SSC Higher Math Chapter 2 Solution Part 2

SSC higher math chapter 2 solution part 2

প্রশ্ন \ ১০ \ যদি $\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}=\frac3{abc}$ হয়, তবে দেখাও যে, bc + ca + ab = 0 অথবা, a = b = c

সমাধান : দেওয়া আছে,

$\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}=\frac3{abc}$

বা, $\frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}-3.\frac1a.\frac1b.\frac1c = 0$

বা, $\frac12\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\left\{\left(\frac1a-\frac1b\right)^2+\left(\frac1b-\frac1c\right)^2+\left(\frac1c-\frac1a\right)^2\right\}=0$

বা, $\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\left\{\left(\frac1a-\frac1b\right)^2+\left(\frac1b-\frac1c\right)^2+\left(\frac1c-\frac1a\right)^2\right\}=0$

বা, [/latex]\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right) [/latex] = 0

বা, $\frac{bc+ca+ab}{abc}=0$

∴ bc+ca+ab = 0

অথবা, $\left\{\left(\frac1a-\frac1b\right)^2+\left(\frac1b-\frac1c\right)^2+\left(\frac1c-\frac1a\right)^2\right\}=0$

যেহেতু তিনটি বর্গের সমষ্টির মান শূন্য, সুতরাং এদের প্রত্যেকের মান শূন্য।

অর্থাৎ $\left(\frac1a-\frac1b\right)^2=0$

বা, $\frac1a-\frac1b=0$ [বর্গমূল করে]

বা, $\frac1a=\frac1b$

বা, a = b

অনুরূপভাবে, b = c এবং c = a

∴ a = b = c

সুতরাং bc + ca + ab = 0 অথবা a = b = c (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ ১১ \ যদি x = b + c – a, y = c + a – b হয়, z = a + b – c তবে দেখাও যে, x³ + y³ + z³ – 3xyz = 4(a³ + b³ + c³ – 3abc)

সমাধান : এখানে,

x³ + y³ + z³– 3xyz

= $\frac{1}{2}$ (x + y + z){(x – y)² + (y – z)² + (z – x²)}

= $\frac{1}{2}$ (b + c – a + c + a – b + a + b – c){(b + c – a – c – a + b)² +

(c + a – b – a – b + c)² + (a + b – c – b – c + a)²

[x, y, z এর মান বসিয়ে]

= $\frac{1}{2}$ (a + b + c){(2b – 2a)² + (2c – 2b)² + (2a – 2c)²}

= $\frac{1}{2}$ (a + b + c)[{ – 2(a – b)}² + { – 2(b – c)}² + { – 2(c – a)}²]

= $\frac{1}{2}$ (a + b + c){ 4(a – b)² + 4(b – c)² + 4(c – a)²}

= 4. $\frac{1}{2}$ (a + b + c){(a – b)² + (b – c)² + (c – a)²}

= 4(a³ + b³ + c³ – 3abc)

\ x³ + y³ + z³ – 3xyz = 4(a³ + b³ + c³ – 3abc) (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ ১২ \ সরল কর :

(a) $\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}$

সমাধান :

$\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}$

= $\frac{a^2}{-\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\frac{b^2}{-\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\frac{c^2}{-\left(c-a\right)\left(b-c\right)}$

= $\frac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right) }$

চক্রক্রমিক রাশির সূত্রানুযায়ী

a2(b – c) + b2 (c – a) + c2(a – b) = – (a – b) (b – c) (c – a)

∴ প্রদত্ত রাশি = $\frac{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)} {-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}$

সমাধান :

$\frac{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)} {-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}$

= $\frac a{-\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(x-a\right)}+\frac b{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(x-b\right)}+\frac c{-\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(x-c\right)}$

= $\frac{-a}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(x-a\right)}-\frac b{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(x-b\right)}-\frac c{\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(x-c\right)}$

= $\frac{-a\left(b-c\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)-b\left(c-a\right)\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)-c\left(a-b\right)\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)}$

এখানে, লব

= – a(b – c)(x² – bx – cx + bc) – b(c – a)

(x² – ax – cx + ca) – c(a – b)(x² – ax – bx + ab)

= – a(b – c) {x² – (b + c) x + bc} – b(c – a){x² – x(c + a) + ca}

– c(a – b){x² – x(a + b) + ab}

= – ax²(b – c) + a(b – c)(b + c) x – abc (b – c)

– bx² (c – a) + b(c – a)(c + a) x – abc(c – a) – cx²(a – b)

+ c(a – b)(a + b)x – abc (a – b)

= – x²{a(b – c) + b(c – a) + c(a – b)} + x {a(b² – c²)

+ b (c² – a²) + c(a² – b²)} – abc (b – c + c – a + a – b)

= – x²(ab – ca + bc – ab + ca – bc) + x (a – b) (b – c)(c – a) – abc × 0

= – x² × 0 + x

= x(a – b)(b – c)(c – a)

∴ প্রদত্ত রাশি $\frac{x\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)}$

= $\frac{x}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)}$

(c) $\frac{\left(a+b\right)^2-ab}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2-bc}{\left(c-a\right)\left(b-a\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2-ca}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)}$

সমাধান :

$\frac{\left(a+b\right)^2-ab}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2-bc}{\left(c-a\right)\left(b-a\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2-ca}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)}$

= $\frac{a^2+2ab+b^2-ab}{-\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{b^2+2bc+c^2-bc}{-\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+\frac{c^2+2ca+a^2-ca}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)}$

= $\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(b-c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)+\left(c-a\right)\left(c^2+ca+a^2\right)}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}$

= $\frac{\left(a^3-b^3\right)+\left(b^3-c^3\right)+\left(c^3-a^3\right)}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}$

= $\frac{a^3-b^3+b^3-c^3+c^3-a^3}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}$

= $\frac{0}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}$

= 0 (Ans)

(d) $\frac1{1+x}+\frac2{1+x^2} +\frac4{1+x^4}+\frac8{1+x^8} + \frac{16}{x^{16}-1}$

সমাধান :

$\frac1{1+x} +\frac2{1+x^2} + \frac4{1+x^4} + \frac8{1+x^8} + \frac{16}{x^{16}-1}$

= $\left(\frac1{1+x}-\frac1{x-1}\right) + \frac2{1+x^2} + \frac4{1+x^4} + \frac8{1+x^8}+\frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1}$

= $\frac{x-1-x-1}{\left(1+x\right)\left(x-1\right)} + \frac2{1+x^2} + \frac4{1+x^4} +\frac8{1+x^8}+\frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1}$

= $\frac{-2}{\left(1+x\right)\left(x-1\right)}+\frac2{x^2+1}+\frac4{x^4+1}+\frac8{x^8+1}+\frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1}$

= $\frac{-2x^2-2+2x^2-2}{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)} +\frac4{x^4+1}+\frac8{x^8+1}+\frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1}$

= $\frac{-4}{\left(x^4-1\right)} + \frac4{x^4+1} + \frac8{x^8+1} + \frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1}$

= $\frac{-4x^4-4+4x^4-4}{\left(x^4-1\right)\left(x^4+1\right)} + \frac8{x^8+1} +\frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1}$

= $\frac{-8}{\left(x^8-1\right)}+\frac8{x^8+1}+\frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1}$

= $\frac{-8x^8-8+8x^8-8}{\left(x^8-1\right)\left(x^8+1\right)} + \frac{16}{x^{16}-1} +\frac1{x-1}$

= $\frac{-16}{\left(x^{16}-1\right)}+\frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1}$

= $\frac1{x-1}$

প্রশ্ন \ ১৩ \ আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর :

(a) $\frac{5x+4}{x\left(x+2\right)}$

সমাধান : মনে করি, $\frac{5x+4}{x\left(x+2\right)}\;\equiv\frac Ax+\frac B{x+2}$ ………. (i)

সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে x(x + 2) দ্বারা গুণ করে পাই,

5x + 4 ≡ A(x + 2) + B(x) …………. (ii)

সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 0 বসিয়ে পাই,

5.0 + 4 = A(0 + 2) + B ´ 0

বা, 4 = 2A

বা, 2A = 4

∴ A = 2

আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = -2 বসিয়ে পাই,

5.( – 2) + 4 = A(- 2 + 2) + B ( – 2)

বা, – 2B = -6

∴ B = 3

এখন, A এবং B এর মান সমীকরণ (i)- এ বসিয়ে পাই,

$\frac{5x+4}{x\left(x+2\right)}\;\equiv\frac 2x+\frac 3{x+2}$ ; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

(b) $\frac{x+2}{x^2-7x+12}$

সমাধান : এখানে, $\frac{x+2}{x^2-7x+12}=\frac{x+2}{x^2-4x-3x+12}$

= $\frac{x+2}{x\left(x-4\right)-3\left(x-4\right)}$

= $\frac{x+2}{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}$

মনে করি, $\frac{x+2}{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}\equiv\frac A{x-3}+\frac B{x-4}$ ……….. (i)

সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে (x – 3)(x – 4) দ্বারা গুণ করে পাই,

x + 2 ≡ A(x – 4) + B(x – 3) …………… (ii)

সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 3 বসিয়ে পাই,

3 + 2 = A(3 – 4) + B(3 – 3)

বা, – A = 5

∴ A = -5

আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 4 বসিয়ে পাই,

4 + 2 = A(4 – 4) + B(4 – 3)

∴ B = 6

এখন, A ও B এর মান সমীকরণ (i) – এ বসিয়ে পাই,

$\frac{x+2}{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}\equiv\frac -5{x-3}+\frac 6{x-4}$ = $\frac -5{x-3}+\frac 6{x-4}$ ; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

সমাধান : মনে করি,

$\frac{x^2-9x-6x}{x\left(x-2\right)\left(x+3\right)}\equiv\frac Ax+\frac B{x-2}+\frac C{x+3}$ ………. (i)

সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে x (x – 2)(x + 3) দ্বারা গুণ করে পাই,

x² – 9x – 6 ≡ A(x – 2)(x + 3) + B.x(x + 3) + C.x (x – 2) ………… (ii)

সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 0 বসিয়ে পাই,

0)² – 9.0 – 6 = A(0 – 2)(0 + 3) + B.0(0 + 3) + C.0 (0 – 2)

বা, – 6 = – 6A

বা, A = 1

∴ A = 1

আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই,

2² – 9.2 – 6 = A(2 – 2)(2 + 3) + B.2 (2 + 3) + C.2 (2 – 2)

বা, 4 – 18 – 6 = 10B

বা, 10B = – 20

∴ B = – 2

আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = – 3 বসিয়ে পাই,

( – 3)² – 9( – 3) – 6 = A( – 3 – 2)( – 3 + 3) + B (- 3 )( – 3 + 3) + C( – 3)( – 3 – 2)

বা, 9 + 27 – 6 = 0 + 0 + 15C

বা, 15C = 30

∴ C = 2

এখন A, B ও C এর মান সমীকরণ (i) – এ বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2-9x-6x}{x\left(x-2\right)\left(x+3\right)}= \frac 1x-\frac 2{x-2}+\frac 2{x+3}$ ; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

(d) $\frac{x^2-4x-7}{\left(x+1\right)\left(x^2+4\right)}$

সমাধান :

মনে করি, $\frac{x^2-4x-7}{\left(x+1\right)\left(x^2+4\right)}\equiv\frac A{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}$ ———————- (i)

সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে (x + 1)(x² + 4) দ্বারা গুণ করে পাই,

x² – 4x – 7 ≡ A(x² + 4) + (Bx + C)(x + 1) ¼ ¼ ¼ ¼ (ii)

সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = – 1 বসিয়ে পাই,

(- 1)² – 4(- 1) – 7 = A{(- 1)² + 4} + {B(- 1) + C} (- 1 + 1)

বা, 1 + 4 – 7 = 5A

বা, 5 – 7 = 5A

বা, – 2 = 5A

বা, A = $-\frac{2}{5}$

আবার সমীকরণ (ii) এর x² ও x এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

A + B = 1 …………. (iii)

এবং B + C = -4…….. (iv)

সমীকরণ (iii) এ A = $-\frac{2}{5}$ বসিয়ে পাই,

$-\frac{2}{5}$ + B = 1

বা, B = 1 + $\frac{2}{5}$

বা, B = $\frac{7}{5}$

সমীকরণ (iv) এ B = $\frac{7}{5}$ বসিয়ে পাই,

$\frac{7}{5}$ + C = – 4

বা, C = – 4 – $\frac{7}{5}$

বা, C = $\frac{-20 - 7}{5}$

বা, C = $\frac{- 27}{5}$

সমীকরণ (i) এ A, B এবং C এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2-4x-7}{\left(x+1\right)\left(x^2+4\right)}=\frac{\displaystyle\frac{-2}5}{x+1}+\frac{{\displaystyle\frac75}x-{\displaystyle\frac{27}5}}{x^2+4}=\frac15\left(\frac{-2}{x+1}+\frac{7x-2}{x^2+4}\right)$

∴ $\frac{x^2-4x-7}{\left(x+1\right)\left(x^2+4\right)}=\frac15\left(\frac{7x-2}{x^2+4}-\frac2{x+1}\right)$ ; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

(e) $\frac{x^2}{\left(2x+1\right)\left(x+3\right)^2}$

সমাধান : মনে করি,

$\frac{x^2}{\left(2x+1\right)\left(x+3\right)^2}\equiv\frac A{2x+1}+\frac B{x+3}+\frac C{\left(x+3\right)^2}$ ………………. (i)

সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে (2x + 1)(x + 3)² দ্বারা গুণ করে পাই,

x² ≡ A(x + 3)² + B(x + 3)(2x + 1) + C(2x + 1) ……… (ii)

সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = – 3 বসিয়ে পাই,

( – 3)² = A( – 3 + 3)² + B( – 3 + 3){2( – 3) + 1} + C{2(- 3) + 1}

বা, 9 = -5C

বা, C = – $\frac{9}{5}$

∴ C = – $\frac{9}{5}$

আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = – $\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই,

$\left(-\frac12\right)^2=A\left(-\frac12+3\right)^2+B\left(-\frac12+3\right)\left\{2\left(-\frac12\right)+1\right\}+C\left\{2\left(-\frac12+1\right)\right\}$

বা, $\frac14=A\left(\frac{-1+6}2\right)^2+B.0+C.0$

বা, $\frac14=A\left(\frac52\right)^2$

বা, $\frac14=A\times\frac{25}4$

∴ $A = \frac{1}{25}$

আবার, সমীকরণ (ii) এর x² এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

A + 2B = 1

বা, 2B = $1 - \frac{1}{2}$

বা, 2B= $\frac{25 - 1}{25}$

বা, B = $\frac{24}{25×2}$

∴ B = $\frac{12}{25}$

এখন, A, B ও C এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{\left(2x+1\right)\left(x+3\right)^3}=\frac{\displaystyle\frac1{25}}{2x+1}+\frac{\displaystyle\frac{12}{25}}{x+3}+\frac{\displaystyle\frac{-9}5}{\left(x+3\right)^2}$

∴ $\frac{x^2}{\left(2x+1\right)\left(x+3\right)^3} =\frac1{25\left(2x+1\right)} +\frac{12}{25\left(x+3\right)}-\frac9{5\left(x+3\right)^2}$ এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

প্রশ্ন \ ১৪ \ চলক x এর একটি বহুপদী P(x) = 7x² – 3x + 4x⁴ – a + 12x³

ক. বহুপদীটির আদর্শরূপ লেখ।

খ. P(x) এর একটি উৎপাদক (x + 2) হলে a এর মান নির্ণয় কর।

গ. যদি Q(x) = 6x³ – x² – 5x + 2 এর ক্ষেত্রে Q $(\frac{1}{2})$ = 0 হয়, তবে P(x) এবং Q(x) এর সাধারণ উৎপাদক দুইটি নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক. দেওয়া আছে, P(x) = 7x² – 3x + 4x⁴ – a + 12x³

x চলকের বহুপদীকে x-এর ঘাতের অধঃক্রমে সাজালে বহুপদীর এরূপ বর্ণনাকে বহুপদীটির আদর্শরূপ বলে।

∴ P(x) এর আদর্শরূপ হলো : 4x⁴ + 12x³ + 7x² – 3x – a

খ. দেওয়া আছে, P(x) = 7x² – 3x + 4x⁴ – a + 12x³

ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, (x + 2), P(x) – এর একটি উৎপাদক হবে যদি P( – 2) = 0 হয়।

এখন, P ( – 2)

= 7( – 2)² – 3 ( – 2) + 4( – 2)⁴ – a + 12( – 2)³

= 28 + 6 + 64 – a – 96

= 2 – a

যেহেতু P( – 2) = 0 সুতরাং, 2 – a = 0

∴ a = 2 (Ans.)

গ. দেওয়া আছে, Q(x) = 6x³ – x² – 5x + 2

যেহেতু Q $(\frac{1}{2})$ = 0, সুতরাং ((2x – 1), Q(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন, Q(x) = 6x³ – x² – 5x + 2

= 6x³ – 3x² + 2x² – x – 4x + 2

= 3x²(2x – 1) + x(2x – 1) – 2(2x – 1)

= (2x – 1)(3x² + x – 2)

= (2x – 1)(3x² + 3x – 2x – 2)

= (2x – 1) {3x(x + 1) – 2(x + 1)}

= (2x – 1)(x + 1)(3x – 2)

আবার, P(x) = 7x² – 3x + 4x⁴ – a + 12x³

= 4x⁴ + 12x³ + 7x² – 3x – 2 [Q a = 2]

∴ P( – 1) = 4( – 1)⁴ + 12( – 1)³ + 7( – 1)² – 3 ( – 1) – 2

= 4 – 12 + 7 + 3 – 2

= 14 – 14

= 0

∴ (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন, 4x⁴ + 12x³ + 7x² – 3x – 2

= 4x⁴ + 4x³ + 8x³ + 8x² – x² – x – 2x – 2

= 4x³(x + 1) + 8x²(x + 1) – x(x + 1) – 2 (x + 1)

= (x + 1)(4x³ + 8x² – x – 2)

= (x + 1){4x²(x + 2) – 1(x + 2)}

= (x + 1)(x + 2)(4x² – 1)

= (x + 1)(x + 2){(2x)² – 1}

= (x + 1)(x + 2)(2x + 1)(2x – 1)

∴ P(x) ও Q(x) উভয় বহুপদীর সাধারণ উৎপাদক (x + 1) I (2x – 1) (Ans.)

প্রশ্ন \ ১৫ \ x, y, z এর একটি বহুপদী হলো,

F(x, y, z) = x³ + y³ + z³ – 3xyz

ক. দেখাও যে, F(x, y, z) হলো একটি চক্র-ক্রমিক রাশি।

খ. F(x, y, z) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর এবং যদি

F(x, y, z) = 0, (x + y + z) ¹ 0 হয়,

তবে দেখাও যে, (x² + y² + z²) = (xy + yz + zx)

গ. যদি x = (b + c – a), y = (c + a – b), এবং z = (a + b – c) হয়, তবে দেখাও যে, F(a, b, c) : : F(x, y, z) = 1 : 4

সমাধান :

ক. দেওয়া আছে, F(x, y, z) = x³ + y³ + z³ – 3xyz

এখন, রাশিটিতে x এর পরিবর্তে y, y এর পরিবর্তে z এবং z এর পরিবর্তে x বসিয়ে পাই,

F(y, z, x) = y³ + z³ + x³ – 3y.z.x

= x³ + y³ + z³ – 3xyz

∴ F(x, y, z) = F(y, z, x) = F(z, x, y)

দেখা যাচ্ছে চলকগুলো স্থান পরিবর্তন করলেও রাশিটি একই থাকে।

সুতরাং F(x, y, z) হলো একটি চক্র-ক্রমিক রাশি।(দেখানো হলো)

খ. দেওয়া আছে, F(x, y, z) = x³ + y³ + z³ – 3xyz

= (x + y)³ – 3xy(x + y) + z³ – 3xyz

= (x + y)³+ z³– 3xy(x + y + z)

= (x + y + z){(x + y)² – (x + y)z + z²} – 3xy(x + y + z)

= (x + y + z)(x² + 2xy + y² – zx – yz + z²) – 3xy (x + y + z)

= (x + y + z)(x² + 2xy + y² + z² – zx – yz – 3xy)

= (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)

প্রশ্নানুসারে F(x, y, z) = 0

বা, x³ + y³ + z³ – 3xyz = 0

বা, (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx) = 0

বা, x² + y² + z² – xy – yz – zx = 0 [Q x + y + z ¹ 0]

∴ x² + y² + z²= xy + yz + zx (দেখানো হলো)

গ. দেওয়া আছে, F(x, y, z) = x³ + y³ + z³– 3xyz …….. (i)

∴ F(a, b, c) = a³ + b³ + c³– 3abc

সমীকরণ (i) হতে পাই,

F(x, y, z) = x³ + y³ + z³– 3xyz

= $\frac{1}{2}$ (x + y + z){x – y)² + (y – z)² + (z – x)²}

= $\frac{1}{2}$ (b + c – a + c + a – b + a + b – c){(b + c – a – c – a

+ b)² + (c + a – b – a – b + c)² + (a + b – c – b – c + a)²}

[x, y, z এর মান বসিয়ে]

= $\frac{1}{2}$ (a + b + c){(2b – 2a)² + (2c – 2b)² + (2a – 2c)²}

= $\frac{1}{2}$ (a + b + c)[{ – 2(a – b)}² + { – 2 (b – c)}² + { – 2(c – a)}²]

= $\frac{1}{2}$ (a + b + c){4(a – b)² + 4(b – c)² + 4(c – a)²}

= 4. $\frac{1}{2}$ (a + b + c){(a – b)² + (b – c)² + (c – a)²}

∴ F(x, y z) = 4(a³ + b³ + c³ – 3abc)

∴ F(a, b, c) : F(x, y z) = (a³ + b³ + c³ – 3abc) : 4(a³ + b³ + c³ – 3abc)

= 1 : 4

∴ F(a, b, c) : F(x, y, z) = 1 : 4 (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ ১৬ \ চলক x এর চারটি রাশি (x + 3), (x² – 9), (x³ + 27)

এবং (x⁴ – 81)

ক. উপরিউক্ত রাশিগুলো হতে একটি প্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ এবং একটি অপ্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ বের কর।

খ. $\frac{x^3 + 27}{x^2 - 9}$ কে সম্ভাব্য আংশিক ভগ্নাংশের সমষ্টিরূপে উপস্থাপন কর।

গ. উপরের প্রথম, দ্বিতীয় এবং চতুর্থ রাশিসমূহের প্রত্যেকের গুণাত্মক বিপরীত রাশির সমষ্টিকে সরলরূপে প্রকাশ কর।

সমাধান :

ক. প্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ = $\frac{x^2 - 9}{x^3 + 27}$

এবং অপ্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ = $\frac{x^4 - 81}{x^3 + 27}$

খ. প্রদত্ত ভগ্নাংশ $\frac{x^3 + 27}{x^2 - 9}$

= $\frac{x^3 + 3^3}{x^2 - 3^2}$

= $\frac{(x + 3)(x^2 - x.3 + 3^2)}{(x - 3)(x + 3)}$

= $\frac{x^2 - 3x + 3^2}{x - 3}$

= $\frac{x(x - 3) + 9}{x - 3}$

= $\frac{x(x - 3)}{x - 3}+ \frac{9}{x - 3}$

= $x + \frac{9}{x - 3}$

গ. প্রথম রাশি (x + 3) এর গুণাত্মক বিপরীত রাশি $\frac{1}{x +3}$

দ্বিতীয় রাশি (x² – 9) এর গুণাত্মক বিপরীত রাশি $\frac{1}{ x^2 - 9}$

এবং চতুর্থ রাশি (x⁴ – 81) এর গুণাত্মক বিপরীত রাশি $\frac{1}{ x^4 - 81}$

গুণাত্মক বিপরীত রাশিগুলোর সমষ্টি

= $\frac1{x+3}+\frac1{x^2-9}+\frac1{x^4-81}$

= $\frac1{x+3}+\frac1{x^2-9}+\frac1{\left(x^2\right)^2-9^2}$

= $\frac1{x+3}+\frac1{x^2-9}+\frac1{\left(x^2+9\right)\left(x^2-9\right)}$

= $\frac1{x+3}+\frac{\left(x^2+9\right)+1}{\left(x^2+9\right)\left(x^2-9\right)}$

= $\frac{\left(x-3\right)\left(x^2 + 9\right)+x^2+ 10}{\left(x^2+ 9\right)\left(x^2-9\right)}$

= $\frac{x^3+9x-3x^2-27+x^2+10}{\left(x^2+9\right)\left(x^2-9\right)}$

= $\frac{x^3-2x^2+9x-17}{x^4-81}$

প্রশ্ন \ ১৭ \ (x + 1)³ y + (y + 1)² রাশিটিকে

ক. x চলকের বহুপদীর আদর্শ আকারে বর্ণনা কর এবং x চলকের বহুপদীরূপে তার মাত্রা, মুখ্য সহগ ও ধ্রুব পদ নির্ণয় কর।

খ. y চলকের বহুপদীর আদর্শ আকারে বর্ণনা কর এবং y চলকের বহুপদীরূপে তার মাত্রা, মুখ্য সহগ ও ধ্রুব পদ নির্ণয় কর।

গ. x ও y চলকের বহুপদীরূপে বিবেচনা করে তার মাত্রা নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক. দেওয়া আছে, (x + 1)³ y + (y + 1)²

= (x³ + 3x² + 3x + 1) y + y² + 2y + 1

= x³y + 3x²y + 3xy + y + y² + 2y + 1

= x³y + 3x²y + 3xy + (y² + 3y +1) এটি x চলকের আদর্শ আকার।

এখানে, x চলকের মাত্রা = 3

মুখ্য সহগ = y

এবং ধ্রুব পদ = y² + 3y + 1

খ. দেওয়া আছে, (x + 1)³y + (y + 1)²

= (x³ + 3x² + 3x + 1) y + y² + 2y + 1

= x³y + 3x²y + 3xy + y + y² + 2y + 1

= y² + (x³ + 3x² + 3x + 3) y + 1; এটি y চলকের আদর্শ আকার।

এখানে, y চলকের মাত্রা = 2

মুখ্য সহগ = 1

এবং ধ্রুব পদ = 1

গ. দেওয়া আছে, (x + 1)³y + (y + 1)²

= (x³ + 3x² + 3x + 1) y + y² + 2y + 1

= x³y + 3x²y + 3xy + y² + 3y + 1;

এখানে x ও y এর ঘাতের যোগফলের সর্বোচ্চ মান 4 যা x³y পদে পাওয়া যায়।

∴ রাশিটিকে x ও y চলকের বহুপদী বিবেচনা করলে বহুপদীটির মাত্রা ৪.

SSC higher math chapter 2 solution part 1

SSC higher math chapter solution part 2 PDF

Post Views: 2,292

SSC higher math chapter 2 solution part 2