Bd Math Olympiad National Questions 2014

Bd math Olympiad national questions 2014

1. কোন সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে প্রাপ্ত গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। যেমন- 2×2=4 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। তিনটি ক্রমিক ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। এরুপ সর্বনিম্ন পূর্ণবর্গ সংখ্যা
কত?

If a number is multiplied by itself, then the obtained product is a square number. For example, 2×2=4_ is a square number. The sum of three consecutive positive numbers is a square number. Which is the smallest such square number?

2. × কে 10 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় । এবং অবশিষ্ট থাকে 4। যদি x ও y উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে x কে 5 দিয়ে ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকবে?
When x is divided by 10, the quotient is y with a remainder of 4. If x and y are both positive integers, what is the remainder when x is divided by 5?

3. রুবাই আর বিদুষীর কাছে কিছু মার্বেল আছে। বিদুষী রুবাইকে বলল, “তুমি আমাকে যতগুলো মার্বেল দেবে আমি তোমাকে তার চেয়ে একটা মার্বেল বেশি ফেরত দেব।” রুবাই বলল, “ঠিক আছে আমি তোমাকে প্রথমে 6 টা মার্বেল দেব।” এরপর, রুবাই বিদুষীকে 6 টা মার্বেল দিল এবং বিদুষী রুবাইকে 7টা মার্বেল ফেরত দিল। এভাবে, 5বার মার্বেল দেওয়া নেওয়ার পর বিদুষীর কাছে আর কোন মার্বেল থাকল না। শুরুতে বিদুষীর কাছে কয়টি মার্বেল ছিল?

Rubai and Bidushi have some marbles. Bidushi told Rubai, “If you give me some marbles, I will return you one more marble than as many as you gave me.” Rubai said, “Alright, I will first give you 6 marbles.” Then, Rubai gave Bidushi 6 marbles and Bidushi returned 7 marbles to Rubai. Thus, after they have exchanged marbles 5 times, Bidushi has no marbles left. How many marbles did Bidushi have in the beginning?

4. এমন কতটি চার অঙ্কের সংখ্যা আছে যাদের শেষ দুটি অঙ্ক দ্বারা একই ক্রমে গঠিত সংখ্যাকে তিন গুণ করলে প্রথম দুটি অঙ্ক দ্বারা একই ক্রমে গঠিত সংখ্যা পাওয়া যায়? যেমন- 3612, যেখানে শেষ দুটি অঙ্ক দ্বারা একই ক্রমে গঠিত সংখ্যা 12 কে তিন গুণ করলে 36 পাওয়া যায়।

How many four digit numbers are there for which, the number formed by its last two digits in the same order when multiplied by three gives the number formed by its first two digits, in the same order? For example, 3612 is such a number where the number formed by the last two digits in the same order is 12 and when multiplied by 3 gives 36.

5. সুব্রত একটি নতুন ধরনের ঘড়ি আবিষ্কার করেছে যেটিতে 15 ঘন্টায় এক দিন এবং ৪০ মিনিটে এক ঘন্টা। যেমন, সাধারন ঘড়িতে যখন 16:00 বাজে, তখন সুব্রত’র ঘড়িতে বাজে 10:00। যদি সাধারন ঘড়িতে সময় দেখায় 20:36, তখন সুব্রত’র ঘড়িতে সময় কত দেখাবে?

Subrata has invented a new type of clock, according to which there are 15 hours in each day and 80 minutes in each hour. For example, Subrata’s clock shows 10:00 when the actual time is 16:00 in a traditional clock. If the time is 20:36 in a traditional clock, then what will be the time in Subrata’s clock? (6) একটা কাজ 18 দিনে সম্পন্ন করা 6.

6. প্রয়োজন। একজন কন্ট্রাক্টর 12 জন লোককে কাজটা করতে নিয়োগ দিল কিন্তু 10 দিন পর দেখা গেল যে শুধু অর্ধেক কাজ সম্পন্ন হয়েছে। কতজন লোককে তার নিয়োগ দেয়া লাগবে যাতে কাজটি পূর্বনির্ধারিত সময়ে সম্পন্ন হয়?

A work has to be done in 18 days. A contractor assigned 12 men to do the task but after 10 days it was found that only half of the work was done. So how many men should he add so that the work will be finished in time?

7. 1, 2, 3, 4…………., 30 এই ধারাটি থেকে কিছু সংখ্যা কেটে দিয়ে নতুন একটি ধারা তৈরি করতে হবে যেন নতুন ধারার যেকোনো সংখ্যার দ্বিগুণ করলে নতুন ধারার অন্য একটি পদ না পাওয়া যায়। নতুন ধারায় সর্বোচ্চ কতটি পদ থাকবে?

A new series is to be formed by removing some terms from the series 1, 2, 3, 4…………., 30 such that no term of the new series is obtained if any term of the new series is doubled. Maximum how many terms can there be in the new series?

8. একটি 14×14 আকৃতির গ্রিড বা ছককে কি চিত্রের T আকৃতির খণ্ড দ্বারা ঢেকে ফেলা সম্ভব, যেখানে খণ্ডগুলো একটি অপরটির উপর বসবে না? উত্তরের যুক্তি উপস্থাপন করো।

Is it possible to completely cover a 14×14 grid by T shaped blocks from the diagram such that no block overlaps any other block? Explain your answer with logic.

Junior Category
(1) 2মি., 4মি., 6মি. এবং ৪মি. দৈর্ঘ্যের চারটি লাঠি থেকে প্রতিবার তিনটি লাঠি নিয়ে মোট কয়টি ত্রিভুজ তৈরি করা যায়?
How many triangles can be made in total by choosing three out of four sticks of 2m, 4m, 6m and 8m length?

(2) এমন কতটি চার অঙ্কের সংখ্যা আছে যাদের শেষ দুটি অঙ্ক দ্বারা একই ক্রমে গঠিত সংখ্যাকে চার গুণ করলে প্রথম দুটি অঙ্ক দ্বারা একই ক্রমে গঠিত সংখ্যা পাওয়া যায়? যেমন- 4812, যেখানে শেষ দুটি অঙ্ক দ্বারা একই ক্রমে গঠিত সংখ্যা 12 কে 4 গুণ করলে 48 পাওয়া যায়।
How many four digit numbers are there for which, the number formed by its last two digits in the same order when multiplied by four gives the number formed by its first two digits, in the same order? For example, 4812 is such a number where the number formed by the last two digits in the same order is 12 and when multiplied by 4 gives 48.

(3) সুব্রত একটি নতুন ধরনের ঘড়ি আবিষ্কার করেছে যেটিতে 15 ঘন্টায় এক দিন এবং ৪০ মিনিটে এক ঘন্টা। যেমন, সাধারন ঘড়িতে যখন 16:00 বাজে, তখন সুব্রত’র ঘড়িতে বাজে 10:00। যদি সাধারন ঘড়িতে সময় দেখায় 20:36, তখন সুব্রত’র ঘড়িতে সময় কত দেখাবে?
Subrata has invented a new type of clock, according to which there are 15 hours in each day and 80 minutes in each hour. For example, Subrata’s clock shows 10:00 when the actual time is 16:00 in a traditional clock. If the time is 20:36 in a traditional clock, then what will be the time in Subrata’s clock?

(4) ছয় অংকের একটি সংখ্যার সর্বডানের অংকটি 1। এটিকে সরিয়ে একবারে শুরুতে বসিয়ে দেওয়া হলো। নতুন যে সংখ্যাটি পাওয়া গেল সেটি মূল সংখ্যাটির \[\frac13\] গুন। মূল সংখ্যাটি কত?
The unit digit of a six-digit number is 1 and it is removed, leaving a five-digit number. The removed unit digit 1 is then placed at the far left of the five-digit number, making a new six-digit number. If the new number is \[\frac13\] of the original number, what is the original number?

(5) 1, 2, 3, 4…………., 30 এই ধারাটি থেকে কিছু সংখ্যা কেটে দিয়ে নতুন একটি ধারা তৈরি করতে হবে যেন নতুন ধারার যেকোনো সংখ্যার দ্বিগুণ করলে নতুন ধারার অন্য একটি পদ না পাওয়া যায়। নতুন ধারায় সর্বোচ্চ কতটি পদ থাকবে?
A new series is to be formed by removing some terms from the series 1, 2, 3, 4…………., 30 such that no term of the new series is obtained if any term of the new series is doubled. Maximum how many

(6)একটি 14×14 আকৃতির গ্রিড বা ছককে কি চিত্রের T আকৃতির খণ্ড দ্বারা ঢেকে ফেলা সম্ভব, যেখানে খণ্ডগুলো একটি অপরটির উপর বসবে না? উত্তরের যুক্তি উপস্থাপন করো।

Is it possible to completely cover a 14×14 grid by T shaped blocks from the diagram such that no block overlaps any other block? Explain your answer with logic.

(7) চিত্রে যদি AB= 10, তাহলে CD বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

In the figure, if AB= 10, what is the length of the side CD?

(8) AVIK একটি বর্গক্ষেত্র। VK এর উপর E বিন্দু এমনভাবে নেওয়া হল যেন 3VE=EK । AK এর মধ্যবিন্দু F হলে ∠FEI এর মান কত?
AVIK is a square. The point E is taken on VK in such a way that 3VE=EK. F is the midpoint of AK. What is the value of ∠FEI?

(9) যদি N একটি জোড় পূর্ণসংখ্যা হয়, প্রমাণ করো যে 48 দ্বারা \[N(N^2 + 20)\] নিঃশেষে বিভাজ্য।
If N is an even integer, prove that 48 divides \[N(N^2 + 20)\] .

(10) ঐন্দ্রির কাছে 100টি চকলেট আছে। সে প্রতিদিন কমপক্ষে একটি চকলেট খেয়ে 58 দিনে সবগুলো চকলেট শেষ করল। প্রমান কর যে, সে ধারাবাহিকভাবে কয়েকদিনে ঠিক 15টি চকলেট খেয়েছে।

Oindri has 100 chocolates. She finished eating all her chocolates in 58 days by eating at least one chocolate each day. Prove that, in how many consecutive days did she eat exactly 15 chocolates.

Secondary Category

(1) x কে 10 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় y এবং অবশিষ্ট থাকে 3। যদি x ও y উভয়ই পূর্ণ ধনাত্মক সংখ্যা হয়, তাহলে x কে 5 দিয়ে ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকবে?
If x is divided by 10 then the quotient is y and the remainder is 3. If x and y both are positive integers then what will be the remainder if x is divided by 5?
(2) সুব্রত একটি নতুন ঘড়ি আবিষ্কার করেছে যা অনুসারে 15 ঘন্টায় একদিন এবং ৪০ মিনিটে একঘন্টা হয়। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, যখন প্রকৃত পক্ষে সময় 16:00 তখন সুব্রতর ঘড়িতে বাজে 10:00। যদি একটি প্রচলিত ঘড়িতে সময় হয় 18:42 তবে সুব্রতর ঘড়িতে তখন কয়টা বাজে?
Subrata has invented a new type of clock, according to which there are 15 hours in each day and 80 minutes in each hour. For example, Subrata’s clock shows 10:00 when the actual time is 16:00. If the time is 18:42 in a traditional clock, then what will be the time in Subrata’s clock?

(3) একটি 19×21 দাবাবোর্ডে তওসিফ চোখ বন্ধ করে ঘোড়া বসাতে লাগলো। মোট কতটি ঘোড়া বসানোর পর সে নিশ্চিত ভাবে বলতে পারবে যে পরের চালে কোনো ঘোড়া অন্য কোনো ঘোড়া কে আক্রমণ করবে? ( ঘোড়া একটি চালে যেকোনো দিকে 2 ঘর যাবার পর লম্বভাবে 1 ঘর যাবে।)
Closing his eyes Towsif begins to place knights on a Chess board of 19×21. After placing how many knights Towsif will be sure that on the next move at least one knight will attack another one. (In one move knight goes straight for 2 steps and the 3rd step should be at right angle to the previous path.)

(4) ABC ত্রিভুজে ∠B = 90°। AB কে জ্যা ধরে একটি বৃত্ত আঁকা হল। o বৃত্তের কেন্দ্র। O এবং C, AB এর একই পাশে অবস্থিত নয়। BD, AC এর উপর লম্ব। প্রমাণ কর যে, BD বৃত্তের একটি স্পর্শক হবে যদি ও কেবল যদি BAO = ∠BAC হয়।
In ΔABC, ∠B = 90°. A circle is drawn taking AB as a chord O is the center of the circle. O and C isn’t on the same side of AB. BD is perpendicular to AC. Prove that, BD will be a tangent to the circle if and only if ∠BAO = ∠BAC.

(5) 97+98+ ……….+114+115 = 2014. এখানে 19 টি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল 2014। সর্বোচ্চ কতটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল 2014 হতে পারে? উত্তরের পক্ষে যুক্তি দেখাও।
97+98+ ………..+114+115 = 2014. Here sum of 19 consecutive numbers is 2014. Find the largest
number of consecutive positive integers whose sum is exactly 2014 and justify why you think this must be the largest number.

(6) ΔABC একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ যার ∠C=60° । A এবং B বিন্দু হতে BC, AC বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব দুটি যথাক্রমে \[ AA_1 \] এবং \[ BB_1 \] । AB এর মধ্য বিন্দু M । তবে \[ \frac{\angle A_1MB_1}{\angle A_1CB_1}\] এর মান কত?

Let ΔABC be an acute angled triangle with C=60°. Perpendiculars \[ AA_1 \] & \[ BB_1 \] are drawn from point A and B to the sides BC & AC respectively. Let M be the midpoint of AB. What is the value of \[ \frac{\angle A_1MB_1}{\angle A_1CB_1}\] ?

(7) AABC-এ AC এবং AB এর উপর অবস্থিত দুটি বিন্দু E,F যেন EF||AC। Q,AB এর উপর এমন একটি বিন্দু যেন \[\frac{AQ}{FQ} = \frac{30}{13}\]। PQ, EF এর সমান্তরাল যেখানে P,CB এর উপর অবস্থিত। EQ এর বর্ধিত অংশের উপর একটি বিন্দু X এমন ভাবে নেয়া হল যেন CX= 20.4। দেয়া আছে, \[\frac{CY}{EY} = \frac{XY}{CF}\] , PX=15.6; যদি ∠YCE=22.5° হয় ∠PXQ=?

In ΔABC E, F are two points on AC and AB such that EF||AC. Q is a point on AB such that \[\frac{AQ}{FQ} = \frac{30}{13}\]. PQ is parallel to EF where P lies on CB. X is taken on extended EQ such that CX=20.4. Given \[\frac{CY}{EY} = \frac{XY}{CF}\] , PX=15.6;; if ∠YCE=22.5°, ∠PXQ=?

(৪) একটি ত্রিভুজের দুটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 2014 একক এবং 1 একক হলে তৃতীয় শীর্ষবিন্দু হতে তার বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত হবে?
If the lengths of two altitudes drawn from two vertices of a triangle on their opposite sides are 2014 and 1 unit, then what will be the length of the altitude drawn from the third vertex of the triangle on its opposite side?

(9) একটি দাবা টুর্নামেন্টে n সংখ্যক খেলোয়াড় আছে। প্রত্যেক খেলোয়াড় অপর প্রত্যেক খেলোয়াড়ের সাথে ঠিক একবারই খেলে এবং এই খেলায় কোন ড্র নেই। প্রমাণ কর যে, খেলোয়াড়দেরকে 1, 2, দ্বারা লেবেল করা যাবে যেখানে i তম খেলোয়াড় i+1 তম জনকে পরাজিত করে এবং i ∈ (1, 2, 3,…… n – 1.

There are n players in a chess tournament. Every player plays every other player exactly once, and there are no draws Prove that the players can be labeled 1, 2, ………., n so that i beats i+1 for each i ∈ (1,2,3…….,n-1}.

(10) ধর, তুমি একটি n × n গ্রিডের একেবারে নিচে বাম পাশের কোণায় আছ। এখন তোমাকে সবচেয়ে উপরের ডান পাশের কোনায় যেতে হবে। কিন্তু নিয়ম হলো তুমি শুধু উপরে বা ডানে যেতে পারবে, কিন্তু বামে বা নিচে ফিরতে পারবে না। আর গ্রিডের কর্ণ বরাবর ঘর গুলোতে মাইন থাকায় তুমি সেখানেও যেতে পারবে না। তাহলে তুমি কত উপায়ে গন্তব্যে যেতে পারবে?

Suppose that, you are on the left most bottom point of a non grid. You have to reach the rightmost and topmost point. But the rule is you can move just only toward the upper or right direction. Can’t move down or to the left. And as there are mines at the squares which are along the diagonal you can’t go those places too. Determine how many ways are there to reach the destination.