BD Math Olympiad 2022 national questions

BD Math Olympiad 2022 national questions

 Primary level

1. একটি লাইনে 50 জন মানুষ দাঁড়িয়ে আছে, এদের কয়েকজন সত্যবাদী যারা সবসময় সত্য বলে এবং বাকিরা মিথ্যাবাদী যারা সবসময় মিথ্যা বলে। লাইনের পিছন থেকে প্রথম জন বলল, “আমার সামনে সবাই মিথ্যাবাদী”, দ্বিতীয় জন বলল, “আমার পিছনে সবাই মিথ্যাবাদী”, তৃতীয় জন বলল, “আমার সামনে সবাই মিথ্যাবাদী”, চতুর্থ জন বলল, “আমার পিছনে সবাই মিথ্যাবাদী”… অর্থাৎ প্রথম জন থেকে, তৃতীয়, পঞ্চম,… 49-তম সবাই বলল “আমার সামনে সবাই মিথ্যাবাদী” এবং পিছন থেকে দ্বিতীয়, চতুর্থ,… 50-তম সবাই বলল “আমার পিছনে সবাই মিথ্যাবাদী।” সর্বোচ্চ কত জন সত্যবাদী, সেক্ষেত্রে সত্যবাদীরা কারা কারা?

In a line 50 people are standing, some of them are truthful who always speak the truth and remaining are liars who always tell lies. The first person from the back of the line says, “Everyone in front of me is a liar”, the second person says, “Everyone behind me is a liar”, the third person says,“Everyone in front of me is a liar”, the fourth person says, “Everyone behind me is a liar”, … In other words, the first, third, fifth, · · · , 49-th person from the back say, “Everyone in front of me is a liar” and the second, forth, sixth, · · · , 50-th person from the back say, “Everyone behind me is a liar”. At most how many of them are truthful, and in that case who are the truthful?

2. চিত্রে ABCD, BDFE, ACGH তিনটি বর্গ। ADFEIGH সম্পূর্ণ বহুভুজটির ক্ষেত্রফল 750 বর্গ একক হলে BD-এর দৈর্ঘ্য কত?

In the figure ABCD,BDFE,ACGH are three squares. If the area of the whole polygon ADFEIGH is 750 square units, what is the length of BD?

3. জাহিন 1 থেকে 2000-এর মধ্যে সবগুলো সংখ্যা একটি সারিতে লিখলো। তারপর প্রতিটি সংখ্যার নিচে ওই সংখ্যার ডানে যতগুলো 0 আছে তা লিখলো। যেমন: 1010-এর নিচে 1, 500-এর নিচে 2, 7-এর নিচে 0 ইত্যাদি। এই নতুন সারির সবগুলো সংখ্যার যোগফল কত?

Zahin writes all the numbers between 1 and 2000 in a row. Then under every number he
writes the number of 0 at the right of that number. For example: 1 under 1010, 2 under 500, 0 under 7 etc. What is the sum of all the numbers in this new row?

4. a, b দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যেগুলোর মধ্যে কমপক্ষে একটি পূর্ণবর্গ। তাদের ল.সা.গু. (লক্ষ্য সাধারণ গুণিতক) ৭২ হলে এমন কতগুলি (a, b) জোড়া (x, y) এবং (y, x) ভিন্ন?
একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হল এমন সংখ্যা যাকে দুইটি একই সংখ্যার গুণফল হিসেবে লেখা যায়।
যেমন: 25 = 5 × 5, 81 = 9 × 9, 1 × 1 = 1।

a, b are two positive integers such that at least one of them is a perfect square. If the LCM (Least Common Multiple) of the two numbers is 72, then how many such (a, b) exists ((x, y) and (y, x) are different)? A perfect square is a number that can be expressed as the product of two equal numbers. For example: 25 = 5 × 5, 81 = 9 × 9, 1 × 1.

5. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার বাহুর দৈর্ঘ্য ২০ একক। A-কে কেন্দ্র করে একটি বৃত্তাচাপ আঁকা হল যার ব্যাসার্ধ ৫ একক। চাপটি AB এবং AC-কে মহাক্রমে B’ এবং C’-এ ছেদ করে। একটি ১ একক ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার চাকা যদি BB’C’C সম্পূর্ণ পথ অতিক্রম করে, তাহলে কতবার চাকাটি ঘুরবে?

△ABC is an equilateral triangle that has side-length 20 unit. An arc is drawn with the center at A and radius 5 unit. The arc intersects AB and AC at points B′ and C′ respectively. If a circular wheel with a radius of 1 unit travels the whole path BB′C′C, then how many times will the wheel rotate?

6. একটি পালিনড্রোম সংখ্যা হল এমন সংখ্যা যাকে উল্টিয়েও লিখলে একই হয়।
যেমন: 12321, 39093 ইত্যাদি।

ক. কতগুলো 5 অঙ্কের পালিনড্রোম সংখ্যা রয়েছে?
খ. কতগুলো 7 অঙ্কের পালিনড্রোম সংখ্যা রয়েছে, যারা 3 দ্বারা বিভাজ্য?

A Palindrome number is a number which stays the same if the digits are written in reverse.
For example: 12321, 39093 etc.
A. How many 5 digit Palindrome numbers are there?
B. How many 7 digit Palindrome numbers are there, which are also divisible by 3?

7. তাহনিককে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n দিয়ে সে এর সাথে সহমৌলিক সকল সংখ্যা লিখবে। অর্থাৎ যাদের সাথে n এর গ.সা.গু. (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক) ১। যেমন, n = 10 দিলে সে 1, 3, 7, 9, 11, 13, … লিখে দেবে যেগুলো n-এর সাথে সহমৌলিক। তাহনিককে কোনো n দিলে তার লিস্টে দেওয়া সংখ্যাগুলো যদি একটি সমান্তর অনুক্রম তৈরি করে, তবে n এর মান কী কী হতে পারে?
একটি সমান্তর অনুক্রমে পরপর দুইটি সংখ্যার অন্তর সবসময় একই মান হয়।
যেমন: 3, 7, 11, 15, 19, …

If Thanic is given any positive integer n, he writes down all the integers co-prime to the
given number – meaning numbers with which the GCD (Greatest Common Divisor) of n is 1. For
example, if n = 10 is given, he keeps writing 1, 3, 7, 9, 11, 13, · · · . If after giving Thanic some integer n the numbers he writes down form an arithmetic progression, then what are the possible values for n?
In an arithmetic progression the difference between two consecutive terms are always the same. For
example: 3, 7, 11, 15, 19, · · ·

8. প্রমাণ কর যে x⁴ – y⁴ = x³ + x × y² – 26 হলে x, y উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হতে পারে না।
এখানে যেকোনো সংখ্যা z এর জন্য, z⁴ = z × z × z × z বোঝায়, z³ = z × z × z, এবং z² = z × z।

Prove that if x⁴ – y⁴ = x³ + x × y² – 26 , then both x, y cannot be positive integers. Here
for any number z, z⁴ = z × z × z × z, z³ = z × z × z, and z² = z × z.

Junior level

1. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার বাহুর দৈর্ঘ্য 20 একক। A-কে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত আঁকা হয়েছে যার ব্যাসার্ধ 5 একক। বৃত্তটি AB এবং AC-কে যথাক্রমে B’ এবং C’-তে ছেদ করে। একটি 1 একক ব্যাসার্ধের চাকা যদি BB’C’C পথে সম্পূর্ণভাবে ঘোরে, তবে চাকা কতবার ঘুরবে?

△ABC is an equilateral triangle that has side-length 20 unit. An arc is drawn with the center at A and radius 5 unit. The arc intersects AB and AC at points B′ and C′ respectively. If a circular wheel with a radius of 1 unit travels the whole path BB′C′C, then how many times will the wheel rotate?

2. একটি পালিনড্রোম সংখ্যা হল এমন সংখ্যা যা উল্টিয়েও পড়লে একই থাকে।
যেমন: 12321, 39093 ইত্যাদি।

ক. কতগুলো 5 অঙ্কের পালিনড্রোম সংখ্যা রয়েছে?
খ. কতগুলো 7 অঙ্কের পালিনড্রোম সংখ্যা রয়েছে, যারা 3 দ্বারা বিভাজ্য?

A Palindrome number is a number which stays the same if the digits are written in reverse.
For example: 12321, 39093 etc.
A. How many 5 digit Palindrome numbers are there?
B. How many 7 digit Palindrome numbers are there, which are also divisible by 3?

3. তাহনিককে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n দিয়ে সে এর সাথে সহমৌলিক সকল সংখ্যা লিখবে। অর্থাৎ যাদের সাথে n এর গ.সা.গু. (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক) 1। যেমন, n = 10 দিলে সে 1, 3, 7, 9, 11, 13, ……… লিখবে। তাহনিককে কোনো n দিলে তার লিস্টে দেওয়া সংখ্যাগুলো যদি একটি সমান্তর অনুক্রম তৈরি করে, তবে n এর মান কী কী হতে পারে?
একটি সমান্তর অনুক্রমে পরপর দুইটি সংখ্যার অন্তর সবসময় একই মান হয়।
যেমন: 3, 7, 11, 15, 19, …………..

If Thanic is given any positive integer n, he writes down all the integers co-prime to the
given number – meaning numbers with which the GCD (Greatest Common Divisor) of n is 1. For
example, if n = 10 is given, he keeps writing 1, 3, 7, 9, 11, 13, · · · . If after giving Thanic some integer n the numbers he writes down form an arithmetic progression, then what are the possible values for n? In an arithmetic progression the difference between two consecutive terms are always the same. For
example: 3, 7, 11, 15, 19, · · ·

4. চিত্রে ABCD আয়ত যে, AB = BE, CD = DF এবং AF = 3 একক। ছায়াকৃতির ক্ষেত্রফল যথাক্রমে x ও y, যেখানে y – x = \frac{80 - 25\pi}{4} বর্গ একক।
ABCD-এর বাহিরের দৈর্ঘ্যগুলি পূর্ণসংখ্যা হলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

In rectangle ABCD in the figure, AB = BE,CD = DF and AF = 3 units. The areas of
the two shaded regions are x and y respectively, where y − x = \frac{80 - 25\pi}{4} square units. If the sides of the rectangle have integer lengths, then find its area.

5. বাস্তব x এর জন্য সকল সমাধান নির্ণয় কর:
\lfloor x \rfloor^3 - 7 \left\lfloor x + \frac{1}{3} \right\rfloor = -13
এখানে \lfloor x \rfloor হলো ফ্লোর ফাংশন, যা দ্বারা x-এর চেয়ে সমান বা ছোট সর্বোচ্চ পূর্ণসংখ্যা বোঝায়। যেমন:
\lfloor 2.1 \rfloor = 2, \quad \lfloor 3 \rfloor = 3, \quad \lfloor -1.6 \rfloor = -2

Find all solutions for real x: \lfloor x \rfloor^3 - 7 \left\lfloor x + \frac{1}{3} \right\rfloor = -13  . Here ⌊x⌋ is the floor function, which
represents the largest integer less than or equal to x. For example: ⌊2.1⌋ = 2, ⌊3⌋ = 3, ⌊−1.6⌋ = −2.

6. প্রত্যয় ও পারভেজ দু’জনের কাছে দুটি সংখ্যা ঘাতক্রমে n এবং m আছে যেখানে n > m। প্রতিদিন, প্রত্যয় তার সংখ্যাটিকে 2 দিয়ে গুণ করে 2 বিয়োগ করে, আর পারভেজ তার সংখ্যাটিকে 2 দিয়ে গুণ করে 2 যোগ করে। অর্থাৎ, প্রথমদিন তাদের সংখ্যা দুটি হবে যথাক্রমে (2n – 2) এবং (2m + 2)। এমন স্বাভাবিক পূর্ণসংখ্যা x প্রমাণসহ নির্ণয় কর যেখানে n – m ≥ 2 হলে প্রতিদিনই প্রত্যয়ের সংখ্যা পারভেজের সংখ্যার থেকে বড় হবে।

Pratyya and Payel have a number each, n and m respectively, where n > m. Everyday,
Pratyya multiplies his number by 2 and then subtracts 2 from it, and Payel multiplies his number by 2 and then add 2 to it. In other words, on the first day their numbers will be (2n − 2) and (2m + 2) respectively. Find minimum integer x with proof such that if n − m ≥ x, then Pratyya’s number will be larger than Payel’s number everyday.

7. একটি n আকারের ত্রিভুজ হচ্ছে অনেকগুলো বৃহৎকার কম্পোনেন্টের সমষ্টি যাদের একটি সমবাহু ত্রিভুজাকার রূপ রয়েছে এবং প্রতি বাহু বারবার দুটি করে নম্বর নম্বর। যেমন, চিত্রে 5 আকারের ত্রিভুজ দেখানো হয়েছে। শুরুতে সমস্ত কম্পোনেন্ট হেতু সাইডে উপরের দিকে রয়েছে। তুমি একবারে পঞ্চমাংশ স্পর্শ করে এমন তিনটি করে কম্পোনেন্ট উল্টিয়ে রাখতে পারো।

ক. প্রমাণ কর, n = 3 হলে, তুমি এমনভাবে বেশ কয়েকবার তিনটি করে কম্পোনেন্ট উল্টিয়ে সমস্ত কম্পোনেন্ট সাইডে উপরে আনতে পারবে।
খ. প্রমাণ কর, n সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে, তুমি এমনভাবে বেশ কয়েকবার তিনটি করে কম্পোনেন্ট উল্টিয়ে সমস্ত কম্পোনেন্ট সাইডে উপরে আনতে পারবে।

A triangle of size n is a collection of a number of circular coins which are placed in the shape of an equilateral triangle and there are n coins along each side. For example, in the figure a triangle of size 5 is shown. At first the Heads side of every coin is faced up. At a time, you can take three coins that are touching each other and flip their side.
A. Prove that, if n = 3, you can make the Tails side of all the coins faced up after flipping three coins at a time in this method a few times.
B. Prove that, if the number n is divisible by 3, you can make the Tails side of all the coins faced up after flipping three coins at a time in this method a few times.

8. প্রমাণসহ সকল জোড় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বের কর যাদেরকে দুইটি মৌলিক জোড় সংখ্যা যোগফল হিসেবে লেখা যায় না।

Find, with proof, all even positive integers that cannot be expressed as the sum of two composite odd numbers.

BdMO-2022-National-Questions