রার প্রত্যেকটির পিঠে 2, তিনটি ভিন্ন মুদ্রার প্রত্যেকটির পিঠে 3, , উনপঞ্চাশটি ভিন্ন মুদ্রার প্রত্যেকটির পিঠে 49 এবং পঞ্চাশটি ভিন্ন মুদ্রার প্রত্যেকটির পিঠে 50 লিখা আছে। সবগুলো মুদ্রাকে একটি কালো ব্যাগে রেখে সেখান থেকে দৈবচয়নে একটি একটি করে মুদ্রা নেওয়া হল। কমপক্ষে কয়টি মুদ্রা নিলে নিশ্চত হওয়া যাবে যে, যে কোন এক প্রকারের অন্তত 10টি মুদ্রা ওঠানো হয়েছে? One coin is labeled with the number 1, two different
coins are labeled with the number 2, three different coins are labeled with the number 3,…,forty-nine different coins are labeled with the number 49, and fifty different coins are labeled with the number 50. All of these coins are then put into a black bag. The coins are then randomly drawn one by one. We need 10 coins of any type. What is the minimum number of coins that must be drawn to make sure that we have at least 10 coins of one type ?
3. ধরা যাক a একটি পূর্ণসংখ্যা। আবার m = 4a + 3 ও m, 11-এর গুনিতক। a^4 কে 11 দ্বারা ভাগ করা হলে কতো অবশিষ্ট থাকবে? বিস্তারিত প্রমাণ কর। Let a be an integer. The number m which has the form m = 4a + 3 is a multiple of 11. If we divide a^4 by 11, what is the remainder ? Show with proof.
4. f(x) একটি জটিল নন-লিনিয়ার ফাংশন। f(x)+ f(1-x)=1 হলে \int_0^1 f(x)dx -এর মান নির্ণয় কর। The function f(x) is a complicated nonlinear function. It satisfies, f(x)+ f(1-x) = 1. Evaluate \int_0^1 f(x)dx.
5. আসমা ও তার ভাই আহমেদ দাবা খেলোয়াড়। । আসমার ছেলে শামীম ও মেয়ে শারমীনও দাবা খেলে। সবচেয়ে খারাপ খেলোয়াড়ের যমজ (ঐ চারজনের একজন) এবং সেরা খেলোয়াড় পরস্পর বিপরীত লিঙ্গের। খারাপ এবং সেরা খেলোয়াড়ের একই বয়স। সবচেয়ে খারাপ খেলে কে ?
Asmaa, and her brother Ahmed are chess players. Asmaa’s son Shamim and her daughter Sharmeen are also chess players. The worst player’s twin (who is one of the 4 chess players) and best player are of the opposite sex. The worst player and the best player are the same age. Who is the worst player?
–
6. 1,2 3 3 এই তিনটি অঙ্ক দিয়ে একটি 5 অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যা তৈরি করা হল। সংখ্যাটিতে কমপক্ষে 1,2 3 3 একবার করে আছেই। এরকম কতোটি 5 অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যা তৈরি করা যাবে? (সাহায্য যে সব সংখ্যার মধ্যে 1,2 3 3 নেই সেগুলো প্রথমে গণনা করা যেতে পারে। The three numbers 1,2,3 are used to make a 5 digit number. The five digit number must contain at least one 1, at least one 2, and at least one 3. How many such five digit numbers can be made? (Hint: First count the number of words missing either a 1 or a 2 or a 3.)
7. 1+5.2^m = n^2 সমীকরণের পূর্ণসংখ্যার সমাধান (m,n) বের করতে হবে। (A) n^2 −1? (B) (n+1) ও (n −1) এর উভয়ই জোড় না বেজোড়, নাকি একটি জোড় আর অপরটি বেজোড় তা বের কর। (C) যদি a = \frac{n – 1}{2} হয় তবে a(a+1) =? (D) যদি বেজোড় হয় তবে a+1 জোড় না বেজোড়? (E) (C) ও (D) থেকে বল a = 1 বা a+1=1 হওয়া কী সম্ভব? (F) a-এর ওকমাত্র সম্ভাব্য মানটি বের করো এবং ” ও ” কী হওয়া উচিৎ তা বের করো।
We want to find all integer solutions (m, n) to 1+5.2^m = n^2. First: (A) Find an expression for n^2 −1?; ( B ) are ( n + 1 ) and (n-1) both even n-1 or both odd, or is one even and the other odd? (C) Let a = \frac{n – 1}{2} Find an expression for a(a+1); (D) If a is odd, is a + 1 even or odd ? (E) From parts (C) and (D), is it possible for a = 1, or a(a + 1) = ? (F) Find the only possible values a can take and then find what m and n should be.
৪. ABCD চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় AC ও BD, E বিন্দুতে ছেদ করেছে। AB = 39; AE = 45; AD = 60; BC = 56 হলে CD=? ABCD is a convex quadrilateral. The diagonals AC and BD intersect at E. AB = 39; AE = 45; AD = 60; BC = 56. Find the length of CD.
9: ABCD চতুর্ভুজের AB = BC = CD তবে AC<>BD. চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু E. AE= DE 4 <BAD+<ADC=0,0=? Let ABCD be a convex quadrilateral with AB = BC= CD. Note, AC <> BD. Let E be the intersection point of the diagonals of ABCD. AE = DE if <BAD+<ADC=0, Find e
Problem 10: A quadrilateral ABCD with ∠BAD + ∠ADC > 180 circumscribes a circle of center l. A line through l meets AB and CD at points X and Y respectively.
If IX=IY then what is (AX ¢ DY)=(BX ¢ CY)?
