Math Olympiad Questions 2009 || National

Math Olympiad Questions 2009 || National

Primary Category
1. একদল শিক্ষার্থী একটি আস্তাবল পরিদর্শনে গিয়েছে। এক সময় দেখা গেল আস্তাবলে 71টি মাথা আর 228টি পা আছে। ঐ সময়ে আস্তাবলে কতোজন শিক্ষার্থী ছিল?

Some students are visiting a stable. At a certain time, it was counted that there are 71 heads and 228 legs were there. How many students were there at the time of counting?

2. 2,3,5,8 –এই অঙ্ক গুলো দিয়ে মোট কয়টি দুই অঙ্ক বিশিষ্ট মৌলিক সংখ্যা গঠন করা যাবে ? মৌলিক সংখ্যা গুলো লিখ।

In how many ways is it possible to form two-digit prime number with the digits 2,3,5,8? Write all of them.

3. মারজান একটি বই পড়ছে যাতে মোটা 242 পৃষ্ঠা আছে। ও প্রথম দিন 22 পৃষ্ঠা পড়লো। দ্বিতীয় দিন ও প্রথম দিনের চেয়ে 4 পৃষ্ঠা বেশি পড়লো, তৃতীয় দিনও তাই। এরপর প্রতিদিন মারজান যদি তৃতীয় দিনের চেয়ে 2 পৃষ্ঠা বেশি পড়ে, তাহলে কতোদিনে মারজানের ঐ বইটি পড়া শেষ হবে।

The book that Marjan reads has 242 pages. The first day he has read 22 pages. During the second day he has read 4 pages more than the first and the same during the third day. How many days will Marjan need to finish the book if he reads two pages more than the third days each day from the fourth day onward?

4. \[\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{12}, \frac{1}{18}, \frac{1}{x} \] = 1 হলে x এর মান বের করো।
Given that \[\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{12}, \frac{1}{18}, \frac{1}{x} \] = 1, what is the value of x.

5. মিলা 3,7,1,9,0 ও 4 -এই অঙ্কগুলো একবার করে ব্যবহার করে 6 অংকের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা গঠন করে। তারপর সে সংখ্যাদুটোর অন্তরকে 9 গুণ কমিয়ে ফেলে। তার কাছে সবশেষ সংখ্যাটি কতো ?

From the digits 3,7,1,9,0 and 4 Mila formed the biggest and the smallest six- digit number using each digit exactly once in each of the two numbers. Then she reduced their difference 9 times. Which number she get?

6. দুইটি সরলরেখা একটি বিন্দুতে মিলিত হওয়ায় চারটি কোন উৎপন্ন হলো, এর মধ্যে দুইটি সূক্ষ্মকোণ ও দুইটি স্থূলকোণ। সূক্ষ্মকোণ দুইটির সমষ্টি প্রতিটি স্থূলকোণের অর্ধেক। কোণ চারটির মান বের করো।
Two lines intersect in one point and form four angles, two acute and two obtuse. The sum of the two acute angles is half of the one obtuse angle. Calculate these angles.
7. এক আইসক্রিম বিক্রেতা সারাদিনে 20 কেজি আইসক্রিম বিক্রি করেছে। সে প্রতিটি 2 স্কুপ বিশিষ্ট ছোট কোন আইসক্রিম 1.20 টাকায় এবং প্রতিটি স্কুপ বিশিষ্ট কোন আইসক্রিম প্রতিটি 1.60 টাকায় বিক্রি করে। প্রতি কেজি আইসক্রিমে 12টি স্কুপ তৈরি হয়। দিন শেষ তার মোট আয় 137.60 টাকা হলে সেদিন সে কতটি বড় কোন আইসক্রিম বিক্রি করেছে?
An ice-cream seller prepares 20kg of ice-cream and sells it all in a day as small cones at 1.20 Taka with two scoops and big cones at 1.60 Taka with three scoops. Each kilogram of ice-cream gives 12 scoops. At the end of the day, he earned 137.60 Taka in total. How many big cones did he sell?

8. 3-অঙ্ক বিশিষ্ট বেজোড় সংখ্যাগুলোর মধ্যে যে সংখ্যাগুলোর অঙ্কগুলোর গুণফল 140 সেসংখ্যাগুলোর যোগফল কতো?
Determine the sum of all odd 3-digit numbers whose product of digits is equal to 140?

9. একটি আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলি যথাক্রমে a ও b সেমি। যদি a বাহুকে b পরিমান ও b বাহুকে a পরিমাণ বাড়ানো হয়, তাহলে উৎপন্ন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হয় 100 । আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলির দৈর্ঘ পূর্ণসংখ্যা। এই শর্ত পূরণ করে এমন সর্বনিম্ন ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রটি নির্ণয় করো ।

One rectangle has side a cm and b cm. If the side with length a cm is enlarged by b cm and the side with length b cm is enlarged by a cm then the resulting square has area of 100 cm2. Determine the rectangle that satisfies this condition with smallest area if its side lengths are positive integers.

10.কোন একদিন তোমার 5 বন্ধু একটি ক্যাফেতে গেল কেক খেতে। ঐ ক্যাফে মোট 4 রকমের কেক তৈরি করে। প্রত্যেক বন্ধু দুইটি ভিন্ন রকমের কেক পছন্দ করে। তাদের বিল হলো যথাক্রমে 6 টাকা, 9 টাকা, 11 টাকা, 12 টাকা ও 15 টাকা। পরেরদিন তুমি নিজে ঐ দোকানে গিয়ে 4 রকমের কেক একটি করে খেলে। তোমাকে কতো টাকা বিল দিতে হবে?

One day five of your friends go to a café to eat cake. The café sells 4 different types of cake. Each friend chooses two different cakes. They find there bills are for Tk. 6, Tk. 9, Tk. 11 · Tk. 12 and Tk 15. The next day you go to same café and buy one of each type of cake. How much you have to pay?

Junior Category

1. \[\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{12}, \frac{1}{18}, \frac{1}{x} \] = 1 হলে x এর মান বের করো।
Given that \[\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{12}, \frac{1}{18}, \frac{1}{x} \] = 1, what is the value of x.

2. 3-অঙ্ক বিশিষ্ট বেজোড় সংখ্যাগুলোর মধ্যে যে সংখ্যাগুলোর অঙ্কের গুণফল 140 সে সংখ্যাগুলোর যোগফল কতো?
Determine the sum of all odd 3-digit numbers whose product of digits is equal to 140?
3. একটি 3×3 চেকারবোর্ডের নয়টি বর্গকে এমনভাবে রং করতে হবে যাতে প্রত্যেক সারি, প্রত্যেক কলাম ও দুটি কর্ণের মধ্যকার দুইটি বর্গের রং একই না হয়। কমপক্ষে কতো রকমের রঙের দরকার?
The nine squares of a 3×3 checkerboard must be painted so that each row, each column, and each of the two diagonals have no two squares of the same colour. What is the least number of colours needed?
4. \[ x^2 – 8xy + 9y^2 – 16y + 10 \] রাশিমালার সম্ভাব্য সর্বনিম্ন মান কতো? (x ও y বাস্তা সংখ্যা)
Find the least possible value of the expression, \[ x^2 – 8xy + 9y^2 – 16y + 10 \]. (x and y both real number)
5. একটি N x N গ্রিড থেকে আবির তিনটি বিন্দু বেছে নিয়ে ত্রিভুজ আঁকছে। মজার বিষয় হলো, আবির প্রতিবারই (,) এই বিন্দুটি বাছাই করে। এভাবে আবিরের আঁকা সবচেয়ে বড় ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। (তোমার উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দাও)
In a N x N grid, Abir picks three lattice points as vertexes of a triangle. urprisingly, he always chooses the (0,0) point. What is the largest area of the triangle Abir can draw ? (Justify your answer.)
6. একটি বর্গক্ষেত্রকে সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট তিনটি ক্ষেত্রে ভাগ করা হল (নিচের ছবি দেখো)। সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 1 সে.মি. হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কতো?

A square is divided into three pieces of equal area as shown. The distance between the parallel lines is 1 cm. What is the area of the square?
7. \[\frac{7}{26}\] কে \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \] আকারে প্রকাশ করো যেখানে a ও b ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

Express \[\frac{7}{26}\] as \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \] (a and b, both are positive integers)
৪. একই সমতলে তিনটি বিন্দু আছে। এই তিনটি বিন্দু দিয়ে যে কয়টি সামান্তরিক (সামান্তরিকের চারটি শীর্ষবিন্দুর তিনটি অবশ্যই এই তিনটি বিন্দু হবে) আঁকা সম্ভব তাদের মধ্যে সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন পরিসীমা বিশিষ্ট সামান্তরিক দুইটির ক্ষেত্রফলের পার্থক্য বের করো।
There are three points in a plane. One can draw as many parallelograms as possible keeping those three points as the three vertices of the parallogram.

Find the difference between the area of parallelogram having the largest perimeter possible and the parallelogram having the minimum perimeter possible.
9. তিনবাহু বিশিষ্ট এবং ধনাত্মক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বহুভুজ হলো ত্রিভুজ। একটি ত্রিভুজের একটি কোণ একই ত্রিভুজের অপর একটি কোণের দ্বিগুন। এই দুইটি কোণের একটির মান 120 ডিগ্রী। দ্বিতীয় বৃহত্তম কোণের সমদ্বিখন্ডক এর বিপরীত বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। বৃহত্তম কোণের শীর্ষ থেকে D বিন্দুর দূরত্ব 10 সেমি. যদি ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ 2x হয়, তবে নিচের সম্পর্ক সিদ্ধ হয়।
\[ x^4-C_3x^3-C_2x^2-C_1x+1875 = 0 \]
\[ C_1, C_2, C_3 \]-এর মান বিশ্লেষণ করে বের করো। (সাহায্য : দুইটি সদৃশকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলির অনুপাত কেমন?)
A triangle is a polygon with three sides and a strictly positive area. One angle of a triangle is twice of another angle of the same triangle. An angle of this triangle is 120 degree. The bisector of the second largest triangle intersects its opposite side at point D. The distance of D from the vertex containing the largest angle is 10 cm. If the length of the largest side of this triangle is 2x, then a relationship like the following is true:
\[ x^4-C_3x^3-C_2x^2-C_1x+1875 = 0 \]
Find the value of \[ C_1, C_2, C_3 \] analytically. (Hints – What is the relation between the sides of two similar triangles.)

10.একটি অদ্ভুত ভাষায় মাত্র দুটি বর্ণ আছে, a আর b। আবার মেনে নেওয়া হয়েছে যে, বর্ণ a একটি শব্দও বটে। নিচের নিয়ম মেনে সেখানে নতুন শব্দ তৈরি করা যায়
(i) যেকোন শব্দের ডানপাশে একটি b বসালে নতুন শব্দ তৈরি হয়,
(ii) যদি কোন শব্দে aaa থাকে তবে সেটিকে b দ্বারা প্রতিস্থাপিত করলে নতুন শব্দ হয়,
(iii) যদি কোন শব্দে bbb থাকে তবে তা একেবারে ফেলে দিলেও শব্দ হয়,
(iv) কোন শব্দে বর্ণগুলি যেভাবে থাকে সেগুলোকে ক্রম ঠিক রেখে পরপর দুইবার লিখলেও নতুন শব্দ হবে।
উদাহরণ হিসাবে বলা যায়, (iv) নিয়ম অনুসারে aa শব্দ (কারণ, a একটি শব্দ যা মেনে নেওয়া হয়েছে শুরুতেই), আবার (iv) অনুসারে aaaa-ও একটি শব্দ। সুতরাং, (ii) নং নিয়ম অনুসারে ba একটি শব্দ, যাতে (i) নং নিয়ম প্রয়োগ করলে bab-ও একটি শব্দ। আবার যদি (i) নং নিয়ম প্রয়োগ করি তাহলে babb শব্দ পাবো। এখন আবার (iv) নং নিয়মে babbbabb হচ্ছে একটি নতুন শব্দ। সবশেষ (iii) নিয়মে baabb একটি শব্দ।
প্রমাণ করো যে, এই ভাষায়, baabaabaa কোন শব্দ নয়।

In a strange language there are only two letters, a and b, and it is postulated that the letter a is a word. Furthermore, all additional words are formed according to the following rules:
i. Given any word, a new word can be formed from it by adding one b at the right hand end.
ii. If in any word a sequence aaa appears, a new word can be formed by replacing aaa by the letter b.
iii. If in any word a sequence bbb appears, a new word can be formed by omitting bbb.
iv. Given any word, a new word can be formed by writing down the
sequence that constitutes the given word twice.
For example, by (iv), aa is a word, and by (iv) again, aaaa is a word. Hence by (ii) ba is a word, and by (i), bab ia also a word. Again, by (i), babb is a word, and so by (iv), babbbabb is also a word. Finally, by (iii) we find that baabb is a word.
Prove that in this language baabaabaa is not a word.

Secondary Category

1. একটি ঘরে জন রাজনীতিবিদ বসে আছেন। এদের প্রত্যেকে হয় সৎ অথবা দুর্নীতিবাজ। তবে, কমপক্ষে একজন সৎ। আবার যেকোন দুইজনের মধ্যে একজন অসৎ। রাজনীতিবিদদের মধ্যে কতোজন সৎ আর কতোজন দুর্নীতিবাজ ?
300 politicians are sitting in a room. Each one is corrupted or honest. At least one is honest. Given any two politicians, at least one is corrupt. How many are corrupted and how many are honest?
2. পূর্ণসংখ্যায় সমাধান নির্ণয় কর \[\frac{x^2}{2} + \frac{5}{y} = 7\]
Find all integral solutions of the equation \[\frac{x^2}{2} + \frac{5}{y} = 7\]

3. ABC একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক, B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর অংকিত লম্ব এবং AB বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক একইবিন্দুতে ছেদ করে। ∠BAC-এর মান নির্ণয় করো।
Triangle ABC is acute with the property that the bisector of ∠BAC and the altitude from B to side AC and the perpendicular bisector of AB intersect at one point. Determine the angle ∠BAC.

4. ABC একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ এবং M ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র। ত্রিভুজের অভ্যন্তরে P বিন্দু নির্ণয় করো যা নিচের শর্তাবলীকে পূরণ করে

1 ≤ \[\frac{∠APB}{∠ACB}\] ≤ 2, 1 ≤ \[\frac{∠BPC}{∠BAC}\] ≤ 2, 1 ≤ \[\frac{∠CPA}{∠CBA}\] ≤ 2

Triangle ABC is acute and M is its circumcenter. Determine what points P inside the triangle satisfy
1 ≤ \[\frac{∠APB}{∠ACB}\] ≤ 2, 1 ≤ \[\frac{∠BPC}{∠BAC}\] ≤ 2, 1 ≤ \[\frac{∠CPA}{∠CBA}\] ≤ 2

5. ABC ত্রিভুজে  ∠A = 90°। BCএর মধ্যবিন্দু M। AC এর উপর D বিন্দু এমনভাবে নেওয়া হল যাতে AD = AM হয়। AMC ও BDC ত্রিভুজের পরিবৃত্ত দুইটি পরস্পরকে C ও P বিন্দুতে ছেদ করে। (∠ACB ও ∠PCB) –এর অনুপাত বের করো।
In triangle ABC, ∠A = 90°. M is the midpoint of BC. Choose D on AC such that AD = AM. The circumcircles of triangles AMC and BDC intersect at C and at a point P. What is the ratio of angles: (∠ACB)/( ∠PCB)?
6. 40 জন মুভার্স {গণিত অলিম্পিয়াড স্বেচ্ছাসেবক} বৃত্তাকারে বসে আছে। মুনির হাসান তাদের মধ্য থেকে 3জনকে দৈবচয়নে (নির্বিচার) নির্বাচিত করেছে পুরস্কার বিতরনী অনুষ্ঠানে সহায়তা করার জন্য। কতোভাবে স্বেচ্ছাসেবকদের বাছাই করা যাবে, যাতে ঐ 3জনের মধ্যে কমপক্ষে দুইজন বাছাই-এর আগে পাশাপাশি বসেছিল?
১৩ ফেব্রুয়ারি, ২০০৯ শুক্রবার। সেন্ট যোসেফ হায়ার সেকেন্ডারি স্কুল, ঢাকা।
1
Forty Movers (Mathematical Olympiad Volunteers) are sitting in a circle. Munir Hasan randomly chooses 3 volunteers to help in the awards ceremony. In how many ways can the volunteers be chosen such that at least 2 of the volunteers were sitting next to each before being chosen?

7. 1  ও 0 পরপর থাকে এরকম সিকোয়েন্সের উদাহরণ হলো N = 1010101 এবং এখানে N-এর বৈশিষ্ট্য হলো 99N = 999999991 এখন, কতোগুলো মৌলিক সংখ্যা আছে যেগুলোকে এরকম 1 ও ) -এর পরপর সিকোয়েন্স আকারে লেখা যাবে যেখানে প্রথম ও শেষ অঙ্ক হবে 1?
How many positive prime numbers can be written as an alternating sequence of 1’s and O’s where the first and last digit is 12 An alternating sequence of 1’s and 0’s is for example: N = 1010101, and has the property that 99N = 99999999.
8. A ক্ষেত্রটি x অক্ষ, y = \[\frac{x}{2}\]
সরলরেখা ও \[\frac{x^2}{9} + y^2\]=1 উপবৃত্ত দ্বারা সীমাবদ্ধ। B ক্ষেত্রটি y-অক্ষ, y = mx সরলরেখা ও \[\frac{x^2}{9} + y^2\]=1 উপবৃত্ত দ্বারা সীমাবদ্ধ। m –এর কোন মানের জন্য A ও B –এর ক্ষেত্রফল সমান হবে?

The region A is bounded by the x-axis, the line y = \[\frac{x}{2}\], and the ellipse \[\frac{x^2}{9} + y^2\]=1. The region B is
bounded by the y-axis, the line y = mx, and the ellipse = \[\frac{x^2}{9} + y^2\]=1. Find m such that area of region A is the equal to the area of region B.

9. একটি n × n দাবাবোর্ডের প্রতিটি বর্গ হয় লাল অথবা সবুজ। বোর্ডটিকে এমনভাবে রং করা হয়েছে যে, যেকোন 2×2 ব্লকের সংলগ্ন বর্গের মধ্যে ঠিক 2টি সবুজ ও ঠিক 2টি লাল বর্গ রয়েছে। কতোভাবে এই দাবা বোর্ডটিকে রং করা যাবে। লক্ষ করো যে, 2×2 দাবাবোর্ডের জন্য সংখ্যাটি হচ্ছে 6 এবং 3×3 বোর্ডের বেলায় মোট উপায় হলো 14 যা 23 থেকে বড়।
Problem 9: Each square of an nxn chessboard is either red or green. The board is colored such that in any 2×2 block of adjacent squares there are exactly 2 green squares and 2 red squares. How many ways can the chessboard be colored in this way? Note the number of ways for a 2×2 chessboard is 6 and the number of ways for a 3×3 chessboard is 14 which is bigger than 23.
10.সূক্ষ্মকোণী ABC ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র H। ত্রিভুজটির পরিবৃত্তের কেন্দ্র K এবং ব্যাসার্ধ R = 1। HK এবং BC রেখার ছেদবিন্দু D। দেওয়া আছে, DK. (DK – DH) = 1। ABHC ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Problem 10: H is the orthocenter of acute triangle ABC. The triangle is inscribed in a circle with center K with radius R = 1. Let D is the intersection of the lines passing through HK and BC. Also, DK.(DK – DH) = 1. Find the area of the region ABHC.

2009_national_higher_secondary

2009_national_junior

2009_national_primary

2009_national_secondary