৬ষ্ঠ শ্রেণি গণিত – Class six math অনুশীলনী ১.২ সৃজনশীল প্রশ্ন এবং সমাধান
সৃজনশীল প্রশ্ন- ১ বিভাজ্যতা
৮, ০, ৬, ৫, ৭ অঙ্কগুলো লক্ষ কর।
ক. প্রদত্ত সংখ্যাগুলো একবার মাত্র ব্যবহার করে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা গঠন কর। ২
খ. সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য কিনা নির্ধারণ কর। ৪
গ. সংখ্যাটির শেষে কোন কোন অঙ্ক বসালে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে? ৪
ক. উদ্দীপকে উল্লিখিত সংখ্যাগুলো ছোট থেকে বড় ক্রমে অঙ্কপাতন করলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।
এখানে, ০ < ৫ < ৬ < ৭ < ৮
কিন্তু সর্ববামে ০ বসালে সংখ্যাটি অর্থবোধক পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা না হয়ে চার অঙ্কের হবে। অতএব, ০ বাদে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি সর্ববামে লিখে শূন্যসহ অন্যান্য অঙ্কগুলো ছোট থেকে বড় ক্রমে লিখলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।
উপরিউক্ত পদ্ধতিতে প্রাপ্ত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ৫০৬৭৮।
উত্তর : ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ৫০৬৭৮।
খ. ক অংশ হতে প্রাপ্ত সংখ্যাটি হলো ৫০৬৭৮।
৫০৬৭৮, ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি সংখ্যাটি ২ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
সংখ্যাটি একক স্থানীয় অঙ্কটি ৮ যা একটি জোড় সংখ্যা। একারণে ৫০৬৭৮ সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য।
কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে ঐ সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৫০৬৭৮ এর ক্ষেত্রে = (৫ + ০ + ৬ + ৭ + ৮) = ২৬
= ১ × ২ × ১৩; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
যেহেতু ৫০৬৭৮ সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য হলেও ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয় সেহেতু ৫০৬৭৮, ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
উত্তর : সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
গ. ৫০৬৭৮ এর অঙ্কগুলোর যোগফল = (৫ + ০ + ৬ + ৭ + ৮)
= ২৬, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১ থেকে ৯ পর্যন্ত অঙ্কগুলোর মধ্যে যে অঙ্কগুলো ২৬ এর সাথে যোগ করার পর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে সেই অঙ্কগুলো সংখ্যাটির শেষে বসালে প্রাপ্ত সংখ্যাটিও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন: ২৬ + ১ = ২৭ = ৩ × ৯; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
⸫ ৫০৬৭৮১, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
অনুরূপভাবে, ২৬ + ২ = ২৮; ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
২৬ + ৩ = ২৯; ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
২৬ + ৪ = ৩০; ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
২৬ + ৫ = ৩১; ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
২৬ + ৬ = ৩২; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
২৬ + ৭ = ৩৩; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
২৬ + ৮ = ৩৪; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
২৬ + ৯ = ৩৫; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
⸫ ৫০৬৭৮ এর শেষে ১, ৪, ৭ বসালে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
উত্তর : ১, ৪, ৭
সৃজনশীল প্রশ্ন- ২ সহমৌলিক সংখ্যা, বিভাজ্যতা
১২২ ও ২২৫ তিন অঙ্কবিশিষ্ট দুটি সংখ্যা।
ক. ১ম সংখ্যার গুণনীয়কগুলো লেখ। ২
খ. ২য় সংখ্যার গুণনীয়কগুলো লেখ। অতঃপর সংখ্যা দুইটি সহমৌলিক কিনা নির্ণয় কর। ৪
গ. ১২২ , ২২৫ সংখ্যা দুটির চিহ্নিত স্থানে কোন অঙ্ক বসালে তা ৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়? ৪
ক. ১২২ = ১ × ১২২
= ২ × ৬১
⸫ ১২২ এর গুণনীয়কগুলো ১, ২, ৬১, ১২২
উত্তর : ১ম সংখ্যার গুণনীয়কগুলো ১, ২, ৬১, ১২২।
খ. ২২৫ = ১ × ২২৫
= ৩ × ৭৫
= ৫ × ৪৫
= ৯ × ২৫
= ১৫ × ১৫
⸫ ২২৫ এর গুণনীয়কগুলো ১, ৩, ৫, ৯, ১৫, ২৫, ৪৫, ৭৫, ২২৫।
⸫ ১২২ ও ২২৫ এর মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
⸫ ১২২, ২২৫ সংখ্যাদ্বয় পরস্পর সহমৌলিক।
উত্তর : ২য় সংখ্যার গুণনীয়কগুলো ১, ৩, ৫, ৯, ১৫, ২৫, ৪৫, ৭৫, ২২৫ এবং সংখ্যা দুইটি সহমৌলিক।
গ. ১২২ এর ক্ষেত্রে,
আমরা জানি, কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে, সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল ১ + ২ + ২ = ৫
কিন্তু ৫ এর কাছাকাছি এবং ৫ অপেক্ষা বড় ৯ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ৯।
⸫ প্রয়োজনীয় অঙ্কটি হবে (৯ – ৫) = ৪
⸫ চিহ্নিত স্থানে ৪ বসালে সংখ্যাটি হবে ১২২৪; যা ৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
আবার, ২২৫ এর ক্ষেত্রে,
সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল = ২ + ২ + ৫ = ৯, যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ স্থানে ০ বসালে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
আবার, ৯ + ৯ = ১৮, যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ ৯ বসালে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
চিহ্নিত স্থানে ০ বা ৯ বসালে সংখ্যাটি হবে যথাক্রমে ২২৫০ বা ২২৫৯ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
সৃজনশীল প্রশ্ন- ৩ সহমৌলিক সংখ্যা, গুণনীয়ক
A (১৬, ২৪, ৩০, ৩৬), B (১৮৯, ২১০), C (১০৯, ১৪৪) উপরের সংখ্যাগুলোর আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :
ক. B দলের সংখ্যাদ্বয় সহমৌলিক কিনা নির্ণয় কর। ২
খ. C দলের ১ম সংখ্যাকে কোন কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ৮ অবশিষ্ট থাকবে? ৪
গ. পাঁচ অঙ্কের কোন বৃহত্তম সংখ্যাকে A দলের সংখ্যাগুলো দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবার ভাগশেষ ১২ থাকবে? ৪
দেওয়া আছে, A (১৬, ২৪, ৩০, ৩৬), B (১৮৯, ২১০), C (১০৯, ১৪৪)
ক. B দলের সংখ্যা দুইটি ১৮৯ এবং ২১০
এখানে ১৮৯ = ১ × ৩ × ৩ × ৩ × ৭
২১০ = ১ × ২ × ৩ × ৫ × ৭
এখানে, ১৮৯ এর গুণনীয়কগুলো হলো : ১, ৩, ৭, ৯, ২১, ২৭, ৬৩, ১৮৯
এবং ২১০ এর গুণনীয়কগুলো হলো : ১, ২, ৩, ৫, ৬, ৭, ১০, ১৪, ১৫, ২১, ৩০, ৩৫, ৪২, ৭০, ১৫৫, ২১০
সুতরাং সংখ্যা দুইটির মাঝে ১ ছাড়াও ৩, ৭, ২১ গুণনীয়কগুলো বিদ্যমান।
⸫ B দলের সংখ্যাদ্বয় সহমৌলিক নয়।
উত্তর : সহমৌলিক নয়।
খ. ঈ দলের প্রথম সংখ্যাটি ১০৯
যেহেতু প্রতিক্ষেত্রে ৪ অবশিষ্ট থাকবে সুতরাং নিঃশেষে বিভাজ্য
সংখ্যাটি হবে (১০৯ – ৪) বা, ১০৫
১০৫ = ১ × ১০৫
= ৩ × ৩৫
= ৫ × ২১
= ৭ × ১৫
⸫ ৪ থেকে বড় ১০৫ এর গুণনীয়ক হলো: ৫, ৭, ১৫, ২১, ৩৫, ১০৫
সুতরাং ১০৯ কে ৫, ৭, ১৫, ২১, ৩৫ এবং ১০৫ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ৪ অবশিষ্ট থাকবে।
উত্তর : ৫, ৭, ১৫, ২১, ৩৫ এবং ১০৫।
গ. A দলের সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু. নির্ণয় করি
২)১৬, ২৪, ৩০, ৩৬
২)৮,১২,১৫,১৮
২)৪, ৬,১৫,৯
৩)২,৩,১৫,৯
২,১,৫,৩
নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ২ × ৫ × ৩ = ৭২০
আমরা জানি, পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯
৭২০)৯৯৯৯৯(১৩৮
৭২০
২৭৯৯
২১৬০
৬৩৯৯
৫৭৬০
৬৩৯
⸫ ৭২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যাটি
= (৯৯৯৯৯ – ৬৩৯) = ৯৯৩৬০
কিন্তু প্রতিবার ভাগশেষ ১২ থাকলে বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে
(৯৯৩৬০ + ১২) = ৯৯৩৭২
উত্তর : ৯৯৩৭২
সৃজনশীল প্রশ্ন- ৪ সহমৌলিক সংখ্যা, বিভাজ্যতা
৩, ৪, ০, ৫, ২, ৭ কয়েকটি অঙ্ক।
ক. প্রথম দুইটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা এবং শেষ অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা লেখ। ২
খ. এরা পরস্পর সহমৌলিক কি-না যাচাই কর। ৪
গ. উপর্যুক্ত অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যাটি ৩, ৪ এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা নির্ণয় কর। ৪
ক. ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ৩৪ এবং ২ ও ৭ দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা ৭২।
খ. দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক যদি ১ হয়, তবে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।
এখন, ৩৪ = ১ × ৩৪
= ২ × ১৭
৭২ = ১ × ৭২
= ২ × ৩৬
= ৩ × ২৪
= ৪ × ১৮
= ৬ × ১২
= ৮ × ৯
৩৪ এর গুণনীয়ক হলো ১, ২, ১৭, ৩৪
৭২ এর গুণনীয়ক হলো ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪, ৩৬, ৭২।
এদের সাধারণ গুণনীয়ক ১ ও ২।
এজন্য এরা পরস্পর সহমৌলিক নয়।
সংখ্যাগুলোর বড় থেকে ছোট ক্রমে অঙ্ক পাতন করলেই বৃহত্তম সংখ্যা পাওয়া যাবে।
গ. এখানে, ৭ > ৫ > ৪ > ৩ > ২ > ০
⸫ এ অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা : ৭৫৪৩২০ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর সমষ্টি = ৭ + ৫ + ৪ + ৩ + ২ + ০ = ২১; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
⸫ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
সংখ্যাটির শেষের দুইটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ২০ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
⸫ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
সংখ্যাটির শেষের অঙ্কটি ০। ফলে এটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
অনুশীলনের জন্য সৃজনশীল প্রশ্ন ব্যাংক (উত্তর সংকেতসহ)
সৃজনশীল প্রশ্ন- ৫ সহমৌলিক সংখ্যা, বিভাজ্যতা
গণিত শিক্ষক ক্লাসে মৌলিক, সহমৌলিক ও যৌগিক সংখ্যা নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করলেন এবং ১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো বললেন।
ক. মৌলিক, সহমৌলিক ও যৌগিক সংখ্যা কাকে বলে? ২
খ. উপরিউক্ত মৌলিক সংখ্যা থেকে তিন জোড়া সহমৌলিক সংখ্যা লেখ। ৪
গ. মৌলিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ৩ ও ৪ দ্বারা বিভাজ্য কি? তোমার মতামত দাও।৪
উত্তর : গ. এদের যোগফল = (২ + ৩ + ৫ + ৭ + ১১ + ১৩) = ৪১; যা একটি মৌলিক সংখ্যা; মৌলিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ৩ ও ৮ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
সৃজনশীল প্রশ্ন- ৬ সহমৌলিক সংখ্যা, বিভাজ্যতা
৭১ এবং ১০০ সংখ্যা দুটি লক্ষ কর।
ক.৭১ থেকে ১০০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো লেখ। ২
খ.প্রদত্ত সংখ্যাদ্বয় পরস্পর সহমৌলিক কিনা নির্ণয় কর। ৪
গ.প্রদত্ত সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল ৪ ও ৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য কিনা যাচাই কর। ৪
উত্তর : ক. মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো : ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।; খ. ৭১ ও ১০০ সহমৌলিক; গ. ১৭১ সংখ্যাটি ৪ ও ৫ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
