Class 5 math solution || Chapter 4
গাণিতিক প্রতীক সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ তথ্য
গাণিতিক প্রতীক: গণিতে যে বিভিন্ন ধরনের সাংকেতিক চিহ্ন ব্যবহার করা হয়, তাকে গাণিতিক প্রতীক বলে। যেমন: সংখ্যা প্রতীক: ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯
প্রক্রিয়া প্রতীক: + (যোগ), — (বিয়োগ), × (গুণ), ÷ (ভাগ)
সম্পর্ক প্রতীক: = (সমান), > (বড়), < (ছোট), ≠ (সমান নয়), ≥ (বড় অথবা সমান), ≤ (ছোট অথবা সমান), > (বড় নয়), < (ছোট নয়)
বন্ধনী প্রতীক: () (প্রথম বন্ধনী), { } (দ্বিতীয় বন্ধনী), [ ] (তৃতীয় বন্ধনী),
অক্ষর প্রতীক বা বিশেষ প্রতীক: ক, খ, গ, ⃞ , ∆ ইত্যাদি।
অজানা সংখ্যা বা রাশি নির্দেশ করতে এসব প্রতীক ব্যবহার করা হয়।
খোলা বাক্য: কোনো বাক্য যখন সত্য না মিথ্যা নির্ণয় করা যায় না, তখন তাকে খোলা বাক্য বলে। যেমন:
(ক+৩) × ৬ = ৪৮, এটি একটি খোলা বাক্য।
গাণিতিক বাক্য বা বন্ধ বাক্য: যখন কোনো বাক্য সত্য না মিথ্যা তা নির্ণয় করা যায়, তখন তাকে গাণিতিক বাক্য বা বন্ধ বাক্য বলে। যেমন: ৬ একটি জোড় সংখ্যা: এটি সত্য এবং এটি একটি গাণিতিক বাক্য।
৭ একটি জোড় সংখ্যা: এটি মিথ্যা এবং এটিও একটি গাণিতিক বাক্য।
আরেকটু বলি, ক একটি বিজোড় সংখ্যা: এটি সত্য হতে পারে, আবার মিথ্যাও হতে পারে, এটি ‘ক’ এর মানের ওপর নির্ভর করে। ফলে এটি একটি খোলা বাক্য।
সংখ্যা রাশি: কতিপয় সংখ্যাকে প্রক্রিয়া চিহ্ন এবং প্রয়োজনে বন্ধনী দ্বারা যুক্ত করলে একটি সংখ্যারাশি তৈরি হয়।
১. নিচের বাক্যগুলোকে গাণিতিক বাক্যে প্রকাশ করো এবং খোলা বাক্য ও গাণিতিক বাক্য শনাক্ত করো।
১) ৯ কে ৭ দ্বারা গুণ করলে গুণফল ৮০ হয়
এখানে, ৯ × ৭ = ৮০
বাক্যটিতে অজানা কোনো অক্ষর প্রতীক নেই। অতএব, এটি একটি গাণিতিক বাক্য এবং এটি মিথ্যা।
কারণ, ৯ × ৭ = ৬৩
∴ ৯ × ৭ ≠ ৮০
২) ৪২ থেকে ক বিয়োগ করলে ৩৫ হয়।
এখানে,
৪২ – ক = ৩৫
বাক্যটিতে অজানা প্রতীক ‘ক’ আছে।
∴ এটি একটি খোলা বাক্য।
৩) ১২০ কে ৪০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ৩ হয় এখানে,
১২০ ÷ ৪০ = ৩
এটি একটি গাণিতিক বাক্য এবং এটি সত্য।
মূল বইয়ের বিভিন্ন পৃষ্ঠার সমস্যার সমাধান
৪.১ গাণিতিক প্রতীক
১. খালিঘরে <,= এবং > এর মধ্যে থেকে সঠিক প্রতীক বসাই।
(১) ৫+৩-২⬜৫+৫-২
(২) ৪x৭÷২⬜৪x৬÷৩
(৩) [{১৩+৫)÷৩}-৪⬜২+{(৯-৬)x৪-১২}
সমাধানঃ
(১) ৫+৩-২⬜৫+৫-২
বামপক্ষ
=৫+৩-২
=৬
ডানপক্ষ
=৫+৫-২
=৮
∴ ৫+৩-২ < ৫+৫-২
(২) ৪x৭÷২⬜৪x৬÷৩
বামপক্ষ
=৪x৭÷২
=২৮÷২
=১৪
ডানপক্ষ
=৪x৬÷৩
=২৪÷৩
=৮
∴ ৪x৭÷২ > ৪x৬÷৩
(৩) [{১৩+৫)÷৩}-৪⬜২+{(৯-৬)x৪-১২}
বামপক্ষ
=[{১৩+৫)÷৩}-৪
=[১৮÷৩]-৪
=৬-৪
=২
ডানপক্ষ
=২+{(৯-৬)x৪-১২}
=২+{৩x৪-১২}
=২+{১২-১২}
=২+০
=২
∴ [{১৩+৫)÷৩}-৪ = ২+{(৯-৬)x৪-১২}
২. খালি ঘরে +, -, x, ÷ এর মধ্য সঠিক প্রতীক বসাই।
(১) ১২⬜৪⬜২=১
(২) ৬⬜৬⬜১২=২৪
(৩) ৯⬜৯⬜৯⬜=৮০
সমাধানঃ
(১) ১২⬜৪⬜২=১
>>১২÷৪-২=১
(২) ৬⬜৬⬜১২=২৪
>>৬+৬+১২=২৪
(৩) ৯⬜৯⬜৯⬜=৮০
>>৬x৬x১২=২৪
১. খালিঘরে <, = এবং > এর মধ্যে সঠিক প্রতীক বসাওঃ
(১) ১২÷৩+৪x৫⬜১২x৩÷৪+৫
(২) ৪৮÷(৮x২-৪)⬜৪৮x৮÷২-৪
সমাধানঃ
(১) ১২÷৩+৪x৫⬜১২x৩÷৪+৫
এখানে,
১২÷৩+৪x৫=৪+৪x৫=৪+২০=২৪
১২x৩÷৪+৫=১২x৩x১÷৪+৫=৯+৫=১৪
∴১২÷৩+৪x৫ > ১২x৩÷৪+৫
(২) ৪৮÷(৮x২-৪)⬜৪৮x৮÷২-৪
এখানে,
৪৮÷(৮x২-৪)=৪৮÷(১৬-৪)=৪৮÷১২=৪
৪৮x৮÷২-৪=৪৮x৪-৪=১৯২-৪=১৮৮
∴৪৮÷(৮x২-৪) < ৪৮x৮÷২-৪
৪.২ খোলা বাক্য
১. নিচের বাক্যগুলোকে গাণিতিক বাক্যে প্রকাশ করি এবং খোলা বাক্য ও গানিতিক উক্তিগুলো নির্ণয় করি।
(১) ৫ এর সাথে ক যোগ করলে যোগফল ১২ হয়।
(২) ৩ কে ৪ দিয়ে গুণ করলে গুণফল ১২ হয়।
(৩) ২৬ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ৫ হয়।
(৪)⬜এবং △ যোগ করলে যোগফল ১০ হয়।
সমাধানঃ
(১) গাণিতিক বাক্যঃ ৫+ক=১২
গাণিতিক বাক্যটি সত্য না মিথ্যা তা নির্ণয় করা যায় না
সুতরাং বাক্যটি একটি খোলা বাক্য।
এটি একটি খোলা বাক্য। এটি সত্য অথবা মিথ্যা হতে পারে যা ক এর মানের উপর নির্ভর করে।
(২) গাণিতিক বাক্যঃ ৩x৪=১২
গাণিতিক বাক্যটি সত্য।
সুতরাং, বাক্যটি গাণিতিক উক্তি।
(৩) গাণিতিক বাক্যঃ ২৬÷৪=৫
গাণিতিক বাক্যটি সত্য নয়।
সুতরাং, বাক্যটি একটি গাণিতিক উক্তি।
(৪) গাণিতিক বাক্যঃ ⬜+ △=১০
গাণিতিক বাক্যটি সত্য না মিথ্যা তা নির্ণয় করা যায় না
সুতরাং বাক্যটি একটি খোলা বাক্য।
২. ক এর এমন মান নির্ণয় কর যেন বাক্যটি সত্য হয়।
(১) ক+৫=২০
(২) ৪৮-ক=২৩
(৩) কx২=৩৬
(৪) ৭২÷ক=৬
সমাধানঃ
ক এর এমন মান নির্ণয় করা হলো যেন বাক্যটি সত্য হয়ঃ
(১) ক+৫=২০
বা, ক=১০-৫
বা, ক=৫
(২) ৪৮-ক=২৩
বা, ৪৮=২৩+ক
বা, ক=৪৮-২৩
বা, ক=২৫
(৩) কx২=৩৬
বা, ক=৩৬÷২
বা, ক=১৮
(৪)
৭২÷ক=৬
বা, ৭২=৬xক
বা, ক=৭২÷৬
বা, ক=১২
১. নিচের খোলা বাক্যগুলোর অজানা মানগুলো বের কর যেন বাক্যগুলো সত্য হয়ঃ
(১) একটি ত্রিভুজের ক সংখ্যক বাহু আছে।
(২) একটি বর্গের খ সংখ্যক কোণ আছে।
(৩) ক টাকার দ্রব্য কিনে ১০০ টাকা দিয়ে ৪৫ টাকা ফেরত নেওয়া হলো।
(৪) খ সংখ্যক বিস্কুট ১৫ জনের মধ্যে ৪টি করে ভাগ করে দেওয়া হলো।
সমাধানঃ
(১)
আমরা জানি একটি ত্রিভুজের ৩টি বাহু আছে।
∴ খোলা বাক্যটি হবে, কx১=৩
∴ ক=৩
অর্থাৎ ক এর মান ৩ হলে খোলা বাক্যটি সত্য হয়।
(২)
আমরা জানি একটি বর্গের ৪টি কোণ আছেঁচে।
∴ খোলা বাক্যটি হবে, খx১=৪
∴ খ=৪
অর্থাৎ খ এর মান ৩ হলে খোলা বাক্যটি সত্য হয়।
(৩)
খোলা বাক্যঃ ক+৪৫=১০০
এখন, ক+৪৫=১০০
বা, ক=১০০-৪৫
বা, ক=৫৫
অর্থাৎ ক এর মান ৫৫ হলে খোলা বাক্যটি সত্য হয়।
(৪)
খোলা বাক্যঃ খ÷১৫=৪
এখন, খ÷১৫=৪
বা, খ=৪x১৫
বা, খ=৬০
অর্থাৎ খ এর মান ৬০ হলে খোলা বাক্যটি সত্য হয়।
৪.৩ অক্ষর প্রতীক ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানঃ
একটি পেন্সিল ও একটি রাবার যথাক্রমে ৬টাকা ও ৮ টাকায় বিক্রি করা হলো। আমরা ক সংখ্যক পেন্সিল ও একটি রাবার খ টাকায় ক্রয় করলাম। সমস্যাটি গাণিতিক বাক্যে প্রকাশ করি।
ক সংখ্যক পেন্সিলের মূল্যঃ ⬜x⬜
মোট মূল্যঃ ⬜x⬜+⬜
সমাধানঃ
ক সংখ্যক পেন্সিলের মূল্যঃ ৬xক
মোট মূল্যঃ ৬xক+৮=খ
১. ক এর মান যথাক্রমে ৫,১০,১৫ এবং ২০ হলে, খ এর মানগুলো কী হবে? খ এর মানগুলো বের করে নিচের খালি ঘরে লিখি।
প্রদত্ত গাণিতিক বাক্যঃ ৬xক+৮=খ
| ক (পেন্সিল) | ৫ | ১০ | ১৫ | ২০ |
| খ (টাকা) |
সমাধানঃ
ক=৫>>৬x৫+৮=৩০+৮=৩৮
ক=১০>>৬x১০+৮=৬০+৮=৬৮
ক=১৫>>৬x১৫+৮=৯০+৮=৯৮
ক=২০>>৬x২০+৮=১২০+৮=১২৮
| ক (পেন্সিল) | ৫ | ১০ | ১৫ | ২০ |
| খ (টাকা) | ৩৮ | ৬৮ | ৯৮ | ১২৮ |
১. একটি বইয়ের ওজন ২৪০ গ্রাম। হাকিম এরূপ কিছু বই ক্রয় করে সেগুলো ৫০০ গ্রাম ওজনের একটি বাক্সে রাখলো। মনে কর বইয়ের সংখ্যা ক এবং মোট ওজন খ।
(১) ক এবং খ এর মধ্যে সম্পর্ক কী তা লেখ।
(২) ক এর মান যথাক্রমে ১০, ২০ এবং ৩০ হলে খ এর মানগুলো নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
(১) ক ও খ এর মাঝে সম্পর্কটি হলোঃ ২৪০xক+৫০০=খ
(২) ক=১০ হলে, ২৪০x১০+৫০০=২৪০০+৫০০=২৯০০
ক=২০ হলে, ২৪০x২০+৫০০=৪৮০০+৫০০=৫৩০০
ক=৩০ হলে, ২৪০x৩০+৫০০=৭২০০+৫০০=৭৭০০
অতএব, নির্নেয় খ এর মানঃ ২৯০০, ৫৩০০ এবং ৭৭০০
২. পূর্বের পৃষ্ঠায় উল্লেক্ষিত প্রশ্নে ক সংখ্যক পেন্সিল এবং একটি রাবারের মূল্য একত্রে ৫০ টাকা হলে ক এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
৬xক+৮=৫০
বা, ৬xক=৫০-৮
বা, ৬xক=৪২
বা, ক=৪২÷৬
বা, ক=৭
২. নিচের খ এর বিভিন্ন মানের জন্য উপরের প্রশ্ন অনুযায়ী ক এর মানগুলো নির্ণয় করঃ
(১) খ=৬২
(২) খ=৯৮
(৩) খ=১৪০
সমাধানঃ
উপরের প্রশ্নানুসারে আমরা পাই, ৬xক+৮=খ
(১) খ=৬২ হলে,
৬xক+৮=৬২
বা, ৬xক=৬২-৮
বা, ৬xক=৫৪
বা, ক=৫৪÷৬
বা, ক=৯
(২) খ=৯৮ হলে,
৬xক+৮=৯৮
বা, ৬xক=৯৮-৮
বা, ৬xক=৯০
বা, ক=৯০÷৬
বা, ক=১৫
(৩) খ=১৪০ হলে,
কx৬+৮=১৪০
বা, ৬xক=১৪০-৮
বা, ৬xক=১৩২
বা, ক=১৩২÷৬
বা, ক=২২
৩. ক এর এমন মান নির্ণয় কর যেন গাণিতিক বাক্য সত্য হয়ঃ
(১) ৭+ক=১৩
(২) ক-৪=১৮
(৩) ৮xক=৩২
(৪) ক÷৯=৩
(৫) ৩x(৫+ক)=১৮
(৬) (ক÷৫)x৪=২৮
সমাধানঃ
গানিতিক বাক্য সত্য হয় ক এর এমন মান নির্ণয় করা হলোঃ
(১) ৭+ক=১৩
বা, ক=১৩-৭
বা, ক=৬
(২) ক-৪=১৮
বা, ক=১৮+৪
বা, ক=২২
(৩) ৮xক=৩২
বা, ক=৩২÷৮
বা, ক=৪
(৪) ক÷৯=৩
বা, ক=৩x৯
বা, ক=২৭
(৫) ৩x(৫+ক)=১৮
বা, ৫+ক=১৮÷৩
বা, ৫+ক=৬
বা, ক=৬-৫
বা, ক=১
(৬) (ক÷৫)x৪=২৮
বা, ক÷৫=২৮÷৪
বা, ক÷৫=৭
বা, ক=৭x৫
বা, ক=৩৫
৪. পানির একটি বোতলের ওজন ১২০ গ্রাম। মিনা ৫০ গ্রাম ওজনের একটা ব্যাগের মধ্যে কিছু সংখ্যক পানির বোতল রাখল। বোতলের সংখ্যাকে ক দ্বারা এবং পানির বোতলগুলোর ওজন ও ব্যাগের ওজনের যোগফলকে খ দ্বারা প্রকাশ করা হলো।
(১) ক এবং খ এর সম্পর্ক একটি গাণিতিক বাক্যের মাধ্যমে লেখ।
(২) খ এর মান নির্ণয় কর যখন ক=১০
(৩) ক এর মান নির্ণয় কর যখন খ=৭৭০
সমাধানঃ
(১) গাণিতিক বাক্যঃ ১২০xক+৫০=খ
(২) ক=১০ হলে,
১২০xক+৫০=খ
বা, ১২০x১০+৫০=খ
বা, খ=১২০x১০+৫০
বা, খ=১২০০+৫০
বা, খ=১২৫০
(৩) খ=৭৭০ হলে,
১২০xক+৫০=খ
বা, ১২০xক+৫০=৭৭০
বা, ১২০xক=৭৭০-৫০
বা, ১২০xক=৭২০
বা, ক=৭২০÷১২০
বা, ক=৬
অনুশীলনী ৪ সমাধান
১. নিচের বাক্যগুলোকে গাণিতিক বাক্যে প্রকাশ কর এবং খোলা বাক্য ও গাণিতিক বাক্য সনাক্ত করঃ
(১) ৯ কে ৭ দ্বারা গুণ করলে গুণফল ৮০ হয়।
(২) ৪২ থেকে ক বিয়োগ করলে ৩৫ হয়।
(৩) ১২০ কে ৪০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ৩ হয়।
সমাধানঃ
(১) ৯x৭=৮০
এখানে অজানা কোন অক্ষর প্রতীক নেই।
∴এটি একটি গাণিতিক বাক্য এবং এটি মিথ্যা।
(২) ৪২-ক=৩৫
এখানে অজানা অক্ষর প্রতীক আঁচে।
∴এটি খোলা বাক্য।
(৩) ১২০÷৪০=৩
এখানে অজানা কোন অক্ষর প্রতীক নেই।
∴এটি একটি গাণিতিক বাক্য এবং এটি সত্য।
২. নিচের খোলা বাক্যগুলোর অজানা প্রতীকের মান বের কর যেন বাক্যগুলো সত্য হয়।
(১) একটি ত্রিভুজের ক বাহু আছে।
(২) ক টাকার জিনিস কিনে ৫০ টাকা দিয়ে ২৩ টাকা ফেরত নেওয়া হলো।
সমাধানঃ
(১) আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের ৩টি বাহু আছে।
∴খোলা বাক্যটি হবে, কx১=৩
বা, ক=৩
∴ক এর মান ৩ হলে বাক্যটি সত্য হয়।
(২)
খোলা বাক্যটি হবে, ক+২৩=৫০
বা, ক+২৩=৫০
বা, ক=৫০-২৩
বা, ক=২৭
∴ক এর মান ২৭ হলে বাক্যটি সত্য হয়।
৩. বর্গাকৃতির কিছু কাগজ আছে যার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ক সেমিঃ
(১) বর্গাকৃতি কাগজটির পরিসীমা কত?
(২) এরকম ৩টি বর্গাকৃতি কাগজের মোট ক্ষেত্রফল কত?
সমাধানঃ
(১)
আমরা জানি বর্গের পরিসীমা=একটি বাহুর দৈর্ঘ্যx৪
দেওয়া আছে, বর্গাকৃতি কাগজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক সেমি
বর্গাকৃতি কাগজের পরিসীমা=৪x৪ সেমি।
(২)
আমরা জানি, বর্গের ক্ষেত্রফল=বাহুর দৈর্ঘ্যxবাহুর দৈর্ঘ্য
দেওয়া আছে, বর্গাকৃতি কাগজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক সেমি
১টি বর্গাকৃতি কাগজের ক্ষেত্রফল=কxক বর্গসেমি
৩টি বর্গাকৃতি কাগজের ক্ষেত্রফল=কxকx৩ বর্গসেমি=৩ক২ বর্গসেমি।
৪. গাণিতিক বাক্য সত্য করার জন্য ক এর মান নির্ণয় করঃ
(১) ক+৯=১৫
(২) ক-১২=২৫
(৩) ২xক=২২
(৪) ক÷৮=৭
(৫) ৭x(৮+ক)=৬৩
(৬) (ক-৪)÷৬=৬
সমাধানঃ
গাণিতিক বাক্য সত্য করার জন্য ক এর মান নির্ণয় করা হলোঃ
(১)
ক+৯=১৫
বা, ক=১৫-৯
বা, ক=৬
(২)
ক-১২=২৫
বা, ক=২৫+১২
বা, ক=৩৭
(৩)
২xক=২২
বা, ক=২২÷২
বা, ক=১১
(৪)
ক÷৮=৭
বা, ক=৭x৮
বা, ক=৫৬
(৫)
৭x(৮+ক)=৬৩
বা, ৮+ক=৬৩÷৭
বা, ৮+ক=৯
বা, ক=৯-৮
বা, ক=১
(৬)
(ক-৪)÷৬=৬
বা, ক-৪=৬x৬
বা, ক-৪=৩৬
বা, ক=৩৬+৪
বা, ক=৪০
৫. ক প্যাকেট বিস্কুট এবং ১ বোতল পানীয়ের মূল্য একত্রে খ টাকা। ১ প্যাকেট বিস্কুট এর মূল্য ১৮ টাকা এবং ১ বোতল পানীয়ের মূল্য ১২ টাকা।
(১) ক এবং খ এর সম্পর্ক একটি গাণিতিক বাক্যের মাধ্যমে লেখ।
(২) খ এর মান নির্ণয় কর যখন ক=১০
(৩) ক এর মান নির্ণয় কর যখন খ=১২০
সমাধানঃ
(১)
১ প্যাকেট বিস্কুটের মূল্য ১৮ টাকা
∴ক প্যাকেট বিস্কুটের মূল্য ১৮xক টাকা
∴গাণিতিক বাক্য: ১৮xক+১২=খ
(২)
ক=১০ হলে, (১) হতে পাই,
১৮x১০+১২=খ
বা, ১৮০+১২=খ
বা, ১৯২=খ
বা, খ=১৯২
(৩)
খ=১২০ হলে (১) হতে পাই
১৮xক+১২=১২০
বা, ১৮xক=১২০-১২
বা, ১৮xক=১০৮
বা, ক=১০৮÷১৮
বা, ক=৬
