BDMO National 2021 Higher Secondary Questions

BDMO National 2021 Higher Secondary Questions

1. কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য A(n) হলো n-কে 11 দিয়ে ভাগ করলে যে ভাগশেষ হয়, সেটা।
আর T(n) = A(1) + A(2) + A(3) + … + A(n)।
A(T(2021))-এর মান নির্ণয় করো।

For a positive integer n, A(n) is the remainder when n is divided by 11.
And T(n) = A(1) + A(2) + A(3) + … + A(n).
Find the value of A(T(2021)).

2. u আর v হলো দুটি বাস্তব সংখ্যা। নিচের রাশিটির সর্বনিম্ন মানকে যদি \sqrt{n} আকারে লেখা যায়, তাহলে 10n-এর মান বের করো।

\sqrt{u^2 + v^2} + \sqrt{(u-1)^2 + v^2} + \sqrt{u^2 + (v-1)^2} + \sqrt{(u-1)^2 + (v-1)^2}

Let u and v be real numbers. The minimum value of \sqrt{u^2 + v^2} + \sqrt{(u-1)^2 + v^2} + \sqrt{u^2 + (v-1)^2} + \sqrt{(u-1)^2 + (v-1)^2} can be written as \sqrt{n}. Find the value of 10n.

BDMO National 2021 Higher Secondary Math Questions pdf

3. ত্রিভুজ ABC-এর অন্তঃকেন্দ্র I। AC এবং BC রেখাংশের ওপর E এবং F বিন্দু এমনভাবে নেওয়া হলো যেন AE = AI এবং BF = BI হয়। যদি EF, CI-এর লম্বদ্বিখণ্ডক হয়, তাহলে ডিগ্রিতে ∠ACB-এর মানকে \frac{m}{n} আকারে লেখা যায় যেখানে m এবং n পরস্পর সহমৌলিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। m + n-এর মান বের করো।

Let ABC be a triangle with incenter I. Points E and F are on segments AC and BC respectively such that, AE = AI and BF = BI. If EF is the perpendicular bisector of CI, then ∠ACB in degrees can be written as \frac{m}{n} where m and n are coprime positive integers. Find the value of m + n.

4. P(x) হলো অঋনাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক সহগবিশিষ্ট x-এর একটা বহুপদী। যদি P(1) = 5 এবং P(P(1)) = 177 হয়, তাহলে P(10)-এর সম্ভাব্য সব মানের যোগফল কত?

P(x) is a polynomial in x with non-negative integer coefficients. If P(1) = 5 and P(P(1)) = 177, what is the sum of all possible values of P(10)?

Higher Secondary Math Olympiad Questions 2021

5. তুমি কতভাবে তিনটা 20-তলবিশিষ্ট ছড়া মারতে পারবে যাতে ছক্কা গুলোতে ওই সংখ্যাগুলোর যোগফল ঠিক 42 হয়? এখানে কী কী সংখ্যা উঠছে, তার ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। (মনে রেখো যে একটা 20-তলবিশিষ্ট ছক্কা একটা সাধারণ ছয়তলবিশিষ্ট ছক্কার মতোই। একমাত্র পার্থক্য হলো এতে 20-টা তল আছে।)

How many ways can you roll three 20-sided dice such that the sum of the three rolls is exactly 42? Here the order of the rolls matters.(Note that a 20-sided die is very much like a regular six-sided die other than the fact that it has 20 faces instead of the regular six.)

6. ABC হলো একটা সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। ∠BAC-এর বাহির্ভাগে BC রেখাকে N বিন্দুতে ছেদ করে। BC-এর মধ্যবিন্দু হলো M। P এবং Q হলো AN রেখার ওপর এমন দুটি বিন্দু যেন ∠PMN = ∠MQN = 90°। যদি PN = 5 এবং BC = 3 হয়, তাহলে QA-এর দৈর্ঘ্যকে \frac{a}{b} আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে a এবং b হলো পরস্পর সহমৌলিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। (a + b)-এর মান কত?

Let ABC be an acute-angled triangle. The external bisector of ∠BAC meets the line BC at point N. Let M be the midpoint of BC. P and Q are two points on line AN such that, ∠PMN = ∠MQN = 90◦. If PN = 5 and BC = 3, then the length of QA can be expressed as \frac{a}{b} , where a and b are coprime positive integers. What is the value of (a + b)?

Bangladesh Math Olympiad National Questions 2021

7. একটা বাইনারি স্ট্রিং হলো এমন একটা শব্দ যার মধ্যে খালি 0 এবং 1 আছে। কোনো বাইনারি স্ট্রিংয়ে একটা 1-রান হলো এমন একটা সাবস্ট্রিং, যেখানে খালি 1 আছে এবং যেটাকে আর ডানে বা বামে বড় করা যায় না। কোনো একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য B(n) হলো n-কে বাইনারিতে লিখলে এতগুলো 1-রান থাকে, সেই সংখ্যাটা। উদাহরণস্বরূপ, B(107) = 3 কারণ 107-কে বাইনারিতে লিখলে হয় 1101011 এবং এতে ঠিক তিনটা 1-রান আছে।

নিচের রাশিটার মান কত?
B(1) + B(2) + B(3) + … + B(255)

A binary string is a word containing only 0s and 1s. In a binary string, a 1-run is a non-extendable substring containing only 1s. Given a positive integer n, let B(n) be the number of 1-runs in the binary representation of n. For example, B(107) = 3 since 107 in binary is 1101011 which has exactly three 1-runs. What is the following expression equal to? B(1) + B(2) + B(3) + · · · + B(255)

8. শাকুর আর তিহাম একটা খেলা খেলছে। প্রথমে, শাকুর 1000-এর চেয়ে বড় না এমন একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বাছাই করে। তারপর তিহাম তার থেকে ছোট আরেকটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বাছাই করে। তারা এভাবে পালাক্রমে ছোট থেকে ছোটতর পূর্ণসংখ্যা বাছাই করতে থাকে যতক্ষণ পর্যন্ত কেউ 1 বাছাই না করে। কেউ 1 বাছাই করার পর সেই পর্যন্ত বাছাইকৃত সমস্ত সংখ্যার যোগফল করা হয়। যে 1 বাছাই করে, সে জিতে যদি এবং কেবল যদি এই যোগফলটা একটা পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়। যদি যোগফলটা পূর্ণবর্গ না হয়, তাহলে অপরজন জেতে। এমন সমস্ত n-এর যোগফল কত যেগুলো শাকুর n বলে খেলা শুরু করে, তাহলে তার একটি জেতার স্ট্র্যাটেজি আছে?

Shakur and Tiham are playing a game. Initially, Shakur picks a positive integer not greater than 1000. Then Tiham picks a positive integer strictly smaller than that. Then they keep on doing this taking turns to pick progressively smaller and smaller positive integers until someone picks 1. After that, all the numbers that have been picked so far are added up. The person picking the number 1 wins if and only if this sum is a perfect square. Otherwise, the other player wins. What is the sum of all possible values of n such that if Shakur starts with the number n, he has a winning strategy?

Math Olympiad Bangladesh Higher Secondary Category 2021

9. একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-কে মনোরম বলা হবে যদি এটা কমপক্ষে 3-টা প্রকৃত উৎপাদক থাকে এবং এটা তার সবচেয়ে বড় তিনটা প্রকৃত উৎপাদকের যোগফলের সমান হয়। যেমন 6 একটা মনোরম সংখ্যা কারণ 6-এর সবচেয়ে বড় তিনটা প্রাকৃত উৎপাদক হলো 3, 2, 1 এবং 6 = 3 + 2 + 1। 3000-এর চেয়ে বড় না, এমন কতগুলো মনোরম সংখ্যা আছে?

A positive integer n is called nice if it has at least 3 proper divisors and it is equal to the sum of its three largest proper divisors. For example, 6 is nice because its largest proper divisors are 3, 2, 1 and 6 = 3 + 2 + 1. Find the number of nice integers not greater than 3000.

10. A1A2A3A4A5A6A7A8 একটা সুষম অষ্টভুজ। P এই অষ্টভুজের মধ্যে এমন একটা বিন্দু যেখান থেকে A1A2, A2A3 এবং A3A4-এর দূরত্ব যথাক্রমে 24, 26 এবং 27। A1A2-এর দৈর্ঘ্যকে a\sqrt{b}– c আকারে লেখা যায় যেখানে a, b এবং c ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং b, 1 বাদে অন্য কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য নয়। (a + b + c)-এর মান কত?

A1A2A3A4A5A6A7A8 is a regular octagon. Let P be a point inside the octagon such that the distances from P to A1A2, A2A3 and A3A4 are 24, 26 and 27 respectively. The length of A1A2 can be written as a\sqrt{b}– c, where a, b and c are positive integers and b is not divisible by any square number other than 1. What is the value of (a + b + c)?

11. ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার কতগুলো কোয়াড্রুপল (a, b, m, n) আছে যেন নিচের সমস্ত বাক্যই সত্য হয়?

1. a, b < 5000
2. m, n < 22
3. gcd(m, n) = 1
4. (a² + b²)ᵐ = (ab)ⁿ

How many quadruples of positive integers (a, b, m, n) are there such that all of the following statements hold?

1. a, b < 5000
2. m, n < 22
3. gcd(m, n) = 1
4. (a² + b²)ᵐ = (ab)ⁿ

12. একটা ফাংশন g: Z → Z-কে বিশেষণ বলা হবে যদি যেকোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা m এবং n-এর জন্য g(m) + g(n) > max(m², n²) হয়। f এমন একটা বিশেষণ ফাংশন যেন f(1) + f(2) + … + f(30)-এর মান সর্বনিম্ন হয়। f(25)-এর সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মান বের করো।

A function g : Z → Z is called adjective if g(m) + g(n) > max(m², n²) for any pair of integers m and n. Let f be an adjective function such that the value of f(1)+f(2)+· · ·+f(30) is minimized. Find the smallest possible value of f(25).

BDMO National 2021 Higher Secondary