BD national math olympiad questions 2006
Q1. সবচেয়ে ছোট কোন সংখ্যাকে 2,3,4,5,6,7,8,9 এবং 10 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 1 হয়?
Find the smallest number that gives the remainder 1 if divided by 2,3,4,5,6,7,8,9 and 10.
Q2. সেলিম 10 টাকায় 3টি পেন্সিল কিনে, 10 টাকায় 2টি বিক্রয় করলে তার শতকরা কত টাকা লাভ বা ক্ষতি হবে?
Selim buys 3 pencils for 10 taka and sells 2 pencils for 10 taka, what will be his profit or loss in percentage?
Q3. কলম না তুলে এবং একটি রেখার উপর দিয়ে দুইবার না গিয়ে কোনটা আঁকা সম্ভব এবং কোনটা আকা সম্ভব নয়?
Which one of the figures can you draw without lifting the pen or retracing a line?
Q4. এক স্কুলে তিনজন ছাত্রকে 7000 টাকার বৃত্তি দেওয়া হল । প্রথম জন যে টাকা পেল, দ্বিতীয় জন পেল তার অর্ধেক এবং দ্বিতীয় জন যে টাকা পেল তৃতীয় জন পেল তার অর্ধেক । কে কত টাকা পেল?
Three students from a school got scholarship of 7000 taka. The second student got half of the amount of the first person and the third student got half of the amount of the second person. Find the amount of scholarship of the three individual students.
Q5. একটি 1000 বর্গ মিটার বর্গাকৃতি পুকুরের চারকোনায় চারটি গাছ রয়েছে। গাছগুলোকে না কেটে ছবিতে যেভাবে দেখানো হয়েছে সেভাবে পুকুরটিকে বর্গাকৃতিতে কেটে বড় করা হল। এখন পুকুরটির ক্ষেত্রফল কতো?
A1000 sqm square pond had four threes at the four corners. The pond was enlarged to a new square without cutting down the trees as shown in the figure. Find the area of the enlarged pond.
Q6. একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহু দু’টির দৈর্ঘ্য 8 cm ও 6 cm। সামান্তরিকটির একটি শীর্ষবিন্দু থেকে 8 cm বিশিষ্ট বাহুর ওপর লম্ব দূরত্ব 3 cm হলে একই শীর্ষ বিন্দু থেকে অন্য বাহুর ওপর লম্ব দূরত্ব বের কর?
The adjacent edges of a parallelogram are 8 cm and 6 cm respectively. If the perpendicular distance of the 8 cm edge from a vertex is 3 cm, find the perpendicular distance to the other edge from the same vertex.
Q7. 1+2+5+6+9+10+13+14+… ধারাটির পথম 100 পদের যোগফল কত? [সাহায্য : দু’টি দু’টি পদ নিয়ে যোগ কর]
Find the sum of the first 100 terms of the series 1+2+5+6+9+10+13+14+…… [Hint: Add every two terms]
Q8. 1 থেকে শুরু করে 9 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যা ব্যবহার করে একটি ম্যাজিক স্কয়ার তৈরি করা হয়েছে যেখানে সংখ্যাগুলো ওপর থেকে নিচে, বাম থেকে ডানে কিংবা কোনাকুনি যেভাবেই যোগ করা হোক না কেন যোগফল হবে 15। তুমি এভাবে অন্য নয়টি ক্রমিক সংখ্যা বের করে আরেকটি ম্যাজিক স্কয়ার তৈরী করো যার যোগফল সবসময়েই হবে 27 ।
Successive integers from 1 to 9 were used to construct a magic square such that the sum of the three numbers is always 15 if added vertically, horizontally or diagonally. Construct a similar magic square using 9 different successive integers such that the sum is always 27.
Q9. একটি কাগজ \[\frac18\] mm পুরু, কাগজটিকে ছবিতে দেখানো উপায়ে ৪ বার ভাজ করলে কতুটুকু পুরু হবে?
If a paper of thickness \[\frac18\] mm is folded 8 times in the way shown below, what will be the total thickness?
Q10. 1 + \[\frac12 + \frac14 + \frac18 + ………\] ধারাটিতে পরের পদটি আগের পদের অর্ধেক (\[\frac12\]), এরকম ধারার যোগফল \[\frac{1}{1- \frac12}\] ধারাটির যোগফল হতো ( এরকম যদি পরের পদটি আগের পদের এক তৃতীয়াংশ (\[\frac13\]) হতো তাহলে \[\frac{1}{1- \frac13}\] , ইত্যাদি)
1m বাহু বিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভূজের মধ্যবিন্দু তিনটি যোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভূজ আকা যায়। সেই সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যবিন্দুগুলো যোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ আকা যায়। যদি এভাবে ক্রমাগত অসীম সংখ্যক সমবাহু ত্রিভূজ আকা হয় তাহলে সবগুলো ত্রিভূজের সবগুলো বাহুর
যোগফল কত?
The successive terms of the series 1 + \[\frac12 + \frac14 + \frac18 + ………\] is half(\[\frac12\]) of the previous term. The sum of such a series is \[\frac{1}{1- \frac12}\] (Similarly if the successive term is one third of the previous term then the sum of the series is \[\frac{1}{1- \frac13}\].
Now, by joining the three midpoints of an equilateral triangle one can draw another equilateral triangle; similarly one can draw another equilateral triangle by joining the midpoint of the second equilateral triangle. If infinite numbers of such triangles are drawn, what will be the sum of the sides of all the triangle, assuming the edge of the original triangle to be 1m.
Junior Category
Q1. 11কে 3 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল কত? ভাগশেষ কতো?
If 11 is divided by 3 what is the quotient ? What is the remainder?
Q2. একটি সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল \[ n^2 + 3n \] । ধারাটি কী?
The sum of first n terms of an arithmetic series is \[ n^2 + 3n \]. Find the series.
Q3. প্রমাণ কর দু’টি বাস্তব সংখ্যা a এবং b -এর গুণফল বৃহত্তম হবে যখন সংখ্যা দুটি সমান হবে এবং a +b = ধ্রুবক ।
Prove that the product of two real numbers is maximum when the numbers are equal to each other while a +b = constant.
Q4. তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল এবং যোগফল সমান, সংখ্যাগুলি কী? সম্ভাব্য সবগুলি সমাধান লিখ?
The sum and product of three successive numbers are equal, find the numbers. Find all the possible solutions.
Q5. x=2+√3 হলে \[ x^4 + x^3 + x^2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^4} \] এর মান নির্নয় কর।
Find the value of \[ x^4 + x^3 + x^2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^4} \] if x=2+√3
Q6. (√5+√6+√7)(√5+√6-√7)(√5-√6+√7)(- √5+√6+√7) =?
Q7. 1+2+5+6+9+10+13+14+….. ধারাটির পথম 100 পদের যোগফল কত?
Find the sum of the first 100 terms of the series 1+2+5+6+9+10+13+14+…..
Q৪. সমাধান কর :
Solve :
(x-2) \[ (x^2 +5x+3) = x-2 \]
Q9. একটি বর্গক্ষেত্র দেওয়া আছে। শুধু কম্পাস এবং রুলার ব্যবহার করে এ বর্গক্ষেত্রের দ্বিগুণ ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র আঁকো ।
Using compass and Ruler only, draw a square with area twice a given square.
Q10. (a) ত্রিভুজের দু’টি বাহু (a=5 cm, b=6 cm) এবং এমন একটি কোণ ((B=60°) দেওয়া আছে যা ঐ দুটো বাহুর মধ্যকার নয় । শুধু মাত্র কম্পাস ও রুলার ব্যবহার করে ত্রিভুজটি আঁক।
(b) b বাহুর দৈর্ঘ্য 6 cm না হয়ে 4.5 cm হলে কী হতো?
(a) Two sides of a triangle (a=5cm, b=6 cm) and an angle not between these two sides ((B =60°) are given. Draw the triangle using only a compass and a ruler.
(b) If the length of one side is 4.5 cm instead of 6 cm, what is going to happen?
Q11. একটি আয়ত ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ থেকে 5 cm বেশি। যদি দৈর্ঘ্যকে অর্ধেক করে ফেলা হয় এবং প্রস্থ 3 cm কমে যায় তাহলে ক্ষেত্রফল 40 cm কমে যায় । আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কতো?
The length of a rectangle is 5 cm longer than its width. If the length is halved, the width is reduced by 3 cm, and then the area is decreased by 40 cm2. What is the length of the rectangle?
Q12. তিন বন্ধু A, B ও C একটি বাঁদরের সহায়তায় কিছু নারকেল সংগ্রহ করে ঘুমিয়ে পড়লো। কিছুক্ষণ পর A ঘুম থেকে উঠে নারকেলগুলোকে সমান তিনভাগে ভাগ করলো এবং অবশিষ্ট 1টি নারকেল বাঁদরকে দিয়ে দিল। তারপর একভাগ নিজের জন্য সরিয়ে রেখে আবার ঘুমিয়ে পড়লো। কিছুক্ষণ পরে B জেগে উঠে একই কাজ করলো। যেহেতু সে জানে না যে, A ইতিমধ্যে এই কাজ করেছে তাই সে সব নারিকেল সামন তিনভাগ করে অবশিষ্ট একটি বানরটিকে দিল আর একভাগ নিজে সরিয়ে ঘুমিয়ে পড়লো। সবশেষে C জেগে উঠেও একই কাজ করলো। সকালে তিন বন্ধু জেগে নারকেলগুলো সমান তিনভাগ করে প্রত্যেকে একভাগ করে নিল এবং অবশিষ্টটি বানরকে দিয়ে দিল তার অক্লান্ত পরিশ্রমের জন্য। শুরুতে ওরা কমপক্ষে কয়টি নারকেল সংগ্রহ করেছিল?
3 friends A, B and C with the help of a monkey collected many cocoanuts, got tired and fell asleep. At night A woke up and decided to have his share. He divided cocoanuts into 3 equal shares giving the left out single cocoanut to monkey for it hard labour and fell asleep again. In the same way in order B and C woke up. Not knowing whether anybody woke up and each of them divided the cocoanuts into three shares, every time giving the left out single cocoanut to the monkey. Early in the morning all of them woke up together, divided the cocoanuts into 3 equal shares and a left out cocoanut gave to the monkey. What is the minimum number of cocoanuts they collected?
Secondary Category
Q1. সমাধান কর : Solve :
\[ 4^x – 3^{x-\frac12} = 3^{x + \frac12} – 2^{2x – 1} \]
Q2. একটি সমান্তর ধারার প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় পদ যথাক্রমে a, b ও \[a^2 \] যেখানে a একটি ঋণাত্বক সংখ্যা । আবার একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় পদ যথাক্রমে a, \[a^2 \] ও b ।
i) a ও b -এর মান কতো?
ii) গুণোত্তর ধারার যোগফল কতো?
iii) সমান্তর ধারার প্রথম 40 পদের যোগফল কত?
The 1st, 2nd and 3rd terms of an arithmetic series are a, b and \[a^2 \] where a is negative.
The 1st, 2nd and 3rd terms of a geometric series are a, \[a^2 \] and b . Find the
a. The value of a and b
b. The sum of the geometric series.
c. The sum of the first 40 terms of the arithmetic series.
Q3. প্রমাণ কর P যদি মৌলিক সংখ্যা না হয় তাহলে \[ 2^p – 1 \] মৌলিক সংখ্যা নয়?
Prove that \[ 2^p – 1 \] is not a prime number if P is not a prime number
Q4. \[ 3^{999} \] সংখ্যাটির শেষ দু’টি (সর্ব ডানে) অংক কী কী?
Find the last two digits (rightmost) of \[ 3^{999} \].
Q5. 5 cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তস্থঃ ও বহিস্থঃ বর্গের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য বের কর ।
Find the difference of the area of the external and internal square of a circle of radius 5 cm.
Q6. AB ও CD একটি বৃত্তের ব্যাস এবং o ঐ বৃত্তের কেন্দ্র । AB ও CD পরস্পরের ওপর লম্ব। বৃত্তের একটি জ্যা DF ব্যাস ABকে E বিন্দুতে ছেদ করে। যদি DE=6 এবং EF=2হয় তাহলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
AB and CD are diameters of the circle with center O. Also AB is perpendicular to CD and chord DF intersects AB at E. If DE=6 and EF=2, what is the area of the circle.
Q7. সমাধান কর:
Solve :
\[ \sqrt{3 – x} +1 = x \]
Q8. \[\cos\left(\frac12\theta\right) = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}2} \] সমীকরণটি ব্যবহার করে \[\cos\frac{9\mathrm\pi}8 \] এর মান বের কর
Find the value of \[\cos\frac{9\mathrm\pi}8 \] using the equation \[\cos\left(\frac12\theta\right) = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}2} \]
Q10. O ও O’কেন্দ্র বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত A বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। TT’ স্পর্শক বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। প্রমাণ কর (PAO + (QAO = এক সমকোণ ।
Two circles with the centres O and O’, touch each other externally at A. The tangent TT’ touches the two circles at P and Q respectively. Prove (PAO+(QAO=Right angle.
f(x)=x if x 20
Q11.
যদি If f(x) = |x| অর্থাৎ \[ \left\{\begin{array}{l}f(x)=x\;if\;x\geq0\\f(x)=-x\;if\;x<0\end{array}\right. \] এবং g(x) =\[ x^2 – 5 \] হয়
তবে \[f\left(f\left(g\left(f\left(-1\right)\right)\right)\right) \] = ?
If f(x) = |x| ie \[ \left\{\begin{array}{l}f(x)=x\;if\;x\geq0\\f(x)=-x\;if\;x<0\end{array}\right. \] and g(x) = \[ x^2 – 5 \]
then \[f\left(f\left(g\left(f\left(-1\right)\right)\right)\right) \] = ?
Q12. তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল এবং যোগফল সমান, সংখ্যাগুলি কী? সম্ভাব্য সবগুলি সমাধান লিখ । The sum and product of three successive numbers are equal, find the numbers. Find all the possible solutions.
