SSC general math exercise 13.1 (সসীম ধারা) solution

SSC general math exercise 13.1 (সসীম ধারা) solution

   অনুক্রম

          কতকগুলো রাশিকে একটা বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে, প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের পদ ও পরের পদের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায়। এভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেটকে অনুক্রম (Sequence) বলা হয়।

          অনুক্রমের প্রথম রাশিকে প্রথম পদ, দ্বিতীয় রাশিকে দ্বিতীয় পদ, তৃতীয় রাশিকে তৃতীয় পদ ইত্যাদি বলা হয়। 1, 3, 5, 7,  ——- অনুক্রমের প্রথম পদ = 1, দ্বিতীয় পদ = 3,  ইত্যাদি।

       ধারা

          কোনো অনুক্রমের পদগুলো পরপর ‘+’ চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করলে একটি ধারা (Series) পাওয়া যায়। যেমন, 1 + 3 + 5 + 7 + …. একটি ধারা। ধারাটির পরপর দুইটি পদের পার্থক্য সমান। আবার 2 + 4 + 8 + 16 + …….. একটি ধারা। এর পরপর দুইটি পদের অনুপাত সমান। সুতরাং, যেকোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মধ্যে সম্পর্কের ওপর নির্ভর করে ধারাটির বৈশিষ্ট্য। ধারাগুলোর মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ দুইটি ধারা হলো সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা।

       সমান্তর ধারা

 কোনো ধারার যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

          1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 একটি ধারা।

 এখানে, দ্বিতীয় পদ – প্রথম পদ = 3 – 1 = 2, তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 5 – 3 = 2

          সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। উল্লিখিত ধারার সাধারণ অন্তর ২.

       সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়

          মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a ও সাধারণ অন্তর = d হলে ধারাটির n তম পদ = a + (n – 1)d

          এই হ তম পদকেই সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d জানা থাকলে n তম পদে n = 1, 2, 3, 4, ….. বসিয়ে পর্যায়ক্রমে ধারাটির প্রত্যেকটি পদ নির্ণয় করা যায়।

       সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

          মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a,  শেষ পদ p, সাধারণ অন্তর d, পদসংখ্যা n এবং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি ঝহ.

          ∴  S_n = \[\frac{n}{2}\] (a + p)

          n-তম পদ =p = a + (n – 1)d.

          S_n = \[\frac{n}{2}\] {2a + (n – 1)d}

Easy solution for SSC General Math Exercise 13.1 on সসীম ধারা

       প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

          মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি S_n

          অর্থাৎ, S_n = 1 + 2 + 3 + ………… + (n – 1) + n

                     বা, S_n = \[\frac{n(n + 1)}{2}\]

প্রশ্ন \ ১ \ 2 – 5 – 12 – 19 – ………. ধারাটির সাধারণ অন্তর এবং 12 তম পদ নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 2 – 5 – 12 – 19 -…..

                   এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 2

                   ∴  সাধারণ অন্তর, d = – 5 – 2 = – 7

                   ∴  ১২ তম পদ = a + (12 – 1) d = 2 + 11 × ( -7)

                                       = 2 – 77 = – 75

          নির্ণেয় ধারাটির সাধারণ অন্তর – 7 এর 12 তম পদ -75.

প্রশ্ন \ ২ \ 8 + 11 + 14 + 17 + …….. ধারাটির কোন পদ 392 ?

সমাধান :        প্রদত্ত ধারাটি, 8 + 11 + 14 + 17 + ……..

          এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 8

          সাধারণ অন্তর, d = 11 – 8 = 3

          মনে করি, n তম পদ  = 392

         n তম পদ = = a + (n – 1)d

         ∴ a + (n  -1) d = 392

         বা, 8 + (n – 1) × 3 = 392

         বা, (n – 1) × 3 = 392 – 8

         বা, n – 1 =  \[\frac{384}{3}\]

         বা, n = 128 + 1

         ∴ n = 129

          ∴ ধারাটির 129 তম পদ 392.

প্রশ্ন \ ৩ \ 4 + 7 + 10 + 13 + ……….. ধারাটির কোন পদ 301 ?

সমাধান :        প্রদত্ত ধারাটি, 4 + 7 + 10 + 13 + ………..

          এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 4

          সাধারণ অন্তর, d = 7 – 4 = 3

          মনে করি, n তম পদ = 301

         n তম পদ = = a + (n -1)d

         ∴ a + (n – 1)d = 301

         বা, 4 + (n -1) × 3 = 301

         বা, (n -1) × 3 = 301 – 4

         বা, n -1 = \[\frac{297}{3}\]

         বা, n = 99 + 1

         ∴ n = 100

          ∴ ধারাটির 100 তম পদ 301.

প্রশ্ন \ ৪ \ কোনো সমান্তর ধারার p তম পদ p2 এবং q তম পদ q2 হলে, ধারাটির (p + q) তম পদ কত?

সমাধান :        মনে করি,   ধারাটির প্রথম পদ = a

                             এবং সাধারণ অন্তর = d

          ∴ p তম পদ  = a + (p – 1)d

                   q তম পদ = a + (q – 1)d

          এবং (p + q) তম পদ = a + (p + q – 1)d

         প্রশ্নমতে, a + (p – 1)d = p² …………….. (i)

                 a + (q – 1)d = q² ………………(ii)

          সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করি,

             (p – 1)d – (q – 1)d = p² – q²

         বা, d(p – 1 – q + 1) = (p + q) (p – q)

         বা, d(p – q) = (p + q) (p – q)

         বা, d = \[\frac{(p + q)(p – q)}{(p – q )}\]

        ∴  d = p + q

         ∴  (p + q) তম পদ     = a + (p + q – 1) d

                             = a + (p– 1) d + qd

                             = p² + q (p + q)  [∵a + (p – 1) d = p², d = p + q ]

                             = p² + pq + q²

          নির্ণেয় (p + q) তম পদ p² + pq +  q²

প্রশ্ন \ ৫ \ কোনো সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, (m + n) তম পদ কত?

সমাধান : মনে করি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a

                   এবং সাধারণ অন্তর = d

          ∴ ধারাটির m তম পদ = a + (m – 1) d

               ”      n তম পদ = a + (n – 1) d

          শর্তানুসারে, a + (m -1) d = n ………………… (i)

                এবং  a + (n -1) d = m ……………….. (ii)

সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই

           (m – 1 – n + 1) d = n – m

     বা, (m – n) d = – (m – n)

     বা, d = \[\frac{– (m –  n)}{(m – n )}\]

     ∴ d = – 1

     ∴ ধারাটির (m + n) তম পদ = a + (m + n -1) d

                              = a + {(m – 1) + n} d

                              = a + (m – 1)d + nd

                              = n + n(- 1) [∵ a + (m – 1) d = n এবং d = – 1]

                              = n – n = 0

     নির্ণেয় (m + n) তম পদ 0.

Step-by-step guide to solving finite series in SSC Math

প্রশ্ন \ ৬ \ 1 + 3 + 5 + 7 + … … … ধারাটির হ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 1 + 3 + 5 + 7 + … … …

          এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 1

     সাধারণ অন্তর, d = 3 – 1= 2

          এবং পদ সংখ্যা = n

     ∴ প্রদত্ত ধারার সমষ্টি, S_n = {2a + (n – 1) d}

          = \[\frac{n}{2}\]  {2 × 1 + (n – 1).2} [মান বসিয়ে]

                           =  \[\frac{n}{2}\] (2 + 2n – 2)

                           = \[\frac{n}{2}\] × 2n

                           = n²

          নির্ণেয় ধারাটির n পদের যোগফল n².

প্রশ্ন \ ৭ \ 8 + 16 + 24 + …………. ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 8 + 16 + 24 + ………….

এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ a = 8

এবং সাধারণ অন্তর d = 16 – 8 = 8

∴ ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি, S₉ = {2a + (9 – 1) d}

                              = \[\frac{9}{2}\] (2a + 8d)

                              = \[\frac{9}{2}\] (2 × 8 + 8 × 8)

                              = \[\frac{9}{2}\] (16 + 64)

                              = \[\frac{9}{2}\] × 80

                              = 9 × 40

                              = 360

          ∴ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি 360.

প্রশ্ন \ ৮ \ 5 + 11 + 17 + 23 + …………… + 59 = কত?

সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 5 + 11 + 17 + 23 + …………… + 59 =

          এটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 5

     সাধারণ অন্তর, d = 11– 5 = 17 – 11 = 6

          শেষ পদ, p = 59

          ধরি, ধারাটির পদসংখ্যা = n

          ∴ n তম পদ = a + (n – 1)d

          কিন্তু n তম পদ = শেষ পদ = 59

     অর্থাৎ, 5 + (n – 1) 6 = 59

     বা, 5 + 6n – 6 = 59

     বা, 6n – 1 = 59

     বা, 6n = 59 + 1

     বা, n = = 10

    ∴ সমষ্টি, S = \[\frac{n}{2}\] {2a + (n – 1)d}

                 = \[\frac{10}{2}\] {2 × 5 + (10 – 1).6}

                 = 5 (10 + 9 × 6)

                 = 5 (10 + 54)

                 = 5 × 64

                 = 320

          নির্ণেয় সমষ্টি 320.

প্রশ্ন \ ৯\  29 + 25 + 21 + … … … – 23 = কত?

সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 29 + 25 + 21 + … … … – 23 =

          এটি একটি সমান্তর ধারা, যার ১ম পদ, a = 29

          সাধারণ অন্তর, d = 25 – 29 = – 4

          শেষ পদ, p = – 23

          ধরি, ধারাটির পদ সংখ্যা = n

          ∴ n তম পদ = a + (n – 1)d

          কিন্তু n তম পদ = শেষ পদ = – 23

     অর্থাৎ, a + (n – 1)d = – 23

     বা, 29 + (n – 1) (– 4) = – 23

     বা, 29 – 4n + 4 = – 23

     বা, 4n = 33 + 23

     বা, n = \[\frac{56}{4}\]

    ∴ n = 14

     ∴ সমষ্টি, S = \[\frac{n}{2}\] {2a + (n – 1)d}

                 = \[\frac{14}{2}\] {2 × 29 + (14 – 1) (– 4)}

                 = 7{58 + 13 ( – 4)}

                 = 7 (58 – 52) = 7 × 6 = 42  [মান বসিয়ে]

          নির্ণেয় সমষ্টি 42.

প্রশ্ন \ ১০ \ কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : ধরি,  ধারাটির প্রথম পদ = a

                   এবং সাধারণ অন্তর = d

     ∴ 12 তম পদ       = a + (12 – 1) d

                           = a + 11d

          প্রশ্নমতে, a + 11d = 77 … … … … … (i)

          মনে করি, প্রথম 23 পদের সমষ্টি = S

     ∴ S = \[\frac{23}{2}\] {2a + (23 – 1) d}     [∵ n = 23]

          = \[\frac{14}{2}\] (2a + 22d)

          =  \[\frac{14}{2}\] × 2 (a + 11d)

          = 23 (a + 11d)

          = 23 × 77

          = 1771

          নির্ণেয় সমষ্টি 1771.

প্রশ্ন \ ১১ \ একটি সমান্তর ধারার 16 তম পদ – 20 হলে, এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত?

          সমাধান : মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ = a

                   এবং সাধারণ অন্তর = d

          ∴ ধারাটির 16 তম পদ, a + (16 -1)d = – 20

                   বা, a + 15d = – 20

          আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n -সংখ্যক পদের সমষ্টি,

          S_n = \[\frac{n}{2)}\] {2a + (n -1)d}

          তাহলে, ধারাটির প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি

          S₃₁ = \[\frac{31}{2}\] {2a + (31 -1)d}

             = \[\frac{31}{2}\] (2a + 30d)

= \[\frac{31}{2}\]  × 2(a + 15d)

             = \[\frac{31}{2}\]  × 2 × (-20) [∵ a + 15d = -20]

             = 31 × (-20)

             = – 620

          নির্ণেয় সমষ্টি – 620.

How to easily solve SSC General Math Exercise 13.1 সসীম ধারা

প্রশ্ন \ ১২ \ 9 + 7 + 5 + … … ধারাটির প্রথম হ সংখ্যক পদের যোগফল – 144 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি হলো, 9 + 7 + 5 + ………….

          আমরা জানি, সমান্তর ধারার n পদের সমষ্টি, S = \[\frac{n}{2}\]  {2a + (n – 1) d}

     এখানে,     প্রথম পদ, a = 9

            সাধারণ অন্তর d = 7 – 9 = – 2

   ∴ S = \[\frac{n}{2}\]  {2a + (n – 1) d} = – 144

     বা, \[\frac{n}{2}\]  {(2 × 9) + (n – 1) (-2)} = – 144

     বা, \[\frac{n}{2}\] (18 – 2n + 2) = – 144

     বা, \[\frac{n}{2}\] (20 – 2n) = -144

     বা, \[\frac{n}{2}\] × 2(10 – n) = – 144

     বা, n (10 – n) = – 144

     বা, 10n – n² + 144 = 0

     বা, n² – 10n – 144= 0

     বা, n² – 18n + 8n – 144 = 0

     বা, n(n – 18) + 8(n – 18) = 0

     বা, (n – 18) (n + 8) = 0

হয়, n – 18 = 0               নতুবা,  n + 8 = 0

∴ n = 18                               ∴ n = – 8

          কিন্তু n = – 8 গ্রহণযোগ্য নয়।

          কেননা পদ সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।

          ∴ n = 18

          নির্ণেয় পদসংখ্যা, n = 18.

প্রশ্ন \ ১৩ \ 2 + 4 + 6 + 8 + ….. ধারাটির প্রথম হ সংখ্যক পদের সমষ্টি 2550 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি 2 + 4 + 6 + 8 + …..

এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ, a = 2

এবং সাধারণ অন্তর, d = 4 – 2 = 2

শর্তানুসারে, n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 2550

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

     S_n = \[\frac{n}{2}\] {2a + (n – 1)d}

     ∴  \[\frac{n}{2}\] {2a + (n – 1)d} = 2550

      বা, \[\frac{n}{2}\] {2 × 2 + (n – 1)2} = 2550

      বা, \[\frac{n}{2}\] {4 + (n – 1)2} = 2550

     বা, \[\frac{n}{2}\] {2n + 2} = 2550

      বা, \[\frac{n}{2}\] × 2(n + 1) = 2550

      বা, n(n + 1) = 2550

     বা, n² + n – 2550 = 0

     বা, n² + 51n – 50n – 2550 = 0

     বা, n(n + 51) – 50 (n + 51) = 0

     বা, (n + 51)(n -50) = 0

          হয়, n + 51 = ০        অথবা, n – 50 = 0

           ∴ n = – 51           ∴ n = 50

          কিন্তু পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।

          ∴ n = 50

          নির্ণেয় n এর মান 50.

প্রশ্ন \ ১৪ \ কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটি নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, কোনো ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = n (n + 1)

          n = 1, 2, 3, 4 … … … … ইত্যাদি বসিয়ে পাই,

          S₁ = প্রথম পদের সমষ্টি = 1 (1 + 1) = 1 × 2 = 2

          S₂ = প্রথম দুইটি পদের সমষ্টি   = 2(2 + 1)

                                                = 2 × 3 = 6

          S₃ = প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি  = 3(3 + 1) = 3 × 4 = 12

          ∴ প্রথম পদ = 2

          দ্বিতীয় পদ = S₂ – S₁ = 6 – 2 = 4

          এবং তৃতীয় পদ = S₃ – S₂ = 12 – 6 = 6

          নির্ণেয় ধারাটি, 2 + 4 + 6 + 8 + … … …

Complete and simple guide to understanding সসীম ধারা in SSC Math

প্রশ্ন \ ১৫ \ কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : দেওয়া আছে, ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n +1).

          n = 1, 2, 3 ……. ইত্যাদি বসিয়ে পাই,

          প্রথম পদের সমষ্টি = 1(1 + 1) = 1 × 2 = 2

          দুইটি পদের সমষ্টি = 2(2 + 1) = 3 × 2 = 6

          তিনটি পদের সমষ্টি = 3(3 + 1) = 3 × 4 = 12

          ∴  প্রথম পদ = 2

          দ্বিতীয় পদ = 6 – 2 = 4

          এবং তৃতীয় পদ = 12 – 6 = 6

          ∴  ধারাটি = 2 + 4 + 6 +………….

          এখানে, প্রথম পদ, a = 2

                   সাধারণ অন্তর d = 4 – 2 = 2

          আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

                                  S_n = \[\frac{n}{2}\] {2a + (n -1)d}

     তাহলে, 10 টি পদের সমষ্টি S₁₀ = \[\frac{10}{2}\]

                                          = \[\frac{10}{2}\] {2 × 2 + (10 -1) 2}

                                         = 5(4 + 18)

                                        = 5 × 22 = 110

          নির্ণেয় সমষ্টি 110.

প্রশ্ন \ ১৬ \ একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি 144 এবং প্রথম 20 পদের সমষ্টি 560 হলে, এর প্রথম 6 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অন্তর = d

     ∴  ধারাটির 12 তম পদ = a + (12 – 1)d

                                 = a + 11d

          ∴  ধারাটির 12 পদের সমষ্টি S₁₂ = \[\frac{12}{2}\]  {2a + (12 – 1) d}

                   বা, 144 = 6(2a + 11d)

                   বা, 2a + 11d = \[\frac{144}{6}\]  

                   ∴  2a + 11d = 24 ………….(i)

          আবার, 20 পদের সমষ্টি S₂₀ =\[\frac{20}{2)}\] {2a + (20 – 1) d}

                                       বা, 560 = 10(2a + 19d)

                                       বা, 2a + 19d = \[\frac{560}{10}\]

                                      ∴ 2a + 19d = 56 ……… (ii)

          সমীকরণ (ii) হতে (i) নং বিয়োগ করে পাই,

     2a + 19d – 2a – 11d = 56 – 24

          বা, 8d = 32

         বা, d = \[\frac{32}{8}\]

       ∴ d = 4

          d এর মান সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,

     2a + 19 × 4 = 56

     বা, 2a + 76 = 56

     বা, 2a = 56 – 76

     বা, a = \[\frac{-20}{8}\]

     ∴ a = – 10

     ∴ প্রথম 6 পদের সমষ্টি S₆ = \[\frac{6}{2}\] {2a + (6 – 1) d}

                             = \[\frac{6}{2}\] {2 × (- 10) + (6 -1) × 4}

                             = 3(- 20 + 20)

                             = 3 × 0 = 0

          নির্ণেয় সমষ্টি 0.

প্রশ্ন \ ১৭ \ কোনো সমান্তর ধারার প্রথম m পদের সমষ্টি n এবং n পদের সমষ্টি m হলে, এর প্রথম (m + n) পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a

          এবং সমান্তর অন্তর = d

∴ ধারাটির প্রথম m পদের সমষ্টি = \[\frac{m}{2}\]  {2a + (m – 1) d}

এবং ধারাটির প্রথম n পদের সমষ্টি = \[\frac{n}{2}\] {2a + (n – 1) d}

          শর্তানুসারে, \[\frac{m}{2}\]  {2a + (m – 1)d} = n ……………. (i)

                    এবং \[\frac{n}{2}\] {2a + (n – 1)d} = m   ……………. (ii)

          সমীকরণ (i) হতে পাই,

                   2a + (m -1) d = \[\frac{2n}{m}\]  ………………(iii)  সমীকরণ (ii) হতে পাই,

                   2a + (n -1) d = \[\frac{2m}{n}\]   ………………(iv)

          সমীকরণ (iii) হতে (iv) বিয়োগ করে পাই,

     (m – n)d =  \[\frac{2n}{m} – \frac{2m}{n}\]   

     বা, (m – n)d =  \[\frac{2n^2 – 2m^2}{mn}\]   

     বা, d = \[\frac{2n^2 – 2m^2}{mn(m – n)}\]   

           =  \[\frac{2(n^2 – m^2)}{mn(m – n)}\]   

           =  \[\frac{2(n – m)(n + m)}{mn(m – n)}\]   

           =  \[\frac{–2(m – n)(m + n)}{mn(m – n)}\]   

           =  \[\frac{–2(m + n)}{mn(m – n)}\]   

          এখন, ধারাটির প্রথম (m + n) পদের সমষ্টি

         = \[\frac{(m + n)}{2}\] {2a + (m + n -1)d}

          = \[\frac{(m + n)}{2}\]  {2a + (m – 1)d + nd}

          = \[\frac{(m + n)}{2}\] \[ \left\{\frac{2n}m-2n\left(\frac{m+n}{mn}\right)\right\} \]  [iii নং ও d এর মান বসিয়ে]

          = \[\frac{(m + n)}{2}\]  \[ \left\{\frac{2n}m-2\left(\frac{m+n}m\right)\right\} \]  

          = \[\frac{(m + n)}{2}\] \[ \left\{\frac{2n}m-\frac{2m-2n}m\right\} \]  

          = \[\frac{(m + n)}{2}\] ×  \[ \left\{\frac{2n-2m-2n}m\right\} \]  

          = \[\frac{(m + n)}{2}\] ×  \[ \left\{\frac{-2m}m\right\} \]  

          = – (m + n)

          নির্ণেয় সমষ্টি – (m + n).

প্রশ্ন \ ১৮ \ কোনো সমান্তর ধারায় p তম, q তম ও r তম পদ যথাক্রমে a, b, c হলে, দেখাও যে, a(q – r) + b(r – p) + c(p – q) = 0.

সমাধান : মনে করি, সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = x

                             এবং সাধারণ অন্তর = d

          ∴ ধারাটির p তম পদ = x + (p – 1)d

                   ”      q তম পদ = x + (q -1)d

                   ”       r  তম পদ = r + (q -1)d

     শর্তানুসারে, x + (p -1) d = a  ………….. (i)

                x + (q -1) d = b ………….. (ii)

                x + (r -1) d = c  ………….. (iii)

          সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,

     (p – 1 – q + 1) d = a – b

     বা, (p – q) d = a – b

     ∴ d = \[\frac{(a – b)}{p – q}\]  

          d এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

     x + (p – 1) (\[\frac{(a – b)}{p – q}\]) = a

     বা, x = a – \[\frac{(p – 1)(a – b)}{p – q}\]          

     ∴ x = \[\frac{a(p – q)  – (p – 1)(a – b)}{p – q}\]  

          সমীকরণ (iii)এ x ও d এর মান বসিয়ে পাই,

     \[\frac{a(p – q)  – (p – 1)(a – b)}{p – q}\]  + (r – 1)( \[\frac{(a – b)}{p – q}\]) = c

     বা, \[\frac{ap –aq – ap + bp + a – b + ar – br – a + b}{p – q}\]  + (r – 1)( \[\frac{(a – b)}{p – q}\]) = c

          বা, – aq + ar – br + bp = c(p – q)

          বা, – a(q – r) – b(r – p) – c(p – q) = 0

          বা,  a(q – r) + b(r – p) + c(p – q) = 0

          ∴ a(q – r) + b(r – p) + c (p – q) = 0 (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ ১৯ \ দেখাও যে, 1 + 3 + 5 + 7 + … … … + 125 = 169 + 171 + 173 + … … … + 209

সমাধান : মনে করি, S₁ = 1 + 3 + 5 + 7 + … … … + 125

                   এবং S₂ = 169 + 171 + 173 + … … + 209

          দেখাতে হবে যে, S_l = S₂

     এখানে, বামপক্ষের ধারাটির প্রথম পদ, a = 1

          সাধারণ অন্তর, d = 3 – 1 = 2

          ধরি, S_l ধারার পদ সংখ্যা = n

     কিন্তু n তম পদ = শেষ পদ = 125

     ∴ a + (n – 1)d = 125

     বা, 1 + (n – 1)2 = 125

     বা, 1 + 2n – 2 = 125

     বা, 2n – 1 = 125

     বা, 2n = 125 + 1

    ∴ n = \[\frac{126}{2}\]  = 63

     ∴ S_l = \[\frac{n}{2}\] {2n + (n – 1)d}

          = \[\frac{63}{2}\] {2 × 1 + (63 – 1).2}  [n, a ও d এর মান বসিয়ে]

          = \[\frac{63}{2}\] (2 + 62 × 2)

          = \[\frac{63}{2}\] × 2 (1 + 62)

          = 63 × 63 = 3969

     আবার, ডানপক্ষের ধারার প্রথম পদ, a = 169

                    সাধারণ অন্তর, d = 171 – 169 = 2

          ধরি, S₂ ধারার পদ সংখ্যা = m

     কিন্তু m তম পদ = শেষ পদ = 209

    ∴ a + (m – 1) d = 209

     বা, 169 + (m – 1) 2 = 209

     বা, 169 + 2m – 2 = 209

     বা, 2m + 167 = 209

     বা, 2m = 209 – 167

    ∴ m = = 21

    ∴ S₂ = \[\frac{m}{2}\] {2a + (m – 1) d}

                   = \[\frac{21}{2}\] {2 × 169 + (21 – 1).2}        [m, a ও d এর মান বসিয়ে]

          = \[\frac{21}{2}\] (338 + 40)

           = \[\frac{21}{2}\] × 378

           = 21 × 189

           = 3969

    ∴ S_l = S₂  

          অর্থাৎ, 1 + 3 + 5 + 7 + … … … + 125 = 169 + 171 + 173 + … … … + 209 (দেখানো হলো)

Master the concept of finite series with SSC General Math Exercise 13.1 solution

প্রশ্ন \ ২০ \ এক ব্যক্তি 2500  টাকার একটি ঋণ কিছু সংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজী হন। প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি থেকে 2 টাকা বেশি। যদি প্রথম কিস্তি 1 টাকা হয়, তবে কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তার ঋণ শোধ করতে পারবেন?

সমাধান : মনে করি, কিস্তির সংখ্যা = n

          পরপর দুই কিস্তির পার্থক্য, d = 2; প্রথম কিস্তি, a = 1;

          মোট ঋণের পরিমাণ, S_n = 2500

     সমান্তর ধারার সূত্রমতে, S_n = \[\frac{n}{2}\]  {2a + (n – 1) d}

                      বা, 2500 = \[\frac{n}{2}\]   {2 ×1 + (n – 1) 2}

                      বা, বা, 2500 = \[\frac{n}{2}\]   {2 + 2n – 2}

                      বা, 2500 = \[\frac{n}{2}\]  × 2n

                      বা, 2500 = n²

                      বা, n² = 2500

                      বা, n =  \[\sqrt{2500}\]  

                      ∴ n = ± 50

          কিন্তু কিস্তির সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।

          ∴ n = 50

          নির্ণেয় কিস্তির সংখ্যা 50 টি।

SSC general math exercise 3.4 solution