Class 5 math solution || Chapter 4

Class 5 math solution || Chapter 4

গাণিতিক প্রতীক সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

গাণিতিক প্রতীক: গণিতে যে বিভিন্ন ধরনের সাংকেতিক চিহ্ন ব্যবহার করা হয়, তাকে গাণিতিক প্রতীক বলে। যেমন: সংখ্যা প্রতীক: ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯
প্রক্রিয়া প্রতীক: ‍+ (যোগ), — (বিয়োগ), × (গুণ), ÷ (ভাগ)
সম্পর্ক প্রতীক: = (সমান), > (বড়), < (ছোট), ≠ (সমান নয়), ≥ (বড় অথবা সমান), ≤ (ছোট অথবা সমান), > (বড় নয়), < (ছোট নয়)
বন্ধনী প্রতীক: () (প্রথম বন্ধনী), { } (দ্বিতীয় বন্ধনী), [ ] (তৃতীয় বন্ধনী),
অক্ষর প্রতীক বা বিশেষ প্রতীক: ক, খ,   গ, ⃞ , ∆ ইত্যাদি।
অজানা সংখ্যা বা রাশি নির্দেশ করতে এসব প্রতীক ব্যবহার করা হয়।
খোলা বাক্য: কোনো বাক্য যখন সত্য না মিথ্যা নির্ণয় করা যায় না, তখন তাকে খোলা বাক্য বলে। যেমন:
(ক‍+৩) × ৬ = ৪৮, এটি একটি খোলা বাক্য।
গাণিতিক বাক্য বা বন্ধ বাক্য: যখন কোনো বাক্য সত্য না মিথ্যা তা নির্ণয় করা যায়, তখন তাকে গাণিতিক বাক্য বা বন্ধ বাক্য বলে। যেমন: ৬ একটি জোড় সংখ্যা: এটি সত্য এবং এটি একটি গাণিতিক বাক্য।
৭ একটি জোড় সংখ্যা: এটি মিথ্যা এবং এটিও একটি গাণিতিক বাক্য।
আরেকটু বলি, ক একটি বিজোড় সংখ্যা: এটি সত্য হতে পারে, আবার মিথ্যাও হতে পারে, এটি ‘ক’ এর মানের ওপর নির্ভর করে। ফলে এটি একটি খোলা বাক্য।

সংখ্যা রাশি: কতিপয় সংখ্যাকে প্রক্রিয়া চিহ্ন এবং প্রয়োজনে বন্ধনী দ্বারা যুক্ত করলে একটি সংখ্যারাশি তৈরি হয়।
১. নিচের বাক্যগুলোকে গাণিতিক বাক্যে প্রকাশ করো এবং খোলা বাক্য ও গাণিতিক বাক্য শনাক্ত করো।
১) ৯ কে ৭ দ্বারা গুণ করলে গুণফল ৮০ হয়
এখানে, ৯ × ৭ = ৮০
বাক্যটিতে অজানা কোনো অক্ষর প্রতীক নেই। অতএব, এটি একটি গাণিতিক বাক্য এবং এটি মিথ্যা।
কারণ, ৯ × ৭ = ৬৩
∴ ৯ × ৭ ≠ ৮০
২) ৪২ থেকে ক বিয়োগ করলে ৩৫ হয়।
এখানে,
৪২ – ক = ৩৫
বাক্যটিতে অজানা প্রতীক ‘ক’ আছে।
∴ এটি একটি খোলা বাক্য।
৩) ১২০ কে ৪০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ৩ হয় এখানে,
১২০ ÷ ৪০ = ৩
এটি একটি গাণিতিক বাক্য এবং এটি সত্য।

মূল বইয়ের বিভিন্ন পৃষ্ঠার সমস্যার সমাধান

৪.১ গাণিতিক প্রতীক

১. খালিঘরে <,= এবং > এর মধ্যে থেকে সঠিক প্রতীক বসাই।

(১) ৫+৩-২⬜৫+৫-২
(২) ৪x৭÷২⬜৪x৬÷৩
(৩) [{১৩+৫)÷৩}-৪⬜২+{(৯-৬)x৪-১২}

সমাধানঃ

(১) ৫+৩-২⬜৫+৫-২
বামপক্ষ
=৫+৩-২
=৬
ডানপক্ষ
=৫+৫-২
=৮
∴ ৫+৩-২ < ৫+৫-২

(২) ৪x৭÷২⬜৪x৬÷৩

বামপক্ষ
=৪x৭÷২
=২৮÷২
=১৪
ডানপক্ষ
=৪x৬÷৩
=২৪÷৩
=৮
∴ ৪x৭÷২ > ৪x৬÷৩

(৩) [{১৩+৫)÷৩}-৪⬜২+{(৯-৬)x৪-১২}

বামপক্ষ

=[{১৩+৫)÷৩}-৪
=[১৮÷৩]-৪
=৬-৪
=২
ডানপক্ষ
=২+{(৯-৬)x৪-১২}
=২+{৩x৪-১২}
=২+{১২-১২}
=২+০
=২
∴ [{১৩+৫)÷৩}-৪ = ২+{(৯-৬)x৪-১২}

২. খালি ঘরে +, -, x, ÷ এর মধ্য সঠিক প্রতীক বসাই।

(১) ১২⬜৪⬜২=১

(২) ৬⬜৬⬜১২=২৪
(৩) ৯⬜৯⬜৯⬜=৮০

সমাধানঃ

(১) ১২⬜৪⬜২=১
>>১২÷৪-২=১
(২) ৬⬜৬⬜১২=২৪
>>৬+৬+১২=২৪
(৩) ৯⬜৯⬜৯⬜=৮০
>>৬x৬x১২=২৪

১. খালিঘরে <, = এবং > এর মধ্যে সঠিক প্রতীক বসাওঃ

(১) ১২÷৩+৪x৫⬜১২x৩÷৪+৫

(২) ৪৮÷(৮x২-৪)⬜৪৮x৮÷২-৪

সমাধানঃ

(১) ১২÷৩+৪x৫⬜১২x৩÷৪+৫
এখানে,
১২÷৩+৪x৫=৪+৪x৫=৪+২০=২৪
১২x৩÷৪+৫=১২x৩x১÷৪+৫=৯+৫=১৪
∴১২÷৩+৪x৫ > ১২x৩÷৪+৫

(২) ৪৮÷(৮x২-৪)⬜৪৮x৮÷২-৪

এখানে,

৪৮÷(৮x২-৪)=৪৮÷(১৬-৪)=৪৮÷১২=৪
৪৮x৮÷২-৪=৪৮x৪-৪=১৯২-৪=১৮৮
∴৪৮÷(৮x২-৪) < ৪৮x৮÷২-৪

৪.২ খোলা বাক্য

১. নিচের বাক্যগুলোকে গাণিতিক বাক্যে প্রকাশ করি এবং খোলা বাক্য ও গানিতিক উক্তিগুলো নির্ণয় করি।

(১) ৫ এর সাথে ক যোগ করলে যোগফল ১২ হয়।

(২) ৩ কে ৪ দিয়ে গুণ করলে গুণফল ১২ হয়।
(৩) ২৬ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ৫ হয়।
(৪)⬜এবং △ যোগ করলে যোগফল ১০ হয়।

সমাধানঃ

(১) গাণিতিক বাক্যঃ ৫+ক=১২
গাণিতিক বাক্যটি সত্য না মিথ্যা তা নির্ণয় করা যায় না
সুতরাং বাক্যটি একটি খোলা বাক্য।
এটি একটি খোলা বাক্য। এটি সত্য অথবা মিথ্যা হতে পারে যা ক এর মানের উপর নির্ভর করে।

(২) গাণিতিক বাক্যঃ ৩x৪=১২
গাণিতিক বাক্যটি সত্য।
সুতরাং, বাক্যটি গাণিতিক উক্তি।

(৩) গাণিতিক বাক্যঃ ২৬÷৪=৫
গাণিতিক বাক্যটি সত্য নয়।
সুতরাং, বাক্যটি একটি গাণিতিক উক্তি।

(৪) গাণিতিক বাক্যঃ ⬜+ △=১০
গাণিতিক বাক্যটি সত্য না মিথ্যা তা নির্ণয় করা যায় না
সুতরাং বাক্যটি একটি খোলা বাক্য।

২. ক এর এমন মান নির্ণয় কর যেন বাক্যটি সত্য হয়।

(১) ক+৫=২০ 
(২) ৪৮-ক=২৩

(৩) কx২=৩৬ 
(৪) ৭২÷ক=৬

সমাধানঃ

ক এর এমন মান নির্ণয় করা হলো যেন বাক্যটি সত্য হয়ঃ
(১) ক+৫=২০
বা, ক=১০-৫
বা, ক=৫

(২) ৪৮-ক=২৩
বা, ৪৮=২৩+ক
বা, ক=৪৮-২৩
বা, ক=২৫

(৩) কx২=৩৬
বা, ক=৩৬÷২
বা, ক=১৮  

(৪)

৭২÷ক=৬
বা, ৭২=৬xক
বা, ক=৭২÷৬
বা, ক=১২

১. নিচের খোলা বাক্যগুলোর অজানা মানগুলো বের কর যেন বাক্যগুলো সত্য হয়ঃ

(১)  একটি ত্রিভুজের ক সংখ্যক বাহু আছে।

(২) একটি বর্গের খ সংখ্যক কোণ আছে।
(৩) ক টাকার দ্রব্য কিনে ১০০ টাকা দিয়ে ৪৫ টাকা ফেরত নেওয়া হলো।
(৪) খ সংখ্যক বিস্কুট ১৫ জনের মধ্যে ৪টি করে ভাগ করে দেওয়া হলো।

সমাধানঃ

(১)

আমরা জানি একটি ত্রিভুজের ৩টি বাহু আছে।
∴ খোলা বাক্যটি হবে, কx১=৩
∴ ক=৩
অর্থাৎ ক এর মান ৩ হলে খোলা বাক্যটি সত্য হয়।

(২)

আমরা জানি একটি বর্গের ৪টি কোণ আছেঁচে।
∴ খোলা বাক্যটি হবে, খx১=৪
∴ খ=৪
অর্থাৎ খ এর মান ৩ হলে খোলা বাক্যটি সত্য হয়।

(৩)

খোলা বাক্যঃ ক+৪৫=১০০
এখন, ক+৪৫=১০০
বা, ক=১০০-৪৫
বা, ক=৫৫
অর্থাৎ ক এর মান ৫৫ হলে খোলা বাক্যটি সত্য হয়।

(৪)

খোলা বাক্যঃ খ÷১৫=৪
এখন, খ÷১৫=৪
বা, খ=৪x১৫
বা, খ=৬০
অর্থাৎ খ এর মান ৬০ হলে খোলা বাক্যটি সত্য হয়।

৪.৩ অক্ষর প্রতীক ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানঃ

একটি পেন্সিল ও একটি রাবার যথাক্রমে ৬টাকা ও ৮ টাকায় বিক্রি করা হলো। আমরা ক সংখ্যক পেন্সিল ও একটি রাবার খ টাকায় ক্রয় করলাম। সমস্যাটি গাণিতিক বাক্যে প্রকাশ করি।

ক সংখ্যক পেন্সিলের মূল্যঃ ⬜x⬜

মোট মূল্যঃ ⬜x⬜+⬜

সমাধানঃ

ক সংখ্যক পেন্সিলের মূল্যঃ ৬xক
মোট মূল্যঃ ৬xক+৮=খ

১. ক এর মান যথাক্রমে ৫,১০,১৫ এবং ২০ হলে, খ এর মানগুলো কী হবে? খ এর মানগুলো বের করে নিচের খালি ঘরে লিখি।

প্রদত্ত গাণিতিক বাক্যঃ ৬xক+৮=খ

সমাধানঃ

ক=৫>>৬x৫+৮=৩০+৮=৩৮
ক=১০>>৬x১০+৮=৬০+৮=৬৮
ক=১৫>>৬x১৫+৮=৯০+৮=৯৮
ক=২০>>৬x২০+৮=১২০+৮=১২৮

১. একটি বইয়ের ওজন ২৪০ গ্রাম। হাকিম এরূপ কিছু বই ক্রয় করে সেগুলো ৫০০ গ্রাম ওজনের একটি বাক্সে রাখলো। মনে কর বইয়ের সংখ্যা ক এবং মোট ওজন খ।

(১) ক এবং খ এর মধ্যে সম্পর্ক কী তা লেখ।

(২) ক এর মান যথাক্রমে ১০, ২০ এবং ৩০ হলে খ এর মানগুলো নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

(১) ক ও খ এর মাঝে সম্পর্কটি হলোঃ ২৪০xক+৫০০=খ

(২) ক=১০ হলে, ২৪০x১০+৫০০=২৪০০+৫০০=২৯০০
ক=২০ হলে, ২৪০x২০+৫০০=৪৮০০+৫০০=৫৩০০
ক=৩০ হলে, ২৪০x৩০+৫০০=৭২০০+৫০০=৭৭০০
অতএব, নির্নেয় খ এর মানঃ ২৯০০, ৫৩০০ এবং ৭৭০০

২. পূর্বের পৃষ্ঠায় উল্লেক্ষিত প্রশ্নে ক সংখ্যক পেন্সিল এবং একটি রাবারের মূল্য একত্রে ৫০ টাকা হলে ক এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

৬xক+৮=৫০
বা, ৬xক=৫০-৮
বা, ৬xক=৪২
বা, ক=৪২÷৬
বা, ক=৭

২. নিচের খ এর বিভিন্ন মানের জন্য উপরের প্রশ্ন অনুযায়ী ক এর মানগুলো নির্ণয় করঃ

(১) খ=৬২
(২) খ=৯৮ 
(৩) খ=১৪০

সমাধানঃ

উপরের প্রশ্নানুসারে আমরা পাই, ৬xক+৮=খ

(১)  খ=৬২ হলে,
৬xক+৮=৬২
বা, ৬xক=৬২-৮
বা, ৬xক=৫৪
বা, ক=৫৪÷৬
বা, ক=৯

(২) খ=৯৮ হলে,
৬xক+৮=৯৮
বা, ৬xক=৯৮-৮
বা, ৬xক=৯০
বা, ক=৯০÷৬
বা, ক=১৫

(৩) খ=১৪০ হলে,
কx৬+৮=১৪০
বা, ৬xক=১৪০-৮
বা, ৬xক=১৩২
বা, ক=১৩২÷৬
বা, ক=২২

৩. ক এর এমন মান নির্ণয় কর যেন গাণিতিক বাক্য সত্য হয়ঃ

(১) ৭+ক=১৩ 
(২) ক-৪=১৮

(৩) ৮xক=৩২ 

(৪) ক÷৯=৩
(৫) ৩x(৫+ক)=১৮ 
(৬) (ক÷৫)x৪=২৮

সমাধানঃ

গানিতিক বাক্য সত্য হয় ক এর এমন মান নির্ণয় করা হলোঃ

(১) ৭+ক=১৩
বা, ক=১৩-৭
বা, ক=৬

(২)  ক-৪=১৮
বা, ক=১৮+৪
বা, ক=২২

(৩)  ৮xক=৩২ 
বা, ক=৩২÷৮
বা, ক=৪

(৪)  ক÷৯=৩
বা, ক=৩x৯
বা, ক=২৭

(৫)  ৩x(৫+ক)=১৮
বা, ৫+ক=১৮÷৩
বা, ৫+ক=৬
বা, ক=৬-৫
বা, ক=১  

(৬)  (ক÷৫)x৪=২৮
বা, ক÷৫=২৮÷৪
বা, ক÷৫=৭
বা, ক=৭x৫
বা, ক=৩৫

৪. পানির একটি বোতলের ওজন ১২০ গ্রাম। মিনা ৫০ গ্রাম ওজনের একটা ব্যাগের মধ্যে কিছু সংখ্যক পানির বোতল রাখল। বোতলের সংখ্যাকে ক দ্বারা এবং পানির বোতলগুলোর ওজন ও ব্যাগের ওজনের যোগফলকে খ দ্বারা প্রকাশ করা হলো।

(১) ক এবং খ এর সম্পর্ক একটি গাণিতিক বাক্যের মাধ্যমে লেখ।

(২) খ এর মান নির্ণয় কর যখন ক=১০
(৩) ক এর মান নির্ণয় কর যখন খ=৭৭০

সমাধানঃ

(১) গাণিতিক বাক্যঃ ১২০xক+৫০=খ

(২) ক=১০ হলে,
১২০xক+৫০=খ
বা, ১২০x১০+৫০=খ
বা, খ=১২০x১০+৫০
বা, খ=১২০০+৫০
বা, খ=১২৫০

(৩) খ=৭৭০ হলে,
১২০xক+৫০=খ
বা, ১২০xক+৫০=৭৭০
বা, ১২০xক=৭৭০-৫০
বা, ১২০xক=৭২০
বা, ক=৭২০÷১২০
বা, ক=৬

অনুশীলনী ৪ সমাধান

১. নিচের বাক্যগুলোকে গাণিতিক বাক্যে প্রকাশ কর এবং খোলা বাক্য ও গাণিতিক বাক্য সনাক্ত করঃ

(১) ৯ কে ৭ দ্বারা গুণ করলে গুণফল ৮০ হয়।

(২) ৪২ থেকে ক বিয়োগ করলে ৩৫ হয়।
(৩) ১২০ কে ৪০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ৩ হয়।

সমাধানঃ

(১) ৯x৭=৮০
এখানে অজানা কোন অক্ষর প্রতীক নেই।
∴এটি একটি গাণিতিক বাক্য এবং এটি মিথ্যা।

(২) ৪২-ক=৩৫
এখানে অজানা অক্ষর প্রতীক আঁচে।
∴এটি খোলা বাক্য।

(৩) ১২০÷৪০=৩
এখানে অজানা কোন অক্ষর প্রতীক নেই।
∴এটি একটি গাণিতিক বাক্য এবং এটি সত্য।

২. নিচের খোলা বাক্যগুলোর অজানা প্রতীকের মান বের কর যেন বাক্যগুলো সত্য হয়।

(১) একটি ত্রিভুজের ক বাহু আছে।

(২) ক টাকার জিনিস কিনে ৫০ টাকা দিয়ে ২৩ টাকা ফেরত নেওয়া হলো।

সমাধানঃ

(১) আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের ৩টি বাহু আছে।
∴খোলা বাক্যটি হবে, কx১=৩
                        বা, ক=৩
∴ক এর মান ৩ হলে বাক্যটি সত্য হয়।

(২)

খোলা বাক্যটি হবে, ক+২৩=৫০
                        বা, ক+২৩=৫০
                        বা, ক=৫০-২৩
                        বা, ক=২৭
∴ক এর মান ২৭ হলে বাক্যটি সত্য হয়।

৩. বর্গাকৃতির কিছু কাগজ আছে যার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ক সেমিঃ

(১) বর্গাকৃতি কাগজটির পরিসীমা কত?

(২) এরকম ৩টি বর্গাকৃতি কাগজের মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধানঃ

(১)
আমরা জানি বর্গের পরিসীমা=একটি বাহুর দৈর্ঘ্যx৪
দেওয়া আছে, বর্গাকৃতি কাগজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক সেমি
বর্গাকৃতি কাগজের  পরিসীমা=৪x৪ সেমি।

(২)

আমরা জানি, বর্গের ক্ষেত্রফল=বাহুর দৈর্ঘ্যxবাহুর দৈর্ঘ্য
দেওয়া আছে, বর্গাকৃতি কাগজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক সেমি
১টি বর্গাকৃতি কাগজের ক্ষেত্রফল=কxক বর্গসেমি
৩টি বর্গাকৃতি কাগজের ক্ষেত্রফল=কxকx৩ বর্গসেমি=৩ক^২ বর্গসেমি।

৪. গাণিতিক বাক্য সত্য করার জন্য ক এর মান নির্ণয় করঃ

(১) ক+৯=১৫ 

(২) ক-১২=২৫

(৩) ২xক=২২ 

(৪) ক÷৮=৭
(৫) ৭x(৮+ক)=৬৩ 

(৬) (ক-৪)÷৬=৬

সমাধানঃ

গাণিতিক বাক্য সত্য করার জন্য ক এর মান নির্ণয় করা হলোঃ

(১)

ক+৯=১৫
বা, ক=১৫-৯
বা, ক=৬

(২)

ক-১২=২৫
বা, ক=২৫+১২
বা, ক=৩৭

(৩)

২xক=২২
বা, ক=২২÷২
বা, ক=১১  

(৪)

ক÷৮=৭
বা, ক=৭x৮
বা, ক=৫৬

(৫)

৭x(৮+ক)=৬৩
বা, ৮+ক=৬৩÷৭
বা, ৮+ক=৯
বা, ক=৯-৮
বা, ক=১  

(৬)

(ক-৪)÷৬=৬
বা, ক-৪=৬x৬
বা, ক-৪=৩৬
বা, ক=৩৬+৪
বা, ক=৪০

৫. ক প্যাকেট বিস্কুট এবং ১ বোতল পানীয়ের মূল্য একত্রে খ টাকা। ১ প্যাকেট বিস্কুট এর মূল্য ১৮ টাকা এবং ১ বোতল পানীয়ের মূল্য ১২ টাকা।

(১) ক এবং খ এর সম্পর্ক একটি গাণিতিক বাক্যের মাধ্যমে লেখ।

(২) খ এর মান নির্ণয় কর যখন ক=১০
(৩) ক এর মান নির্ণয় কর যখন খ=১২০

সমাধানঃ

(১)

১ প্যাকেট বিস্কুটের মূল্য ১৮ টাকা
∴ক প্যাকেট বিস্কুটের মূল্য ১৮xক টাকা
∴গাণিতিক বাক্য: ১৮xক+১২=খ

(২)

ক=১০ হলে, (১) হতে পাই,
১৮x১০+১২=খ
বা, ১৮০+১২=খ
বা, ১৯২=খ
বা, খ=১৯২

(৩)

খ=১২০ হলে (১) হতে পাই
১৮xক+১২=১২০
বা, ১৮xক=১২০-১২
বা, ১৮xক=১০৮
বা, ক=১০৮÷১৮
বা, ক=৬

পঞ্চম শ্রেণি-অধ্যায় ৪ গাণিতিক প্রতীক