National Math Olympiad Questions 2012

১. তিন অংকের এমন একটি সংখ্যা বের করো যেটিকে উল্টে লিখে মূল সংখ্যার সাথে যোগ করলে যোগফলের অংক তিনটি একই থাকে। যেমনঃ দুই অংকের সংখ্যার ক্ষেত্রে 23+32=55
Find a three digit number so that when its digits are arranged in reverse order and added with the original number, the result is a three digit number with all of its digits being equal. In case of two digit numbers, here is an example: 23+32=55

২. সুব্রত কোরিয়া থেকে রুপন্তিকে প্রতিদিন (24 ঘণ্টা পরপর) একটি চিঠি লেখে। তবে রুপন্তি চিঠিগুলো 25 ঘণ্টা পরপর পায়। রুপন্তি 25 তম দিনে যে চিঠিটি পায় সেটি সুব্রতর পাঠানো কত নম্বর চিঠি?

Subrata writes a letter to Ruponti every day (in successive intervals of 24 hours) from Korea. But Ruponti receives the letters in intervals of 25 hours. What is the number of the letter Ruponti receives on the 25th day?

৩. প্রমাণ কর যে, 2 এর চেয়ে বড় দুটি মৌলিক সংখ্যার বিয়োগফল 2 ভিন্ন অন্য কোন মৌলিক সংখ্যা হওয়া সম্ভব নয়।
Prove that, the difference between two prime numbers larger than 2 can’t be a prime number other than 2.

৪. কাগজে একটি সংখ্যাকে ইংরেজিতে লিখ। এবার কাগজটিকে উলটো করে ধর (উপরের দিকটা নিচে নিয়ে আসো)। এরপর যেটা পাওয়া গেল সেটা যদি মূল সংখ্যার সমান হয় তাহলে আমরা এটাকে একটা ‘সুন্দর সংখ্যা’ বলবো । যেমন 986 একটি সুন্দর সংখ্যা। পাঁচ অংকের সবচেয়ে বড় সুন্দর সংখ্যাটা কত?

Write a number in a paper and hold the paper upside down. If what you get is exactly same as the number before rotation then that number is called ‘beautiful’. Example : 986 is a beautiful number. Find out the largest 5 digit beautiful number.

৫. কোন সংখ্যাকে তার নিজের সাথে তিনবার গুণ করলে গুণফলকে ঐ সংখ্যার ঘন বলা হয়। যেমন: 3 × 3 × 3 = 27, সুতরাং 3 এর ঘন হলো 27। একটি পূর্ণসংখ্যার সাথে যথাক্রমে 1, 170 ও 387 যোগ করলে তিনটি ক্রমিক সংখ্যার ঘন পাওয়া যায়। সেই ক্রমিক সংখ্যা তিনটি
কত কত?

If a number is multiplied with itself thrice, the resultant is called its cube. For example: 3 × 3 × 3 = 27, hence 27 is the cube of 3. If 1, 170 and 387 are added with a positive integer, cubes of three consecutive integers are obtained. What are those three consecutive integers?

৬. ছবিটি লক্ষ্য কর। এখানে তিনটি আয়তক্ষেত্র দেখানো হয়েছে। এদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4, 5 একক করে। প্রস্থ যথাক্রমে 2, 3, 4 একক। এখানে প্রতিটি ছোট ঘর একেকটি বর্গ। প্রতিটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ 1 একক করে। এই ছবিগুলো ব্যবহার করে 1 থেকে শুরু করে 500 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত হবে সেটা বের করো। (যদি তুমি কোন সূত্র ব্যবহার করে সরাসরি এটা সমাধান কর তাহলে তোমাকে সূত্রটির প্রমাণ উল্লেখ করতে হবে)

Consider the given diagram. There are three rectangles shown here. Their lengths are 3, 4 and 5 units respectively, widths respectively 2, 3 and 4 units. Each small grid represents a square 1 unit long and 1 unit wide. Use these diagrams to find out the sum of the consecutive numbers from 1 to 500. (If you use some direct formula for doing so, you must provide its proof)

৭. তানভীর তাজিংডং পাহাড়ে উঠার সময় মোট 11 দিন বৃষ্টি হতে দেখেছে। বৃষ্টির দিন হয় সকালে না হয় বিকালে বৃষ্টি হয়, তবে একই দিনে সকালে ও বিকালে বৃষ্টি হয় না। তানভীর মোট 16 টি সকাল এবং 13 টি বিকাল বৃষ্টি ছাড়া কাটিয়ে থাকে তাহলে তাজিংডং পাহাড়ে উঠতে তার কতদিন সময় লেগেছে?

When Tanvir climbed the Tajingdong mountain, on his way to the top he saw it was raining 11 times. At Tajindong, on a rainy day, it rains either in the morning or in the afternoon; but it never rains twice in the same day. On his way, Tanvir spent 16 mornings and 13 afternoons without rain. How many days did it take for Tanvir to climb the Tajindong mountain in total?

৮. একটি যাদুর বাক্সে দুটি সংখ্যা ঢুকিয়ে দিতে হয়। দ্বিতীয় সংখ্যাটিকে যদি তার নিজের সাথে কয়েকবার গুণ করে প্রথম সংখ্যাটি পাওয়া যায় তাহলে বাক্সটিতে সবুজ বাতি জ্বলে ওঠে। যদি সেরকম না হয় তাহলে লাল বাতি জ্বলে উঠবে। যেমন ধর,তুমি যদি 16 আর 2 ঢুকিয়ে দাও,তাহলে সবুজ বাতি জ্বলবে,কারণ 2×2×2×2 = 16। কিন্তু যদি 18 আর 9 ঢুকিয়ে দাও তাহলে লালবাতি জ্বলবে। যদি প্রথম আর দ্বিতীয় সংখ্যা একই হয়,তাহলেও সবুজ বাতি জ্বলবে। ধর,তুমি প্রথম সংখ্যা হিসেবে 256 ঢুকিয়ে দিলে। কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা রয়েছে যাদেরকে দ্বিতীয় সংখ্যা হিসেবে ঢুকিয়ে দিলে সবুজ বাতি জ্বলবে?

A magic box takes two numbers. If we can obtain the first numbers by multiplying the second number with itself several times then a green light on the box turns on. Otherwise, a red light turns on. For example, if you enter 16 and 2 then the green light turns on because 2×2×2×2 = 16. But if you enter 18 and 9 then the red light turns on. If the two numbers are equal then the green light turns on. If the first number is 256 then for how many different second numbers will the green light turn on?

৯. যাদুর মহলের কামরাগুলোর প্রতিটিতে ঢোকার জন্য ঠিক একটি দরজা করে রয়েছে। কামরাগুলো এমনভাবে সাজানো যেন একটি কামরা থেকে পরের যে কামরায় ঢোকা যায় সেটির দৈর্ঘ্য আগের কামরার প্রস্থের সমান হয়, কিন্তু প্রন্থটি আগের কামরার প্রস্থের অর্ধেক হয় (ছবিটির মতো)। কোন একটি দরজা কেবল একবারই ব্যবহার করা যায়। এখন যাদুর রাজপুত্র এই মহলে ঢুকে পড়েছে। তাকে মহল থেকে বের হতে হবে। প্রতিটি কামরা পার হতে তার ঐ কামরার প্রস্থের সমান সময় লাগে। তাকে মহলের ভেতরে থাকা সবগুলো দরজা ব্যবহার করতে হবে। এক দরবেশের দোয়ায় সে চাইলে নিজের দেহের আকৃতি ইচ্ছামত ছোট বড় করতে পারে (যাতে অনেক ছোট ছোট ঘরেও সে যেতে পারে)। ঐ মহলের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ দুটাই 20 মিটার করে। রাজপুত্রের ঐ মহল থেকে বের হতে কত সময় লাগবে?

১০. তুষার 1 থেকে শুরু করে পরপর কতগুলো সংখ্যা নিলো। সে দেখলো যে তার কাছে থাকা সংখ্যাগুলোর লসাগু 100 দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। তুষার সর্বনিম্ন কতগুলো সংখ্যা নিয়েছিল?

Tusher chose some consecutive numbers starting from 1. He noticed that the least common multiple of those numbers is divisible by 100. What is the minimum number of numbers he chose?

Junior Category

১. সুব্রত কোরিয়া থেকে রুপন্তিকে প্রতিদিন (24 ঘন্টা পরপর) একটি চিঠি লেখে। তবে রুপন্তি চিঠিগুলো 25 ঘন্টা পরপর পায়। রুপন্তি 25 তম দিনে যে চিঠিটি পায় সেটি সুব্রতর পাঠানো কত নম্বর চিঠি?
Subrata writes a letter to Ruponti every day (in successive intervals of 24 hours) from Korea. But Ruponti receives the letters in intervals of 25 hours. What is the number of the letter Ruponti receives on the 25th day?
২. প্রমাণ কর যে, 2 এর চেয়ে বড় দুটি মৌলিক সংখ্যার বিয়োগফল 2 ভিন্ন অন্য কোন মৌলিক সংখ্যা হওয়া সম্ভব নয়।
Prove that, the difference between two prime numbers larger than 2 can’t be a prime number other than 2.
৩. তানভীর তাজিংডং পাহাড়ে উঠার সময় মোট 11 দিন বৃষ্টি হতে দেখেছে। বৃষ্টির দিন হয় সকালে না হয় বিকালে বৃষ্টি হয়, তবে একই দিনে সকালে ও বিকালে বৃষ্টি হয় না। তানভীর মোট 16 টি সকাল এবং 13 টি বিকাল বৃষ্টি ছাড়া কাটিয়ে থাকে তাহলে তাজিংডং পাহাড়ে উঠতে তার কতদিন সময় লেগেছে?
When Tanvir climbed the Tajingdong mountain, on his way to the top he saw it was raining 11 times. At Tajindong, on a rainy day, it rains either in the morning or in the afternoon; but it never rains twice in the same day. On his way, Tanvir spent 16 mornings and 13 afternoons without rain. How many days did it take for Tanvir to climb the Tajindong mountain in total?
৪. একটি যাদুর বাক্সে দুটি সংখ্যা ঢুকিয়ে দিতে হয়। দ্বিতীয় সংখ্যাটিকে যদি তার নিজের সাথে কয়েকবার গুণ করে প্রথম সংখ্যাটি পাওয়া যায় তাহলে বাক্সটিতে সবুজ বাতি জ্বলে ওঠে। যাদ সেরকম না হয় তাহলে লাল বাতি জ্বলে উঠবে। যেমন ধর, তুমি যাদ 16 আর 2 ঢুকিয়ে দাও,তাহলে সবুজ বাতি জ্বলবে,কারণ 2×2×2×2 = 16। কিন্তু যদি 18 আর 9 ঢুকিয়ে দাও তাহলে লালবাতি জ্বলবে। যদি প্রথম আর দ্বিতীয় সংখ্যা একই হয়,তাহলেও সবুজ বাতি জ্বলবে। ধর,তুমি প্রথম সংখ্যা হিসেবে 256 ঢুকিয়ে দিলে। কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা রয়েছে যাদেরকে দ্বিতীয় সংখ্যা হিসেবে ঢুকিয়ে দিলে সবুজ বাতি জ্বলবে?
A magic box takes two numbers. If we can obtain the first number by multiplying the second number with itself several times then a green light on the box turns on. Otherwise, a red light turns on. For example, if you enter 16 and 2 then the green light turns on because 2×2× 2×2 = 16. But if you enter 18 and 9 then the red light turns on. If the two numbers are equal then the green light turns on. If the first number is 256 then for how many different second numbers will the green light turn on?
৫. ABC সমকোণী ত্রিভুজে AC অতিভুজ। D, AC এর মধ্যবিন্দু। BD এর বর্ধিতাংশের উপর একটি বিন্দু E নেওয়া হলো। E থেকে BC এর উপর অঙ্কিত লম্ব AC কে F, BC কে G বিন্দুতে ছেদ করে। (ক) প্রমাণ কর যে, DEF সমবাহু হলে ∠ACB = 30° । (খ) প্রমাণ কর যে, ∠ACB = 30° হলে DEF সমবাহু।
ABC is a right triangle with hypotenuse AC. D is the midpoint of AC. E is a point on the extension of BD. The perpendicular drawn on BC from E intersects AC at F and BC at G. (a) Prove that, if DEF is an equilateral triangle then ∠ACB = 30°. (b) Prove that, if ∠ACB = 30° then DEF is an equilateral triangle কে কেন্দ্র করে AC ব্যাসার্ধের বৃত্ত আঁকা হলো। এই বৃত্তের যে বিন্দুটি B বিন্দু থেকে
৬. ABC ত্রিভুজে AB = 7, AC = 3, BC = 9। A সবচেয়ে দূরে আছে সেটি B থেকে কত দূরে আছে?
In triangle ABC, AB=7, AC=3, BC=9. Draw a circle with radius AC and center A. What is the distance from B to the point on the circle that is furthest from B?
৭. যাদুর মহলের কামরাগুলোর প্রতিটিতে ঢোকার জন্য ঠিক একটি দরজা করে রয়েছে।কামরাগুলো এমনভাবে সাজানো যেন একটি কামরা থেকে পরের যে কামরায় ঢোকা যায় সেটির দৈর্ঘ্য আগের কামরার প্রস্থের সমান হয়, কিন্তু প্রন্থটি
আগের কামরার প্রস্থের অর্ধেক হয় (ছবিটির মতো)। কোন একটি দরজা কেবল একবারই ব্যবহার করা যায়। এখন যাদুর রাজপুত্র এই মহলে ঢুকে পড়েছে। তাকে মহল থেকে বের হতে হবে। প্রতিটি কামরা পার হতে তার ঐ কামরার প্রস্থের সমান সময় লাগে। তাকে মহলের ভেতরে থাকা সবগুলো দরজা ব্যবহার করতে হবে। এক দরবেশের দোয়ায় সে চাইলে নিজের দেহের আকৃতি ইচ্ছামত ছোট বড় করতে পারে (যাতে অনেক ছোট ছোট ঘরেও সে যেতে পারে)। ঐ মহলের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ দুটাই 20 মিটার করে। রাজপুত্রের ঐ মহল থেকে বের হতে কত সময় লাগবে?

Each room of the Magic Castle has exactly one door. The rooms are designed such that when you can go from one room to the next one through a door, the second room’s length is equal to the first room’s width, and the second room’s width is half of the first room’s width (see the figure). Each door can be used only once. Magic Prince has entered the castle and now needs to get out. To get out of each room, the prince needs time equal to the width of the room. The prince has to use each door to get out of the castle. Due to the blessings of a Sufi, the prince can become as small as he wants (so that he can go into even very small rooms). If the castle is a square of side length 20 meters then how long will it take for the prince to get out?
৮. সর্বমোট কতগুলো ত্রিভুজ আছে যাদের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যই পূর্ণসংখ্যা এবং সবচেয়ে বড় বাহুটির দৈর্ঘ্য 10। এমন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সংখ্যাও বের করো।
Find the total number of the triangles whose all the sides are integer and the longest side is of 10 in length. If the similar clause is applied for the isosceles triangle then what will be the total number of triangles?
৯. বর্গ PQRS এমনভাবে আকা হলো যেন P, Q বিন্দু ABC ত্রিভুজের BC বাহুর উপর, R বিন্দু CA এর উপর ও S বিন্দু AB এর \[\frac{AS}{SB} = \frac{bc}{2aR}\] উপর অবস্থান করে। A, B, C বিন্দুগামী বৃত্তের ব্যাসার্ধ R । AB = c, BC = a, CA = b হলে দেখাও যে হলে SB 2aR Given triangle ABC, the square PQRS is drawn such that P, Q are on BC, R is on CA and S is on AB. Radius of the triangle that passes through A, B, C is R. If AB = c, BC = a, CA = b, Show that \[\frac{AS}{SB} = \frac{bc}{2aR}\].
১০. একটা ধারার n তম পদ হলো 1 থেকে 1 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর লসাগু । ধারার পদগুলোর মধ্যে প্রথম 100 দিয়ে বিভাজ্য পদটি ধারার কততম পদ?
The n-th term of a sequence is the least common multiple (1.c.m.) of the integers from 1 to n. Which term of the sequence is the first one that is divisible by 100?

Secondary Category

১. সুব্রত কোরিয়া থেকে রুপন্তিকে প্রতিদিন (24 ঘণ্টা পরপর) একটি চিঠি লেখে। তবে রুপন্তি চিঠিগুলো 25 ঘণ্টা পরপর পায়। রুপন্তি 25 তম দিনে যে চিঠিটি পায় সেটি সুব্রতর পাঠানো কত নম্বর চিঠি?
Subrata writes a letter to Ruponti every day (in successive intervals of 24 hours) from Korea. But Ruponti receives the letters in intervals of 25 hours. What is the number of the letter Ruponti receives on the 25th day?
২. তানভীর তাজিংডং পাহাড়ে উঠার সময় মোট 11 দিন বৃষ্টি হতে দেখেছে। বৃষ্টির দিন হয় সকালে না হয় বিকালে বৃষ্টি হয়, তবে একই দিনে সকালে ও বিকালে বৃষ্টি হয় না। তানভীর মোট 16 টি সকাল এবং 13 টি বিকাল বৃষ্টি ছাড়া কাটিয়ে থাকে তাহলে তাজিংডং পাহাড়ে উঠতে তার কতদিন সময় লেগেছে?
When Tanvir climbed the Tajingdong mountain, on his way to the top he saw it was raining 11 times. At Tajindong, on a rainy day, it rains either in the morning or in the afternoon; but it never rains twice in the same day. On his way, Tanvir spent 16 mornings and 13 afternoons without rain. How many days did it take for Tanvir to climb the Tajindong mountain in total?
৩. ABCDE পঞ্চভুজে ত্রিভুজ ABC, BCD, CDE, DEA এবং EAB এর ক্ষেত্রফল সমান। AC এবং AD সরলরেখাদ্বয় BE কে যথাক্রমে M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, BM = EN
In a given pentagon ABCDE, triangles ABC, BCD, CDE, DEA and EAB all have the same area. The lines AC and AD intersect BE at points M and N. Prove that BM = EN.
৪. সর্বমোট কতগুলো ত্রিভুজ আছে যাদের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যই পূর্ণসংখ্যা এবং সবচেয়ে বড় বাহুটির দৈর্ঘ্য 10। এমন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সংখ্যাও বের করো।
Find the total number of the triangles whose all the sides are integer and longest side is of 10 in length. If the similar clause is applied for the isosceles triangle then what will be the total number of triangles?
৫. ABC ত্রিভুজে AD এবং CF মধ্যমা G বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে। P, AC এর উপর যে কোন বিন্দু। P থেকে অংকিত AD এর সমান্তরাল রেখা BC কে Q বিন্দুতে এবং CF এর সমান্তরাল রেখা AB কে R বিন্দুতে ছেদ করে। QR যদি AD এবং CF কে যথাক্রমে M এবং N বিন্দুতে ছেদ করে, তাহলে দেখাও যে ত্রিভুজ GMN এর ক্ষেত্রফল = (A)/8, যেখানে (A) = AD, CF, PQ, PR দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
In triangle ABC, medians AD and CF intersect at point G. P is an arbitrary point on AC. PQ & PR are parallel to AD & CF respectively. PQ intersects BC at Q and PR intersects AB at R. If QR intersects AD at M & CF at N, then prove that area of triangle GMN is (A) / 8 where (A) = area enclosed by PQ, PR, AD, CF
৬. দেখাও যে যেকোন মৌলিক সংখ্যা p জন্য হয় অসীম সংখ্যক ধনাত্নক পূর্ণসংখ্যা a আছে অথবা একটিও নেই, যেন \[a^p\] + 1, 6p দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য। সেই মৌলিক সংখ্যাগুলোও বের করো যাদের ক্ষেত্রে কোন সমাধান নেই।
Show that for any prime p, there are either infinitely many or no positive integer a, so that 6p divides \[a^p\] + 1. Find all those primes for which there exists no solution.
৭. ABC সূক্ষকোণী ত্রিভুজে ∠A= 60°। দেখাও যে B ও C বিন্দু হতে তাদের বিপরীত বাহুর উপর আঁকা লম্বের ছেদবিন্দুতে যে কোণগুলো উৎপন্ন হয় তাদের কোন একটির সমদ্বিখন্ডক ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্রগামী।
In an acute angled triangle ABC, ∠A= 60°. Prove that the bisector of one of the angles formed by the altitudes drawn from B and C passes through the center of the circumcircle of the triangle ABC.
৮. একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ সমকোণী ত্রিভুজ ABC বৃত্তটিকে তিনটি চাপে বিভক্ত করে। A কোণটি সমকোণ হওয়ায় BC চাপটি অর্ধবৃত্ত। তিনটি চাপেই এমনভাবে তিনটি স্পর্শক আঁকা হল যেন AB ও AC এর বর্ধিতাংশ দ্বারা কোন স্পর্শকের ছেদকৃত অংশের মধ্যবিন্দু হয় এর স্পর্শবিন্দু। যেমন BC অংশের জন্য অঙ্কিত উদ্দিষ্ট স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু D হল AB ও AC এর বর্ধিতাংশ দ্বারা ওই স্পর্শকের ছেদকৃত অংশ D’D’ এর মধ্যবিন্দু। অনুরূপভাবে, E, AC চাপের ওপর এবং F, AB চাপের ওপর। প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজ DEF সমবাহু।
The vertices of a right triangle ABC inscribed in a circle divide the circumference into three arcs. The right angle is at A, so that the opposite arc BC is a semicircle while arc AB and arc AC are supplementary. To each of the three arcs, we draw a tangent such that its point of tangency is the midpoint of that portion of the tangent intercepted by the extended lines AB and AC. More precisely, the point D on arc BC is the midpoint of the segment joining the points D’ and D” where the tangent at D intersects the extended lines AB and AC. Similarly for E on arc AC and F on arc AB. Prove that triangle DEF is equilateral.
৯. n×n একটি লেখচিত্রের কথা কল্পনা কর। দেখাও যে এখানে তুমি যেকোন 2n-1 টি বিন্দু দৈবচয়ন করো না কেন, অবশ্যই সেখানে অন্তত এমন তিনটি বিন্দু থাকবে যারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে।
Consider a non grid of points. Prove that no matter how we choose 2n-1 points from these, there will always be a right triangle with vertices among these 2n-1 points.
১০. ত্রিমিনো হলো তিনটি বর্গ দিয়ে তৈরি L আকৃতি। একটি \[2^k × 2^k\] দাবাঘর নেওয়া হলো যার একটি বর্গ নাই। প্রমাণ কর যে, বাকি বর্গগুলো দিয়ে ত্রিমিনো তৈরি করা সম্ভব।
A triomino is an L-shaped pattern made from three unit squares. A \[2^k × 2^k\] chessboard has one of its squares missing. Show that the remaining board can be covered with triominoes.