National Math olympiad questions of 2004
Primary Category
Q1. 7+11 + 15 +19+..+95 + 99 ধারার যোগফল বের কর।
Find the sum of the series 7 + 11 + 15 + 19 + …… +95+ 99.
Q2. ফাহমিদা লটারীতে অনেক টাকা পেয়েছে; জনকল্যাণমূলক কাজের লক্ষ্যে সে সমুদয় অর্থ ব্যাঙ্কে জমা রেখেছে যা থেকে প্রতি বছর 7.5% অর্থ সুদ হিসাবে পাওয়া যায়। উক্ত অর্থ (সুদ) কাহমিদা নিম্নলিখিতভাবে খরচ
করে :
দুই শিশুদের পুষ্টিকর খাদ্য বাবদ 40%
দুই শিশুদের শিক্ষা বাবদ 30%
দুই পরিবারকে স্বাবলম্বী করার নিমিত্তে 20%
বাকী অর্থ দাপ্তরিক কাজে ব্যয় হয় যার পরিমান 30000.00 টাকা। ফাহমিদা লটারীতে মোট কত টাকা পেয়েছিল? কোন খাতে কত টাকা ব্যয় হচ্ছে?
Fahmida got enough money in a lottery; with a view to utilize this money for social work, she deposited the whole amount in a bank, out of which she receives 7.5% interest every year. This amount (interest) she spends in the following manner:
for nutretious food for distressed childrens 40%
for education of distressed childrens 30%
for making distressed families self relient 20%
the rest money Taka 30000.00 are spent for office maintanance. How much money Fahmida received in the lottery? How much money is spent in each head?
Q3. একটি সম্পত্তির \[\frac12\] অংশ 3 ভাইয়ের মাঝে সমান ভাগে ভাগ করা হল। \[\frac13\] অংশ 2 বোনের মাঝে সমান ভাগে ভাগ করে দেয়া হল। বাকী অংশের \[\frac34\] অংশ মা পেল। অবশিষ্টাংশ একটি স্কুলের উন্নয়নের জন্য দান করা হল যার মূল্য হল 70000.00 টাকা। মোট সম্পত্তির মূল্য কত? প্রত্যেকে কত টাকার সম্পত্তি পেল?
\[\frac12\] of a property is distributed among 3 brothers, \[\frac13\] of the property is distributed among 2 sisters. Mother receives \[\frac34\] of the rest property. The remaining property has been donated for development of a school, the valuation of which is Taka 70000.00 What is the valuation of the whole property? What is the valuation of property of every member of the family?
Q4. 60মি × 40মি একটি আয়তকার ক্ষেত্রের মাঝখানে একটি আয়তকার বাগান তৈরী করা হল যাতে বাগানের চারপাশে 1.5 মি প্রশস্ত রাস্তা থাকে। ঐ রাস্তার ক্ষেত্রফল কত? প্রতি মিটার দৈর্ঘ্যের জন্য 15.00 টাকা হারে শুধুমাত্র বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত খরচ হবে?
A rectangular garden is developed in the middle of a 60m × 40m rectangular region so that there is a road of 1.5m surrounding the garden. What is the area of the road? At the rate of Taka 15.00 per metre how much money is required to give fence surrounding only the garden?
Q5. 6 সে মি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি সরলরেখাংশ AB নাও। A কে কেন্দ্র করে AB এর উভয় পার্শ্বে 4সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তচাপ আঁক; আবার B কে কেন্দ্র করে AB এর উভয় পার্শ্বে 4সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তচাপ আঁক। পুর্বের বৃত্তচাপদ্বয়কে এরা P এবং Q বিন্দুতে ছেদ করল; PQ রেখা AB কে O বিন্দুতে ছেদ করে। এখন বলতে হবে (ক) ত্রিভুজ PAB এর পরিসীমা কত?
(খ) PAQB চতুর্ভুজটির নাম কী এবং এর পরিসীমা কত?
(খ) PAO কী ধরণের ত্রিভুজ?
Take a straight line AB of length 6 cm. Centering A draw two arcs each of length 4 cm on both sides of AB; again centering B draw two arcs each of length 4 cm on both sides of AB. Those four arcs meet at two points P and Q; the line PQ intersects AB at O. Now the questions are:
(a) what is the perimeter of the triangle PAB?
(b) what is name of the quadrilateral PAQB. (c) what type of triangle PAO is?
06. চিত্রটি হল একটি সুষম ষড়ভুজ যার সবহুলো বাহু সমান, সবগুলো কোণও সমান এবং প্রতিটি বাহু এর বিপরীত বাহুর সমান্তরাল। দেয়া আছে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ 2 একক এবং যেকোন দুটো বিপরীত বাহুর মধ্যবর্তী দূরত্ব 2√3 একক। তাহলে
(ক) ছয়টি কোণের যোগফল কত এবং প্রতিটি কোণের পরিমান কত? (খ) ষড়ভুজ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
The figure is a regular hexagon whose sides are equal, angles are also equal and every side is parallel to its opposite side. Given that length of each side is 2 units and distance betweeb any pair of parallel sides is 2√3. Then
(a) what is the sum of all the angles and how much is every angle (b) What is the area under the hexagon?
Q7. নিচের প্রশ্নগুলোর সংক্ষিপ্ত উত্তর দাও:
(ক) ত্রিভুজের তিনকোণের যোগফল কোন কোন ক্ষেত্রে দুই সমকোণের বেশী হতে পারে কী?
(খ) একটি স্কুলকোণী ত্রিভুজের সর্বোচ্চ কয়টি স্থূলকোণ থাকতে পারে?
(গ) 1, 3, 5 এবং 0 দ্বারা দুই অংকের কয়টি সংখ্যা লিখা যাবে?
(ঘ) একই ভুমি এবং একই উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ এবং একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান
হবে না অসমান হবে?
(ঙ) 5 টা 12 মিনিটে ঘন্টার কাঁটা এবং মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত?
Give short answer to the following questions:
(a) Can the sum of three angles be more than two right angles in some cases?
(b) maximum how many obtuse angles may be there in a obtuse angled triangle?
(c) how many numbers of two digits can be written with the digits 1, 3, 5 and O?
(d) there is one acute angled triangle and one obtuse angled triangle both having same base and same height; are the areas same or different?
(e) in a clock what is the angle between the hour indicator and the minute indicator at time 12 minutes past 5?
Q8. স্কেলের সাহায্যে 6 সে মি দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশ AB লও এবং এর মধ্যবিন্দু O চিহ্নিত কর। চাঁদার সাহায্যে O বিন্দুতে AB এর উপর 4 সে মি দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট OD লম্ব আঁক। এখন স্কেলের সাহায্যে AD এবং BD যোগ কর। স্কেল দিয়ে মেপে AD এবং BD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। চাঁদার সাহায্যে DAB এবং DBA এর পরিমান নির্ণয় কর।
Take a line segment AB of length 6 cm and identify its middle point O. Using protractor draw the perpendicular OD of length 4 cm upon AB. Join AD and BD by scale. Now measure the angles DAB and ZDBA using protractor.
Q9. 4 সে মি বাহু বিশিষ্ট এমন একটি রম্বস আঁক যার একটি কোণ 30° । রম্বসের বাকী কোণগুলোর পরিমান চাঁদা দিয়ে মেপে বের কর। কর্ণদ্বয় যোগ করে এদের মধ্যবর্তী চারটি কোণের পরিমান নির্ণয় কর। (অঙ্কন পদ্ধতি: চঁদার সাহায্যে একটি 30° কোণ আঁক এবং কম্পাস ও স্কেলের সাহায্যে রম্বসটি আঁক)
Draw a rhombus with each side of length 4 cm and one angle of 30°. Measure the other angles using protractor. Join the diagonals and measure the four angles between these diagonals.(method of drawing: draw a 30° angle using protractor and then complete the rhombus using compass and scale)
Q10. পাঁচ অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে 9 যোগ করলে যোগফল 18 এবং 24 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
Which is the least number of five digits with which when 9 is added the resulting sum is divigible by both 18 and 24.
Math olympiad questions of 2004 of Primary Category pdf
Junior Category
Q1. একটি চৌবাচ্চার একটি নির্দিষ্ট পরিমান পানি রয়েছে। ঐ চৌবাচ্চায় তিনটি পাইপ যুক্ত আছে; ১ম পাইপটি দিয়ে প্রতিঘণ্টায় ঐ নির্দিষ্ট পরিমান পানির 5% ঢুকতে পারে এবং ২য় ও ৩য় পাইপের প্রতিটি দিয়ে প্রতিঘণ্টায় ঐ নির্দিষ্ট পরিমান পানির 3% বের হয়ে যেতে পারে।
(ক) ঐ নির্দিষ্ট পরিমান পানি থাকাবস্থায় ১ম ও ২য় পাইপটি একসাথে খুলে দিলে সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে যদি 10 ঘণ্টা সময় লাগে তবে চৌবাচ্চাটির শতকরা কত ভাগ ঐ নির্দিষ্ট পরিমান পানিতে পূর্ণ আছে?
(খ) ঐ নির্দিষ্ট পরিমান পানি থাকাবস্থায় ১ম ও ২য় পাইপটি একসাথে 5 ঘন্টার জন্য খোলা রাখা হল। তারপর ৩র পাইপটিও খুলে দেয়া হল। ৩য় পাইপটিও খুলে দেয়ার কত সময় পর সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটি খালি হয়ে যাবে?
A definite amount of water is there in a water tank. There are three pipes connected to that tank: 5% of the definite amount of water can enter into the tank through the 1st pipe, 3% of the definite amount of water can come out from the tank through each of the 2nd and 3rd pipes.
(a) while the tank is filled with that definite amount of water, if the 1st and 2nd pipes are open it takes 10 hrs to fill the whole tank; what percentage of the volume of the tank is filled with that definite amount of water? (b) while the tank is filled with that definite amount of water, the 1st and 2nd pipes are opened for 5 hrs. After 5 hrs the 3rd pipe is also opened. After opening 3rd pipe how much time would be required to make the tank empty?
Q2. একটি আয়তকার ক্ষেত্রের ভিতরে চারপাশে 2 ফুট প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে যার ক্ষেত্রফল 1600 বর্গফুট।
(a) ঐ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা বের কর।
(b) ঐ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা বরাবর যেকোন একটি কৌণিক বিন্দু থেকে শুরু করে 1 ফুট অন্তর অন্তর চারা গাছ রোপন করা হল। অনুরূপ ভাবে রাস্তার অভ্যন্তরহ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা বরাবর যেকোন একটি কৌণিক বিন্দু থেকে শুরু করে 1 ফুট অন্তর অন্তর চারা গাছ রোপন করা হল। মোট কতগুলো চারাগাছ রোপন করা যাবে?
There is a 2 ft wide street just inside a rectangular region and the area of the street is 1600 sq ft.
(a) find the perimeter of the rectangular region;
(b) beginning from one vertex of the rectangular region young trees are planted at an interval of 1 m. Similarly young trees are also planted at an interval of 1 m along the perimeter of the rectangular region surounded by the road beginning from one vertex. In total how many trees are planted?
Q3. দুটো ট্রেনের বেগের পার্থক্য ঘণ্টায় 10 কি মি, ধীর গতিসম্পন্ন টেনটি একটি ষ্টেশন থেকে ছেড়ে 160 কি মি আতিক্রম করার পর দ্রুতগতি সম্পন্ন ট্রেনটি সমান্তরাল লইনে একই ষ্টেশন থেকে ছেড়ে প্রথম ট্রেনের 1 ঘণ্টা আগেই গন্তব্য ষ্টেশনে পৌছে গেল। কিন্তু ধীর গতিসম্পন্ন ট্রেনটি 120 কি. মি আতিক্রম করার পর দ্রুতগতি সম্পন্ন ট্রেনটি সমান্তরাল লইনে একই ষ্টেশন থেকে ছেড়ে প্রথম ট্রেনের 2 ঘণ্টা আগেই গন্তব্য ষ্টেশনে পৌছাতে পারে। ট্রেন দুটোর বেগ এবং ষ্টেশনদুটোর মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
The difference between the speeds of two trains is 10 km; the slower train begins journey from a station and when it covers 160 km, the faster train begings journey from the same station on a parallel line and reaches the destination 1 hr before the slower one. But if the faster train begins journey after covering 120 km by the slower one, then it can reach the destination 2 hrs before the slower one. Find the speed of both the trains and the distance between the stations.
Q4. পাঁচ অঙ্কের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 18 এবং 24 দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে 5 এবং 11 অবশিষ্ট থাকবে?
Find the least number of five digits which when divided by 18 and 24 leaves 5 and 11 respectively as remainders.
Q5. একজন কৃষকের চারটি জমি আছে যেগুলোর ক্ষেত্রফলের অনুপাত ১ম : ২য় : ৩য় : ৪র্থ = 2:3:4:7. ঐ কৃষক ১ম, ২য় এবং ৩য় জমিতে যথাক্রমে ক্ষেত্রফলের 4:1, 2:3 এবং 3:2 অনুপাতে ধান এবং পার্ট আবাদ করল; ৪র্থ জমির সম্পূর্ণটাতেই ধান আবাদ করল। সবগুলো জমি একসাথে বিবেচনা করলে ধান এবং পার্ট আবাদকৃত জমির ক্ষেত্রফলের আনুপাত কত?
A farmer has has four plots whose areas are in the ratio 1st: 2nd: 3rd:4th = 2:3:4:7. He planted both paddy and jute in 1st, 2nd, and 3rd plots respectively in the ratios 4:1, 2:3 and 3:2 in terms of raeas and he planted only paddy in the 4th plot. Considering all the plots at time find the artio of areas in which paddy and jute are planted.
Q6. x = 5, 2 x − 3 y +4 = 0, এবং x + 2y + 1 = 0 রেখাত্রয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল বের কর। Find the area of the triangle formed by the lines x = 5, 2x – 3y + 4 = 0 and x + 2y + 1 = 0
Q7.
(a) নিচের সমীকরণটির বামপক্ষকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে তার পর সমীকরণটির সমাধান কর: Resolve into factors the left side of the following equation and then solve the equation: \[ (x^2 – 4x) 2 + 7 (x^2 – 4 x) + 12 = 0\]
(b) নিচের সমীকরণদ্বয়ের সমাধান যদি থাকে তবে তা বের কর:
Find the solution sets, if any, of the following equations:
(i) \[ \frac{6}{3 – x} + \frac{2x}{x – 3}\]
(ii) \[ \sqrt{x – 3} = \sqrt{4x – 5}\]
Q8. 5 ফুট ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র 0 থেকে 3 ফুট দুরে অবস্থিত একটি জ্যায়ের প্রাহবিন্দু হল A এবং B; তাহলে
(a) ত্রিভুজ OAB এর ক্ষেত্রফল কত?
(b) OA, OB এবং বৃত্তচাপ AB দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
If the end points of a chord at a distance of 3 ft from the centre O of a circle of radius 5 ft are A and B, then (a) what is the area of the triangle OAB?
(b) find the area enclosed by OA, OB and the arc AB.
Q9. 4সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে পরস্পর লম্বভাবে দুটো ব্যাসার্ধ OP এবং 0Q নেয়া হল। P এবং Q বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় A বিন্দুতে মিলিত হল। O বিন্দুগামী PQ এর সমান্তরাল রেখা স্পর্শকদ্বয়কে B এবং C বিন্দুতে ছেদ করে। ABC ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য বের কর।
Two mutually perpendicular radii OP and OQ are taken in a circle having O as the centre and of radius 4cm. The tangents at P and Q meet at A. The line through O and parallel to PO meets the tangents at B and C. Find the length of each side of the triangle ABC.
Q10. একটি 10 মি × ৪ মি আয়তকার ক্ষেত্রের কেন্দ্রে 5 মি উচ্চতা বিশিষ্ট একটি শুঁটি খাড়াভাবে পোঁতা হল এবং চারটি কৌণিক বিন্দুতে 2 মি উচ্চতা বিশিষ্ট খুঁটি খাড়াভাবে পোঁতা হল, কেন্দ্রে অবস্থিত খুঁটির উপরিভাগ থেকে চারটি কৌণিক বিন্দুতে অবস্থিত শুঁটির উপরিভাগ পর্যন্ত রশি বাঁধা হল। আবার কৌণিক বিন্দুতে অবস্থিত খুঁটির উপরিভাগ পরস্পরের সাথে রশি দিয়ে যুক্ত করা হল।
(ক) মোট কত মিটার রশির প্রয়োজন?
(খ) ভুমি থেকে সর্বোচ্চ বিন্দু পর্যন্ত কাপড় দিয়ে মোড়াতে কত কাপড় লাগবে?
(গ) কাপড় দিয়ে মোড়ানোর পর উৎপন্ন তাবুটির আয়তন কত?
A piller of length 5m is placed vertically at the centre of a 10m x 8m rectangular region and a piller of length 2m is placed vertically at each vertex of the rectangle. From the upper end of the piller placed at the centre one rope is connected to the upper end of each piller at the vertices. Moreover, upper ends of each pair of the pillers at the vertices are connected by a rope.
(a) how much rope is required?
(b) How much cloth is required to cover the structure from the earth to the maximum point?
(c) After covering the structure by cloth, what is the volume of the prepared tent?
Math olympiad questions of 2004 of Junior Category pdf
Secondary Category
Q1.
(a) উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:
Resolve into factors:
\[(a + b)^2 (b + c)^2 (c + a)^2 + abc {2 (a + b) (b + c) (c + a) + abc}\]
(a) নিচের ধারাটির
\[\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{3.4.5} + \frac{1}{4.5.6} \]+ … + n তম পদ পর্যন্ত যোগফল বের কর এবং আরোহ পদ্ধতিতে উত্তরের সত্যতা যাচাই কর।
Find the sum of the above series up to n terms and verify the result using the method of induction.
Q2.
(a) f(x) = \[\frac{1 + x^2}{1 – x^2}\]
ফাংশনের ডোমেইন এবং রেঞ্জ বের কর।
Find the domain and range of the given function.
(b) নিচের সমীকরণটির সমাধান কর: solve the following equation:
\[\frac23[1 + \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{(1 + x)^3} + \frac{1}{(1 + x)^5}] + …………. \]
Q3. 2 মি দীর্ঘ এবং 2 মি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি তেলের ড্রাম ভূমির সমান্তরালে শায়িত আছে। উক্ত ড্রামের নিম্ন পৃষ্ঠ থেকে তেলের উচ্চতা 1.5 মি হলে ঐ ড্রামে কী পরিমান তেল আছে? (তেলের ঘনত্ব = 0.8 কেজি/মি3 )
An oil cylinder having base radius 2 m and height 2 m is lying parallel to the ground. If the level of oil is at a height of 1.5 m from the lower surface of the cylinder, how much oil is there in the cylinder?
Q4. একটি সমবৃত্তভূমিক (শীর্ষবিন্দুর দিকে) খণ্ডিত কোণক এবং একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিণ্ডারের সমন্বয়ে একটি কানেল আকারের চিমনি তৈরী করা হল যার পরিমাপ নিম্নরূপ:
খণ্ডিত কোণকের বৃত্তাকার ভুমিদ্বয়ের ব্যাসার্ধ 10মি এবং 3মি এবং হেলানো পৃষ্ঠের দৈর্ঘ্য 10মি;
সিলিণ্ডারের বৃত্তকার ভূমির ব্যসার্ধ 3মি এবং উচ্চতা 10মি;
ঐ চিমনিটি তৈরী করতে কত ক্ষেত্রফলের আয়রণ শীটের প্রয়োজন? চিমনিটির আয়তন কত?
A funnel shape chimni is built using a partial right circular cone (removing the part containing vertex) and a right circular cylinder, the measurement of which is as follows:
radii of the parallel circular bases of the partial cone are 10 m and 3 m;
the base radius and height of the cylinder are 3m and 10 m respectively,
How much area of iron sheet is required to built this chimni? What is the volume of the chimni?
Q5. a দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি ফাঁকা ঘনকের অভ্যন্তরে একটি ফাঁকা গোলক এমন ভাবে স্থাপন করা হল যাতে গোলকটি ঘনকের চারটি তলকে স্পর্শ করে। গোলকের ব্যসার্ধের অর্ধেকের সমান ব্যসার্ধ বিশিষ্ট সর্বোচ্চ কত দৈর্ঘ্যের একটি সমবৃত্তভুমিক সিলিণ্ডার ঐ গোলকের মাঝে স্থাপন করা যাবে? ঘনক ও গোলকের মধ্যবর্তী ফাঁকা স্থানের আয়তন এবং গোলক ও সিলিণ্ডরের মধ্যবর্তী ফাঁকা স্থানের আয়তনের অনুপাত কত?
A hollow sphere is placed inside a cube, of side length a, so that the sphere touches every plane of the cube. What is the maximum height of the right circular cylinder of base radius half that of the sphere, which can be accommodated inside the sphere? Find the ratio of the volume of the open space between the cube and the sphere to that between the sphere and the cylinder.
Q6. 1.5 মি × 1.2 মি × 0.9 মি একটি আয়তকার ঘনবস্তুর একটি কর্ণের উপর একটি বিন্দু নেয়া হল যাতে ঐ বিন্দু কর্ণটিকে 1:3 অনুপাতে ভাগ করে। ঐ বিন্দুকে কেন্দ্র ধরে 0.1 মি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলক স্থাপন করা হল। উক্ত গোলকের পৃষ্ঠদেশ থেকে ঘনবস্তুর তলগুলোর মাঝে সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন দূরত্ব বের কর। যদি গোলকটিকে এমন ভাবে স্লাইড করতে দেয়া হয় যাতে কেন্দ্র কর্ণের উপর থাকে তাহলে স্থির অবস্থায় গোলকের কেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় কর। A point on a diagonal of a rectangular parallelopiped of dimension 1.5 m x 1.2 m × 0.9 m is taken so that the point divides the diagonal in the ratio 1:3. A sphere of radius 0.1 m is placed so that its centre is at the point identified on the diagonal. Find the maximum and minimum distances between the surface of the sphere and the faces of the parallelopiped. If the sphere is allowed to slide with centre on the diagonal find the position of the centre of the sphere at rest.
Q7. স্কেল এবং কম্পাস ব্যবহার করে 3 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট এমন তিনটি বৃত্ত আঁক যারা একে অন্যকে স্পর্শ করে। এখন তিনটি বৃত্তের মধ্যবর্তী ফাঁকাস্থানে এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে যা প্রতিটি বৃত্তকে স্পর্শ করে। অঙ্কিত চারটি বৃত্তের যে তিনটি ফাঁকা স্থান আছে এদের মোট ক্ষেত্রফল কত হবে তা বের কর।
Use scale and compass to draw three circles each of radius 3 cm so that each circle touches other. Now draw the circle in the open space surronded by three circles so that, it touches each of three circles. Find the total area of the three spaces surrounded by the four circles drawn.
Q8. নিচের সমীকরণ এবং অসমতার সমাধান সেট বের কর: find the solution set of the following equation and inequality:
(a) \[ x^2 – 3x + 4 = x(x – 1) – 2 (x – 2)\]
(b) \[\frac{x^2 -1}{x}\] ≤ 0
Q9. নিচের সমীকরণগুলোর সমাধান সেট, যদি থাকে, বের কর: find the solution, if any, of the following equations:
(a) 2x – 1+3 (x + 1) = 5 (x – 1)
(b) \[\sqrt {x^2 + 1}\] = x − 1
(c) |x – 1| + |x| = 2
Q10. একটি প্লেন একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় থেকে 200 কি মি/ঘন্টা বেগে আনুভূমিক ভাবে চলছে। প্লেনটি যে আনুভুমিক রেখায় চলছে ঐ রেখা বরাবর খাড়া সমতলে ভুপৃষ্ঠে একটি গ্রউন্ড স্টেশন রয়েছে। প্লেনটি একটি নির্দিষ্ট অবস্থানে পৌছার পর আনুভূমিক রেখার সাথে গ্রাউন্ড স্টেশনের (নিচের দিকে) আনতি হল 15°। এক মিনিট পর ঐ আনতি হল 20°। আর কত সময় পর ঐ আনতি হবে 30°? কখন প্লেনটি গ্রউণ্ড স্টেশনের ঠিক উপরে আসবে? প্লেনটি ভূপৃষ্ঠ থেকে কত উচ্চতায় আছে?
A plane is moving horizontally with a speed of 200 km/hr. There is a ground station on the vertival plane through the horizontal line along which the plane is moving. When the plane reaches a definite location, the inclination of the ground station with the horizontal line is found to be 15°. After one minute that inclination is found to be 20°. After how much time the inclination will be 30°? When the plane will come just above the ground station? At what hight the plane is moving?
Math olympiad questions of 2004 of Secondary Category pdf
Higher Secondary Category
Q1.
(a) f(x) = \[ |x^3 + 1| \] এর ডোমেইন এবং রেঞ্জ বের কর এবং এর লেখচিত্র আঁক। x এর কোন মানের জন্য এই ফাংশনের অন্তরক সহগ অসংজ্ঞায়িত? এই ফাংশনের বিপরীত ফাংশন থাকলে তা বের কর; এই ফাংশনের বিপরীত ফাংশন না থাকলে কেন নেই তা ব্যাখ্যা কর।
Find the domain and range of the function f(x) = \[ |x^3 + 1| \] and sketch the graph. For which value of x the derivative of the function is undefined? Find the inverse, if any, of the given function; if there is no inverse explain why not.
(b) y = \[ x (x^2 – 1) \] এর ডোমেইন এবং রেঞ্জ বের কর। ঐ ফাংশনের লেখচিত্রে স্থানীয় সর্বোচ্চ এবং স্থানীয় সর্বনিম্ন বিন্দুর স্থানাঙ্ক বের কর। লেখচিত্র যদি অক্ষদ্বকে ছেদ করে তবে ছেদবিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক বের কর। তারপর লেখচিত্রটি আঁক। এই ফাংশনের চরম (absolute) সর্বোচ্চ এবং চরম সর্বনিম্ন বিন্দু থাকলে তা বের কর।
Find the domain and range of the function y = \[ x (x^2 – 1) \]. Find local maximum point and local minimum point of the function. Find the coordinates of the points of intersection of the curve with the axes, if any. Then sketch the curve. If there are any absolute maximum and absolute minimum points, find them.
Q2. নিচের সমীকরণ এবং অসমতার সমাধান সেট থাকলে ঐগুলো বের কর (Find the solution sets, if any, of the following equation and inequally):
(a) |x – 1| – |x| = 2
(b) |\[\frac{3}{x} – 2\]| ≤ 3
Q3. x = 6, x – \[ \sqrt{3} \] y + 3\[ \sqrt{3} \] = 0, x + \[ \sqrt{3} \] y − 3\[ \sqrt{3} \] = 0 রেখাত্রয় দেয়া আছে;
(a) প্রমান কর যে, রেখাত্রর একটি ত্রিভুজ গঠন করে;
(b) ঐ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের কর;
(c) ত্রিভুজটির অন্তঃবৃত্তের সমীকরণ বের কর।
Given three lines x = 6, x – \[ \sqrt{3} \] y + 3\[ \sqrt{3} \] = 0, x + \[ \sqrt{3} \] y − 3\[ \sqrt{3} \] = 0
(a) show that the lines constitute a triangle,
(b) find the area of this triangle,
(c) find the equation of the circle inscribed by the triangle (in circle).
Q4.
(a) \[ 1+1^2.2+2^2+2^2.3 + 3^2.4 + 4^2 + 4^2.5 + 5^2.6 +6^2 + . . . \] ধারাটির (2 n + 1) তম পদ পর্যন্ত যোগ কর।
Find the sum of the series
\[ 1+1^2.2+2^2+2^2.3 + 3^2.4 + 4^2 + 4^2.5 + 5^2.6 +6^2 + . . . \] up to (2n + 1) terms.
(b) সমাধান কর 1 + x + \[\frac{1.3}{2!}x^2 + \frac{1.3.5}{3!}x^3 + ……= \sqrt{2} \]
যেখানে বামপক্ষের অসীম ধারাটি একটি নির্দিষ্ট ইন্টারভেলে অভিসারী (convergent); ঐ ইন্টারভেলটি বের কর। x = 10 এর জন্য ধারাটি অভিসারী কিনা বল।
solve 1 + x + \[\frac{1.3}{2!}x^2 + \frac{1.3.5}{3!}x^3 + ……= \sqrt{2} \]
where the series on the left is convergent in a definite interval; find this interval. Write whether the series is convergent for x = 10.
Q5. y = \[ 2 – \frac{1}{2}x^2\] প্যারাবোলাটির:
(a) শীর্ষবিন্দু, ফোকাস এবং প্যারাবোলাটি x-অক্ষকে যে দুটো বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক বের কর।
(b) প্যারাবোলাটি আঁক এবং এটি x-অক্ষকে যে দুটো বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুদ্বয়ে স্পর্শক আঁক এবং এরা যে বিন্দুতে
ছেদ তা বের কর।
(c) স্পর্শকদ্বয় এবং প্যারাবোলা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের কর।
For the parabola y = \[ 2 – \frac{1}{2}x^2\]
(a) find coordinates of vertex, focus, and two points at which the parabola intersects x-axis,
(b) sketch the parabola and draw the tangents at two points where the curve meets x-axis and find the point of intersection of the tangents;
(c) find the area under the two tangents and the parabola
Q6. 1মি সমব্যাসার্ধ বিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ করে আছে। বৃত্ত তিনটির মর্ধবর্তী শূন্যস্থানে একটি বৃত্ত আঁকা হল যাতে তা তিনটি বৃত্তকেই স্পর্শ করে,
(a) মধ্যবর্তী শূন্যস্থানে অঙ্কিত বৃত্তের ব্যসার্ধ কত?
(b) মধ্যবর্তী শূন্যস্থানে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্রকে মূলবিন্দু এবং মূলবিন্দু থেকে প্রদত্ত বৃত্তেত্রয়ের যেকোন একটির কেন্দ্র সংযোগকারী রেখাকে x-অক্ষ হিসাবে বিবেচনা করে যে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক পদ্ধতি পওয়া গেল ঐ পদ্ধতির সাপেক্ষে সবগুলো বৃত্তের সমীকরণ বের কর।
Three circles each of radius 1 m are such that they touch each other. In the space inside the circles a circle is drawn so that it touches three circles:
(a) what is the radius of the circle drawn?
(b) considering the centre of the drawn circle as the origin and the line joining origin to the centre of any of the three circles as the x-axis of the Cartesian coordinate system, find the equations of all the circles.
Q7. একটি উপবৃত্তের কেন্দ্র মূল বিন্দুতে, বৃহৎ অক্ষ এবং ক্ষুদ্র অক্ষ যথাক্রমে x এবং y-অক্ষ বরাবর, বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ 6 এবং উৎকেন্দ্রতা \[\frac{\sqrt{5}}{3}\]
(a) উপবৃত্তটির সমীকরণ বের কর;
(b) উপকেন্দ্রিক জ্যাদ্বয় উপবৃত্তকে যে তিনটি অংশে ভাগ করে ঐ অংশত্রয়ের ক্ষেত্রফল বের কর।
(c) উপবৃত্তের উপর (2, \[\frac{2\sqrt{5}}{3}\]) বিন্দুতে স্পর্শক, প্রথম চতুর্ভাগে উপবৃত্তের অংশ, x-অক্ষ এবং y-অক্ষ এ চারটি রেখার মধ্যবর্তী ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
Centre of an ellipse is at origin, major axis along x-axis and minor axis along y-axis; the major axis is of length 6 and the eccentricity is \[\frac{\sqrt{5}}{3}\];
(a) write the equation of the ellipse,
(b) find the areas of three parts of the ellipse divided by two latera recta.
(c) find the area enclosed by the tangent to the ellipse at (2, \[\frac{2\sqrt{5}}{3}\]) , the segment of the ellipse on the first quadrant, the x-axis and the y-axis.
Q8. 2 মি এবং 1 মি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুটো বৃত্ত পরস্পরকে A এবং B বিন্দুতে ছেদ করে যেখানে AB = 0.4 মি। ছোট বৃত্তের পরিধির উপর A এবং B বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী একটি P বিন্দু এমন ভাবে নেয়া হল যাতে PA এবং PB এর বর্ধিতাংশ বড় বৃত্তকে যথাক্রমে C এবং D বিন্দুতে ছেদ করে। CD জ্যায়ের দৈর্ঘ বের কর।
Two circles of radii 2 m and 1 m intersect at A and B where AB = 0.4 m. A point P is considered on the smaller circle equidistant from A and B so that the extension of PA and PB intersect the bigger circle at C and D respectively. Find the length of the chord CD.
2
Q9. 40মি দৈর্ঘ্যের একটি অত্যন্ত মসৃণ তল আনভুমিকের সাথে 30° কোণে আনত রয়েছে। ঐ তলের পাদদেশ থেকে একটি বস্তুকে স্থির অবস্থা থেকে 10মি/সে? ত্বরণে চলতে দেয়া হল। বস্তুটি ঐ তলে 30মি অতিক্রম করার পর ত্বরণ বন্ধ করে দেয়া হল। যদি ধরে নেয়া হয় যে, বস্তুর উপর মাধ্যকর্ষণের প্রভাব সবসময় রয়েছে, আনত তলের ঘর্ষণ জনিত বাঁধা শূন্য এবং বাতাসের কোন বাঁধা নেই তবে বস্তুটি চলা শুরু থেকে আনুভূমিক দিকে কত দূরে ভুমিতে আঘাত
করবে?
A very smooth plane of length 40 m is inclined to horizon at an angle 30°. From the foot of this plain a body starts from rest and moves with an acceleration 10 m/s2. After moving a distance of 30 m on the plane the acceleration is stoped. If it is supposed that, the effect of gravity is always there, the reristance of the plane is zero and there is no resistance of air, then from the beginning of the journey at how much horizontal distance the body will strike the ground?
Q10. একটি খাড়া দেয়ালে A বিন্দুতে একটি রশির এক প্রান্থ বাঁধা আছে; 4 বিন্দুর খাঁড়া নিচে আর একটি B বিন্দুতে আর একটি রশির এক প্রান্থ বাঁধা আছে। ঐ রশিদ্বয়ের অন্য প্রাহ্ C বিন্দুতে গিঁট দেয়া হল। এখন C বিন্দুতে BC বরাবর 75 N বল এবং C বিন্দুতে খাড়া নিচের দিকে 60 N বল প্রয়োগ করা হল। যদি খাড়া দেয়ালের সাথে AC এবং BC যথাক্রমে 30° এবং 60° কোণ তৈরী করে তবে সুতাদ্বয়ের উপর টান নির্ণয় কর।
On a vertical wall there is a point A at which one end of a rope is attached; at another point B, which is vertically below A, one end of another rope is attached. The other ends of the ropes are knotted together at C. Now 75 N force is applied at C along BC and 60 N force applied at C’ in the vertically downward direction. If AC and BC are inclined to the vertical plane at angles 30° and 60° respectively, find the magnitudes of tensions on the ropes.
