BD math olympiad 2021 questions for junior level
1. মিতা একটা সারিতে ২০২৪ টি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এমনভাবে লিখেছে যাতে পরপর যেকোনো চারটি সংখ্যার গুণফল ২১০০ হয়। সারির প্রথম সংখ্যা ৭, ১০১১-তম সংখ্যা ৫ এবং ২০১৪-তম সংখ্যা ২০। সারির শেষ সংখ্যা কত?
Mita wrote 2024 positive integers in a row such that the product of any four adjacent numbers is 2100. The first number is 7, the 1011th number is 5, and the 2014th number is 20. What is the last number in the row?
2. নিচের সমীকরণটির সব সমাধানের যোগফল নির্ণয় করো:
\[ 5^{2r+1} + 5^2 = 5^r + 5^{r+3}\]
Find the sum of all solutions of the equation:
\[ 5^{2r+1} + 5^2 = 5^r + 5^{r+3}\]
3. ধরা যাক, r একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা। [r]-এর মান r -এর পূর্ণসাংখ্যিক অংশ বোঝাই এবং {r}-এর মান r -এর ভগ্নাংশ বোঝাই। যেমন, r = 32.86 হলে {r} = 0.86 এবং [r] = 32। এমন সব ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল কত যেখানে 25{r} + [r] = 125 হয়?
Let r be a positive real number. Denote by [r] the integer part of r , and by {r}the fractional part of r . For example, if r = 32.86, then {r} = 0.86 and [r] = 32. What is the sum of all positive numbers r satisfying 25{r} + [r] = 125?
4. ABC একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। P এবং Q , AB-এর উপর এমন দুটি বিন্দু যাতে \[ CP \perp AB \] এবং CQ ত্রিভুজের কোণ \[\angle ACB\] -কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। যদি AC – CB = 18 এবং AP – PB = 12, তবে AQ – QB কত?
ABC is an acute-angled triangle. Let P and Q be points on segment AB such that \[ CP \perp AB \] and CQ bisects \[ \angle ACB \] . Given that AC – CB = 18 and AP – PB = 12, find AQ – QB.
5. ১ থেকে ১৯ বছর বয়সের ১৯ জন শিশু একটি বৃত্তাকারে দাঁড়িয়ে আছে। পাশাপাশি দাড়ানো প্রতি জোড়া শিশুর বয়সের পার্থক্যগুলো রেকর্ড করা হলো। এই ১৯টি রেকর্ড করা সংখ্যার যোগফলের সম্ভাব্য সর্বোচ্চ মান কত?
Nineteen children, aged 1 to 19, respectively, are standing in a circle. The difference between the ages of each pair of adjacent children is recorded. What is the maximum value of the sum of these 19 recorded numbers?
6. ABCD একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম যেখানে AD = BC, AB = 3, এবং CD = 8। E এমন একটি বিন্দু যাতে \[ AE \perp EC \] এবং BC = EC। AE-এর দৈর্ঘ্য \[a\sqrt{b}\] আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে a এবং b পূর্ণসংখ্যা এবং b ১ ছাড়া অন্য কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়। b – a -এর মান কত?
ABCD is an isosceles trapezium such that AD = BC, AB = 3, and CD = 8. A point E on the plane is such that \[ AE \perp EC\] and BC = EC. The length of AE can be expressed as \[ a\sqrt{b}\] , where a and b are integers, and b is not divisible by any square number other than 1. Find the value of (b – a).
7. একটি সংখ্যাকে বিলম্বী-কিশোর বলা হবে যদি সেটি তার অঙ্কগুলোর যোগফলের ১৯ গুণ হয়। এমন বিলম্বী-কিশোর সংখ্যাগুলোর মোট সংখ্যা কত?
A late-teen number is a positive integer which is 19 times the sum of its own digits. Determine how many late-teen numbers are there.
8. ABCD একটি বর্গ, যার বাহুর দৈর্ঘ্য ৬। E এবং F যথাক্রমে \[\overrightarrow{DA}\] এবং \[ \overrightarrow{DC} \] -এর উপর এমন বিন্দু যাতে E, B, F একই সরলরেখায় থাকে এবং EF = 18।
\[ [\frac{1}{DE} + \frac{1}{DF}] \] -এর মানকে \[ \frac{a}{b} \] -আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে a এবং b সহমৌলিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। (a + 10b)-এর মান কত?
Let ABCD be a square with side length 6. Points E and F are on rays \[ \overrightarrow{DA} \] and \[ \overrightarrow{DC} \] , respectively, such that E, B, Fare collinear and EF = 18. The value of \[ [ \frac{1}{DE} + \frac{1}{DF} \]
can be written as \[ \frac{a}{b} \] , where a and b are coprime positive integers. What is the value of (a + 10b)?
9. এক জোড়া ভিন্ন পূর্ণসংখ্যাকে বন্ধু-সুলভ বলা হবে যদি তারা পরস্পর সহমৌলিক না হয়। ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮ এই সংখ্যাগুলো দিয়ে সর্বাধিক দুটি নিশ্চেদ বন্ধু-সুলভ জোড়া তৈরি করা সম্ভব, যেমন: (২, ৪) এবং (৩, ৬)। ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো দিয়ে সর্বাধিক কতগুলো নিশ্চেদ বন্ধু-সুলভ জোড়া তৈরি করা সম্ভব?
A pair of distinct integers are called friendly if they are not coprime. Using the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, at most 2 disjoint friendly pairs can be formed, for example: (2, 4) and (3, 6). How many disjoint friendly pairs can be formed using the numbers 1 to 50?
10. ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a এবং b-এর জন্য
\[[ 0 < \left| \frac{a}{b} – \frac{3}{5} \right| \leq \frac{1}{150}\] b-এর সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মান কত?
For positive integers a and b,
\[ 0 < \left| \frac{a}{b} – \frac{3}{5} \right| \leq \frac{1}{150} \]
What is the smallest possible value of b?
11. সিনিথিয়া পোকেমন পছন্দ করে এবং সে পারলে সবগুলো পোকেমনই ধরতে চায়। জয়ের রাস্তায় মোট ৫০টি পোকেমন রয়েছে। সিনিথিয়া এই পোকেমনগুলোর মধ্যে যত সম্ভব বেশি সংখ্যক পোকেমন ধরতে চায়। তবে, সে এমন দুটি পোকেমন কখনোই ধরতে পারবে না যারা পরস্পরের শত্রু। কিছুক্ষণ ঘোরাঘুরির পর, সে নিচের দুটি বিষয় বুঝতে পারে:
1. জয়ের রাস্তায় প্রতিটি পোকেমনই ঠিক দুটি করে শত্রু রয়েছে।
2. যেহেতু পরস্পরের শত্রু এমন দুটি পোকেমন সে কখনোই ধরতে পারবে না, তাই সে যতই চেষ্টা করুক না কেন, জয়ের রাস্তায় সে সর্বাধিক n-টি পোকেমন ধরতে পারবে। n-এর সম্ভাব্য সব মানের যোগফল কত?
Cynthia loves Pokemon and she wants to catch them all. In Victory Road, there are a total of 50 Pokemon. Cynthia wants to catch as many of them as possible. However, she cannot catch any two Pokemon that are enemies with each other. After exploring for a while, she observes the following:
1. Each Pokemon in Victory Road has exactly two enemies.
2. Due to her inability to catch enemy Pokemon, the maximum number of Pokemon she can catch is n.
What is the sum of all possible values of n?
12. \[ 1 < N \leq 2021 \] একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ১, ২, ৩, ……….., N-এর সংখ্যা একটি সারিতে সাজানো হয়েছে। জয়দীপ এবং মুরসালিন একটি খেলা খেলে, যেখানে তারা পালাক্রমে সারির যেকোনো দুটি পরপর সংখ্যা বেছে নিয়ে মুছে ফেলে এবং তাদের যোগফল বা গুণফল লিখে দেয়। ফলে প্রতিটি চালে সংখ্যাগুলোর সংখ্যা ১ কমে যায়। জয়দীপ প্রথম চাল দেয়। খেলা শেষ হয় যখন শুধুমাত্র একটি সংখ্যা থাকে এবং যদি সেই সংখ্যা বিজোড় হয়, তবে জয়দীপ জেতে। N-এর এমন সব মানের যোগফল কত যার জন্য জয়দীপের একটি জয়ের কৌশল আছে?
Let \[ ( 1 < N \leq 2021 \] be a positive integer. The numbers 1, 2, 3, ………, N are written in a row. Joydip and Mursalin play a game where they each take turns erasing two consecutive numbers from the row and replacing them with either their sum or their product. As a result, the number of numbers decreases by one in each turn. Joydip goes first. The game ends when there is only a single number left, and Joydip wins if and only if this number is odd.
What is the sum of all possible values of N for which Joydip has a winning strategy?
