SSC general math exercise 3.4 solution
ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) :
আমরা জানি, ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
যদি আমরা ভাজ্যকে ƒ(x), ভাগফলকে h(x),ভাগশেষকে r ও ভাজককে (x – a) দ্বারা সূচিত করি, তাহলে উপরের সূত্র থেকে পাই,
ƒ(x) = (x – a).h(x) + r এই সূত্রটি a এর সকল মানের জন্য সত্য।
অতএব, ƒ(x) কে (x – a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় ƒ(a) এই সূত্র ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder theorem) নামে পরিচিত। অর্থাৎ, ধনাত্মক মাত্রার কোনো বহুপদী ƒ(x) কে (x – a) আকারের বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা ভাগ না করে বের করার সূত্রই হলো ভাগশেষ উপপাদ্য। ভাজক বহুপদী (x – a) এর মাত্রা 1।
প্রতিজ্ঞা : যদি ƒ(x) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং a ≠ 0 হয়, তবে ƒ(x) কে (ax + b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় \[ ƒ(-\frac ba)\] হয়।
অনুসিদ্ধান্ত : (x – a), ƒ(x) এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি ƒ(a) = 0 হয়।
কোনো বহুপদী ƒ(x), (x – a) দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি এবং কেবল যদি ƒ(a) = 0 হয়। এই সূত্র উৎপাদক উপপাদ্য (Factor theorem) নামে পরিচিত।
অনুসিদ্ধান্ত : ax + b, a ≠ 0 হলে, রাশিটি কোনো বহুপদী ƒ(x এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি \[ ƒ(-\frac ba)\] হয়।
Step-by-step solutions for SSC General Math Exercise 3.4 | এসএসসি সাধারণ গণিত এক্সারসাইজ ৩.৪ এর সহজ ও বিস্তারিত সমাধান
উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর :
প্রশ্ন \ ১ \ 6x2 – 7x + 1
সমাধান : ধরি, ƒ(x) = 6x2 – 7x + 1
∴ ƒ(1) = 6(1)2 – 71 + 1
= 61 – 7 + 1 = 6 – 7 + 1 = 7 – 7 = 0
∴ (x – 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 6x2 – 7x + 1 = 6x2 – 6x – x + 1
= 6x (x – 1) – 1(x – 1) = (x – 1) (6x – 1)
= (6x – 1)(x – 1) (Ans.)
প্রশ্ন \ ২ \ 3a3 + 2a + 5
সমাধান : ধরি, ƒ(a) = 3a3 + 2a + 5
∴ ƒ(-1) = 3(-1)3 + 2(-1) + 5
= – 3 – 2 + 5 = – 5 + 5 = 0
∴ (a + 1), ƒ(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 3a3 + 2a + 5
= 3a3 + 3a2 – 3a2 – 3a + 5a + 5
= 3a2(a + 1) – 3a(a + 1) + 5(a + 1)
= (a + 1)(3a2 – 3a + 5) (Ans.)
প্রশ্ন \ ৩ \ x3 – 7xy2 – 6y3
সমাধান : এখানে, x কে চলক এবং y কে ধ্রুবক হিসেবে বিবেচনা করি।
প্রদত্ত রাশিকে x-এর বহুপদী বিবেচনা করে
ধরি, ƒ(x) = x3 – 7xy2 – 6y3
∴ ƒ(-y) = (-y)3 – 7×(-y)y2 – 6y3
= – y3 + 7y3 – 6y3 = 0
∴ x – (-y) বা, (x + y), ¦(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x3 – 7xy2 – 6y3
= x3 + x2y – x2y – xy2 – 6xy2 – 6y3
= x2(x + y) – xy(x + y) – 6y2(x + y)
= (x + y)(x2 – xy – 6y2)
= (x + y)(x2 – 3xy + 2xy – 6y2)
= (x + y){x(x – 3y) + 2y(x – 3y)}
= (x + y)(x – 3y)(x + 2y) (Ans.)
প্রশ্ন \ ৪ \ x2 – 5x – 6
সমাধান : ধরি, ƒ(x) = x2 – 5x – 6
∴ƒ(-1) = (-1)2 – 5(-1) – 6
= 1 + 5 – 6 = 6 – 6 = 0
∴ x – (-1) বা, (x + 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x2 – 5x – 6
= x2 + x – 6x – 6 = x(x + 1) – 6(x + 1)
= (x + 1)(x – 6) = (x – 6)(x + 1) (Ans.)
প্রশ্ন \ ৫ \ 2x2 – x – 3
সমাধান : ধরি, ƒ(x) = 2x2 – x – 3
∴ ƒ(-1) = 2(-1)2 – (-1) – 3 = 2 + 1 – 3 = 3 – 3 = 0
∴ {x – (-1)} বা, (x + 1), ¦(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 2x2 – x – 3 = 2x2 + 2x – 3x – 3
= 2x(x + 1) – 3(x + 1) = (x + 1)(2x – 3)
= (2x – 3)(x + 1) (Ans.)
প্রশ্ন \ ৬ \ 3x2 – 7x – 6
সমাধান : ধরি, ƒ(x) = 3x2 – 7x – 6
∴ ƒ(3) = 3.(3)2 – 7.(3) – 6
= 3 ´ 9 – 21 – 6 = 27 – 27 = 0
∴ (x – 3), ¦(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 3x2 – 7x – 6 = 3x2 – 9x + 2x – 6
= 3x(x – 3) + 2(x – 3) = (x – 3)(3x + 2) (Ans.)
Easy examples for solving SSC General Math Exercise 3.4 | এসএসসি সাধারণ গণিত এক্সারসাইজ ৩.৪ সমাধানে সহজ উদাহরণ
প্রশ্ন \ ৭ \ x3 + 2x2 – 5x – 6
সমাধান : ধরি, ƒ(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6
∴ ƒ(-1) = (-1)3 + 2(-1)2 – 5(-1) – 6
= – 1 + 2 + 5 – 6 = 7 – 7 = 0
∴ x – (-1) বা, (x + 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x3 + 2x2 – 5x – 6
= x3 + x2 + x2 + x – 6x – 6
= x2(x + 1) + x(x + 1) – 6(x + 1)
= (x + 1)(x2 + x – 6)
= (x + 1)(x2 + 3x – 2x – 6)
= (x + 1){x(x + 3) – 2(x + 3)}
= (x + 1)(x + 3)(x – 2)
= (x – 2)(x + 1)(x + 3) (Ans.)
প্রশ্ন \ ৮ \ x3 + 4x2 + x – 6
সমাধান : মনে করি, ƒ(x) = x3 + 4x2 + x – 6
∴ ƒ(1) = (1)3 + 4(1)2 + (1) – 6
= 1 + 4 + 1 – 6 = 6 – 6 = 0
∴ (x – 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x3 + 4x2 + x – 6
= x3 – x2 + 5x2 – 5x + 6x – 6
= x2(x – 1) + 5x(x – 1) + 6(x – 1)
= (x – 1)(x2 + 5x + 6)
= (x – 1)(x2 + 3x + 2x + 6)
= (x – 1){x(x + 3) + 2(x + 3)}
= (x – 1)(x + 3)(x + 2)
= (x – 1)(x + 2)(x + 3) (Ans.)
প্রশ্ন \ ৯ \ a3 + 3a + 36
সমাধান : মনে করি, f(a) = a3 + 3a + 36
f(- 3) = ( – 3)3 + 3 (– 3) + 36
= – 27 – 9 + 36 = 36 – 36 = 0
∴ a – (– 3) বা, (a + 3), f(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন, a3 + 3a + 36
= a3 + 3a2 – 3a2 – 9a + 12a + 36
= a2(a + 3) – 3a(a + 3) + 12(a + 3)
= (a + 3) (a2 – 3a + 12) (Ans.)
প্রশ্ন \ ১০ \ a4 – 4a + 3
সমাধান : মনে করি, f(a) = a4 – 4a + 3
∴ f(1) = (1)4 – 4.1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 4 – 4 = 0
∴ (a – 1), f(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন, a4 – 4a + 3
= a4 – a3 + a3 – a2 + a2 – a – 3a + 3
= a3(a – 1) + a2(a – 1) + a(a – 1) – 3 (a – 1)
= (a – 1) (a3 + a2 + a – 3)
= (a – 1) (a3 – a2 + 2a2 – 2a + 3a – 3)
= (a – 1) {a2(a – 1) + 2a (a – 1) + 3 (a – 1)}
= (a – 1) (a – 1) (a2 + 2a + 3)
= (a – 1)2 (a2 + 2a + 3) (Ans.)
প্রশ্ন \ ১১ \ a3 – a2 – 10a – 8
সমাধান : মনে করি, ƒ(a) = a3 – a2 – 10a – 8
ƒ(-1) = (-1)3 – (-1)2 – 10(-1) – 8
= – 1 – 1 + 10 – 8
= – 10 + 10 = 0
∴ a – (-1) বা, (a + 1), ƒ(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন, a3 – a2 – 10a – 8
= a3 + a2 – 2a2 – 2a – 8a – 8
= a2(a + 1) – 2a(a + 1) – 8(a + 1)
= (a + 1)(a2 – 2a – 8)
= (a + 1)(a2 – 4a + 2a – 8)
= (a + 1){a(a – 4) + 2(a – 4)}
= (a + 1)(a – 4)(a + 2) (Ans.)
প্রশ্ন \ ১২ \ x3 – 3x2 + 4x – 4
সমাধান : ধরি, f(x) = x3 – 3x2 + 4x – 4
∴ f(2) = (2)3 – 3(2)2 + 4.2 – 4
= 8 – 12 + 8 – 4 = 16 – 16 = 0
∴ (x – 2), f(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x3 – 3x2 + 4x – 4
= x3 – 2x2 – x2 + 2x + 2x – 4
= x2(x – 2) – x(x – 2) + 2(x – 2)
= (x – 2)(x2 – x + 2) (Ans.)
প্রশ্ন \ ১৩ \ a3 – 7a2b + 7ab2 – b3
সমাধান : ধরি, ƒ(a) = a3 – 7a2b + 7ab2 – b3
∴ ƒ(b) = (b)3 – 7(b)2.b + 7(b)b2 – b3
= b3 – 7b3 + 7b3 – b3 = 0
∴ (a – b), ƒ(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন, a3 – 7a2b + 7ab2 – b3
= a3 – a2b – 6a2b + 6ab2 + ab2 – b3
= a2(a – b) – 6ab(a – b) + b2(a – b)
= (a – b)(a2 – 6ab + b2) (Ans.)
প্রশ্ন \ ১৪ \ x3 – x – 24
সমাধান : ধরি, ƒ(x) = x3 – x – 24
∴ ƒ(3) = (3)3 – 3 – 24 = 27 – 27 = 0
∴ (x – 3), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x3 – x – 24 = x3 – 3x2 + 3x2 – 9x + 8x – 24
= x2(x – 3) + 3x(x – 3) + 8(x – 3)
= (x – 3)(x2 + 3x + 8) (Ans.)
How to approach SSC General Math Exercise 3.4 problems effectively | এসএসসি সাধারণ গণিত এক্সারসাইজ ৩.৪ সমস্যা সহজভাবে সমাধান করার উপায়
প্রশ্ন \ ১৫ \ x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3
সমাধান : ধরি, f(x) = x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3
∴ f(- y) = (– y)3 + 6(– y)2.y + 11(– y).y2 + 6y3
= – y3 + 6y3 – 11y3 + 6y3
= 12y3 – 12y3 = 0
∴ x – (– y) বা, (x + y), f(x) এর একটি উৎপাদক।
তাহলে, x3 + 6x2y + 11xy2 + 6y3
= x3 + x2y + 5x2y + 5xy2 + 6xy2 + 6y3
= x2 (x + y) + 5xy (x + y) + 6y2 (x + y)
= (x + y) (x2 + 5xy + 6y2)
= (x + y) (x2 + 3xy + 2xy + 6y2)
= (x + y) {x(x + 3y) + 2y(x + 3y)}
= (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (Ans.)
প্রশ্ন \ ১৬ \ 2x4 – 3x3 – 3x – 2
সমাধান : ধরি f(x) = 2x4 – 3x3 – 3x – 2
∴ f(2) = 2.(2)4 – 3.(2)3 – 3.2 – 2
= 32 – 24 – 6 – 2 = 32 – 32 = 0
∴ (x – 2), f(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 2x4 – 3x3 – 3x – 2
= 2x4 – 4x3 + x3 – 2x2 + 2x2 – 4x + x – 2
= 2x3 (x – 2) + x2 (x – 2) + 2x (x – 2) +1 (x – 2)
= (x – 2) (2x3 + 2x + x2 + 1)
= (x – 2) {2x (x2 + 1) + 1 (x2 + 1)}
= (x – 2) (x2 + 1) (2x + 1) (Ans.)
প্রশ্ন \ ১৭ \ 4x4 + 12x3 + 7x2 – 3x – 2
সমাধান : ধরি, ƒ(x) = 4x4 + 12x3 + 7x2 – 3x – 2
∴ ƒ(-1) = 4(-1)4 + 12(-1)3 + 7 (-1)2 – 3(-1) – 2
= 4 – 12 + 7 + 3 – 2 = 14 – 14 = 0
∴ x – (-1) বা, (x + 1), ¦(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 4x4 + 12x3 + 7x2 – 3x – 2
= 4x4 + 4x3 + 8x3 + 8x2 – x2 – x – 2x – 2
= 4x3(x + 1) + 8x2(x + 1) – x(x + 1) – 2(x + 1)
= (x + 1)(4x3 + 8x2 – x – 2)
= (x + 1){4x2(x + 2) – 1(x + 2)}
= (x + 1)(x + 2)(4x2 – 1)
= (x + 1)(x + 2)(2x + 1)(2x – 1)
= (2x – 1)(x + 1)(x + 2)(2x + 1) (Ans.)
প্রশ্ন \ ১৮ \ x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x
সমাধান : ধরি, f(x) = x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x
∴ f(1) = (1)6 – (1)5 + (1)4 – (1)3 + (1)2 – 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 3 – 3 = 0
∴ (x – 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x
= x(x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1)
= x{x4 (x – 1) + x2 (x – 1) + 1(x – 1)}
= x(x – 1) (x4 + x2 + 1)
= x(x – 1) {(x2)2 + 2.x2.1 + (1)2 – x2}
= x(x – 1) {(x2 + 1)2 – (x)2}
= x(x – 1) (x2 + 1 + x) (x2 + 1 – x)
= x(x – 1) (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) (Ans.)
প্রশ্ন \ ১৯ \ 4x3 – 5x2 + 5x – 1
সমাধান : ধরি, ƒ(x) = 4x3 – 5x2 + 5x – 1
∴ \[ ƒ\left(\frac14\right)=4\left(\frac14\right)^3-5\left(\frac14\right)^2+5\left(\frac14\right)-1 \]
= \[ 4\times\frac1{64}-5\times\frac1{16} +\frac54-1 \]
= \[ \frac1{16}-\frac5{16}+\frac54-1 \]
= \[ \frac{1-5+20-16}{16}-\frac5{16} \]
= \[ \frac{21-21}{16}-\frac5{16} \]
= \[ \frac{0}{16}-\frac5{16} \]
= 0
∴ \[ x-\frac14 \] বা, (4x – 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 4x3 – 5x2 + 5x – 1
= 4x3 – x2 – 4x2 + x + 4x – 1
= x2(4x – 1) – x(4x – 1) + 1(4x – 1)
= (4x – 1)(x2 – x + 1) (Ans.)
প্রশ্ন \ ২০ \ 18x3 + 15x2 – x – 2
সমাধান : ধরি, ƒ(x) = 18x3 + 15x2 – x – 2
∴ \[ ƒ\left(-\frac12\right)=18\left(-\frac12\right)^3+15\left(-\frac12\right)^2-\left(-\frac12\right)-2 \]
= \[ 18\times\left(-\frac18\right) + 15\times\frac14 +\frac12-2 \]
= \[ -\frac94+\frac{15}4+\frac12-2 \]
= \[ \frac{-9+15+2-8}4 \]
= \[ \frac{-17+17}4 \]
= \[ \frac{0}4 \]
= 0
∴ \[ x-\left(-\frac12\right) \] বা, (2x + 1), ƒ(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 18x3 + 15x2 – x – 2
= 18x3 + 9x2 + 6x2 + 3x – 4x – 2
= 9x2 (2x + 1) + 3x(2x + 1) – 2(2x + 1)
= (2x + 1)(9x2 + 3x – 2)
= (2x + 1)(9x2 – 3x + 6x – 2)
= (2x + 1){3x(3x – 1) + 2(3x – 1)}
= (2x + 1)(3x – 1)(3x + 2) (Ans.)
