Class 8 math ex 5.1 (আংশিক ভগ্নাংশ) solution part 1

Class 8 math ex 5.1 (আংশিক ভগ্নাংশ) solution part 1

বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ :

যদি m ও n দুইটি বীজগণিতীয় রাশি হয়, তবে \frac{m}{n} একটি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ, যেখানে n ≠ 0। এখানে, \frac{m}{n} ভগ্নাংশটির m কে লব এবং n কে হর বলা হয়।  

উদাহরণস্বরূপ, \frac{a}{b}  , \frac{x + y}{y}, \frac{x^2 + y^2}{x + a} ইত্যাদি বীজগণিতীয় ভগ্নাংশ।

 ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠকরণ :

কোনো বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের লব ও হরের সাধারণ গুণনীয়ক থাকলে, ভগ্নাংশটির লব ও হরের গ.সা.গু. দিয়ে লব ও হরকে ভাগ করলে, লব ও হরের ভাগফল দ্বারা গঠিত নতুন ভগ্নাংশটিই হবে প্রদত্ত ভগ্নাংশটির লঘিষ্ঠকরণ।

 ভগ্নাংশকে সাধারণ হরবিশিষ্টকরণ : দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশকে সাধারণ হরবিশিষ্ট করতে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে হবে :

          ১।      হরগুলোর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।

          ২।      ভগ্নাংশের হর দিয়ে ল.সা.গু কে ভাগ করতে হবে।

          ৩।      হর দিয়ে ল.সা.গু কে ভাগ করা হলে যে ভাগফল পাওয়া যাবে, সেই ভাগফল দ্বারা ঐ ভগ্নাংশের লব ও হরকে গুণ করতে হবে।

  ভগ্নাংশের যোগ : দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশের যোগ করতে হলে ভগ্নাংশগুলোকে সাধারণ হরবিশিষ্ট করে লবগুলোকে যোগ করলে যোগফল হবে একটি নতুন ভগ্নাংশ যার লব হবে সাধারণ হরবিশিষ্টকরণকৃত ভগ্নাংশগুলোর লবের যোগফল এবং হর হবে ভগ্নাংশগুলোর হরের ল.সা.গু।

       ভগ্নাংশের বিয়োগ : দুইটি ভগ্নাংশের বিয়োগ করতে হলে ভগ্নাংশ দুটিকে সাধারণ হরবিশিষ্ট করে লব দুটিকে বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে একটি নতুন ভগ্নাংশ, যার লব হবে সাধারণ হরবিশিষ্টকরণকৃত ভগ্নাংশ দুইটির লবের বিয়োগফল এবং হর হবে ভগ্নাংশ দুইটির হরের ল.সা.গু।

প্রশ্ন \ ১ \ লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ কর :

(ক) \frac{4x^2y^3z^5}{9x^5y^2z^3}

সমাধান : প্রদত্ত ভগ্নাংশটি, \frac{4x^2y^3z^5}{9x^5y^2z^3}

          এখানে, 4 ও9 এর গ.সা.গু. হলো 1

                   x² ও x⁵ এর    ”           ”     x²

                   y³ ও y² এর    ”           ”     y²

                   z⁵ ও z³ এর    ”            ”     z³

          ∴ 4x²y³z⁵ ও 9x⁵y²z³  এর গ.সা.গু. হলো x²y²z³

          \frac{4x^2y^3z^5}{9x^5y^2z^3} এর লব ও হরকে ী x²y²z³ দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়  \frac{4yz^2}{9x^3}

          অতএব, \frac{4x^2y^3z^5}{9x^5y^2z^3} এর লঘিষ্ঠ আকার হলো latex]\frac{4yz^2}{9x^3}[/latex]

(খ)     \frac{16(2x)^4(3y)^5}{(3x)^3(2y)^6}

সমাধান : প্রদত্ত ভগ্নাংশটি \frac{16(2x)^4(3y)^5}{(3x)^3(2y)^6}

          এখানে, 16 × 2⁴ × 3⁵ এর গ.সা.গু. হলো 2⁶ × 3³

                   x⁴ ও x³ এর    ”   ”   x³

                             y⁵ ও y⁶  এর    ”    ” y⁵

          ∴ 16(2x)⁴ (3y)⁵ ও (3x)³ (2y)⁶ এর গ.সা.গু. হলো 2⁶ 3³x³y⁵

          এখন, \frac{16(2x)^4(3y)^5}{(3x)^3(2y)^6} এর লব ও হরকে 2⁶ × 3³x³y⁵  দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়  \frac{2^2 × 3^2x}{y} = \frac{36x}{y}

          অতএব, \frac{16(2x)^4(3y)^5}{(3x)^3(2y)^6} এর লঘিষ্ঠ আকার হলো  \frac{36x}{y} (Ans.)

Class 8 math chapter 3 creative questions with answer

(গ)     \frac{x^3y + xy^3}{x^2y^3 + x^3y^2}

সমাধান : প্রদত্ত ভগ্নাংশটি \frac{x^3y + xy^3}{x^2y^3 + x^3y^2}

          এখানে, লব =  x³y + xy³ = xy(x² + y²)

                   এবং হর = x²y³ + x³y² = x²y²(y + x) = x²y²(x + y)

          ∴ লব ও হরের গ.সা.গু. = xy

          প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে xy দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায় \frac{x^2 + y^2}{xy(x + y)}

          অতএব, ভগ্নাংশটির লঘিষ্ঠ আকার \frac{x^2 + y^2}{xy(x + y)}

(Ans.)

(ঘ) \frac{(a – b)(a + b)}{a^3 – b^3}

সমাধান : প্রদত্ত ভগ্নাংশটি \frac{(a – b)(a + b)}{a^3 – b^3}

এখানে, লব = = (a – b)(a + b) এবং হর = a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

          ∴ লব ও হরের গ.সা.গু. = (a – b)

          প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে  (a – b)দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায় \frac{(a + b)}{a^2 +ab + b^2}

          অতএব, ভগ্নাংশটির লঘিষ্ঠ আকার \frac{(a – b)(a + b)}{a^3 – b^3} (Ans.)

(ঙ)     \frac{x^2 – 6x + 5}{x^2 – 25}

সমাধান : প্রদত্ত ভগ্নাংশটি \frac{x^2 – 6x + 5}{x^2 – 25}

         এখানে, লব  = x² – 6x + 5

                  = x² – 5x – x + 5

                  = x(x – 5) –1(x – 5) = (x – 5)(x – 1)

          এবং হর = x² – 25 = x² – (5)²       

                       = (x + 5)(x – 5)

          ∴ লব ও হরের গ.সা.গু. = (x – 5)

          প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (x – 5) দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়  \frac{x – 1}{x + 5}

          অতএব, ভগ্নাংশটির লঘিষ্ঠ আকার \frac{x – 1}{x + 5} (Ans.)

(চ)      \frac{x^2 – 7x + 12}{ x^2 – 9x + 20}

সমাধান : প্রদত্ত ভগ্নাংশটি \frac{x^2 – 7x + 12}{ x^2 – 9x + 20}

     এখানে,  লব         = x² – 7x + 12

                 =  x² – 3x – 4x + 12

                 = x(x – 3) – 4(x – 3)

                 = (x – 3)(x – 4)

          এবং হর = x² – 9x + 20

                 = x² – 4x – 5x + 20

                 = x(x – 4) – 5(x – 4) = (x – 4)(x – 5)

          ∴ লব ও হরের গ.সা.গু. = (x – 4)

          প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (x – 4) দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়  \frac{x – 3}{x – 5}

অতএব, ভগ্নাংশটির লঘিষ্ঠ আকার  \frac{x – 3}{x – 5}  (Ans.)

(ছ)     \frac{(x^ – y^3)(x^2 – xy +y^2)}{(x^2 – y^2)(x^3 + y^3)} 

সমাধান : প্রদত্ত ভগ্নাংশটি \frac{(x^ – y^3)(x^2 – xy +y^2)}{(x^2 – y^2)(x^3 + y^3)} 

     এখানে, লব = (x³ – y³)(x² – xy + y²)

                = (x – y)(x² + xy + y²)(x² – xy + y²)

        এবং হর = = (x² – y²)(x³ + y³)

                = (x + y)(x – y)(x + y)(x² – xy + y²)

    ∴ লব ও হরের গ.সা.গু. = (x – y)(x² – xy + y²)

          প্রদত্ত ভগ্নাংশটির লব ও হরকে (x – y)(x² – xy + y²) দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায় \frac{(x^2 + xy +y^2}{(x + y)^2} 

          অতএব, ভগ্নাংশটির লঘিষ্ঠ আকার \frac{x^2 + xy +y^2}{(x + y)^2}  (Ans.)

(জ)     \frac{a^2 – b^2 – 2bc – c^2}{a^2 + 2ab + b^2 – c^2} 

সমাধান : প্রদত্ত ভগ্নাংশটি \frac{a^2 – b^2 – 2bc – c^2}{a^2 + 2ab + b^2 – c^2} 

      এখানে, লব         = a² -b² -2bc – c²

                            = a² – (b² + 2bc + c²)

                 = a² – (b + c)²

                 = (a + b + c)(a – b – c)

         এবং হর  = = a² + 2ab + b² – c²

                 = (a + b)² – c²

                 = (a + b + c)(a + b – c)

          ∴ লব ও হরের গ.সা.গু. = (a + b + c)

          প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (a + b + c) দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায়  \frac{a – b – – c}{a + b – c} 

অতএব, ভগ্নাংশটির লঘিষ্ঠ আকার  \frac{a – b – c}{a + b – c}  (Ans.)

জেনে রাখ : লঘিষ্ঠরূপ অর্থ সবচেয়ে ছোট করে ফেলা। যার পর আর ছোট করা যায় না।

প্রশ্ন \ ২ \ সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর :

(ক)     \frac{x^2}{xy}, \frac{y^2}{yz}, \frac{z^2}{zx}  

সমাধান : প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো \frac{x^2}{xy}, \frac{y^2}{yz}, \frac{z^2}{zx} 

           এখানে, ১ম ভগ্নাংশের হর = xy ,

২য় ভগ্নাংশের হর = yz

               এবং         ৩য় ভগ্নাংশের হর = zx

                  ∴ হরগুলোর ল.সা.গু. = xyz

                   অতএব, \frac{x^2}{xy} = \frac{x^2 × xyz}{xy × xyz} = \frac{x^2z}{xyz};   

                             \frac{y^2}{yz} = \frac{y^2 × xyz}{yz × xyz} = \frac{xy^2}{xyz}  

                    এবং     \frac{z^2}{zx} = \frac{z^2 × xyz}{zx × xyz} = \frac{yz^2}{xyz}  

          অতএব, সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো :

           \frac{x^2z}{xyz}, \frac{xy^2}{xyz}, \frac{yz^2}{xyz} (Ans.)

(খ)     \frac{x – y}{xy}, \frac{y – z}{yz}, \frac{z – x}{zx}  

সমাধান : প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো \frac{x – y}{xy}, \frac{y – z}{yz}, \frac{z – x}{zx}  

                   এখানে, ১ম ভগ্নাংশের হর = xy

                             ২য় ভগ্নাংশের হর = yz

                             ৩য় ভগ্নাংশের হর = zx

                  ∴ হরগুলোর ল.সা.গু. = xyz

                   অতএব, \frac{x – y}{xy} = \frac{(x – y) × xyz}{xy × xyz} = \frac{z(x – y)}{xyz} 

                             \frac{y – z}{yz} = \frac{(y – z) × xyz}{yz × xyz} = \frac{x(y – z)}{xyz} 

                   এবং    \frac{z – x}{zx} = \frac{(z – x) × xyz}{zx × xyz} = \frac{y(z – x)}{xyz} 

          অতএব, সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো :

          \frac{z(x – y)}{xyz}, \frac{x(y – z)}{xyz}, \frac{y(z – x)}{xyz}  

(গ)     \frac{x}{x – y}, \frac{y}{x + y}, \frac{z}{x(x + y)}  

সমাধান : প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো \frac{x}{x – y}, \frac{y}{x + y}, \frac{z}{x(x + y)}  

                   এখানে, ১ম ভগ্নাংশের হর = x – y              

২য় ভগ্নাংশের হর = x + y

                             ৩য় ভগ্নাংশের হর = x(x + y)

                  ∴ হরগুলোর ল.সা.গু. = x(x – y)(x + y)

                   অতএব, \frac{x}{x – y} = \frac{x × x(x – y)(x + y)}{(x – y) × x(x – y)(x + y)} = \frac{x^2(x + y)}{ x(x – y)(x + y)};           

                             \frac{y}{x + y} = \frac{y × x(x – y)(x + y)}{(x + y) × x(x – y)(x + y)} = \frac{xy(x – y)}{ x(x – y)(x + y)} 

এবং \frac{z}{x(x + y)} = \frac{z × x(x – y)(x + y)}{x(x + y) × x(x – y)(x + y)} = \frac{z(x – y)}{ x(x – y)(x + y)} 

          অতএব, সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো হলো :

            \frac{x^2(x + y)}{ x(x – y)(x + y)}, \frac{xy(x – y)}{ x(x – y)(x + y)},  \frac{z(x – y)}{ x(x – y)(x + y)}