Class 6 math exercise 6.2 solution

Class 6 math exercise 6.2 solution

 অনুশীলনী ৬.২ এর প্রশ্ন ও সমাধান    

প্রশ্ন \ ১ \  শূন্যস্থান পূরণ কর :

(ক)     সমকোণের পরিমাপ ———।

 (খ)     সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ সমকোণের পরিমাপ অপেক্ষা  ——।

(গ)     স্থূলকোণের পরিমাপ সমকোণের পরিমাপ অপেক্ষা  ———-।

(ঘ)     সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ  ——- এবং অপর দুইটি কোণ  ———-।

(ঙ)     ——- ত্রিভুজের ——–স্থূলকোণ এবং  ——- সূক্ষ্মকোণ থাকে।

  (চ) যে ত্রিভুজে প্রত্যেক কোণের পরিমাপ  — থেকে কম সেটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

          উত্তর : (ক) 90°; (খ) কম; (গ) বেশি; (ঘ) সমকোণ, সূক্ষ্মকোণ; (ঙ) সূক্ষ্মকোণ, একটি, দুইটি; (চ) 90°।

প্রশ্ন \ ২ \  ইউক্লিড কোন দেশের পণ্ডিত ছিলেন?

(ক) ইতালি      

(খ) জার্মানি   

√(গ) গ্রিস        

(ঘ) স্পেন

প্রশ্ন \ ৩ \ জ্যামিতি প্রতিপাদ্যের ওপর লিখিত ইউক্লিডের বইটির নাম কি?

(ক) Algebra         

√(খ) Elements        

(গ) Geomatry                

(ঘ) Mathematic

প্রশ্ন \ ৪ \  খ্রিষ্টপূর্ব কত অব্দে গ্রিক পণ্ডিত ইউক্লিড তার Elements পুস্তকে জ্যামিতিক পরিমাপ পদ্ধতির সংজ্ঞা ও প্রক্রিয়া সমূহ লিপিবদ্ধ করেন?

√(ক) ৩০০           

(খ) ৪০০      

(গ ৫০০         

(ঘ) ৬০০

প্রশ্ন \ ৫ \  নিচে কয়েকটি কোণের পরিমাপ দেওয়া হলো; কোণগুলো আঁক :

(ক) 30° (খ) 45° (গ) 60° (ঘ) 75° (ঙ) 85° (চ) 120° (ছ) 135° (জ) 160°।

সমাধান :

(ক)  30°

সমাধান : প্রথমে একটি চাঁদা নিই। এখন চাঁদাটি কাগজের উপর রেখে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু O থেকে ব্যাস বরাবর ডানদিকে OB রশ্মি আঁকি। ডানদিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 30 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু A নিই। এবার OA রশ্মি আঁকি।

তাহলে ∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাণ 30°।

(খ)  45°

সমাধান : প্রথমে একটি চাঁদা নিই। এখন চাঁদাটি কাগজের উপর রেখে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু O থেকে ব্যাস বরাবর ডানদিকে OB রশ্মি আঁকি। ডানদিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের ৪৫ নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু A নিই। এবার OA রশ্মি আঁকি।

তাহলে ∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাণ 45°।

(গ)     60°

সমাধান : প্রথমে একটি চাঁদা নিই। এখন চাঁদাটি কাগজের উপর রেখে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু O থেকে ব্যাস বরাবর ডানদিকে OB রশ্মি আঁকি। ডানদিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 60 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু A নিই। এবার OA রশ্মি আঁকি।

তাহলে ∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাণ 60°।

(ঘ) 75⁰

সমাধান : প্রথমে একটি চাঁদা নিই। এখন চাঁদাটি কাগজের উপর রেখে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু  O থেকে ব্যাস বরাবর ডানদিকে OB রশ্মি আঁকি। ডানদিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 75 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু অ নিই। এবার OA রশ্মি আঁকি।

তাহলে ∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাণ 75°।

(ঙ)     ৮৫°

সমাধান : প্রথমে একটি চাঁদা নিই। এখন চাঁদাটি কাগজের উপর রেখে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু  O থেকে ব্যাস বরাবর ডানদিকে OB রশ্মি আঁকি। ডানদিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 85 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু A নিই। এবার OA রশ্মি আঁকি।

তাহলে ∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাণ 85°।

(চ) 120°

সমাধান : প্রথমে একটি চাঁদা নিই। এখন চাঁদাটি কাগজের উপর রেখে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু  O থেকে ব্যাস বরাবর ডানদিকে OBরশ্মি আঁকি। ডানদিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের ১২০ নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু A নিই। এবার OA রশ্মি আঁকি।

তাহলে ∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাণ 120°।

(ছ) 135°

সমাধান : প্রথমে একটি চাঁদা নিই। এখন চাঁদাটি কাগজের উপর রেখে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু  O থেকে ব্যাস বরাবর ডানদিকে OB রশ্মি আঁকি। ডানদিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 135 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু A নিই। এবার OA রশ্মি আঁকি।

তাহলে ∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাণ 135°।

(জ) 160°

সমাধান : প্রথমে একটি চাঁদা নিই। এখন চাঁদাটি কাগজের উপর রেখে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু  ঙ থেকে ব্যাস বরাবর ডানদিকে ঙই রশ্মি আঁকি। ডানদিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 160 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু অ নিই। এবার ঙঅ রশ্মি আঁকি।

তাহলে ∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাণ 160°।

প্রশ্ন \ ৬ \  অনুমান করে একটি সূক্ষ্মকোণী, একটি স্থূলকোণী ও একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁক।

ক.      প্রতিক্ষেত্রে বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য মাপ এবং খাতায় লেখ।

খ.       প্রতিক্ষেত্রে কোণ তিনটি পরিমাপ কর এবং খাতায় লেখা দেখে কোণ তিনটির পরিমাপের যোগফল সবক্ষেত্রে একই বলে মনে হয় কিনা বল।

সমাধান : অনুমান করে একটি সূক্ষ্মকোণী, একটি স্থূলকোণী ও একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা হলো :

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ        স্থুলকোণী ত্রিভুজ     সমকোণী ত্রিভুজ

ক.      চিত্র-১ এ ABC একটি সূক্ষ্মকোণী সমবাহু ত্রিভুজ। স্কেল দিয়ে মেপে দেখি, AB = BC = AC = 4 সে.মি.।

          চিত্র-২ এ ABC একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ। স্কেল দিয়ে  মেপে দেখি, AB = 5 সে.মি., BC= 4 সে.মি. এবং AC = 8 সে.মি.।

          চিত্র-৩ এ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ। স্কেল দিয়ে  মেপে দেখি, AB = 5 সে.মি, BC = 5 সে.মি. এবং AC = 7.07 সে.মি.।

খ.       চিত্র-১ এর অইঈ সূক্ষ্মকোণী সমবাহু ত্রিভুজ হওয়ায় এর প্রত্যেকটি কোণ সমান হবে।

          ∴ চাঁদা দিয়ে মেপে দেখি, ∠ABC = ∠BCA= ∠BAC= 60°

          ∴ ∠ABC + ∠BCA+ ∠BAC = 60° + 60° + 60° = 180°

          চিত্র ২ থেকে পাই,

          ∠ABC = 125°, ∠BCA = 28° এবং∠BAC = 27°

          ∠ABC + ∠BCA+ ∠BAC = 125° + 28° + 27° = ১৮০°

          চিত্র-৩ থেকে পাই,

          ∠ABC= 90°, ∠BCA = 45° এবং ∠BAC = 45°

          ∠ABC + ∠BCA+ ∠BAC = 90° + 45° + 45° = 180°

          উপরের ত্রিভুজগুলো থেকে দেখি যে, প্রতিক্ষেত্রে কোণ তিনটির যোগফল 180°।

          অতএব, প্রতিক্ষেত্রে কোণ তিনটির পরিমাপের যোগফল একই।

প্রশ্ন \ ৭ \  নিচে কয়েকটি কোণের পরিমাপ দেওয়া হলো। প্রত্যেক ক্ষেত্রে পূরক কোণের পরিমাপ উল্লেখ কর এবং পূরক কোণটি আঁক।

(ক) 60° (খ) 45° (গ) 72° (ঘ) 25° (ঙ) 50°

সমাধান : আমরা জানি, দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল 90° হলে, কোণ দুইটির একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

 (ক) 60° এর পূরক কোণ = 90° – 60° = 30°

          ∠AOB হলো 60° কোণের পূরক কোণ।

 (খ) ৪৫° এর পূরক কোণ = 90° – 45° = 45°

          ∠AOB হলো 45° কোণের পূরক কোণ।

 (গ) 72° এর পূরক কোণ = 90° – 72° = 18°

          ∠AOB হলো 72° কোণের পূরক কোণ।

(ঘ) 25° এর পূরক কোণ = 90° – 25° = 65° 

∠AOB হলো 25° কোণের পূরক কোণ।

(ঙ) 50° এক পূরক কোণ = 90° – 50° = 40°

∠AOB হলো 50° কোণের পূরক কোণ।

প্রশ্ন \ ৮ \ নিচে কয়েকটি কোণের পরিমাপ দেওয়া হলো। প্রত্যেক ক্ষেত্রে একই চিত্রে প্রদত্ত কোণ, এর সম্পূরক কোণ ও বিপ্রতীপ কোণ আঁক এবং এদের পরিমাপ উল্লেখ কর। চিত্রে সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণটিও চিহ্নিত কর।

(ক) 45° (খ) 120° (গ) 72° (ঘ) 110° (ঙ) 85°

সমাধান : আমরা জানি, দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল 180° হলে, কোণ দুইটির একটি অপরটির সম্পূরক কোণ।

(ক) 45°

          চিত্রে, প্রদত্ত কোণ, ∠ABC = 45°

          এক্ষেত্রে 45° কোণের সম্পূরক অইউ কোণের পরিমাপ

          = (180° – 45°) = 135°

          ∴ ৪৫° কোণের সম্পূরক কোণ, ∠ABD = 135° এবং ∠ABC এর বিপরীত রশ্মিদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণ, ∠DBE= 45°

          চিত্রে, সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণ, ∠CBE = 135°

(খ)     120°

          চিত্রে, প্রদত্ত কোণ, ∠ABC = ১২০°

          এক্ষেত্রে 120° কোণের সম্পূরক কোণ,

          ∠ABD = (180° – 120°) = 60°

          এবং ∠ABC এর বিপরীত রশ্মিদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণ, ∠DBE = 120°

          চিত্রে, সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণ, ∠CBE = 60°

(গ)     72°

          চিত্রে, প্রদত্ত কোণ, ∠ABC = 72°

          এক্ষেত্রে ৭২° কোণের সম্পূরক কোণ,

          ∠ABD= (180° – 72°) = 108°

          এবং ∠ABC এর বিপরীত রশ্মিদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণ, ∠DBE = 72°

          চিত্রে, সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণ, ∠CBE = 108°

(ঘ)     110°

          চিত্রে, প্রদত্ত কোণ, ∠ABC = 110°

          এক্ষেত্রে 110° কোণের সম্পূরক কোণ,

          ∠ABD = (180° – 110°) = 70°

          এবং ∠ABC এর বিপরীত রশ্মিদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণ, ∠DBE = 110°

          চিত্রে, সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণ, ∠CBE = 70°

(ঙ)     85°

          চিত্রে, প্রদত্ত কোণ, ∠ABC = 85°

          এক্ষেত্রে 85° কোণের সম্পূরক কোণ

          ∠ABD = (180° – 85°) = 95°

          এবং∠ABD এর বিপরীত রশ্মিদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণ, ∠DBE = 85°

          চিত্রে, সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণ, ∠CBE = 95°

প্রশ্ন \ ৯ \      

          চিত্রে∠AOB = 90°

          (i) ∠AOC + ∠BOC = 90°

          (ii) ∠AOC + ∠BOC = ∠AOB

          (iii) ∠AOC ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক কোণ।

          নিচের কোনটি সঠিক?

√(ক) i ও ii     

(খ) i ও iii    

(গ) ii ও iii    

(ঘ) i, ii ও iii

          চিত্রে ∆ABC এর ∠BAC= 120° এবং AD ꓕ BC

চিত্রের আলোকে ১০-১২ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও।

প্রশ্ন \ ১০ \ ∠ADC = কত?

(ক) 30°       

(খ) 45°        

(গ) 60°        

√(ঘ) 90°

প্রশ্ন \ ১১ \ ∠ABD = এর পূরক কোণ কোনটি?

(ক) ∠ADB  

(খ) ∠CAD 

√ (গ)BAD     

(ঘ) ∠ACD

প্রশ্ন \ ১২ \ সরল রৈখিক কোণ নিচের কোনটি?

(ক) ∠ADB  

(খ) ∠CAD  

(গ) ∠ACD  

√(ঘ) BDC

প্রশ্ন \ ১৩ \ রেখার-

          (i) নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই

          (ii) নির্দিষ্ট প্রান্ত বিন্দু নেই

          (iii) নির্র্দিষ্ট প্রস্থ নেই

          নিচের কোনটি সঠিক?

√(ক) i ও ii     

(খ) i ও iii    

(গ) ii ও iii    

(ঘ) i, ii ও iii

প্রশ্ন \ ১৪ \ কয়েকটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁক। প্রতিক্ষেত্রে সমকোণ ছাড়া অন্য দুইটি কোণ মাপ এবং এদের পরিমাপের যোগফল নির্ণয় কর। প্রতিক্ষেত্রে ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি কত?

সমাধান : নিচে তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা হলো :

চিত্র-১ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ∠ABC = 90°,

এখন, ABC সমকোণী ত্রিভুজের C বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি। লক্ষ করি যেন, BC রেখার সাথে চাঁদার O নির্দেশিত রেখা মিলে যায়। এখন CA রেখা চাঁদার ৪৫ অঙ্কিত দাগে পড়ে।

সুতরাং ∠ACB = 45° একইভাবে, ∠CAB = 45°

∴ তিনটি কোণের সমষ্টি =∠ABC + ∠ACB + ∠CAB

          = 90° + 45° + 45°

          = 180° বা দুই সমকোণ

চিত্র-২ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ∠DEF = 90°,

F বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করে পাই,

∠DFE = 41° একইভাবে, ∠EDF = 49°

∴ তিনটি কোণের সমষ্টি =∠DEF + ∠DFE + ∠EDF

          = 90° +49° + 41°

          = 180° বা দুই সমকোণ

চিত্র-৩ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ∠PQR = 90°,

আবার R বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করে পাই, ∠PRQ = ৫২° অনুরূপভাবে ∠QPR = 38°

∴ তিনটি কোণের সমষ্টি = ∠PQR + ∠PRQ + ∠QPR

          = 90° + 52° + 38°

          = 180° বা দুই সমকোণ

∴ প্রতিক্ষেত্রে ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180° বা দুই সমকোণ।

প্রশ্ন \ ১৫ \ একটি চতুর্ভুজ আঁক। এর বাহু চারটির এবং কর্ণ দুইটির দৈর্ঘ্য মাপ। চতুর্ভুজটির কোণ চারটি মেপে তাদের পরিমাপের যোগফল নির্ণয় কর।

সমাধান : নিচে একটি চতুর্ভুজ ABCD আঁকা হলো যার চারটি বাহু যথাক্রমে AB, BC, CD ও AD এবং দুটি কর্ণ যথাক্রমে AC ও BD.

স্কেল দিয়ে মাপ দিয়ে পাওয়া গেল চতুর্ভুজের চারটি বাহু, AB = 3.7  সে.মি., BC = 4 সে.মি., CD = 2.5 সে.মি., AD = 3 সে.মি. এবং কর্ণ

AC = 5 সে.মি. ও BD = 4.3 সে.মি.।

চাঁদা দিয়ে পরিমাপ করে পাওয়া গেল ABCD চতুর্ভুজের।

∠ABC = 78°, ∠BCD = 79°, ∠CDA = 125° এবং ∠DAB = 78°

∴ কোণ চারটির যোগফল = 78° + 79° + 125° + 78° = 360°

প্রশ্ন \ ১৬ \ অনুমান করে দুইটি চতুর্ভুজ আঁক যাদের কোনো দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান নয়।

(ক) প্রতিক্ষেত্রে বাহু চারটির এবং কর্ণ দুইটির দৈর্ঘ্য মাপ ও খাতায় লেখ।

(খ) কোণ চারটি পরিমাপ কর এবং খাতায় লেখা কোণ চারটি পরিমাপের যোগফল উভয় ক্ষেত্রে একই হয় কিনা বল।

সমাধান :

(ক)     চিত্র-১ এ ABCD একটি চতুর্ভুজ অনুমান করে আঁকা হলো যার চারটি বাহু যথাক্রমে AB, BC, CD ও AD এবং কর্ণ AC ও BD।

          স্কেল দিয়ে মেপে পাওয়া গেল,

          AB = 2 সে.মি., BC = 4 সে.মি., CD = 3 সে.মি., AD = 3.5 সে.মি. এবং কর্ণ AC = 5 সে.মি. ও কর্ণ BD = 4.8 সে.মি.।

          আবার, চিত্র-২ এ EFGH আরেকটি চতুর্ভুজ অনুমান করে আঁকা হলো, যার চারটি বাহু যথাক্রমে EF,FG, GH ও EH এবং কর্ণ FH ও EG। স্কেল দিয়ে মেপে পাওয়া গেল,

          EF = 3.4 সে.মি., FG = 5 সে.মি., GH = 2.8 সে.মি., EH = 3.1 সে.মি. এবং কর্ণ EG = 5.2 সে.মি. ও কর্ণ FH = 4.6 সে.মি.।

(খ)     চাঁদা দিয়ে পরিমাপ করে পাওয়া গেল,

          ABCD চতুর্ভুজে,

          ∠ABC = 110°, ∠BCD = 67°, ∠CDA = 98°

           এবং ∠DAB = 85°

          এখন, ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB

          = 110° + 67° + 98° + 85° = 360°

          EFGH চতুর্ভুজে,

          ∠EFG = 85°, ∠FGH = 72°, ∠GHE = 125° এবং ∠HEF = 78°

     এখন, ÐEFG + ÐFGH + ÐGHE + ÐHEF 

     = 85°+ 72° + 125° + 78° = 360°

অতএব, আমরা পাই উভয় চতুর্ভুজের কোণগুলোর সমষ্টি 360°।

সুতরাং ABCD চতুর্ভুজ ও EFGH চতুর্ভুজ দুইটির কোণগুলোর পরিমাপের যোগফল উভয় ক্ষেত্রে 360° অর্থাৎ সমান।

প্রশ্ন \ ১৭ \  অনুমান করে একটি বর্গ আঁক যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি.।

(ক)     প্রত্যেক কর্ণের দৈর্ঘ্য মাপ এবং খাতায় লেখ।

(খ)     বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ চিহ্নিত কর। মধ্যবিন্দুগুলো পর্যায়ক্রমে সংযুক্ত কর। উৎপন্ন চতুর্ভুজটি কী ধরনের চতুর্ভুজ বলে মনে হয়। এর বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য মাপ এবং কোণগুলো পরিমাপ কর।

          সমাধান : অনুমান করে ABCD একটি বর্গ আঁকা হলো যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সে.মি.।

 (ক) ABCD বর্গের প্রত্যেকটি কর্ণের দৈর্ঘ্য স্কেল দিয়ে মাপ দিয়ে পাই, AC = 11.31 সে.মি. এবং BD = 11.31 সে.মি.।

 (খ)   

          ABCD বর্গটির AB বাহুর মধ্যবিন্দু E, BC বাহুর মধ্যবিন্দু F, CD বাহুর মধ্যবিন্দু G এবং AD বাহুর মধ্যবিন্দু H।

          এখন, E ও F; F ও G, G ও H এবং E ও H যোগ করি।

          উৎপন্ন EFGH  চতুর্ভুজটি বর্গ বলে মনে হয়।

          যেহেতু EFGH চতুর্ভুজটি বর্গ তাই এর প্রত্যেকটি বাহুর মান সমান হবে। স্কেল দিয়ে মেপে পাই, EF = FG = GH = EH = 5.66 সে.মি.।

          আবার, EFGH চতুর্ভুজটি বর্গ বিধায় চতুর্ভুজটির প্রত্যেকটি কোণ এক সমকোণ হবে অর্থাৎ ৯০ হবে।

          ∴ ∠HEF = ∠EFG = ∠FGH = ∠GHE = 90°

প্রশ্ন \ ১৮ \ অনুমান করে একটি সামান্তরিক আঁক যার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. এবং পাশের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সে.মি.। এদের বিপরীত দুইটির দৈর্ঘ্য মাপ এবং প্রত্যেক জোড়া বিপরীত কোণের পরিমাপ নির্ণয় কর। সামান্তরিকটির কর্ণ দুইটি আঁক। এদের ছেদবিন্দুতে কর্ণদ্বয়ের চারটি খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য মাপ।

সমাধান : অনুমান করে অইঈউ সামান্তরিকটি আঁকা হলো, এর

AD বাহু = 4 সে.মি. এবং AB বাহু = 3 সে.মি.।

যেহেতু ABCD একটি সামান্তরিক; অতএব এর বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান। অর্থাৎ AD = BC = 4 সে.মি. এবং AB = DC = 3 সে.মি.।

সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সমান।

ÐABC = ÐCDA = 70°

ÐBAD = ÐBCD = 110°

সামান্তরিকের কর্ণ দুটি AC = 4.1 সে.মি. এবং BD = 5.8 সে.মি.।

এখানে, কর্ণদ্বয়ের ছেদ বিন্দু O।

যেহেতু সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

AO    = CO = AC  ¸ 2 = (4×1 ¸ 2)  সে.মি. = 2×05 সে.মি.

এবং BO       = DO = BD  ¸ 2 = (5×8 ¸ 2) সে.মি. = 2.9 সে.মি.

প্রশ্ন \ ১৯ \  চিত্রে AB ॥ CD এবং EF ॥ GH

(ক)     কারণসহ PQRS চতুর্ভুজটির নাম লেখ।

(খ)     চিত্র থেকে চারটি কোণ নিয়ে এদের সম্পূরক কোণ, একান্তর কোণ নির্ণয় কর।

(গ)     প্রমাণ কর যে, ÐAPE = ÐDRH

সমাধান :

(ক)     দেওয়া আছে, AB ॥ CD

          ∴ PS ॥ QR   [যেহেতু, PS ও QR রেখাংশদ্বয় যথাক্রমে AB ও CD রেখাদ্বয়ের অংশ বিশেষ]

          আবার, EF ॥ GH

          ∴ PQ ॥ RS   [যেহেতু,  PQ ও RS রেখাংশদ্বয় যথাক্রমে EF ও GH রেখাদ্বয়ের অংশ বিশেষ]

          সুতরাং দেখা যাচ্ছে যে, PQRS চতুর্ভুজটির

          বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল।

          ∴ PQRS একটি সামান্তরিক।

(খ)     চিত্র থেকে চারটি কোণ হলো :

          ∠APQ, ∠QPS, ∠PSR, ∠QRS,

          ∠APQ এর জন্য :

          ∠QPE এক সরলকোণ [চিত্রানুসারে]

          ∴ ∠APQ + ∠APE = সরলকোণ = 180°

          বা, ∠APE = 180° – ∠APQ

        ∴ ∠APQ এর সম্পূরক কোণ ∠APE

          আবার, AB ॥ CD এবং EF তাদের ছেদক

        ∴ ∠APQ = একান্তর ∠PQR

          অনুরূপভাবে, ∠QPS এর জন্য :

          ∠QPE এক সরলকোণ

        ∴ ∠QPS এর সম্পূরক কোণ ∠EPS

          আবার, AB ॥ CD এবং EF তাদের ছেদক

          ∠QPS = একান্তর ∠PQC

          ∠PSR এর জন্য :

          ∠PSB এক সরলকোণ

        ∴ ∠PSR এর সম্পূরক কোণ ∠BSR

          আবার, AB ॥ CD এবং GH তাদের ছেদক।

          ∴ ∠PSR = একান্তর ∠SRD.

          ∠QRS এর জন্য :

          ∠SRH এক সরলকোণ

          ∴ ∠QRS এর সম্পূরক কোণ ∠QRH

          AB ॥ CD এবং GH তাদের ছেদক।

          ∠QRS = একান্তর ∠RSB.

(গ)     প্রমাণ করতে হবে যে, ∠APE = ∠DRH

          প্রমাণ : চিত্র হতে, PQRS সামান্তরিকের

          ∠QPS = ∠QRS (বিপরীত কোণ)

          আবার, ∠QPS = বিপ্রতীপ ∠APE

          এবং ∠QRS = বিপ্রতীপ ∠DRH

          কিন্তু, ∠QPS = ∠QRS

        ∴ ∠APE = ∠DRH. (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ ২০ \  AB ও CD রেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে।

(ক)     উপরোক্ত তথ্যের ভিত্তিতে একটি চিত্র অংকন কর।

(খ)     প্রমাণ কর যে, উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।

(গ)     ∠AOC = (4x – 16⁰) এবং ∠BOC= 2(x + 20⁰) হলে x এর মান কত?

সমাধান :

(ক)     উল্লিখিত তথ্যের ভিত্তিতে নিচে একটি চিত্র অংকন করা হলো :

          চিত্রে, AB ও CD রেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

(খ)     মনে করি, AB ও CD রেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে। ফলে O বিন্দুতে ∠AOC, ∠COB, ∠BOD, ∠AOD কোণ উৎপন্ন হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOC = বিপ্রতীপ ∠BOD এবং ∠COB = বিপ্রতীপ ∠AOD।

          OA রশ্মির O বিন্দুতে CD রেখা মিলিত হয়েছে।

          ∠AOC + ∠AOD = ১ সরলকোণ = ২ সমকোণ।

          আবার, OD রশ্মির O বিন্দুতে AB রেখা মিলিত হয়েছে।

          ∴ ∠AOD + ∠BOD= ১ সরলকোণ = ২ সমকোণ।

          সুতরাং ∠AOC + ∠AOD = ∠AOD + ∠BOD

          ∠AOC = ∠BOD [উভয় পক্ষ থেকে ∠AOD বাদ দিয়ে]

          অনুরূপে দেখানো যায়, ∠COB= ∠AOD [প্রমাণিত] 

(গ)     দেওয়া আছে, AB ও CD রেখাদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।

          এখানে,

          ∠AOB = 180⁰  [সরল কোণ বলে]

        ∴ ∠AOC + ∠BOC= 180⁰

          বা, (4x – 16⁰) + 2(x + 20⁰) = 180⁰ [মান বসিয়ে]

বা, 4x – 16⁰ + 2x + 40⁰= 180⁰

বা, 4x = 180⁰ + 16⁰ – 40⁰

বা, 4x= 156⁰

বা, x = 156⁰ ÷ 4

∴ x = 26⁰ (Ans.)  

Class 6 math exercise 6.1 solution