SSC higher math chapter 2 solution part 1
বীজগাণিতিক রাশি (Algebraic expression): বীজগাণিতিক রাশিকে সংক্ষেপে রাশি বলা হয়। যেমন : 2x, 2x + 3y, 6x + 4y2 ইত্যাদি প্রত্যেকেই এক একটি বীজগাণিতিক রাশি। এদের প্রতীকটিকে চলক বলা হয়।
বহুপদী : বহুপদী বিশেষ ধরনের বীজগাণিতিক রাশি। এরূপ রাশিতে এক বা একাধিক পদ থাকে। পদগুলো এক বা একাধিক চলকের শুধু অঋণাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাত ও ধ্রুবকের গুণফল।
x একটি চলক হলে a, ax + b, ax2 + bx + c ইত্যাদি আকারের রাশি x চলকের বহুপদী। এরূপ এক চলকের বহুপদী, দুই চলকের বহুপদী, তিন চলকের বহুপদী হতে পারে।
ভাগশেষ ও উৎপাদক উপপাদ্য
i. P(x) বহুপদীকে x – a দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ P(a) হবে
ii. P(x) বহুপদীকে ax + b দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P \[(-\frac{b}{a}\]
iii. P(x) = ০ হলে (x – a) হচ্ছে P(x) এর একটি উৎপাদক
iv. P(x) বহুপদীর x – a একটি উৎপাদক হলে P(a) = 0
সমমাত্রিক, প্রতিসম ও চক্র-ক্রমিক রাশি
সমমাত্রিক বহুপদী (Homogeneous Polynomial): কোনো বহুপদীর প্রত্যেক পদের মাত্রা একই হলে, তাকে সমমাত্রিক বহুপদী বলে।
প্রতিসম রাশি (Symmetric): একাধিক চলকবিশিষ্ট কোনো বীজগাণিতিক রাশির যেকোনো দুইটি চলকের স্থান বিনিময়ে যদি রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে, তবে রাশিটিকে ঐ চলকসমূহের প্রতিসম রাশি বলা হয়।
ab + bc + ca রাশিটি a, b, c চলকের এবং x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx রাশিটি x, y, z চলকের প্রতিসম রাশি।
চক্র-ক্রমিক রাশি (Cyclic): চক্র-ক্রমিক রাশিতে চলকগুলোর স্থান চক্রাকারে পরিবর্তন হলেও রাশির মান অপরিবর্তিত থাকে।
তিন চলকের প্রত্যেক রাশি চক্র-ক্রমিক। কিন্তু প্রত্যেক চক্র-ক্রমিক রাশি প্রতিসম নয়।
x2 + y2 + z2 চক্র-ক্রমিক রাশির কারণে x এর স্থলে y, y এর স্থলে z এবং z এর স্থলে x বসালে রাশিটি y2 + z2 + x2 পূর্বের রাশির সমান হয়।
চক্র-ক্রমিক বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ
ক. কোনো চক্র-ক্রমিক বহুপদীর (a – b) একটি উৎপাদক হলে, (b – c ) এবং (c – a) রাশিটির উৎপাদক হবে।
খ. এক মাত্রার এবং দুই মাত্রার সমমাত্রিক চক্র-ক্রমিক বহুপদী যথাক্রমে k (a + b + c) ও k (a2 + b2 + c2) + m (ab + bc + ca) যেখানে k ও m ধ্রুবক।
গ. দুইটি বহুপদী যদি এমন হয় যে, চলকগুলোর সকল মানের জন্য এদের মান সমান হয়, তবে বহুপদী দুইটির অনুরূপ পদগুলোর সহগ পরস্পর সমান হবে।
মূলদ ভগ্নাংশ (Rational Fractions) : একটি বহুপদীকে হর এবং একটি বহুপদীকে লব ধরে গঠিত ভগ্নাংশকে মূলদ ভগ্নাংশ বলে।
যেমন, \[\frac{x}{(x -1)(x – 5)}\] এবং \[\frac{x^2 + 1}{(x -1)(x^2 + 5x + 7)}\] মূলদ ভগ্নাংশ।
মূলদীয় ভগ্নাংশের সরলীকরণের সময় নিম্নোক্ত অভেদগুলো বিনা প্রমাণে গ্রহণ করা যায় :
(i)a2 (b – c) + b2 (c – a) + c2 (a – b) = – (a – b) (b – c) (c – a)
(ii) bc (b – c) + ca (c – a) + ab(a – b) = -(a – b)(b – c)(c – a)
(iii) a (b2 – c2) + b(c2 – a2) + c (a2 – b2) = (a – b)(b – c)(c – a)
(iv) b2c2(b2 – c2) + c2a2 (c2 – a2) + a2b2 (a2 – b2) = – (a – b)(b – c)(c – a) (a + b)(b + c)(c + a)
(v) a3 (b – c) + b3 (c – a) + c3 (a – b) = – (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)
(vi) (ab + bc + ca)(a + b + c) – abc = (a + b)(b + c)(c + a)
vii. (b + c)(c + a)(a + b) + abc = (a + b + c)(ab + bc + ca)
viii. (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
এই অধ্যায়ের প্রতিটি অঙ্কের সমাধান করতে এসব সূত্র ব্যবহার করতেই হবে। তাই সূত্রগুলো মুখস্থ রাখা অত্যন্ত জরুরি।
আংশিক ভগ্নাংশ (Partial Fraction): যদি কোনো ভগ্নাংশকে একাধিক ভগ্নাংশের যোগফলরূপে প্রকাশ করা যায়, তবে শেষোক্ত ভগ্নাংশগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত ভগ্নাংশের আংশিক ভগ্নাংশ বলা হয়।
ধরা যাক, N(x) ও D(x) উভয়ই x চলকের বহুপদী এবং লব N(x) এর মাত্রা হর D(x) এর মাত্রা অপেক্ষা ছোট হয় তাহলে ভগ্নাংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশ (Proper Fraction)| । যদি D(x) এর মাত্রা N(x) এর চেয়ে ছোট বা সমান হয়, তবে সেই ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper Fraction) বলা হয়।
সমতা সূত্র :
i. যদি সকল x এর জন্য ax + b = px + q হয়, তবে x = 0 ও x = 1 বসিয়ে পাই, b = q এবং a + b = p + q যা থেকে দেখা যায়, a = p, b = q.
ii. যদি সকল x এর জন্য ax2 + bx + c = px2 + qx + r হয়; তবে x = 0, x = 1 ও x = -1 বসিয়ে পাই, c = r, a + b + c = p + q + r এবং a – b + c = p – q + r; যা থেকে দেখা যায় যে, a = p, b = q, c = r.
iii. সাধারণভাবে, দেখা যায় যে, যদি সকল x এর জন্য aoxn + a1xn–1 + ….+ an –1 x + an = poxn + p1xn–1 + ….+ pn–1 x + pn হয়,
তবে ao = po, a1 = p1, …., an–1 = pn–1, an = pn
অর্থাৎ সমতা চিহ্নের উভয়পক্ষে x এর একই ঘাতের সহগদ্বয় পরস্পর সমান।
অনুশীলনী ২ সমাধান
১. নিচের কোন রাশিটি প্রতিসম?
(ক) a + b + c
(খ) xy + yz + zx
(গ) x2 – y2 + z2
(ঘ) 2a2 – 5bc – c2
সঠিক উত্তর : ক, খ ও গ
ব্যাখ্যা : একাধিক চলক সংবলিত কোনো বীজগাণিতিক রাশির যেকোনো দুইটি চলকের স্থান বিনিময়ে যদি রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে তবে তাকে প্রতিসম রাশি বলে।
ক. a + b + c = তিনটি চলকের সাপেক্ষেই প্রতিসম।
খ. xy + yz + zx = তিনটি চলকের সাপেক্ষেই প্রতিসম।
গ. x2 – y2 + z2 = রাশিটি x ও z এর সাপেক্ষে প্রতিসম।
ঘ. 2a2 – 5bc – c2 = রাশিটি প্রতিসম নয় কারণ a, b, c এর মধ্যে যেকোনো দুইটি চলকের স্থান পরিবর্তন করলে রাশিটির মান পরিবর্তন হয়ে যায়।
২. (i) যদি a + b + c = 0 হয়, তবে a3 + b3 + c3 = 3abc
(ii) P(x, y, z) = \[\frac{x}{y}+ \frac{y}{z}+ \frac{z}{x}+ \] রাশিটি চক্র-ক্রমিক
(iii) \[\frac{1}{1 + x}+ \frac{2}{1 + x^2}+ \frac{4}{x^4 – 1}+ \] এর সরলীকৃত মান \[\frac{1}{x – 1}\]
উপরের উক্তিগুলোর কোনগুলো সত্য?
(ক) i, ii
(খ) ii, iii
(গ) i, iii
(ঘ) i, ii, iii
ব্যাখ্যা :
(i) দেওয়া আছে, a + b + c = 0
∴ a + b = – c
বামপক্ষ = a3 + b3 + c3
= (a + b)3 -3ab (a + b) + c3
= (- c)3 -3ab (-c) + c3
= – c3 + 3ab + c3
= 3abc = ডানপক্ষ
(ii) দেওয়া আছে, P(x, y, z) = \[\frac{x}{y}+ \frac{y}{z}+ \frac{z}{x} \]
এখানে, x এর স্থলে y, y এর স্থলে z এবং z এর স্থলে x বসালে, রাশিটির কোনো পরিবর্তন হয় না। সুতরাং রাশিটি চক্রক্রমিক।
(iii) \[ \frac{1}{1 + x}+ \frac{2}{1 + x^2}+ \frac{4}{x^4 – 1} \]
= \[ \frac1{1+x}+\frac2{1+x^2}+\frac4{\left(x^2\right)^2–1}\]
= \[ \frac1{1+x}+\frac2{1+x^2}+\frac4{\left(x^2–1\right)\left(x^2+1\right)} \]
= \[ \frac1{1+x}+\frac{2\left(x^2-1\right) +4}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)} \]
= \[ \frac1{1+x}+\frac{2x^2-2+4}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)} \]
= \[ \frac1{1+x}+\frac{2x^2+2}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)} \]
= \[ \frac1{1+x}+\frac{2\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)} \]
= \[ \frac1{1+x}+\frac2{\left(x^2-1\right)} \]
= \[ \frac1{1+x}+\frac2{\left(x+1\right)\left(x-1\right)} \]
= \[ \frac{x-1+2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)} \]
= \[ \frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)} \]
= \[ \frac1{x-1}\]
বহুপদী x3 + px2 – x – 7 এর একটি উৎপাদক x + 7। এই তথ্যের আলোকে নিচের ৩ এবং ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
৩. P এর মান কত?
(ক) – 7
(খ) 7
(গ) \[ \frac{54}{7}\]
(ঘ) 477
৪. বহুপদীটির অপর উৎপাদকগুলোর গুণফল কত?
(ক) (x – 1)(x – 1)
(খ) (x + 1)(x – 2)
(গ) (x – 1)(x + 3)
(ঘ) (x + 1)(x – 1)
প্রশ্ন \ ৫ \ x4 – 5x3 + 7x2 – a বহুপদীর একটি উৎপাদক x – 2 হলে, দেখাও যে, a = 4
সমাধান : মনে করি, P(x) = x4 – 5x3 + 7x2 – a
(x – 2), P(x) এর একটি উৎপাদক হবে যদি P(2) = 0 হয়।
এখন, P(2) = 24 – 5. 23 + 7. 22 – a
= 16 – 40 + 28 – a
= 4 – a
যেহেতু, P(2) = 0
সুতরাং, 4 – a = 0
∴ a = 4 (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ৬ \ মনে কর, P(x) = xn – an, যেখানে n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং a একটি ধ্রুবক।
ক. দেখাও যে, (x – a) বহুপদীটির একটি উৎপাদক এবং এমন Q(x) নির্ণয় কর যেন P(x) = (x – a) Q(x) হয়।
সমাধান : P(x) = xn – an
P(x) কে (x – a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(a)
∴ P(a) = an – an = 0
P(x) কে (x – a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হয়।
∴ (x – a), P(x) এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)
(x – a), P(x) এর একটি উৎপাদক।
P(x) = xn – an
= xn – xn – 1 a + xn – 1a – xn – 2 a2 + xm – 2 a2 – xn – 3 a3 + ……….. + x.an – 1 – an
= xn – 1(x – a) + xn – 2 a(x – a) + xn – 3 a2 (x – a) + ………..+ an – 1(x – a)
= (x – a)(xn – 1 + xn – 2 + xn – 3 a2 + ……….+ an – 1)
যেহেতু P(x) = (x – a) Q(x)
∴ Q(x) = xn – 1 + xn – 2 a + xn – 3 a2 +………+ an – 1 (Ans.)
(খ) n জোড় সংখ্যা হলে দেখাও যে, (x + a) বহুপদীটির একটি উৎপাদক এবং এমন Q(x) নির্ণয় কর যেন P(x) = (x + a) Q(x) হয়।
সমাধান : P(x) = xn – an
n জোড় সংখ্যা হলে n = 2k (এখানে K স্বাভাবিক সংখ্যা)
∴ P(x) = x2k – a2k
P(x) কে (x + a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(-a)
∴ P(-a) = (-a)2k – a2k
= a2k – a2k = 0
P(x) কে (x + a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হয়।
∴ (x + a), P(x) এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)
∴ P(x) = xn – an
= xn + xn – 1. a – xn – 1 . a + xn – 2 . a2 – xn – 2 .a2 + …………….+ xan – 1 – an
= xn – 1 (x + a) – xn – 2 . a(x + a) + xn – 3 .a2(x + a) – ………. – an – 1(x + a)
= (x + a) (xn – 1 – xn – 2 a + xn – 3 a2 – ……….. – an – 1)
যেহেতু P(x) = (x + a) Q (x)
∴ Q(x) = xn – 1 – xn – 2. a + xn – 3. a2 – ………..+ (-1)n – 1. an – 1 (Ans.)
প্রশ্ন \ ৭ \ মনে কর, P(x) = xn + an যেখানে n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং a একটি ধ্রুবক। n বিজোড় সংখ্যা হলে দেখাও যে, (x + a) বহুপদীটির একটি উৎপাদক এবং এমন Q(x) নির্ণয় কর যেন, P(x) = (x + a) Q(x) হয়।
সমাধান : P(x) = xn + an
n বিজোড় ধনাত্মক সংখ্যা হলে, n = 2k + 1 (এখানে k স্বাভাবিক সংখ্যা)
∴ P(x) = x2k + 1 + a2k + 1
P(x) কে x + a দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(-a)
∴ P(-a) = (-a)2k + 1 + a2k + 1
= – a2k + 1 + a2k + 1
= 0
P(x) কে (x + a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হয়।
∴ (x + a), P(x) এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)
∴ P(x) = xn + an
= xn + xn – 1. a – xn – 1. a – xn – 2. a2 + xn – 2. a2 + xn – 3 . a3 -…….. + xan – 1 + an
= xn – 1(x + a) – xn – 2. a (x + a) + xn – 3.a2(x + a) – ……+ an – 1(x + a)
= (x + a) (xn – 1 – xn – 2. a + xn – 3. a2 – …………..(-1)n–1an–1
Q P(x) = (x + a) Q(x)
∴ Q(x) = xn – 1 – axn – 2 + a2 xn – 3 – ……… +(-1)n – 1 an – 1 (Ans.)
প্রশ্ন \ ৮ \ মনে কর, P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a যেখানে a, b, c ধ্রুবক এবং a ¹ 0, দেখাও যে, (x – r) যদি P(x) এর একটি উৎপাদক হয়, তবে P(x) এর আরেকটি উৎপাদক (rx – 1) ।
সমাধান : দেওয়া আছে,
P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a…….. (i)
[যেখানে a, b, c ধ্রুবক এবং a ¹ 0]
যেহেতু (x – r), P(x) এর একটি উৎপাদক, সেহেতু P(r) = 0
এখন, P(r) = ar5 + br4 + cr3 + cr2 + br + a
∴ ar5 + br4 + cr3 + cr2 + br + a = 0 ……… (ii)
ধরি, rx – 1 = 0
বা, rx = 1
∴ x = \[\frac{1}{r}\]
এখন,
\[ P\left(\frac1r\right) = a\left(\frac1r\right)^5 + b\left(\frac1r\right)^4 + c\left(\frac1r\right)^3 + c\left(\frac1r\right)^2 +b\left(\frac1r\right)+a \]
= \[ \frac a{r^5}+\frac b{r^4}+\frac c{r^3}+\frac c{r^2}+\frac br+a \]
= \[ \frac{a+br+cr^2+cr^3+br^4+ar^5}{r^5} \]
= \[ \frac{0}{r^5} \] [(ii) নং থেকে মান বসিয়ে]
= 0
যেহেতু (i) নং বহুপদীতে x = \[\frac{1}{r}\] বসালে প্রদত্ত বহুপদীর মান শূন্য হয়
সেহেতু (rx – 1) উক্ত বহুপদীর একটি উৎপাদক।
∴ (rx – 1) ও P(x) এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ৯ \ উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর :
(i) x4 + 7x3 + 17x2 + 17x + 6
সমাধান : মনে করি, P(x) = x4 + 7x3 + 17x2 + 17x + 6
∴ P( – 1) = ( – 1)4 + 7( – 1)3 + 17 ( – 1)2 + 17 ( – 1) + 6
= 1 – 7 + 17 – 17 + 6
= 24 – 24
= 0
সুতরাং (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x4 + 7x3 + 17x2 + 17x + 6
= x4 + x3 + 6x3 + 6x2 + 11x2 + 11x + 6x + 6
= x3(x + 1) + 6x2(x + 1) + 11x(x + 1) + 6(x + 1)
= (x + 1)(x3 + 6x2 + 11x + 6)
= (x + 1)(x3 + 6x2 + 12x + 8 – x – 2)
= (x + 1)(x3 + 3.x2.2 + 3.x.22 + 23 – x – 2)
= (x + 1){(x + 2)3 – 1(x + 2)}
= (x + 1) (x + 2) {(x + 2)2 – 1}
= (x + 1)(x + 2)(x + 2 + 1)(x + 2 – 1)
= (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 1)
= (x + 1)2(x + 2)(x + 3) (Ans.)
(ii) 4a4 + 12a3 + 7a2 – 3a – 2
সমাধান : মনে করি, P(a) = 4a4 + 12a3 + 7a2 – 3a – 2
∴ P( – 1) = 4( – 1)4 + 12( – 1)3 + 7( – 1)2 – 3( – 1) – 2
= 4 – 12 + 7 + 3 – 2
= 14 – 14
= 0
সুতরাং (a + 1), P(a)-এর একটি উৎপাদক।
এখন, 4a4 + 12a3 + 7a2 – 3a – 2
= 4a4 + 4a3 + 8a3 + 8a2 – a2 – a – 2a – 2
= 4a3 (a + 1) + 8a2 (a + 1) – a (a + 1) – 2(a + 1)
= (a + 1)(4a3 + 8a2 – a – 2)
= (a + 1){4a2 (a + 2) – 1(a + 2)}
= (a + 1)(a + 2)(4a2 – 1)
= (a + 1)(a + 2){(2a)2 – 1}
= (a + 1)(a + 2)(2a + 1)(2a – 1)
= (2a – 1)(a + 1)(a + 2)(2a + 1) (Ans.)
(iii) x3 + 2x2 + 2x + 1
সমাধান : মনে করি, P(x) = x3 + 2x2 + 2x + 1
∴ P( – 1) = ( – 1)3 + 2 ( – 1)2 + 2( – 1) + 1
= – 1 + 2 – 2 + 1
= 3 – 3
= 0
সুতরাং (x + 1), P(x) -এর একটি উৎপাদক।
এখন, x3 + 2x2 + 2x + 1
= x3 + x2 + x2 + x + x + 1
= x2 (x + 1) + x(x + 1) + 1(x + 1)
= (x + 1)(x2 + x + 1) (Ans.)
(iv) x(y2 + z2) + y (z2 + x2) + z(x2 + y2) + 3xyz
সমাধান : প্রদত্ত রাশি,
= x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 3xyz
= xy2 + z2x + yz2 + x2y + zx2 + y2z + 3xyz
= x2y + xy2 + xyz + xyz + y2z + yz2 + zx2 + xyz + z2x
= xy(x + y + z) + yz (x + y + z) + zx(x + y + z)
= (x + y + z)(xy + yz + zx) (Ans.)
(v) (x + 1)2(y – z) + (y + 1)2(z – x) + (z + 1)2(x – y)
সমাধান : প্রদত্ত রাশি,
(x + 1)2 (y – z) + (y + 1)2 (z – x) + (z + 1)2 (x – y)
= (x2 + 2x + 1)(y – z) + (y2 + 2y + 1)(z – x) + (z2 + 2z + 1)(x – y)
= x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) + 2x(y – z) + 2y(z – x) + 2z(x – y) + (y – z + z – x + x – y)
= x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) + 2(xy – zx + yz – xy + zx – yz) + 0
= x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) + 2 ´ 0
= x2(y – z) + y2z – xy2 + z2x – yz2
= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2)
= (y – z) {x2 + yz -x(y + z)}
= (y – z)(x2 + yz – xy – zx)
= (y – z)(x2 – xy – zx + yz)
= (y – z) {x(x – y) – z(x – y)}
= (y – z)(x – y)(x – z)
= (y – z)(x – y){ – (z – x)}
= – (x – y)(y – z)(z – x) (Ans.)
(vi) b2c2(b2 – c2) + c2a2(c2 – a2) + a2b2(a2 – b2)
সমাধান : প্রদত্ত রাশি,
b2c2(b2 – c2) + c2a2(c2 – a2) + a2b2(a2 – b2)
= b2c2(b2 – c2) + c4a2 – c2a4 + a4b2 – a2b4
= b2c2(b2 – c2) + a4b2 – c2a4 – a2b4 + c4a2
= b2c2(b2 – c2) + a4(b2 – c2) – a2(b4 – c4)
= (b2 – c2){(b2c2 + a4 – a2(b2 + c2)}
= (b2 – c2)(b2c2 + a4 – a2b2 – c2a2)
= (b2 – c2){a2(a2 – b2) – c2(a2 – b2)}
= (b2 – c2)(a2 – b2)(a2 – c2)
= (b2 – c2)(a2 – b2){ – (c2 – a2)}
= – (a2 – b2)(b2 – c2)(c2 – a2)
= – (a – b)(b – c)(c – a) (a + b)(b + c)(c + a) (Ans.)
