Class 7 math ex-1.2 solution
পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ : কোনো ভগ্নাংশের লব ও হর পূর্ণবর্গ সংখ্যা বা ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে পরিণত করলে যদি তার লব ও হর পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে ঐ ভগ্নাংশকে পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ বলা হয়।
এখানে, \[\frac{২৫}{১৬}\] ভগ্নাংশের লব ২৫ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং হর ১৬ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। সুতরাং \[\frac{২৫}{১৬}\] একটি পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ।
ভগ্নাংশের বর্গমূল : ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে পরিণত করে ভগ্নাংশের লবের বর্গমূলকে হরের বর্গমূল দ্বারা ভাগ করলে ভগ্নাংশের বর্গমূল পাওয়া যায়। হর যদি পূর্ণবর্গ সংখ্যা না হয়, তবে গুণন দ্বারা পূর্ণবর্গ করে নিতে হবে।
মূলদ সংখ্যা : যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যাকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় তাকে মূলদ সংখ্যা বলে। শূন্যসহ সকল স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ সংখ্যা সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: ১ = \[\frac{১}{১}\], ২ = \[\frac{২}{১}\] ……, ০.১ = \[\frac{১}{১০}\], ১.৫ = \[\frac{১৫}{১০}\], ২.০৩ = \[\frac{২০৩}{১০০}\]….., ০ = \[\frac{০}{১}\] ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।
অমূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না তাদের অমূলদ সংখ্যা বলে।
আবার, অসীম দশমিক এবং পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয় এরূপ সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা। যেমন: \[\sqrt{২}\] = ১. ৪১৪২১৩৫….., \[\sqrt{৩}, \sqrt{৫} , \sqrt{৬} \] …. ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
অনুশীলনী সমাধান
প্রশ্ন \ ১ \ \[\frac{২৮৯}{৩৬১}\] এর বর্গমূল কত ?
(ক) \[\frac{১৩}{১৯}\]
√(খ) \[\frac{১৭}{১৯}\]
(গ) \[\frac{১৯}{১৩}\]
(ঘ) \[\frac{১৯}{১৭}\]
প্রশ্ন \ ২ \ ১.১০২৫ এর বর্গমূল কত ?
(ক) ১.৫
(খ) ১.০০৫
√(গ) ১.০৫
(ঘ) ০.০৫
ব্যাখ্যা : ১.১০২৫ এর বর্গমূল = \[ \sqrt {\frac{১১০২৫}{১০০০০}}\]
এখানে, লব ১১০২৫ এর বর্গমূল = ১০৫
এবং হর ১০০০০ এর বর্গমূল = ১০০
∴ ১.১০২৫ এর বর্গমূল = \[\frac{১০৫}{১০০}\] = ১.০৫।
প্রশ্ন \ ৩ \ নিচের তথ্য থেকে ১ – ৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ২৫।
(১) একটি সংখ্যা ১২ হলে অপরটি কত ?
(ক) ৫
(খ) ৯
(গ) ১১
√(ঘ) ১৩
ব্যাখ্যা : মনে করি, অপর সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে, (ক)২ – (১২)২ = ২৫ বা, ক২ – ১৪৪ = ২৫
বা, ক২ = ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯
বা, ক২ = (১৩)২
ক = ১৩
(২) সংখ্যা দুইটির বর্গ কী কী ?
√(ক) ১৪৪, ১৬৯
(খ) ১২১, ১৪৪
(গ) ১৬৯, ১৯৬
(ঘ) ১৯৬, ২২৫
ব্যাখ্যা : ১২ এর বর্গ = (১২)২ = ১৪৪
১৩ এর বর্গ = (১৩)২ = ১৬৯
(৩) দুইটি সংখ্যার মধ্যে কোনটির বর্গ থেকে ২৫ বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে ?
√(ক) বড়টি
(খ) ছোটটি
(গ) উভয়টি
(ঘ) একটিও না
ব্যাখ্যা : (১২)২ – ২৫ = ১৪৪ – ২৫ = ১১৯, যা পূর্ণবর্গ নয়
(১৩)২ – ২৫ = ১৬৯ – ২৫ = ১৪৪ = (১২)২; যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
প্রশ্ন \ ৪ \ নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর :
i. ০.০০০১ এর বর্গমূল ০.০১
ii. \[\frac{১৬}{২২৫}\] একটি পূর্ণবর্গ ভগ্নাংশ
iii. \[\sqrt{৩}\] এর মান প্রায় ২ এর সমান
উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক ?
(ক) i ও ii (খ) ii ও iii (গ) i ও iii √ (ঘ) i, ii ও iii
প্রশ্ন \ ৫ \ একজন কৃষক বাগান করার জন্য ৫৯৫টি চারাগাছ কিনে আনেন। প্রত্যেকটি চারাগাছের মূল্য ১২ টাকা।
(ক) চারাগাছগুলো কিনতে তাঁর কত খরচ হয়েছে ?
(খ) বাগানে প্রত্যেক সারিতে সমান সংখ্যক গাছ লাগানোর পর কয়টি চারাগাছ অবশিষ্ট থাকবে ?
(গ) খরচের টাকার সংখ্যা ও চারাগাছের সংখ্যার বিয়োগফলের সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
সমাধান :
(ক) ১ টি চারা গাছের মূল্য ১২ টাকা
∴ ৫৯৫টি ,, ,, ,, (৫৯৫ × ১২) ,, বা ৭১৪০ টাকা
উত্তর : চারা গাছগুলো কিনতে তার খরচ হয়েছে ৭১৪০ টাকা।
উত্তর : বাগানে প্রত্যেক সারিতে সমান সংখ্যক গাছ লাগানোর পর ১৯ টি চারাগাছ অবশিষ্ট থাকবে।
(গ) ‘ক’ হতে পাই, খরচ ৭১৪০ টাকা এবং চারাগাছের সংখ্যা ৫৯৫টি।
∴ বিয়োগফল = ৭১৪০ – ৫৯৫ বা ৬৫৪৫
যেহেতু সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করার সময় ভাগশেষ ১৪৫ থাকে তাই ৬৫৪৫ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয়। ৬৫৪৫ এর সাথে কোনো একটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি এর সাথে যোগ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে এবং তখন এর বর্গমূল হবে (৮০ + ১) বা ৮১।
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৮১ × ৮১ – ৬৫৪৫
= ৬৫৬১ – ৬৫৪৫ = ১৬
উত্তর : ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি ১৬।
প্রশ্ন \ ৬ \ বর্গমূল নির্ণয় কর :
(ক) ০.৩৬
উত্তর : বর্গমূল ০.৬
উত্তর : বর্গমূল ১.৫
উত্তর : বর্গমূল ০.০৭
উত্তর : বর্গমূল ২৫.৩২
(ঙ) ০.০০০৫৭৬
উত্তর : বর্গমূল ০.০২৪
উত্তর : বর্গমূল ১২.০৩৫
প্রশ্ন \ ৭ \ দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল নির্ণয় কর :
উত্তর : দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল ২.৬৫ (প্রায়)
উত্তর : দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল ০.১৯ (প্রায়)
প্রশ্ন \ ৮ \ নিচের ভগ্নাংশগুলোর বর্গমূল নির্ণয় কর :
(ক) \[\frac{১}{৬৪}\]
সমাধান : \[\frac{১}{৬৪}\] এর বর্গমূল
= \[\sqrt{\frac{১}{৬৪}}\]
= \[\sqrt{\frac{১ × ১}{৮ × ৮}}\]
= \[\frac{১}{৮}\]
উত্তর : নির্ণেয় বর্গমূল \[\frac{১}{৮}\]
(খ) \[\frac{৪৯}{১২১}\]
সমাধান : \[\frac{৪৯}{১২১}\] এর বর্গমূল
= \[\sqrt{\frac{৪৯}{১২১}}\]
= \[\sqrt{\frac{১ × ১}{১১ × ১১}}\]
= \[\frac{১}{১১}\]
উত্তর : নির্ণেয় বর্গমূল \[\frac{১}{১১}\]
(গ) \[১১\frac{৯৭}{১৪৪}\]
সমাধান : \[১১\frac{৯৭}{১৪৪}\] এর বর্গমূল
= \[\sqrt{\frac{১৬৮১}{১৪৪}}\]
= \[\sqrt{\frac{৪১ ×৪১}{১২ × ১২}}\]
= \[\frac{৪১}{১২}\]
উত্তর : নির্ণেয় বর্গমূল \[৩\frac{৫}{১২}\]
(ঘ) \[৩২\frac{২৪১}{৩২৪}\]
সমাধান : \[৩২\frac{২৪১}{৩২৪} = \frac{১০৬০৯}{৩২৪} \]
\[ \frac{১০৬০৯}{৩২৪} \] এর বর্গমূল
= \[\sqrt{\frac{১০৬০৯}{৩২৪}}\]
= \[\sqrt{\frac{১০৩ ×১০৩}{১৮ × ১৮}}\]
= \[\frac{১০৩}{১৮}\]
উত্তর : নির্ণেয় বর্গমূল \[৫\frac{১৩}{১৮}\]
প্রশ্ন \ ৯ \ তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল নির্ণয় কর।
(ক) \[\frac{৬}{৭}\]
সমাধান : \[\frac{৬}{৭}\] এর বর্গমূল
= \[\sqrt{\frac{৬}{৭}}\]
= \[\sqrt{\frac{৬ × ৭}{৭ × ৭}}\]
= \[ \frac{\sqrt{৪২}}{৭}\]
এখানে,
উত্তর : তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল ০.৯২৬ (প্রায়)
(খ) \[২\frac{৫}{৬}\]
সমাধান : \[২\frac{৫}{৬}\] এর বর্গমূল
= \[\sqrt{২\frac{৫}{৬}}\]
= \[\sqrt{\frac{১৭}{৬}}\]
= \[\sqrt{\frac{১৭ × ৬}{৬ × ৬}}\]
= \[ \frac{\sqrt{১০২}}{৬}\]
এখানে,
উত্তর : নির্ণেয় তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল ১.৬৮৩ (প্রায়)
(গ) \[৭\frac{৯}{১৩}\]
সমাধান : \[৭\frac{৯}{১৩}\] এর বর্গমূল
= \[\sqrt{৭\frac{৯}{১৩}}\]
= \[\sqrt{\frac{১০০}{১৩}}\]
= \[\sqrt{\frac{১০০ × ১৩}{১৩ × ১৩}}\]
= \[ \frac{\sqrt{১৩০০}}{১৩}\]
এখানে,
উত্তর : তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল ২.৭৭৪ (প্রায়)
প্রশ্ন \ ১০ \ ৫৬৭২৮ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কতজন সৈন্য সরিয়ে রাখলে বা তাদের সাথে কমপক্ষে আর কতজন সৈন্য যোগ দিলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে?
সমাধান : দেওয়া আছে, মোট সৈন্য = ৫৬৭২৮ জন
এখন,
∴ কমপক্ষে ৮৪ জন সৈন্য সরিয়ে রাখলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।
আবার,
∴ ৫৬৭২৮ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয়। ২৩৮ এর সাথে ১ যোগ করে যোগফল এর বর্গ পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
২৩৮ + ১ = ২৩৯
∴ ২৩৯ এর বর্গ = = ৫৭১২১
সুতরাং সৈন্যসংখ্যা বাড়াতে হবে = (৫৭১২১ – ৫৬৭২৮) জন
= ৩৯৩ জন
উত্তর : ৮৪ জন সরিয়ে রাখলে বা ৩৯৩ জন যোগ দিলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।
প্রশ্ন \ ১১ \ কোনো বিদ্যালয়ের ২৭০৪ জন শিক্ষার্থীকে প্রাত্যহিক সমাবেশ করার জন্য বর্গাকারে সাজানো হলো। প্রত্যেক সারিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ২৭০৪
প্রত্যেক সারিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে ২৭০৪ এর বর্গমূলের সমান।
উত্তর : প্রত্যেক সারিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা ৫২ জন।
প্রশ্ন \ ১২ \ একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল প্রত্যেকে তত ২০ টাকা করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ২০৪৮০ টাকা হলো। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, সমিতির সদস্য সংখ্যা = ‘ক’
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = (ক × ২০) বা ২০ ক টাকা
∴ মোট চাঁদার পরিমাণ = ( ২০ ক × ক) টাকা = ২০ ক২ টাকা
প্রশ্নমতে, ২০ক ২ = ২০৪৮০
বা, ক ২ = ২০৪৮০২০
বা, ক ২ = ১০২৪
বা, ক = \[ \sqrt{১০২৪}\]
বা, ক = \[ \sqrt{ ৩২ × ৩২}\]
∴ ক = ৩২
উত্তর : সমিতির সদস্য সংখ্যা ৩২ জন।
প্রশ্ন \ ১৩ \ কোনো বাগানে ১৮০০টি চারাগাছ বর্গাকারে লাগাতে গিয়ে ৩৬টি গাছ বেশি হলো। প্রত্যেক সারিতে চারা গাছের সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধান : যেহেতু ৩৬টি গাছ বেশি। সুতরাং প্রত্যেক সারিতে চারা গাছের সংখ্যা হবে (১৮০০ – ৩৬) বা ১৭৬৪ এর বর্গমূলের সমান।
এখন,
উত্তর : প্রত্যেক সারিতে চারাগাছের সংখ্যা ৪২টি।
প্রশ্ন \ ১৪ \ কোন ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যা ৯, ১৫ এবং ২৫ দ্বারা বিভাজ্য ?
সমাধান : নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৯, ১৫ এবং ২৫ এর ল. সা. গু.
৩)৯, ১৫, ২৫
৫)৩, ৫, ২৫
৩, ১, ৫
∴ ল. সা. গু. = ৩ × ৫ ×৩ × ৫ = ২২৫
উত্তর : ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি ২২৫।
প্রশ্ন \ ১৫ \ একটি ধানক্ষেতের ধান কাটতে শ্রমিক নেওয়া হলো। প্রত্যেক শ্রমিকের দৈনিক মজুরি তাদের সংখ্যার ১০ গুণ। দৈনিক মোট মজুরি ৬২৫০ টাকা হলে শ্রমিকের সংখ্যা বের কর।
সমাধান : মনে করি, শ্রমিকের সংখ্যা = ক
প্রত্যেক শ্রমিকের দৈনিক মজুরি = (ক × ১০) টাকা বা ১০ ক টাকা
∴ দৈনিক মোট মজুরি = ( ১০ক × ক) টাকা = ১০ ক২ টাকা
প্রশ্নমতে, ১০ক২ = ৬২৫০
বা, ক২ = ৬২৫০ ÷ ১০
বা, ক২ = ৬২৫
বা, ক = \[ \sqrt{৬২৫}\]
∴ ক = ২৫
উত্তর : শ্রমিকের সংখ্যা ২৫ জন ।
প্রশ্ন \ ১৬ \ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৭ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, একটি সংখ্যা = ক
এবং অপর সংখ্যা = ক + ১
প্রশ্নমতে, (ক + ১) ২ – ক ২ = ৩৭
বা, ক ২ + ২ক + ১ – ক২ = ৩৭
বা, ২ক + ১ = ৩৭
বা, ২ক = ৩৭ – ১
বা, ২ক = ৩৬
বা, ২ক ÷ ২ = ৩৬ ÷ ২ [উভয়পক্ষকে ২ দ্বারা ভাগ করে]
∴ ক = ১৮
∴ একটি সংখ্যা = ১৮
এবং অপর সংখ্যা = (১৮ + ১) = ১৯
উত্তর : ক্রমিক সংখ্যাদ্বয় ১৮ ও ১৯
প্রশ্ন \ ১৭ \ এমন দুইটি ক্ষুদ্রতম ক্রমিক সংখ্যা নির্ণয় কর যাদের বর্গের অন্তর একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
সমাধান : মনে করি,
ক্ষুদ্রতম ক্রমিক সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ক ও (ক + ১)
∴ তাদের বর্গের অন্তর = (ক + ১) ২ – ক২
= ক২ + ২ক + ১ – ক২
= ২ক + ১
এখন, ক = ১, ২, ৩, ৪, …………. ইত্যাদি বসিয়ে পাই,
ক = ১ হলে, ২ × ১ + ১ = ৩; যা পূর্ণবর্গ নয়।
ক = ২ হলে, ২ × ২ + ১ = ৫; যা পূর্ণবর্গ নয়।
ক = ৩ হলে, ২ × ৩ + ১ = ৭; যা পূর্ণবর্গ নয়।
ক = ৪ হলে, ২ × ৪ + ১ = ৯; যা পূর্ণবর্গ।
ক = ৫ হলে, ২ × ৫ + ১ = ১১; যা পূর্ণবর্গ নয়।
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক = ৪
∴ অপর সংখ্যাটি = (ক + ১) = ৪ + ১ = ৫
উত্তর : ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৪ ও ৫
প্রশ্ন \ ১৮ \ একটি সৈন্যদলকে ৫,৬,৯ সারিতে সাজানো যায়, কিন্তু বর্গাকারে সাজানো যায় না।
(ক) ৬ এর গুণনীয়কগুলো বের কর।
(খ) সৈন্যসংখ্যাকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে সৈন্যসংখ্যাকে বর্গাকারে সাজানো যাবে ?
(গ) ঐ দলে কমপক্ষে কতজন সৈন্য যোগ দিলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে ?
সমাধান :
(ক) ৬ = ১ × ৬ = ২ × ৩
৬ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ২, ৩, ৬
(খ) ৩)৫, ৬, ৯
৫, ২, ৩
∴ ল.সা.গু. = ৩ × ৫ × ২ × ৩
∴ প্রাপ্ত ল.সা.গু. (৩ × ৩) × ২ × ৫ কে বর্গাকারে সাজানো যায় না।
এখন, (৩ × ৩) ×২ × ৫ কে বর্গসংখ্যা করতে হলে কমপক্ষে ২ × ৫ বা ১০ দ্বারা গুণ করতে হবে।
উত্তর : সৈন্য সংখ্যাকে ১০ দ্বারা গুণ করলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।
(গ) ‘খ’ থেকে প্রাপ্ত সৈন্য সংখ্যা = ৩ × ৫ × ২ × ৩ = ৯০
∴ ৯০ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয়। ৯ এর সাথে ১ যোগ করে যোগফল এর বর্গ হবে পূর্ণ বর্গসংখ্যা।
৯ + ১ = ১০
∴ ১০ এর বর্গ = = ১০০
সুতরাং সৈন্য যোগ করতে হবে = (১০০ – ৯০) জন = ১০ জন
উত্তর : ১০ জন সৈন্য যোগ দিলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।
