SSC higher math exercise 3.1 solution
পিথাগোরাসের উপপাদ্য : একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ : কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখার ওপর কোনো বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ বলতে সেই বিন্দু থেকে উক্ত নির্দিষ্ট রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুকে বোঝায়।
মনে করি, XY একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা এবং P যেকোনো একটি বিন্দু। P বিন্দু থেকে XY রেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব PP´ এবং লম্ব PP´ এর পাদবিন্দু P´ (চিত্রে)।
সুতরাং, P´ বিন্দু XY রেখার ওপর P বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ।
রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ : ধরি, AB রেখাংশের প্রান্ত বিন্দুদ্বয় A ও B। এখন A ও B বিন্দু থেকে XY রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে AA´ ও BB´। AA´ লম্বের পাদবিন্দু A´ এবং BB´ লম্বের পাদবিন্দু B´। এই A´B´ রেখাংশই হচ্ছে XY রেখার ওপর AB রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ।
সুতরাং, দেখা যাচ্ছে লম্ব অঙ্কনের মাধ্যমে অভিক্ষেপ নির্ণয় করা হয়। তাই A´B´ রেখাংশকে XY রেখার ওপর AB রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ (Orthogonal Projection) বলা হয়।
ত্রিভুজ ও বৃত্ত বিষয়ক উপপাদ্য : এই অংশে ত্রিভুজ ও বৃত্ত বিষয়ক কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যের যুক্তিমূলক প্রমাণ উপস্থাপন করা হয়েছে।
লক্ষণীয় :
১. (অতিভুজ)2 = (লম্ব)2 + (ভূমি)2; এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যরে বর্গ অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্যরে বর্গের সমষ্টির সমান হলে একটি কোণ অবশ্যই সমকোণ হবে।
৩. কোনো রেখার ওপর কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুই ঐ বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ।
৪. কোনো রেখার ওপর ঐ রেখার লম্ব রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ একটি বিন্দু। যার দৈর্ঘ্য শূন্য।
৫. কোনো নির্দিষ্ট রেখার সমান্তরাল রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ ঐ রেখাংশের সমান হবে।
৬. সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে সমকোণের সন্নিহিত বাহুদ্বয় পরস্পর লম্ব বিধায় তাদের প্রয়োজনীয় লম্ব অভিক্ষেপ শূন্য।
৭. সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রসমূহের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের তিনগুণের সমান।
অনুশীলনীর সমাধান
প্রশ্ন \ ১ \ ΔABC এর ∠B = 60° হলে প্রমাণ কর যে, AC2 = AB2 + BC2 – AB.BC
সমাধান :
দেওয়া আছে, ΔABC- এ ∠B = 60°| প্রমাণ করতে হবে যে, AC2 = AB2 + BC2 – AB.BC
অঙ্কন : A বিন্দু থেকে BC এর উপর AD লম্ব আঁকি।
প্রমাণ : DABD-এ cos 60° = \frac{BD}{AB}
বা, \frac{1}{2} = \frac{BD}{AB} [since, cos600 = \frac{1}{2}]
বা, AB = 2BD
এখন, ΔADC- এ ∠ADC সমকোণ।
∴ AC2 = AD2 + CD2 [পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী]
বা, AC2 = AD2 + (BC - BD)2
বা, AC2 = AD2 + BC2 + BD2 - 2BD.BC
বা, AC2 = AD2 + BD2 + BC2 - AB.BC [যেহেতু, 2BD = AB]
আবার, ΔABD-এ ∠ADB সমকোন|
∴ AB2 = AD2 + BD2
অতএব, AC2 = AB2 + BC2 - AB.BC (প্রমাণিত)
প্রশ্ন \ ২ \ ΔABC এর ∠B = 120° হলে প্রমাণ কর যে, AC2 = AB2 + BC2 + AB.BC
সমাধান :
দেওয়া আছে, ΔABC এর ∠B = 120° । প্রমাণ করতে হবে যে, AC2 = AB2 + BC2 + AB.BC
অঙ্কন : CB এর বর্ধিতাংশের উপর AD লম্ব টানি।
প্রমাণ : ΔABC এর, ÐABC = 120° অর্থাৎ একটি স্থূলকোণ
∴ AC2 = AB2 + BC2 + 2BC.BD. ..............(i)
CD সরলরেখার উপর ∠ABC ও ∠ABD দুইটি সন্নিহিত কোণ
∴ ∠ABC + ∠ABD = 180°
বা, 120° + ∠ABD = 180°
বা, ∠ABD = 180° - 120°
∴ ∠ABD = 60°
এখন সমকোণী DABD এর ভূমি = BD এবং অতিভুজ = AB ।
∴ cos ÐABD = \frac{BD}{AB} [যেহেতু, cosθ = \frac{ভুমি}{অতিভুজ}
বা, cos600 = \frac{BD}{AB}
বা, \frac{1}{2} =\frac{BD}{AB}
∴ BD = \frac{1}{2}AB
(i) নং-এ BD এর মান বসিয়ে পাই,
AC2 = AB2 + BC2 + 2BC. \frac{1}{2}AB
∴ AC2 = AB2 + BC2 + AB.BC (প্রমাণিত)
প্রশ্ন \ ৩ \ ΔABC এর ∠C = 90° এবং BC এর মধ্যবিন্দু D। প্রমাণ কর যে, AB2 = AD2 + 3BD2
সমাধান :
দেওয়া আছে, ΔABC এর ∠C = 90° এবং BC এর মধ্যবিন্দু D । প্রমাণ করতে হবে যে, AB2 = AD2 + 3BD2
প্রমাণ : ΔABC -এর ÐC = 90°
অর্থাৎ সমকোণী ΔABC এর অতিভুজ অই
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
AB2 = AC2 + BC2
= AC2 + (BD + CD)2 [যেহেতু, BC = BD + CD]
= AC2 + BD2 + 2BD.CD + CD2
= (AC2 + CD2) + BD2 + 2BD.BD [যেহেতু, D, BC এর মধ্যবিন্দু হওয়ায় BD = CD]
= (AC2 + CD2) + BD2 + 2BD2
= AD2 + 3BD2 [যেহেতু, DABC এর ∠C সমকোণ হওয়ায় পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, AC2 + CD2 = AD2]
∴ AB2 = AD2 + 3BD2 (প্রমাণিত)
প্রশ্ন \ ৪ \ DABC- এ AD, BC বাহুর উপর লম্ব এবং BE, AC এর ওপর লম্ব। দেখাও যে, BC.CD = AC.CE
সমাধান :
ΔABC- এ AD, BC বাহুর উপর লম্ব এবং BE, AC এর ওপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, BC.CD = AC.CE
প্রমাণ : ΔABD একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী, AB2 = BD2 + AD2
= (BC - CD)2 + AD2
= BC2 + CD2 - 2BC.CD + AD2
= BC2 + (CD2 + AD2) - 2BC.CD
= BC2 + AC2 - 2BC.CD .................. (i)
[যেহেতু, ACD সমকোণী ত্রিভুজ তাই, AC2 = CD2 + AD2]
আবার, ΔABE সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ AB2 = AE2 + BE2
বা, AB2 = (CA - CE)2 + BE2
বা, AB2 = CA2 + CE2 - 2CA.CE + BE2
বা, AB2 = AC2 + (CE2 + BE2) - 2AC.CE [যেহেতু, AC = CA]
বা, AB2 = AC2 + BC2 - 2AC.CE .................... (ii)
[যেহেতু, BCE সমকোণী ত্রিভুজ তাই, BC2 = CE2 + BE2]
সমীকরণ (i) ও (ii) হতে পাই,
BC2 + AC2 - 2BC.CD = AC2 + BC2 - 2AC.CE
বা, -2BC.CD = -2AC.CE
বা, BC.CD = AC.CE [-2 দ্বারা ভাগ করে]
∴ BC.CD = AC.CE. (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ৫ \ DABC এর BC বাহু P ও Q বিন্দুতে তিনটি সমান অংশে বিভক্ত হয়েছে। প্রমাণ কর যে, AB2 + AC2 = AP2 + AQ2 + 4PQ2.
সমাধান :
দেওয়া আছে, ΔABC এর BC বাহু P ও Q বিন্দুতে তিনটি সমান অংশে বিভক্ত হয়েছে । অর্থাৎ BP = PQ = QC; A, P এবং A, Q যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, AB2 + AC2 = AP2 + AQ2 + 4PQ2.
প্রমাণ : ΔABQ এর মধ্যমা AP [যেহেতু,BP = PQ]
∴ AB2 + AQ2 = 2(AP2 + PQ2) [এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে]
বা, AB2 + AQ2 = 2AP2 + 2PQ2 ................(i)
আবার, ΔAPC এর মধ্যমা AQ [যেহেতু, PQ = QC]
∴ AP2 + AC2 = 2(AQ2 + PQ2) [এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে]
বা, AP2 + AC2 = 2AQ2 + 2PQ2 ...............(ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
AB2 + AC2 + AQ2 + AP2 = 2AP2 + 2AQ2 + 4PQ2
বা, AB2 + AC2 = 2AP2 - AP2 + 2AQ - AQ2 + 4PQ2
∴ AB2 + AC2 = AP2 + AQ2 + 4PQ2 (প্রমাণিত)
প্রশ্ন \ ৬ \ ΔABC এর AB = AC । ভূমি ইঈ এর ওপর P যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ কর যে, AB2 - AP2 = BP.PC
সমাধান :
দেওয়া আছে, ΔABC এর AB = AC । ভূমি BC এর ওপর P যেকোনো বিন্দু । প্রমাণ করতে হবে যে, AB2 - AP2 = BP.PC
অঙ্কন : A হতে BC এর উপর AD লম্ব আঁকি।
প্রমাণ : ABC ত্রিভুজে AB = AC এবং AD, শীর্ষ A থেকে ভূমি BC এর ওপর লম্ব বলে D, BC এর মধ্যবিন্দু।
সুতরাং, BD = DC
এখন পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
সমকোণী ΔABD-G, AB2 = BD2 + AD2 .............................(i)
[পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে]
এবং সমকোণী ΔAPD - এ, AP2 = PD2 + AD2 .......................(ii)
সমীকরণ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,
AB2 - AP2 = BD2 + AD2 - PD2 - AD2
= BD2 - PD2
= (BD - PD) (BD + PD)
= BP.(DC + PD) [যেহেতু, BD = DC]
= BP.PC
∴ AB2 - AP2 = BP.PC (প্রমাণিত)
প্রশ্ন \ ৭ \ ΔABC এর মধ্যমাত্রয় G বিন্দুতে মিলিত হলে প্রমাণ কর যে, AB2 + BC2 + CA2 = 3(GA2 + GB2 + GC2)
সমাধান :
মনে করি, ABC ত্রিভুজের BC, CA ও AB বাহুর ওপর অঙ্কিত মধ্যমা AD, BE ও CF পরস্পর G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AB2 + BC2 + CA2 = 3(GA2 + GB2 + GC2)
প্রমাণ : আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় সমবিন্দু এবং সমপাত বিন্দুতে প্রত্যেক মধ্যমা 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
ΔABC এর BC বাহুর ওপর অঙ্কিত মধ্যমা AD ।
∴ BD = CD = \frac{1}{2} BC এবং GA = 2GD
বা, GA = 2(AD - GA) = 2AD - 2GA
বা, 2AD = GA + 2GA [পক্ষান্তর করে]
বা, 2AD = 3GA
∴ AD = \frac{3}{2} GA
সুতরাং ,AB2 + CA2 = 2BD2 + 2AD2
= 2( \frac{1}{2}BC)^2 + 2 (\frac{3}{2}GA)^2 [যেহেতু, BD = \frac{1}{2}BC, AD = \frac{3}{2}GA]
= 2∙ \frac{1}{4} BC2 + 2∙ \frac{9}{4} GA2
= \frac{1}{2} BC2 + \frac{9}{2} GA2 .............. (i)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় যে,
AB2 + BC2 = \frac{1}{2} CA2 + \frac{9}{2} GB2 .......................(ii)
AC2 + BC2 = \frac{1}{2} AB2 + \frac{9}{2} GC2 .......................(iii)
সমীকরণ (i), (ii) ও (iii) যোগ করে পাই,
2(AB2 + BC2 + CA2) = \frac{1}{2} (AB2 + BC2 + CA2) + \frac{9}{2} (GA2 + GB2 + GC2)
বা, , 2(AB2 + BC2 + CA2) - \frac{1}{2} (AB2 + BC2 + CA2) = \frac{9}{2} (GA2 + GB2 + GC2)
বা, \frac{3}{2} (AB2 + BC2 + CA2) = \frac{9}{2} (GA2 + GB2 + GC2)
বা, AB2 + BC2 + CA2 = \frac{1}{2} × \frac{9}{2} (GA2 + GB2 + GC2)
∴ AB2 + BC2 + CA2 = 3(GA2 + GB2 + GC2) (প্রমাণিত)
