BD math olympiad 2018 national questions
১. একটি ঘরের ৫ জনের বয়সের গড় ৩০ এবং অন্য একটি ঘরের ১০ জনের বয়সের গড় ২৪। তাদের একসাথে করা হলে মোট গড় কত হবে? [৮]
The average age of the 5 people in a Room is 30. The average age of the 10 people in another
Room is 24. If the two groups are combined, what is the average age of all the people? [8]
২. একটি ঘরের দুই-তৃতীয়াংশ লোক সেখানকার মোট চেয়ারের তিন চতুর্থাংশ চেয়ারে বসল। বাকিরা দাঁড়িয়ে থাকল। বসার পরে যদি ৬টি চেয়ার খালি থেকে থাকে, ঐ ঘরে কতজন লোক ছিল? [৮]
Two-thirds of the people in a room sat in three-fourths of the chairs. The rest of the people
remained standing. If there were 6 empty chairs, how many people were there in the room? [8]
৩. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১২০। এর সকল বাহুর দৈর্ঘ্য পূর্ণসংখ্যা হলে এর পরিসীমা সর্বনিম্ন কত হতে পারে? [১০]
The area of a rectangle is 120. All the lengths of the sides of this rectangle are integer, what can be the lowest possible perimeter of this rectangle? [10]
৪. 𝐀𝐁𝐂𝐄 একটি বর্গক্ষেত্র, যেখানে 𝐀𝐅 = 3𝐅𝐄 এবং 𝐂𝐃 = 3𝐄𝐃। 𝐁𝐅𝐃 ত্রিভুজ এবং 𝐀𝐁𝐂𝐄 বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত? [১০]
In square 𝐀𝐁𝐂𝐄, 𝐀𝐅 = 𝟑𝐅𝐄 and 𝐂𝐃 = 𝟑𝐄𝐃. What is the ratio of the area of triangle 𝐁𝐅𝐃 and square ABCE? [10]
৫. একটি একক প্রতিযোগিতায় ছয়জন খেলোয়াড় অংশগ্রহণ করেছে। প্রতিটি খেলোয়াড় প্রত্যেকের সাথে একবার করে খেলে এবং কোনও খেলা ড্র হয়নি। প্রীতম 3 টি, মণীষা 2 টি, সাদমান 3 টি, রিচিতা 3 টি এবং সোমলতা 2 টি খেলায় জয় লাভ করে তাহলে জুবায়ের কয়টি খেলায় জয়লাভ করবে? [১০]
A singles tournament had six players. Each player played every other player only once, with no
ties. If Pritom won 3 games, Monisha won 2 games, Sadman won 3 games, Richita won 3 games
and Somlota won 2 games, how many games did Zubayer win? [10]
৬. একটি জোড় সংখ্যা “ভালো” জোড় সংখ্যা বলা হয় যদি তার প্রথম এবং শেষ সংখ্যা জোড় হয়। তিন অংক বিশিষ্ট কতগুলি ‘ভাল’ জোড় সংখ্যা রয়েছে। সবকয়টি সংখ্যা না লিখে এমন কয়টি সংখ্যা আছে তা বের করার চেষ্টা কর। [১০]
An even number is called a ‘good’ even number if its first and last digits are also an even
number. How many 3-digit ‘good’ even numbers are there? Try to find their number without
writing all such number! [10]
৭. 𝒂𝒃𝒄 একটি তিন অঙ্কের সংখ্যা। 𝒂𝒃𝒄 এর সাথে 𝒂𝒃𝒄 যোগ করে একটি ছয় অঙ্কের সংখ্যা 𝒂𝒃𝒄𝒂𝒃𝒄 তৈরি হয় । যদি 𝒂𝒃𝒄𝒂𝒃𝒄 সংখ্যাটি 𝒂𝒃𝒄 × 𝒂𝒃𝒄 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে 𝒂𝒃𝒄 কত? [১২]
𝒂𝒃𝒄 is a three digit number. 𝒂𝒃𝒄 is appended to 𝒂𝒃𝒄 to create a six digit number 𝒂𝒃𝒄𝒂𝒃𝒄. If
𝒂𝒃𝒄𝒂𝒃𝒄 is divisible by a𝒃𝒄 × 𝒂𝒃𝒄 , then determine the 𝒂𝒃𝒄. [12]
৮. ১ থেকে ৬ নম্বর বিন্দুগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র ডান দিকে বা নিচে যাওয়া যায়। ৭ থেকে ১১ নম্বর বিন্দুগুলোর মধ্যে ডান দিকে বা আড়াআড়ি পথে যাওয়া যায়। তাহলে ১ থেকে ১২ নম্বর বিন্দুতে পৌঁছানোর কতটি উপায় আছে? [১২]
From 1 – 6 nodes, one can go only right side and downward. From 7 – 11 nodes, one can go right side or along the diagonal. If you start from 1, in how many ways can you reach 12? [12]
Junior Category
১. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৪০। এর সকল বাহুর দৈর্ঘ্য পূর্ণসংখ্যা হলে এর পরিসীমার সর্বনিম্ন কত হতে পারে? [৮]
The area of a rectangle is 240. All the lengths of the sides of this rectangle are integer, what can
be the lowest possible perimeter of this rectangle? [8]
২. প্রথম n সংখ্যক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গড় ২০১৮ হলে n -এর মান কত? [৮]
If the average of first n positive integers is 2018, then find the value of n? [8]
৩. সৌম্য, ঐন্দ্রী এবং এষা ১ থেকে শুরু করে নাম্বার বলছে যেন প্রত্যেকে আগেরজনের বলা সংখ্যা থেকে একটি সংখ্যা বেশি বলে। সৌম্য শুরু করে “১”, ঐন্দ্রী বলে “১, ২”, এষা বলে “১, ২, ৩”। এরপর সৌম্য বলে “১, ২, ৩, ৪”, এবং এইভাবে চলতে থাকে। তাদের বলা ৫০তম সংখ্যা কত? (যেমন এখানে শেষে বলা সৌম্যের ৩,৪ হলো যথাক্রমে নবম এবং দশম সংখ্যা।)[৮]
Shoumo, Oindry and Esha take turns counting from 1 to one more than the last number said by the last person. Shoumo starts by saying “1”, so Oindry follows by saying “1, 2”, Esha follows by saying “1, 2, 3”. Shoumo then says “1, 2, 3, 4”, and so on. What is the 50th number said? (For
example the numbers 3,4 said by Shoumo last time here are ninth and tenth numbers) [8]
৪. তিনটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের যোগফল ২০১৮। এর মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যা বাকি দুই সংখ্যার যোগফলের সমান। যদি ছোট দুই সংখ্যার পার্থক্য ২ হয়, তাহলে তাদের ঘনের পার্থক্য কত হবে? [১০]
The squares of three positive numbers add up to 2018. The biggest of these three numbers is the sum of the smaller two. If the difference between the smaller two numbers is 2, what is the difference between the cubes of the smaller two numbers? [10]
৫. \[ 3x^2 + y^2 = 108 \]; x এবং y -এর সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার মান নির্ণয় কর। [১০]
\[ 3x^2 + y^2 = 108 \]; determine all the positive integer values of x and y. [10]
৬. একটি তলে ৮টি সরলরেখা আছে যার কোনটিই অপরটির সাথে সমান্তরাল নয়। দেখাওযে, তাদের মধ্যে কমপক্ষে দুটি সরলরেখা এক অপরকে ২৩ ডিগ্রি এর চেয়ে কম কোণে ছেদ করে। [১০]
Given 8 lines on a plane and no two of them are parallel. Prove that, at least two of them form an
angle less than 23°. [10]
৭. ৫, ৬, ৭, ৮ অঙ্কগুলো ব্যবহার করে যত চার অঙ্কের সংখ্যা তৈরি করা যায়, সেগুলো ছোট থেকে বড় ক্রমানুসারে সাজানো হলো। একইভাবে ৩, ৪, ৫, ৬ অঙ্কগুলো ব্যবহার করে যত চার অঙ্কের সংখ্যা তৈরি করা যায়, সেগুলোও ছোট থেকে বড় সাজানো হলো। প্রথম প্রকারের সংখ্যার প্রথমটি থেকে দ্বিতীয় প্রকারের সংখ্যার প্রথমটি বিয়োগ, দ্বিতীয়টির থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ, এভাবে করা হলে বিয়োগফলগুলোর যোগফল কত? [১০]
All possible 4 digit numbers are created using 5,6,7,8 and then sorted from smallest to largest. In the same manner, all possible 4 digit numbers are created using 3,4,5,6 and then sorted from smallest to largest. Then first number of the second type is subtract from first number of the first type, second number of the second type is subtract from second number of the first type and so on. What will be the summation of these difference (subtraction results)? [10]
৮. ত্রিভুজ ABC-তে AB=10 এবং CA=12। ∠𝐁-এর সমদ্বিখণ্ডক CA-কে E বিন্দুতে এবং ∠𝐂-এর সমদ্বিখণ্ডক AB-কে D বিন্দুতে ছেদ করে। AM এবং AN যথাক্রমে CD এবং BE-এর উপর লম্ব। যদি MN=4, তবে BC-এর মান নির্ণয় কর। [১২]
In triangle ABC, AB=10, CA=12. The bisector of ∠𝐁 intersects CA at E, and the bisector of ∠𝐂 intersects AB at D. AM and AN are the perpendiculars to CD and BE respectively. If MN=4, then find BC. [12]
৯. এমন কতগুলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা আছে, যেগুলো \[ ১০^{১০}, ১২^{১২}\], এবং \[১৫^{১৫} \] এর অন্তত একটি উৎপাদক? [১২]
১০. সমবাহু ত্রিভুজ ABC-এর AC এবং AB-এর উপর D এবং E বিন্দুগুলি এমনভাবে বিভক্ত করেছে যেন AD:DC = BE:EA = 1:2 । রেখা BD এবং CE, O বিন্দুতে মিলিত হয়। ∠𝐀𝐎𝐂-এর মান নির্ণয় কর। [১২]
Points D and E divide equal sides AC and AB of an equilateral triangle ABC according to the ratio of 𝑨𝑫: 𝑫𝑪 = 𝑩𝑬: 𝑬𝑨 = 𝟏: 𝟐. Edges BD and CE meet at point O. Find ∠𝐀𝐎𝐂. [12]
Secondary category
১. সমীকরণটি সমাধান কর:
\[ x^2(2−x)^2 = 1 + 2(1−x)^2\]
যেখানে x বাস্তব সংখ্যা।
Find solutions of the following equation that are real numbers, \[ x^2(2−x)^2 = 1 + 2(1−x)^2\]
২. AB একটি বৃত্তের ব্যাস। স্পর্শক AD এবং BC আঁকা হয়েছে, যেখানে AC এবং BD বৃত্তের উপর একটি বিন্দুতে ছেদ করে। যদি AD = a, BC = b এবং a ≠ b, তবে AB-এর মান নির্ণয় কর।
AB is the diameter of a circle. Tangents AD and BC are drawn so that AC and BD intersect at a point on the circle. Suppose AD = a and BC = b, and a ̸= b. What is the diameter AB?
৩. উর্মি চারটি ছয়-পৃষ্ঠার পাশা ছুড়লো কিন্তু ফলাফল দেখলো না। তার বন্ধু ইপশিতা তাকে জানিয়েছে যে, পাশার ফলাফলে আসা সংখ্যাগুলোর গুণফল ১৪৪ এবং তাদের যোগফল, S এমন একটি সংখ্যা যেন, যা 14 ≤ S ≤ 18-। উর্মি ইপসিতা বললো যে যদি গুণফল ১৪৪ হয় তবে {14, 15, 16, 17, 18} সেটটিতে এমন একটি সংখ্যা আছে যা S হওয়া অসম্ভব।{14, 15, 16, 17, 18} রেন্জের কোনটি সেই অসম্ভব সংখ্যা?
Urmi rolls four fair six-sided dice. She doesn’t see the results. Her friend Ipshita tells her that the product of the numbers is 144. Ipshita also says the sum of the dice, S satisfies 14 ≤ S ≤ 18. Urmi tells Ipshita that S cannot be one of the numbers in the set f14; 15; 16; 17; 18g if the product is 144. Which number in the range f14; 15; 16; 17; 18g is an impossible value for S?
৪. সাব্বির গুণে দেখলো, একই তলে, ঠিক ২০০টি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করে এরকম সর্বনিম্ন m সংখ্যক রেখা আকা যায় । m-এর মান কত?
Sabbir is counting the minimum number of lines m, that can be drawn on the plane so that they intersect in exactly 200 distinct points. What is m?
৫. ABCD একটি চতুর্ভুজ। এই চতুর্ভুজের বাহুগুলো ব্যাস ধরে চারটি বৃত্ত আঁকা হয়েছে। A দিয়ে অতিক্রম করা দুটি বৃত্ত আবার A’-তে, B-এর দুটি বৃত্ত B’-তে, C-এর দুটি বৃত্ত C’-তে এবং D-এর দুটি বৃত্ত D’-তে ছেদ করে। যদি A’, B’, C’, D’ চারটি ভিন্ন বিন্দু হয়, তাহলে A’B’C’D’ কি ABCD-এর সদৃশ হবে? প্রমাণ কর।
Four circles are drawn with the sides of quadrilateral ABCD as diameters. The two circles passing through A meet again at A′. The two circles passing through B meet again at B′. The two circles passing through C meet again at C′. The two circles passing through D meet again at D′. Suppose, A′;B′;C′;D′ are all distinct. Is the quadrilateral A′B′C′D′ similar to ABCD? Show with proof.
৬. পূর্ণসংখ্যার সকল যুগল জোড়া (m, n) নির্ণয় কর যেন
\[ 3(m^2 + n^2) – 7(m + n) = -4\]
Find all pairs of integers (m; n) satisfying the equality \[ 3(m^2 + n^2) – 7(m + n) = -4\]
৮. n জন খেলোয়াড়ের একটি প্রতিযোগিতায় প্রত্যেকটি জুটি একে অপরের সাথে একটি খেলা খেলে, এবং কোনো ড্র হয় না। একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা k-কে n-গুড বলা হয় যদি প্রতিযোগিতায় n জন খেলোয়াড়ের মধ্যে k জন খেলোয়াড়কে বাদ দিয়ে অন্তত একজন খেলোয়াড় থাকে যে বাকিদের সবাইকে হারায়।
(i) প্রমাণ কর যে k যদি n-গুড হয়, তাহলে \[n ≥ 2^{k+1} – 1\]।
(ii) এমন সমস্ত n নির্ণয় কর যেখানে 2 হল n-গুড।
In a tournament of n players, every pair of players play exactly one match and there is no draw. A
positive integer k is called n-good if there exists a tournament of n players in which for any k number
of players, there is at least one player other than the k players who beats all of them.
(i) Prove that if k is n-good then \[n ≥ 2^{k+1} – 1\].
(ii) Find all n so that 2 is n-good
Questions – BdMO 2018 Junior National
Questions – BdMO 2018 National Secondary And Higher Secondary
