BD Math Olympiad Regional part selection questions
Primary level
1. দু’টি ভিন্ন ভিন্ন ধনাত্মক জোড় সংখ্যা a ও b-এর যোগফল ১০, যেখানে a > b। a-এর সর্বোচ্চ মান কত হতে পারে?
The sum of two distinct positive even integers a and b is 10 where a > b. Find the largest possible value of a.
2. ববের স্মৃতিশক্তি পরীক্ষা করার জন্য এলিস তাকে ১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো কোনো একটি ক্রমে বলে, কিন্তু বলার সময় সে একটি সংখ্যা বাদ দিয়ে বলে। ববের কাজ হল এলিসকে তার বাদ দেওয়া সংখ্যাটা বলা। ববের স্মৃতিশক্তি খুব একটা ভালো না, কিন্তু সে বেশ বুদ্ধিমান। তাই সে এলিসের বলা সংখ্যাগুলো যোগ করতে থাকে। যদি সর্বশেষ বব যোগফল হিসেবে ৫০ পায়, তাহলে এলিসের বাদ দেওয়া সংখ্যাটা কত ছিল?
To test Bob’s memory, Alice tells Bob the numbers 1 through 10 in some order, but she skips one number. Bob is supposed to, in return, tell Alice the skipped number. Bob doesn’t have a great memory, but he is clever, so he sums up the numbers Alice tells him. If Bob gets a sum of 50, what is the missing number?
3. নিচের চিত্রে, A-কে কেন্দ্র করে আঁকা বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে AB = 1 এবং AC = 2। S1 ও S2 হল যথাক্রমে AC ও AB ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল। যদি S1 – S2 = aπ,, তবে a-এর মান নির্ণয় কর।
In the figure, A is the center of the circles having radii AB = 1 and AC = 2. S1 and S2 are the areas of the circles having radii AC and AB, respectively. If S1 – S2 = aπ, find the value of a.
4. চিত্রে, A-কে কেন্দ্র করে আঁকা বৃহৎ দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে AB = 1 এবং AC = 2। S1 আর S2 হলো যথাক্রমে AC ও AB ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল। যদি S1 – S2 = aπ হয়, তবে a-এর মান বের করো। (৩ পয়েন্ট)
Suppose you have the sequence of letters EBDCA. In a single step, you can swap two adjacent letters or reverse the entire sequence. What is the minimum number of steps needed to make the sequence read ABCDE?
5. ২০০৮ সালে দাবা প্রতিযোগিতায় ১৫ জন এবং ২০১২ সালে ২২ জন অংশগ্রহণ করে। যদি প্রতিযোগিতায় প্রতি বছর অংশগ্রহণকারীর সংখ্যা একই হারে বাড়তে থাকে, তাহলে কোন সালে ১৯৮৯ জন অংশগ্রহণ করবে?
In 2008, a chess tournament had 15 participants. In 2012, it had 22 participants. If the number of participants increases at the same rate, in which year will there be 1989 participants?
6. ABCD একটি বর্গ যেখানে AB = 6। মুরসালিন বর্গের ভেতরে একটি বিন্দু X এমনভাবে নিল যাতে বিন্দুটির BC থেকে 2 একক এবং CD থেকে 3 একক দূরে হয়। AX-এর দৈর্ঘ্য বের করো। (৩ পয়েন্ট)
ABCD is a square where AB = 6. Point X is inside the square such that its perpendicular distances from BC and CD are 2 and 3, respectively. Find the length of AX.
7. কোন একটি সংখ্যা সুন্দর যদি তার ঠিক ৪টি উৎপাদক থাকে এবং সেটি ২ দ্বারা বিভাজ্য হয়। ৯৯-এর চেয়ে ছোট কতগুলো সুন্দর সংখ্যা আছে?
A number is called beautiful if it has exactly 4 factors and is divisible by 2. How many beautiful numbers are less than 99?
8. মুরসালিন 1, 2, 3, 4, 5, 6 এই ছয়টা সংখ্যা থেকে এমনভাবে তিনটা বা তার বেশি সংখ্যা নিতে চায় যাতে তার নেওয়া সংখ্যাগুলোর মধ্যে কমপক্ষে তিনটা ক্রমিক সংখ্যা থাকে। যেমন, সে 1, 2, 3 এই তিনটা সংখ্যা নিতে পারে; আবার 1, 2, 3, 5-ও নিতে পারে। সে মোট কতভাবে এই কাজটা করতে পারবে? (6 পয়েন্ট)
Mursalin wants to choose 3 or more numbers from 1, 2, 3, 4, 5, 6 such that at least 3 consecutive numbers are in his chosen set. In how many ways can Mursalin do this?
BDMO Regional 2021 Primary pdf
Junior level
1. ববের স্মৃতিশক্তি পরীক্ষা করার জন্য এলিস তাকে ১ থেকে ১০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো কোনো একটি ক্রমে বলে, কিন্তু বলার সময় সে একটি সংখ্যা বাদ দিয়ে বলে। ববের কাজ হল এলিসকে তার বাদ দেওয়া সংখ্যাটা বলা। ববের স্মৃতিশক্তি খুব একটা ভালো না, কিন্তু সে বেশ বুদ্ধিমান। তাই সে এলিসের বলা সংখ্যাগুলো যোগ করতে থাকে। যদি সর্বশেষ বব যোগফল হিসেবে ৫০ পায়, তাহলে এলিসের বাদ দেওয়া সংখ্যাটা কত ছিল?
To test Bob’s memory, Alice tells Bob the numbers 1 through 10 in some order, but skips one number. Bob sums up the numbers Alice tells him. If Bob gets a sum of 50, what is the missing number?
2. ১১-টি লাল, ৭-টি হলুদ, এবং ৬-টি নীল বলের একটি ব্যাগ থেকে কমপক্ষে কতগুলি বল তুললে তুমি নিশ্চিতভাবে বলতে পারবে যে তুমি সব রঙের কমপক্ষে একটা করে বল তুলছো?
What is the minimum number of balls you must take out of a bag containing 11 red balls, 7 yellow balls, and 6 blue balls to guarantee that at least one ball of each color has been taken out?
3. দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গের ব্যবধান ২০১৬। তাদের যোগফলের সম্ভাব্য সর্বোচ্চ মান কত হতে পারে?
The squares of two positive integers differ by 2016. Find their maximum possible sum.
4. ABCD একটি বর্গক্ষেত্র, যেখানে AB = 30। বর্গক্ষেত্রের কর্ণগুলি P বিন্দুতে ছেদ করে। P-কে কেন্দ্র করে 34 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত আঁকা হলে, এটি AB-কে E এবং F বিন্দুতে ছেদ করে। EF-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
In the square ABCD, AB = 30. The diagonals of the square intersect at point P. A circle, centered at point P with diameter 34, intersects AB at E and F. Find the length of EF.
5. তিনটি অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা \[a_1, a_2, a_3\]-এর যোগফল 1010101। যদি এই তিনটি সংখ্যা যোগ করার সময় কোনো ক্যারি না হয়, তবে \[a_1, a_2, a_3\]-এর কতগুলি সম্ভাব্য মান থাকতে পারে?
Three non-negative integers \[a_1, a_2, a_3\] sum to 1010101. No carry is performed while adding these 3 numbers. In how many ways can you choose \[a_1, a_2, a_3\]?
6. \[\triangle ABC\]-এ D, E এবং F যথাক্রমে BC, CA এবং AB-এর মধ্যবিন্দু। BE এবং DF যদি G-বিন্দুতে ছেদ করে। যদি \[\triangle ABC\]-এর ক্ষেত্রফল ৫১২ হয়, তবে AFGE-এর ক্ষেত্রফল কত?
In \[\triangle ABC\], D, E and F are the midpoints of BC, CA and AB, respectively. BE and DF intersect at G. What is the area of AFGE if the area of \[\triangle ABC\] is 512
৭. কোনো একটা সংখ্যাকে সুন্দর সংখ্যা বলা হয় যদি তার ঠিক ৪-টা উৎপাদক থাকে এবং সংখ্যাটা ২ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। ৯৯-এর চেয়ে ছোট কতগুলো সুন্দর সংখ্যা আছে?
A number is called beautiful if it has exactly 4 factors and is divisible by 2. How many beautiful numbers are less than 99?
৮. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}-এর কতগুলি উপসেট রয়েছে যার মধ্যে ৪টি ক্রমিক সংখ্যা বিদ্যমান?
How many subsets of {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} contain 4 consecutive numbers?
Secondary level
১. চিত্রে বড় এবং ছোট বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্র একই। তাদের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ এবং ১০। ছায়া অংশের ক্ষেত্রফল কত?
ইংরেজি: In the figure, the two squares have the same center. They have side lengths equal to 12 and 10. What is the area of the shaded region?
২. তোমার কাছে ছয়টি বাক্স আছে, যেগুলোর গায়ে যথাক্রমে ১, ২, ৩, ৪, ৫, এবং ৬ লেখা। তোমার বন্ধু এই বাক্সগুলোর মধ্যে n-টি বল ভাগ করে দিয়েছে। n-এর মান সর্বনিম্ন কত হলে তুমি নিশ্চিতভাবে বলতে পারবে যে, এমন একটি বাক্স আছে যার মধ্যে বলের সংখ্যা তার গায়ে লেখা সংখ্যার বর্গের সমান বা বেশি?
You have six boxes numbered 1, 2, 3, 4, 5, and 6, respectively. Your friend has distributed n balls among these boxes. What is the smallest value of n for which you can guarantee that there is at least one box containing at least as many balls as the square of the number written on it?
৩. সূক্ষ্মকোণী △ABC-এর পরিকেন্দ্র O। △AOB-এর অন্তঃকেন্দ্র I। যদি ∠AIB = 112° হয়, তাহলে ∠ACB-এর মান কত ডিগ্রি?
The circumcenter of the acute △ABC is O. The incenter of △AOB is I. If ∠AIB = 112°, what is the value of ∠ACB in degrees?
৪. তন্ময় এবং রাইয়ান একটি খেলা খেলছে। প্রথমে তন্ময় একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n বেছে নেয় যেখানে 1 < n ≤ 50। তারপর রাইয়ান একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা d বেছে নেয় যেখানে d < n। T(n, d) হলো সবচেয়ে ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যার জন্য T(n, d) × d সংখ্যাটি n দিয়ে বিভাজ্য। তন্ময়ের লক্ষ্য হলো T(n, d)-কে যত বড় সম্ভব বানানো। রাইয়ানের লক্ষ্য হলো T(n, d)-কে যত ছোট সম্ভব বানানো। n হিসেবে তন্ময়ের কোন সংখ্যা বেছে নেওয়া উচিত?
Tanmoy and Raiyan play a game. First, Tanmoy chooses any positive integer n with 1 < n ≤ 50. Then Raiyan chooses a positive integer d with d < n. Let T(n, d) be the smallest positive integer such that n divides T(n, d) × d. Tanmoy’s goal is to make T(n, d) as large as possible while Raiyan’s goal is to make T(n, d) as small as possible. What value should Tanmoy choose for n?
৫. কতগুলো ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা \[ a_1, a_2, \dots, a_k\]-এর জ্যামিতিক গড় হলো \[\sqrt[k]{a_1a_2 \dots a_k}\]। কোনো একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর উৎপাদক গড় হলো তার সব ধনাত্মক উৎপাদকের জ্যামিতিক গড়। যেসব ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর উৎপাদক গড় ৩২-এর চেয়ে বেশি নয়, তাদের সংখ্যা যদি N হয়, তাহলে N-এর মান কত?
The geometric mean of a bunch of positive reals \[ a_1, a_2, \dots, a_k\] is \[\sqrt[k]{a_1a_2 \dots a_k}\]. The factor mean of a positive integer n is equal to the geometric mean of its (positive) factors. If the number of positive intergers
n whose factor mean is not greater than 32 is N, then what is N?
৬. চিত্রে AP = 6, BP = 5, CQ = 7, DQ = 12, এবং PQ = 27।
RS-এর দৈর্ঘ্য কত?
In the figure, AP = 6, BP = 5, CQ = 7, DQ = 12, and PQ = 27. What is the length of RS?
৭. একটা প্যালিনড্রোমিক সংখ্যা হলো এমন একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যেটাকে বাম আর ডান দিক থেকে পড়লে একই হয়। যেমন ১২২১ একটা প্যালিনড্রোমিক সংখ্যার উদাহরণ। মুরসালিন একটা চার অঙ্কের প্যালিনড্রোমিক সংখ্যা n নিল। এরপর সে n-এর মাঝের দুটি অঙ্ক মুছে দিয়ে একটা দুই অঙ্কের সংখ্যা m বানাল। যদি n/m একটা পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে এমন সম্ভব কতগুলো n আছে?
A palindromic number is a positive integer that reads the same forwards and backwards. For example, 1221 is a palindromic number. Mursalin takes a four-digit palindromic number n and deletes its middle two digits to obtain a two-digit number m. If n/m is an integer, how many possible choices for n are there?
৮. S = {1, 2, 3, …, 12}। কতগুলি ফাংশন f: S → S আছে যাতে f(f(x)) = x হয় এবং f(x) – x, 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়?
Let S = {1, 2, 3, …, 12}. How many functions f: S → S are there such that f(f(x)) = x and f(x) – x is divisible by 3?
Higher secondary
১. একটি ক্লাসে ৭ জন শিক্ষার্থী ক্রিকেট পছন্দ করে আর ৮ জন শিক্ষার্থী ফুটবল পছন্দ করে। দুইটি খেলার অন্তত একটি পছন্দ করে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা যদি n হয়, তাহলে n-এর সম্ভাব্য সর্বোচ্চ মান কত?
ইংরেজি: In a class, 7 students like cricket while 8 students like football. If n is the number of students that like at least one of these two sports, what is the maximum possible value of n?
২. △ABC-এ D, E এবং F যথাক্রমে BC, CA এবং AB-এর মধ্যবিন্দু। BE এবং DF বিন্দু G-তে ছেদ করে। যদি △ABC-এর ক্ষেত্রফল ৫১২ হয়, তাহলে AFGE-এর ক্ষেত্রফল কত?
In △ABC, D, E and F are the midpoints of BC, CA and AB respectively. BE and DF intersect at G. What is the area of AFGE if the area of △ABC is 512?
৩. P(x) = x³ + bx² + cx + d রাশিটা x-এর একটা বহুপদী। দেওয়া আছে, P(1) < 0, P(4) > 0, P(6) < 0 এবং P(10) > 0। যদি P(x)-এর সবগুলো মূলই পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে |d|-এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান কত?
P(x) = x³ + bx² + cx + d is a polynomial in x. You are given that P(1) < 0,P(4) > 0, P(6) < 0 and P(10) > 0. If all of the roots of P(x) are integers,what is the maximum possible value of |d|?
৪. তন্ময় এবং রাইয়ান একটি খেলা খেলছে। প্রথমে তন্ময় একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n বেছে নেয় যেখানে 1 < n ≤ 50। তারপর রাইয়ান একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা d বেছে নেয় যেখানে d < n। T(n, d) হলো সবচেয়ে ছোট ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যার জন্য T(n, d) × d সংখ্যাটি n দিয়ে বিভাজ্য। তন্ময়ের লক্ষ্য হলো T(n, d)-কে যত বড় সম্ভব বানানো। রাইয়ানের লক্ষ্য হলো T(n, d)-কে যত ছোট সম্ভব বানানো। n হিসেবে তন্ময়ের কোন সংখ্যা বেছে নেওয়া উচিত?
Tanmoy and Raiyan play a game. First, Tanmoy chooses any positive integer n with 1 < n ≤ 50. Then Raiyan chooses a positive integer d with d < n. Let T(n, d) be the smallest positive integer such that n divides T(n, d) × d. Tanmoy’s goal is to make T(n, d) as large as possible while Raiyan’s goal is to make T(n, d) as small as possible. What value should Tanmoy choose for n?
৫. চিত্রে AP = 6, BP = 5, CQ = 7, DQ = 12, এবং PQ = 27। RS-এর দৈর্ঘ্য কত?
In the figure, AP = 6, BP = 5, CQ = 7, DQ = 12, and PQ = 27. What is the length of RS?
৬. S = {1, 2, …, 10}। কতগুলি সেট X ⊆ S আছে যাতে x ∈ X এবং 2x ∈ S হলে 2x ∈ X?
Let S = {1, 2, …, 10}. How many sets X ⊆ S are there such that if x ∈ X and 2x ∈ S, then 2x ∈ X?
৭.মুরসালিন দুটি মৌলিক সংখ্যা পাশাপাশি লিখে একটি বড় সংখ্যা তৈরি করল। দেখা গেল, এই সংখ্যাটির সাথে ৩ যোগ করলে একটি মৌলিক সংখ্যা p এর বর্গ পাওয়া যায়। p এর সম্ভাব্য মানের যোগফল কত?
Mursalin writes down two prime numbers side-by-side to create a new larger number. It just happens that adding 3 to this number gives you the square of a prime number p. What is the sum of all possible values of p?
৮. S = {1, 2, 3, …, 12}। কতগুলি ফাংশন f: S → S আছে যাতে f(f(x)) = x হয় এবং f(x) – x, 3 দ্বারা বিভাজ্য না হয়?
Let S = {1, 2, 3, …, 12}. How many functions f: S → S are there such that f(f(x)) = x and f(x) – x is not divisible by 3?
BDMO Regional 2021 Higher Secondary
