BDMO 2021 selection questions || secondary level
Question 1:
পূণর্সংখ্যার কতগুলো ক্রমজোড় (m, n) আছে, যেন m আর n কোনো একটা সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ বাদে বাকি দুটো বাহুর দৈর্ঘ্য হয় এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 50-এর চেয়ে বড় না এমন একটি মৌলিক সংখ্যার সমান হয়?
How many ordered pairs of integers (m, n) are there such that m and n are the legs of a right triangle with an area equal to a prime number not exceeding 50?
Question 2:
x এবং y এমন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যেন 2(x + y) = gcd(x, y) + lcm(x, y)। \[ \frac{lcm(x, y)}{gcd(x, y)} \] -এর মান বের করো।
Let x and y be positive integers such that 2(x + y) = gcd(x, y) + lcm(x, y). Find \[ \frac{lcm(x, y)}{gcd(x, y)} \].
Question 3:
মনে করো, r একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা। [r] দ্বারা আমরা r-এর পূর্ণসংখ্যা অংশ বুঝাই এবং {r} দ্বারা r-এর ভগ্নাংশক অংশ। উদাহরণস্বরূপ, r = 32.86 হলে, {r} = 0.86 এবং [r] = 32। 25{r} + [r] = 125 হলে r-এর সম্ভাব্য মানগুলোর যোগফল কত?
Let r be a positive real number. Denote by [r] the integer part of r and by {r} the fractional part of r. For example, if r = 32.86, then {r} = 0.86 and [r] = 32. What is the sum of all positive numbers r satisfying 25{r} + [r] = 125?
Question 4:
ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম, যেখানে AD = BC, AB = 3 এবং CD = 8। E এমন একটি বিন্দু যেখানে AE ⊥ EC এবং BC = EC। AE-এর দৈর্ঘ্যকে \[ a\sqrt{b} \] আকারে লেখা যায় যেখানে a এবং b পূর্ণসংখ্যা এবং b , 1 ব্যতীত অন্য কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়। (b − a)-এর মান বের করো।
ABCD is an isosceles trapezium such that AD = BC, AB = 3, and CD = 8. A point E on the plane is such that AE ⊥ EC and BC = EC. The length of AE can be expressed as \[ a\sqrt{b} \], where a and b are integers, and b is not divisible by any square number other than 1. Find the value of (b − a).
Question 5:
g(x): Z → Z একটি ফাংশন যা নিচের শর্তটি মেনে চলে:
g(x) + g(y) = g(x + y) − xy
যদি g(23) = 0 হয়, তাহলে g(35)-এর সম্ভাব্য সব মানের যোগফল কত?
g(x): Z → Z is a function that satisfies
g(x) + g(y) = g(x + y) − xy
If g(23) = 0, what is the sum of all possible values of g(35)?
Question 6:
সমুদ্রের কাছে একটা টেবিলের উপর N-টা গ্লাস বা∙ আছে যেখানে N < 2021। বা∙গুলোর প্রত্যেকটাতেই ঠিক ২০২১-টা করে বল বান আছে। সৌধ আর রাফি একটা খেলা খেলছে যেখানে সৌধ প্রথম চাল দেয়। কোন চালে একজন যেকোনো একটা বলসহ বা∙ বাছাই করে এবং তারপর বা∙টা থেকে এক বা তার চেয়ে বেশি সংখ্যক বল বের করে সমুদ্রে ফেলে দেয়। কেউ চাইলে একটা বা∙ বাছাই করে তার সব গুলো বলই ফেলে দিতে পারে। এই খেলায় যে সবার শেষের বলটা ফেলতে পারে, সে জেতে। N এর সম্ভাব্য যেসব মানের জন্য সৌধর এই খেলায় একটা জেতার স্ট্রাটেজি আছে, তাদের যোগফল S । N এর সম্ভাব্য যেসব মানের জন্য রাফির এই খেলায় একটা জেতার স্ট্রাটেজি আছে, তাদের যোগফল R । \[ \frac{R – S}{10} \] এর মান কত?
On a table near the sea, there are N glass boxes where N < 2021, each containing exactly 2021 balls. Sowdha and Rafi play a game by taking turns where Sowdha takes the first turn. The player who throws out the last ball wins. Let S be the sum of values of N for which Sowdha has a winning strategy, and let R be the sum of values of N for which Rafi has a winning strategy. What is the value of \[ \frac{R – S}{10} \]?
Question 7:
কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য s(n) এবং c(n) যথাক্রমে n-এর পূর্ণবর্গ এবং পূর্ণঘন উৎপাদকের সংখ্যা । একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-কে ন্যায্য বলা হবে যদি s(n) = c(n) > 1 হয় । 100-এর চেয়ে ছোট কতগুলো ন্যায্য সংখ্যা আছে?
For a positive integer n, let s(n) and c(n) be the number of divisors of n that are perfect squares and perfect cubes respectively. A positive integer n is called fair if s(n) = c(n) > 1. Find the number of fair integers less than 100.
Question 8:
ABC একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। ∠BAC-এর বহিদ্বিৃখন্ডক BC রেখাকে N বিন্দুতে ছেদ করে। BC-এর মধ্যবিন্দু M। AN রেখার ওপর P এবং Q এমন দুটি বিন্দু যেন ∠PMN = ∠MQN = 90°। যদি PN = 6 এবং BC = 4 হয়, তাহলে QA-এর দৈর্ঘ্য \[ \frac{a}{b}\] আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে a এবং b পরস্পর সহমৌলিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। (a + b)-এর মান কত?
Let ABC be an acute-angled triangle. The external bisector of ∠BAC meets the line BC at point N. Let M be the midpoint of BC. P and Q are two points on line AN such that ∠PMN = ∠MQN = 90°. If PN = 6 and BC = 4, then the length of QA can be expressed as \[ \frac{a}{b}\], where a and b are coprime positive integers. What is the value of (a + b)?
Question 9:
সিনথিয়া পোকেমন পছন্দ করে এবং সে পারলে সবগুলো পোকেমন ধরতে চায়। জয়ের রাস্তায় মোট 50টি পোকেমন রয়েছে। সিনথিয়া যত বেশি সম্ভব পোকেমন ধরতে চায়। কিন্তু সে এমন দুটি পোকেমন কখনো ধরতে পারবে না যারা পরস্পর শত্রু। কিছুক্ষণ ঘুরে বেড়ানোর পর সে নিচের দুটো জিনিস বুঝতে পারলো।
1. জয়ের রাস্তায় প্রতিটি পোকেমনের ঠিক দুটি শত্রু রয়েছে।
2. যেহেতু সে পরস্পর শত্রু এমন দুটি পোকেমন কখনোই ধরতে পারবে না, তাই সে যতই চেষ্টা করুক না কেন, জয়ের রাস্তায় সে সর্বোচ্চ টা পোকেমন ধরতে পারবে। এর সম্ভাব্য সব মানের যোগফল কত?
Cynthia loves Pokemon and she wants to catch them all. In Victory
Road, there are a total of 50 Pokemon. Cynthia wants to catch as many
of them as possible. However, she can not catch any two Pokemon that are
enemies with each other. After exploring around for a while, she makes
the following two observations.
1. Every Pokemon in Victory Road is enemies with exactly two other
Pokemon.
2. Due to her inability to catch Pokemon that are enemies with one another,
the maximum number of Pokemon that she can catch is equal to n.
What is the sum of all possible values of n?
Question 10:
একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-কে মনোরম বলা হবে যদি এটি অন্তত তিনটি প্রকৃত উৎপাদক থাকে এবং এটি তার তিনটি বৃহত্তম প্রকৃত উৎপাদকের যোগফলের সমান হয়। যেমন, 6 একটি মনোরম সংখ্যা কারণ এর বৃহত্তম তিনটি প্রকৃত উৎপাদক হলো 3, 2, এবং 1 এবং 6 = 3 + 2 + 1। 3000-এর চেয়ে বড় নয় এমন কতটি মনোরম সংখ্যা রয়েছে?
A positive integer nn is called nice if it has at least 3 proper divisors and it is equal to the sum of its three largest proper divisors. For example, 6 is nice because its largest proper divisors are 3, 2, and 1, and 6 = 3 + 2 + 1. Find the number of nice integers not greater than 3000.
Question 11:
ABCD একটি বর্গ যেখানে A = (0, 0) এবং D = (1, 1)। \[\left(\frac{3}{8}, \frac{1}{3}\right) \] বর্গটির ভেতরের একটি বিন্দু। একটি পিঁপড়ে P বিন্দু থেকে হাঁটা শুরু করে বর্গটির তিনটি বাহু স্পর্শ করার পর আবার P বিন্দুতে ফিরে আসে। পিঁপড়েটি দ্বারা সর্বনিম্ন সম্ভাব্য অতিক্রান্ত দূরত্বকে \[ {a\sqrt{c}}{b} \] আকারে লেখা যায়, যেখানে a এবং b সহমৌলিক এবং c, 1 এর চেয়ে বড় কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়। (a + b + c)-এর মান কত?
Let ABCD be a square such that A = (0, 0) and D = (1, 1). P \[\left(\frac{3}{8}, \frac{1}{3}\right) \] is a point inside the square. An ant starts walking from point P, touches 3 sides of the square, and comes back to the point P. The least possible distance traveled by the ant can be expressed as \[\frac{a\sqrt{c}}{b}\], where a and b are coprime and c is not divisible by any square number other than 1. What is the value of (a + b + c)?
Question 12:
গামাকিচি এবং গামাতাতসু নামে দুটি ব্যাঙ যথাক্রমে (0, 0) এবং (2, 0) বিন্দুতে রয়েছে। তাদের লক্ষ্য যথাক্রমে (5, 5) এবং (7, 5) বিন্দুতে পৌঁছানো। তারা শুধু ধনাত্মক x বা y দিকে এক দৈর্ঘ্যের লাফ দিতে পারে। কতভাবে তারা তাদের লক্ষ্যে পৌঁছাতে পারবে যদি এমন কোনো বিন্দু না থাকে যেখানে তারা উভয়ই পৌঁছায়?
Two toads named Gamakichi and Gamatatsu are sitting at the points (0, 0) and (2, 0) respectively. Their goal is to reach the points (5, 5) and (7, 5) respectively by making one-unit jumps in the positive x or y direction. How many ways can they do this while ensuring that there is no point on the plane where both Gamakichi and Gamatatsu land?
