SSC general math ex-5.2 solution
এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2, তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
যেমন, ax2 + bx + c = 0 [যেখানে, a, b, c ধ্রুবক এবং a ≠ 0] একটি এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ। দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষ একটি দ্বিমাত্রিক বহুপদী। সমীকরণের ডানপক্ষ শূন্য ধরা হয়।
অষ্টম শ্রেণিতে x2 + px + q এবং ax2 + bx + c আকারের এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেছি। এখানে আমরা x2 + px + q = 0 এবং ax2 + bx + c = 0 আকারের দ্বিঘাত সমীকরণের বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে চলকের মান নির্ণয়ের মাধ্যমে এরূপ সমীকরণ সমাধান করবো।
উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে বাস্তব সংখ্যার একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম প্রয়োগ করা হয়। ধর্মটি নিম্নরূপ :
যদি দুইটি রাশির গুণফল শূন্য হয়, তবে রাশিদ্বয়ের যেকোনোটি অথবা উভয় রাশি শূন্য হবে। অর্থাৎ, দুইটি রাশি a ও b এর গুণফল ab = 0 হলে, a = 0, বা, b = 0, অথবা a = ০ এবং b = ০ হবে।
দ্বিঘাত সমীকরণের ব্যবহার
আমাদের দৈনন্দিন জীবনের অনেক সমস্যা সরল সমীকরণ ও দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তর করে সহজে সমাধান করা যায়।
অনুশীলনীর সমাধান
প্রশ্ন \ ১ \ x কে চলক ধরে a2x + b = 0 সমীকরণটির ঘাত নিচের কোনটি?
(ক) 3
(খ) 2
√(গ) 1
(ঘ) 0
ব্যাখ্যা : a2x + b = 0 সমীকরণের চলক x, এর সর্বোচ্চ ঘাত 1.
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণটির ঘাত 1.
প্রশ্ন \ ২ \ নিচের কোনটি অভেদ?
(ক) (x + 1)2 + (x – 1)2 = 4x
√ (খ) (x + 1)2 + (x – 1)2 = 2(x2 + 1)
(গ) (a + b)2 – (a – b)2 = 2ab
(ঘ) (a – b)2 = a2 + 2ab + b2
ব্যাখ্যা : বামপক্ষ = (x + 1)2 + (x – 1)2
= x2 + 2x + 1 + x2 – 2x + 1
= 2x2 + 2
= 2(x2 + 1)
প্রশ্ন \ ৩ \ (x – 4)2 = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?
(ক) 1 টি
√(খ) 2 টি
(গ) 3 টি
(ঘ) 4 টি
ব্যাখ্যা : (x – 4)2 = 0
বা, (x – 4)(x – 4) = 0
∴ x = 4, 4
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের মূল ২টি
প্রশ্ন \ ৪ \ x2 – x – 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?
(ক) 3, 4
(খ) 3, – 4
√(গ) – 3, 4
(ঘ) – 3, – 4
ব্যাখ্যা : x2 – x – 12 = 0
বা, x2 – 4x + 3x – 12 = 0
বা, x(x – 4) + 3(x – 4) = 0
বা, (x – 4)(x + 3) = 0
∴ x = 4, -3
প্রশ্ন \ ৫ \ 3x2 – x + 5 = 0 সমীকরণে x এর সহগ কত?
(ক) 3
(খ) 2
(গ) 1
√(ঘ) -1
ব্যাখ্যা : 3x2 – x + 5 = 0
∴ 3x2 + (-1) x + 5 = 0 এখানে, x এর সহগ – 1.
প্রশ্ন \ ৬ \ নিচের সমীকরণগুলো লক্ষ কর :
i. 2x + 3 = 9
ii. \[\frac{x}{2}\] – 2 = – 1
iii. 2x + 1 = 5
উপরের কোন সমীকরণগুলো পরস্পর সমতুল?
(ক) i ও ii
√(খ) ii ও iii
(গ) i ও iii
(ঘ) i, ii ও iii
প্রশ্ন \ ৭ \ x2 – (a + b) x + ab = 0 সমীকরণের সমাধান সেট নিচের কোনটি?
√(ক) {a, b}
(খ) {a, -b}
(গ) { – a, b}
(ঘ) { – a, – b}
ব্যাখ্যা : x2 – (a + b) x + ab = 0
বা, x2 – ax – bx + ab = 0
বা, x(x – a) – b(x – a) = 0
বা, (x – a)(x – b) = 0
∴ x = a, b
∴ সমাধান সেট ঝ = { a, b}
প্রশ্ন \ ৮ \ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। এই তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।
(১) একক স্থানীয় অঙ্ক x হলে, সংখ্যাটি কত?
(ক) 2x
(খ) 3x
(গ) 12x
√(ঘ) 21x
ব্যাখ্যা : দেওয়া আছে, একক স্থানীয় অঙ্ক x
∴ দশক স্থানীয় অঙ্ক 2x
∴ সংখ্যাটি = x + 10 . 2x = 21x
(২) অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি কত হবে?
(ক) 2x
(খ) 3x
√(গ) 12x
(ঘ) 21x
ব্যাখ্যা : অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10.x + 2x = 12x
(৩) x = 2 হলে, মূল সংখ্যার সাথে স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যার পার্থক্য কত?
√(ক) 18 
(খ) 20
(গ) 34
(ঘ) 36
ব্যাখ্যা : (1) হতে পাই,
সংখ্যাটি 21x = 21.2 = 42
(২) নং হতে পাই, সংখ্যাটি = 12x = 12.2 = 24
সংখ্যা দুইটির পার্থক্য, 42 – 24 = 18
সমাধান কর (৯ – ১৮) :
প্রশ্ন \ ৯ \ (x + 2) (x – \[\sqrt{3}\]) = 0
সমাধান : (x + 2) (x – \[\sqrt{3}\]) = 0
হয়, x + 2 = 0 অথবা, x – \[\sqrt{3}\]= ০
∴ x = – 2 ∴ x = \[\sqrt{3}\]
নির্ণেয় সমাধান : x = – 2 অথবা \[\sqrt{3}\]
প্রশ্ন \ ১০ \ (\[\sqrt{2}x + 3\]) (\[\sqrt{3}\]x – 2) = 0
সমাধান : (\[\sqrt{2}x + 3\]) (\[\sqrt{3}\]x – 2) = 0
হয়, \[\sqrt{2}x + 3\] = 0
বা, \[\sqrt{2}x = – 3\]
বা, \[ x = \frac{– 3}{\sqrt{2}}\]
বা, \[ x = \frac{– 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}\]
∴ \[ x = \frac{– 3\sqrt{2}}{2}\]
অথবা, \[\sqrt{3}\]x – 2 = 0
বা, \[\sqrt{3}\]x = 2
বা, x = \[\frac{2}{\sqrt{3}}\]
বা, x = \[\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}}\]
∴ x = \[\frac{2\sqrt{3}}{3}\]
নির্ণেয় সমাধান : x = – \[ \frac{– 3\sqrt{2}}{2}\] অথবা, – \[\frac{2\sqrt{3}}{3}\]
প্রশ্ন \ ১১ \ y(y – 5) = 6
সমাধান : y(y – 5) = 6
বা, y2 – 5y = 6
বা, y2 – 5y – 6 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, y2 – 6y + y – 6 = 0
বা, y(y – 6) + 1(y – 6) = 0
বা, (y – 6) (y + 1) = 0
হয়, y – 6 = 0 অথবা, y + 1 = 0
∴ y = 6 ∴ y = -1
নির্ণেয় সমাধান : y = 6 অথবা, y = -1
প্রশ্ন \ ১২ \ (y + 5)(y – 5) = 24
সমাধান : (y + 5)(y – 5) = 24
বা, y2 – 52 = 24
বা, y2 – 25 = 24
বা, y2 = 24 + 25 [পক্ষান্তর করে]
বা, y = ± \[ \sqrt{49} \]
∴ y = ± 7
নির্ণেয় সমাধান y = ± 7
প্রশ্ন \ ১৩ \ 2(z2 – 9) + 9z = 0
সমাধান : 2(z2 – 9) + 9z = 0
বা, 2z2 – 18 + 9z = 0
বা, 2z2 + 9z – 18 = 0
বা, 2z2 + 12z – 3z – 18 = 0
বা, 2z (z + 6) – 3(z + 6) = 0
বা, (z + 6) (2z – 3) = 0
হয়, z + 6 = 0 অথবা, 2z – 3 = 0
∴ z = – 6 বা, 2z = 3
∴ z = \[\frac{3}{2}\]
নির্ণেয় সমাধান : z = – 6 অথবা, \[\frac{3}{2}\]
প্রশ্ন \ ১৪ \ \[\frac{3}{2z + 1} + \frac{4}{5z – 1} = 2 \]
সমাধান : \[\frac{3}{2z + 1} + \frac{4}{5z – 1} = 2 \]
বা, \[\frac{15z – 3 + 8z + 4}{(2z + 1) (5z – 1)} = 2 \]
বা, \[\frac{23z + 1}{10z^2 + 5z – 2z – 1} = 2 \]
বা, 20z2 + 10z – 4z – 2 = 23z + 1
বা, 20z2 + 6z – 23z – 2 – 1 = 0
বা, 20z2 – 17z – 3 = 0
বা, 20z2 – 20z + 3z – 3 = 0
বা, 20z(z – 1) + 3(z – 1) = 0
বা, (z – 1) (20z + 3) = 0
হয়, z – 1 = 0 অথবা, 20z + 3 = 0
∴ z = 1 বা, 20z = – 3
∴ z = – \[\frac{3}{20}\]
নির্ণেয় সমাধান : z = 1 অথবা – \[\frac{3}{20}\]
প্রশ্ন \ ১৫ \ (z – 10) (z + 10) = 21
সমাধান : (z – 10) (z + 10) = 21
বা, z2 – (10)2 = 21 [∵ a2 – b2 = (a + b) (a – b)]
বা, z2 – 100 = 21
বা, z2 = 21 + 100
বা, z2 = 121
বা, z = ± \[\sqrt{121}\]
∴ z = ± 11
নির্ণেয় সমাধান : z = ± 11
প্রশ্ন \ ১৬ \ \[\frac{x – 2}{x + 2} + \frac{6(x – 2)}{x – 6} = 1 \]
সমাধান : \[\frac{x – 2}{x + 2} + \frac{6(x – 2)}{x – 6} = 1 \]
বা, \[ \frac{6(x – 2)}{x – 6} = 1 – \frac{x – 2}{x + 2} \]
বা, \[ \frac{6(x – 2)}{x – 6} = \frac{x + 2 – x + 2}{x + 2} \]
বা, \[ \frac{6(x – 2)}{x – 6} = \frac{4}{x + 2} \]
বা, 6(x + 2)(x – 2) = 4(x – 6) [আড় গুণন করে]
বা, 6(x2 – 4) = 4(x – 6)
বা, 6x2 – 24 = 4x – 24
বা, 6x2 – 24 – 4x + 24 = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, 6x2 – 4x = 0
বা, 3x2 – 2x = 0 [ 2 দ্বারা ভাগ করে ]
বা, x(3x – 2) = 0
হয়, x = 0 অথবা, 3x – 2 = 0
বা, 3x = 2
∴ x = \[\frac{2}{3}\]
নির্ণেয় সমাধান : x = 0 অথবা, \[\frac{2}{3}\]
প্রশ্ন \ ১৭ \ \[\frac{x}{a} + \frac{a}{x} = \frac{x}{b} + \frac{b}{x} \]
সমাধান : \[\frac{x}{a} + \frac{a}{x} = \frac{x}{b} + \frac{b}{x} \]
বা, \[\frac{x}{a} – \frac{x}{b}= \frac{b}{x} – \frac{a}{x} \] [পক্ষান্তর করে]
বা, \[\frac{xb – xa}{ab}= \frac{b – a}{x}\]
বা, \[\frac{x(b – a)}{ab}= \frac{b – a}{x}\] [আড়গুণন করে]
বা, x2 (b -a) = ab (b – a)
বা, x2 = \[\frac{ab(b – a)} {b – a} \]
বা, x2 = ab
∴ x = ± ab [বর্গমূল করে]
নির্ণেয় সমাধান : x = ± ab
প্রশ্ন \ ১৮ \ \[\frac{x – a}{x – b} + \frac{ x – b}{ x – a} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \]
সমাধান : \[\frac{x – a}{x – b} + \frac{ x – b}{ x – a} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \]
বা, \[\frac{x – a}{x – b}– \frac{a}{b} + \frac{ x – b}{ x – a} –\frac{b}{a} \] = 0 [পক্ষান্তর করে]
বা, \[\frac{bx – ab – ax + ab}{b(x – b)} + \frac{ ax – ab – bx + ab}{ a(x – a)} \]
বা, \[\frac{bx – ab – ax + ab}{b(x – b)} + \frac{ ax – ab – bx + ab}{ a(x – a)} \] = 0
বা, \[\frac{bx – ax}{b(x – b)} + \frac{ ax– bx}{ a(x – a)} \] = 0
বা, \[\frac{x(b – a)}{b(x – b)} + \frac{ x(a– b)}{ a(x – a)} \] = 0
বা, x {\[\frac{(b – a)}{b(x – b)} + \frac{ (a– b)}{ a(x – a)} \]} = 0
হয়, x = 0
অথবা, \[\frac{(b – a)}{b(x – b)} + \frac{ (a– b)}{ a(x – a)}\] = 0
বা, \[ –\frac{(a – b)}{b(x – b)} + \frac{ (a – b)}{ a(x – a)} = 0 \]
বা, \[ \frac{ (a– b)}{ a(x – a)} = \frac{(a – b)}{b(x – b)} \]
বা, a(x – a) = b(x – ba) [আড়গুণন করে]
বা, ax – a2 = bx – b2
বা, ax – bx = a2 – b2
বা, x (a – b) = (a + b) (a – b)
বা, x = \[\frac{(a + b)(a – b)}{a – b}\]
∴ x = a + b
নির্ণেয় সমাধান : x = 0 অথবা, a + b
SSC/class 9-10 General Math Ex-5.2 Solution part 2
SSC math ex-5.1 solution part 1
SSC math ex-5.1 solution part 2
