BD math Olympiad 2019 national questions
Primary Category
1. ফারহান তার পরীক্ষার নম্বর মুয়াজ, বৃষ্টি, এবং মুরসালিনকে দেখালো, কিন্তু অন্য সবাই তাদের নিজের নম্বর লুকিয়ে রাখল। মুয়াজ মনে করলো, “কমপক্ষে আমাদের মধ্যে দুইজনের নম্বর সমান।” বৃষ্টি মনে করলো, “আমি সবচেয়ে কম নম্বর পাইনি।” মুরসালিন মনে করলো, “আমি সবচেয়ে বেশি নম্বর পাইনি।”
ক. কে সবচেয়ে বেশি নম্বর পেয়েছে?
খ. কে সবচেয়ে কম নম্বর পেয়েছে?
Farhan shows his test score to Muaz, Bristy and Mursalin, but everyone else keeps it hidden. Muaz thinks, “At least two of us get same scores” Bristy thinks, “I didn’t get the lowest score.” Mursalin thinks, “I didn’t get the highest score.”
a. Who got the highest marks? (6 marks)
b. Who got the lowest marks?
2. O হলো একটি বৃত্তের কেন্দ্র। একটি সরলরেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল রেখাকে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করে এবং O বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়।
যদি OX > OY এবং X বিন্দুটি বৃত্তের ভেতরে থাকে, তবে প্রমাণ করুন যে Y বিন্দুটিও বৃত্তের ভেতরে।
Let O be the centre of a circle. A line intersects two parallel lines at X and Y and goes through the point O. Given that, OX > OY and X is inside the circle, prove that Y is also inside the circle.
3. একটি গণিত উৎসবে ৭২টি মেডেল প্রদান করা হয়েছিল। পরবর্তী সময়ে হিসাবের সময় দেখা গেল, সুমন রিসিটটি হারিয়ে ফেলেছে। সে মনে করতে পেরেছে যে মেডেলগুলোর মোট দাম একটি পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা এবং এর মাঝের তিনটি অঙ্কই ৯। যদি প্রতিটি মেডেলের দাম সমান হয় এবং পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে প্রতি মেডেলের দাম কত?
At some math olympiad, 72 medals were handed out. Afterwards, it was found that Sumon had lost the receipt! He only remembers that the total price of the medals was a 5 digit number, and the three middle digits were all 9. If the price of all the medals were the same integer, what was the amount spent for each medal?
4. ছয় বন্ধু একসাথে ডার্ট ছুঁড়ে মারার প্রতিযোগিতায় অংশ নেয়। ডার্ট খেলায় একটি বৃত্তাকার বোর্ডে লক্ষ্যভেদ করতে হয় এবং কোন অংশে পরেছে তা অনুযায়ী স্কোর পাওয়া যায়। বোর্ডে ১২টি অংশ রয়েছে, যেখানে মান ১ থেকে ১২ পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যা।
আমাদের ছয় বন্ধুরা প্রত্যেকে দুটি করে ডার্ট নিক্ষেপ করে, এবং প্রতিটি ডার্ট বিভিন্ন অংশে গিয়ে পড়ে। তাদের স্কোর:
– তিহাম: ১৬ পয়েন্ট
– দীপ্ত: ৪ পয়েন্ট
– সামিউর: ৭ পয়েন্ট
– সাব্বির: ১১ পয়েন্ট
– আশরাফুল: ২১ পয়েন্ট
ক. মাহী’র স্কোর কত? (১২ মার্কস)
খ. ৯ পয়েন্টের অংশে কার ডার্ট পড়েছে?
Six friends compete in a dart-throwing contest. Dart is played by throwing darts at a circularr board, with your score increasing based on which region of the board you hit. The board has 12 regions, with score values ranging through the integers from 1 to 12. Each of our six friends threw two darts, and each dart hits the target in a region with a different value. The scores are:
Tiham 16 points
Dipto 4 points
Samiur 7 points
Sabbir 11 points
Ashraful 21 points
a. What is Mahi’s score?
b. Who hits the region worth 9 points?
5. চিত্রে ABCD একটি আয়তক্ষেত্র এবং ACEF একটি বর্গক্ষেত্র। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬২৫ এবং আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৬২। আয়তক্ষেত্রের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের পার্থক্য কত?
In this figure ABCD is a rectangle and ACEF is a square. Area of the square is 625 and perimeter of the rectangle ABCD is 62. What is the difference between two sides of rectangle?
6. চমক যখন অফিস থেকে বাসায় ড্রাইভ করে, তখন সে বর্ণমালাকেকে স্কুলে এবং তার স্ত্রীকে বিশ্ববিদ্যালয়ে নামায়। তারপর সে পার্কে ২০ মিনিট ধরে হাঁটে এবং শেষমেশ অফিসে যায়।
যাত্রাপথ:
– বাসা → ৪টি রাস্তা → স্কুল → ৩টি রাস্তা → বিশ্ববিদ্যালয় → ৫টি রাস্তা → পার্ক → ২টি রাস্তা → অফিস
এখানে তুমি তো চাইলে বেব করতে পারবে চমক কয়র্টি উপায়ে তার অফিসে ড্রাইভ করে যেতে পারে, তাই না? কিন্তু চমক একটু ভুলোমনা। সে তার বাসায় কিছু ভুলে রেখে আসতে পারে। সে বাসায় যে ভুলে রেখে এসেছে, সেটা কোন না কোন থাবার স্থানে তারই মনে পড়ে (যেমন স্কুল) এবং সেটা নিয়ে আসবার জন্য ফিরে যায়। তারপর আবার শুরু থেকে যাত্রা চালিয়ে যায়। চমক দিনে সর্বোচ্চ একটি জিনিস ভুলে, এবং সে অফিসে পৌঁছে গেলে যা ভুলে গেছে তা ফেরত নেবার জন্য ফিরে যায়না। এবারে তার পক্ষে কতগুলো ট্রিপ রাস্তা নোয়া সম্ভব?
When Chamok drives to office from his home, he drops Barnomala at school and his wife Bohni at her university. Then, he goes to a park to walk for 20 minutes. (Yeah, he walks in a formal attire). Finally, he goes to his office. Let’s draw a simple map of his route.
Home → 4 ways → School → 3 ways → University → 5 ways → Park → 2 ways → Office
So, you can calculate in how many ways Chamok can drive to office, right? But, he has this forgetting habit. He might forget something at home. If he forgets something like this, he will remember it at a destination (say, at the school) and then drive back to collect it. Once he has collected the thing, he starts on his journey once again from the start. Chamok forgets at most one thing in a day, and if he has reached the office, he won’t get back to bring the thing. Now, calculate in how many different ways he might go to office under these conditions.
7. 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, . . . এই ধারাটি হলো এমন সংখ্যা যেগুলো পূর্ণ বর্গ বা পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়। ধারাটির ২০১৯তম সংখ্যা কোনটি?
2; 3; 5; 6; 7; 10; 11; 12; 13; : : : is the sequence of integers without all square and cube numbers. What is the 2019th number?
8. চিত্রে ছোট এবং বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ১ এবং ৩। যদি ছোট বৃত্তটি বড় বৃত্তের চারপাশে বামে থেকে ডানে ঘুরে যায়, তবে বড় বৃত্তের পরিধির কতটুকু অংশ এটি অতিক্রম করবে?
In figure, the small and big circles have a radius of 1 and 3 respectively. If the small circle revolves round the big circle according to the figure from left to right, what portion of the circumference of the big circle it will cover?
Junior Catagory
1. ফারহান তার পরীক্ষার নম্বর মুয়াজ, বৃষ্টি, এবং মুরসালিনকে দেখালো, কিন্তু অন্য সবাই তাদের নিজের নম্বর লুকিয়ে রাখল। মুয়াজ মনে করলো, “কমপক্ষে আমাদের মধ্যে দুইজনের নম্বর সমান।” বৃষ্টি মনে করলো, “আমি সবচেয়ে কম নম্বর পাইনি।” মুরসালিন মনে করলো, “আমি সবচেয়ে বেশি নম্বর পাইনি।”
ক. কে সবচেয়ে বেশি নম্বর পেয়েছে?
খ. কে সবচেয়ে কম নম্বর পেয়েছে?
Farhan shows his test score to Muaz, Bristy and Mursalin, but everyone else keeps it hidden. Muaz thinks, “At least two of us get same scores” Bristy thinks, “I didn’t get the lowest score.” Mursalin thinks, “I didn’t get the highest score.”
a. Who got the highest marks? (6 marks)
b. Who got the lowest marks?
2. ছয় বন্ধু একসাথে ডার্ট ছুঁড়ে মারার প্রতিযোগিতায় অংশ নেয়। ডার্ট খেলায় একটি বৃত্তাকার বোর্ডে লক্ষ্যভেদ করতে হয় এবং কোন অংশে পরেছে তা অনুযায়ী স্কোর পাওয়া যায়। বোর্ডে ১২টি অংশ রয়েছে, যেখানে মান ১ থেকে ১২ পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যা।
আমাদের ছয় বন্ধুরা প্রত্যেকে দুটি করে ডার্ট নিক্ষেপ করে, এবং প্রতিটি ডার্ট বিভিন্ন অংশে গিয়ে পড়ে। তাদের স্কোর:
– তিহাম: ১৬ পয়েন্ট
– দীপ্ত: ৪ পয়েন্ট
– সামিউর: ৭ পয়েন্ট
– সাব্বির: ১১ পয়েন্ট
– আশরাফুল: ২১ পয়েন্ট
ক. মাহী’র স্কোর কত? (১২ মার্কস)
খ. ৯ পয়েন্টের অংশে কার ডার্ট পড়েছে?
Six friends compete in a dart-throwing contest. Dart is played by throwing darts at a circularr board, with your score increasing based on which region of the board you hit. The board has 12 regions, with score values ranging through the integers from 1 to 12. Each of our six friends threw two darts, and each dart hits the target in a region with a different value. The scores are:
Tiham 16 points
Dipto 4 points
Samiur 7 points
Sabbir 11 points
Ashraful 21 points
a. What is Mahi’s score?
b. Who hits the region worth 9 points?
3. একটি চিত্রে ABCD একটি আয়তক্ষেত্র এবং EFGH একটি সামান্তরিক। DI এবং EF পরস্পর লম্ব এবং BK এবং HG পরস্পর লম্ব। চিত্রে দেওয়া পরিমাপগুলো ব্যবহার করে DI এর মান নির্ণয় কর।
In the figure, ABCD is a rectangle and EFGH is a parallelogram. DI is perpendicular to EF and BK is perpendicular to HG. Using the measurements given in the figure, find the value of DI.
4. n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যাতে ২০১৯ + n! একটি পূর্ণবর্গ। n এর সকল সম্ভব মান নির্ণয় কর।
এখানে, n! = n × (n−1) × (n−2) × … × ২ × ১। উদাহরণস্বরুপ – ৪! = ৪ × ৩ ×২ × ১ = ২৪.
n is a positive integer such that 2019 + n! is a square number. Find all such values of n.Here, n! = n (n – 1) (n – 2)…..2 × 1. For example, 4! = 4 × 3 ×2 × 1 = 24.
5. ২, ৩, ৫, ৬, ৭, ১০, ১১, ১২, ১৩, … যদি সেইসব স্বাভাবিক পূর্ণসংখ্যার ধারা হয়, যারা পূর্ণ বর্গ অথবা পূর্ণ ঘন সংখ্যা নয়, তবে ২০১৯তম পদ কোনটি?
2; 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, ……….is the sequence of integers without all square and cube numbers. What is the 2019th number?
6. চিত্রে ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যাতে AB || CD। P, Q, R, S যথাক্রমে AB, BD, DC, CA এর মধ্য বিন্দু। AC এবং BD O বিন্দুতে ছেদ করে। △AOB এর ক্ষেত্রফল ২০১৯ এবং △COD এর ক্ষেত্রফল ২০২০। চতুর্ভুজ PQRS এর ক্ষেত্রফল কত?
In this figure ABCD is a trapezium where ABjjCD. P; Q;R; S are the midpoint of AB;BD;DC;CA respectively. AC and BD intersect at point O. Area of △AOB = 2019 and area of △COD = 2020 .What is the area of quadrilateral PQRS?
7. দাবায় একটি নৌকা শুধু ওপর-নিচ বা ডান-বামে যেতে পারে, কোনাকুনি নয়। আমরা একটি দাবার নৌকার তলার অংশটি লাল রঙ করেছি। এখন সে যখন কোন চাল দেয়, তখন শুরু এবং শেষ ঘর ও তার মাঝামাঝি সব ঘরকে লাল রঙ করে ফেলে। প্রমাণ কর, একটি n × n দাবাবোর্ডের সবগুলো ঘরকে লাল রঙ করতে এমন একটি নৌকার কমপক্ষে 2n−1 চাল দিতে হবে।
A chess rook can only travel horizontally or vertically, but not diagonally. We color the bottom of a chess rook red. So, when it makes a move it paints all the squares it travels over red. Prove that, a rook will need at least 2n – 1 moves to every square of an n × n chess board red.
8. M এবং N দুইটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যাতে M এবং N অসমান। M এবং N এর লসাগু হলো \[M^2−N^2+MN \]। দেখাও যে MN একটি ঘন সংখ্যা।
M and N are two positive integers where M is not equal to N . LCM of (M and N ) = \[M^2−N^2+MN \]. Show that MN is a perfect cubic number.
9. কার্টেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় চারটি বিন্দু (0, 0), (20, 0), (20, 19), এবং (0, 19) দিয়ে একটি আয়ত আঁকা হলো। শুরুতে (0, 0) বিন্দুতে একটি বল (বলের আকার অগ্রাহ্য) আছে। বলটি (0, 0) বিন্দু থেকে (2, 1) বিন্দুর দুরুত্ব যত বলটি প্রতি সেকেন্ড তত দুরুত্ব অতিক্রম করে। বলটি আয়তক্ষেত্রের বাহুতে ধাক্কা খেলে প্রতিফলনের সূত্রানুযায়ী ফিরে যায়। বলটি আয়তক্ষেত্রের কোনায় ধাক্কা খেলে প্রতিফলনের সূত্রানুযায়ী যে দিক থেকে আসছিল সেদিকে ফিরে যায়। এভাবে বলটি সবসময় আয়তের মধ্যেই থাকে। বলটি শুরু থেকে ২০১৯ সেকেন্ড এর আগ পর্যন্ত কতবার আয়তের কোনো না কোনো কৌনিক বিন্দুতে ধাক্কা খাবে?
In the cartesian coordinate system, four points (0; 0); (20; 0); (20; 19) and (0; 19) are used as vertices to draw a rectangle. At first, a ball with negligible size is at the (0; 0) point. It then started to move towards the point (2; 1). Every second, the ball passes the amount of distance between (0; 0) to (2; 1). If it collides with one side of the rectangle, it follows the law of reflection and comes back to the rectangle. If it collides with a corner, it again follows the law of reflection and comes back in the direction it went in. Until the 2019th second, how many times will the ball collide with a corner point?
10. তিনটি একই কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত \[\omega_1, \omega_2, \omega_3\] দেওয়া আছে যাদের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \[r_1, r_2, r_3\] এবং \[r_1 + r_3 \geq 2r_2\]।
এমন একটি রেখা অঙ্কন কর যেটি \[\omega_1, \omega_2, \omega_3\]-কে যথাক্রমে A, B, C বিন্দুতে ছেদ করে যাতে AB = BC।
Given three concentric circles \[\omega_1, \omega_2, \omega_3\] with radius \[r_1, r_2, r_3\] such that latex]r_1 + r_3 \geq 2r_2[/latex],construct a line that intersects \[\omega_1, \omega_2, \omega_3\] at A;B;C respectively such that AB = BC.
