SSC math ex-2.2 function solution || ফাংশন
সেট ও ফাংশন : ডোমেন-রেঞ্জ
অন্বয় (Relation) : যদি A ও B দুইটি সেট হয় তবে সেটদ্বয়ের কার্তেসীয় গুণজ A × Bসেটের অন্তর্গত ক্রমজোড়গুলোর অশূন্য উপসেট R কে A সেট থেকে B সেটের একটি অন্বয় বা সম্পর্ক বলা হয়।
ফাংশন (Function) : যদি দুইটি চলক x এবং y এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত যেন x এর যেকোনো একটি মানের জন্য y এর একটিমাত্র মান পাওয়া যায়, তবে x কে y এর ফাংশন বলা হয়।
ডোমেন (Domain) ও রেঞ্জ (Range) : কোনো অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহের সেটকে এর ডোমেন এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেটকে এর রেঞ্জ বলা হয়। মনে করি, A সেট থেকে B সেটে R একটি অন্বয় অর্থাৎ R ⊆ A × B । R এ অন্তর্ভুক্ত ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানসমূহের সেট হবে R এর ডোমেন এবং দ্বিতীয় উপাদানসমূহের সেট হবে R এর রেঞ্জ। R এর ডোমেনকে ডোম R এবং রেঞ্জকে রেঞ্জ R লিখে প্রকাশ করা হয়।
ফাংশনের লেখচিত্র (Graph) : ফাংশনের চিত্ররূপকে লেখচিত্র বলা হয়। ফাংশনের ধারণা সুস্পষ্ট করার ক্ষেত্রে লেখচিত্রের গুরুত্ব অপরিসীম। পরস্পর লম্বভাবে ছেদী সরলরেখা দুইটিকে অক্ষরেখা এবং অক্ষদ্বয়ের ছেদ বিন্দুকে মূলবিন্দু বলে।
উলম্ব অক্ষ (Perpendicular Axes) : কোনো সমতলে পরস্পর লম্বভাবে ছেদী দুইটি সরলরেখা XOX′ এবং YOY′ আঁকা হলো। অনুভ‚মিক রেখা XOX′ কে x-অক্ষ, উলম্ব রেখা YOY′ কে y-অক্ষ এবং অক্ষদ্বয়ের ছেদবিন্দু O কে মূলবিন্দু (Origin) বলা হয়।
স্থানাঙ্ক (Co-ordinates) : দুইটি অক্ষের সমতলে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে অক্ষদ্বয়ের লম্ব দূরত্বের যথাযথ চিহ্নযুক্ত সংখ্যাকে ঐ বিন্দুর স্থানাঙ্ক বলা হয়।
১. 8 এর গুণনীয়ক সেট কোনটি?
(ক) {8,16,24,…}
(খ) {1,2,4,8}
(গ) {2,4,8}
(ঘ) {1,2}
উত্তরঃ খ
২. সেট C হতে সেট B এ একটি সম্পর্ক R হলে নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) R⊂C
(খ) R⊂B
(গ) R⊆C✕B
(ঘ) C✕B⊆R
উত্তরঃ গ
৩. A={1,2}, B={2,5} হলে, P(A∩B)এর সদস্য সংখ্যা নিচের কোনটি?
(ক) 1
(খ) 2
(গ) 3
(ঘ) 8
উত্তরঃ খ
৪. নিচের কোনটি {x∈N:13<x<17 এবং x মৌলিক সংখ্যা} সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে?
(ক) ∅
(খ) {0}
(গ) {∅ }
(ঘ) {13,17}
উত্তরঃ ক
৫. A∪B={a,b,c} হলে,
(i).. A={a,b}, B={a,b,c}
(ii).. A={a,b,c}, B={b,c}
(iii).. A={a,b}, B={c}
উপর্যুক্ত তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i
(খ) ii
(গ) i ও ii
(ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ঘ
৬. A ও B দুইটি সসীম সেটের জন্য
(i).. A✕B={(x,y):x∈N এবং y∈B}
(ii).. n(A)=a,n(B)=b হলে, n(A✕B)=ab
(iii).. A✕B এর প্রতিটি সদস্য একটি ক্রমজোড়।
উপর্যুক্ত তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ঘ
A={6,7,8,9,10,11,12,13} হলে, নিচের ৭-৯ প্রশ্নগুলোর উত্তর দাওঃ
৭. A সেটের সঠিক প্রকাশ কোনটি?
(ক) { x∈N:6<x<13}
(খ) { x∈N:6≤x<13}
(গ) {x∈N:6≤x≤13}
(ঘ) { x∈N :6<x≤13}
উত্তরঃ গ
৮. A সেটের মৌলিক সংখ্যাগুলোর সেট কোনটি?
(ক) {6,8,10,12}
(খ) {7,9,11,13}
(গ) {7,11,13}
(ঘ) {9,12}
উত্তরঃ গ
৯. A সেটের 3 এর গুণিতকগুলোর সেট কোনটি?
(ক) {6,9}
(খ) {6,11}
(গ) {9,12}
(ঘ) {6,9,12}
উত্তরঃ ঘ
১০. যদি A={3,4}, B={2,4}, x∈A এবং y∈B হয়, তবে A ও B এর উপাদানগুলোর মধ্যে x>y সম্পর্ক বিবেচনা করে অন্বয়টি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A={3,4}, B={2,4}, x∈A এবং y∈B
প্রশ্নমতে, অন্বয় R={(x,y):x∈A, y∈B এবং x>y}
এখন,
A✕B={3,4}✕{2,4}
={(3,2),(3,4),(4,2),(4,4)}
∴R={(3,2),(4,2)}
∴নির্ণেয় অন্বয়={(3,2),(4,2)}
১১. যদি C={2,5}, D={4,6,7}, x∈C এবং y∈D হয়, তবে C ও D এর উপাদানগুলোর মধ্যে x+1<y সম্পপর্ক বিবেচনা করে অন্বয়টি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, C={2,5}, D={4,6,7}, x∈C এবং y∈D
প্রশ্নমতে, অন্বয় R={(x,y):x∈C, y∈D এবং x+1<y}
এখন,
C✕D={2,5}✕{4,6}
={(2,4),(2,6),(5,4),(5,6)}
∴R={(2,4),(2,6)}
∴নির্ণেয় অন্বয়={(2,4),(2,6)}
১২. f(x)=x4+5x-3 হলে, f(-1), f(2) এবং f(\[ \frac12\]) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, f(x)=x4+5x-3
∴f(-1)= (-1)4+5✕(-1)-3=1-5-3=-7;
(f(2)= 24+5✕2-3=16+10-3=23
এবং, f(\[ \frac12\])= (\[ \frac12\])4+5✕(\[ \frac12\])-3= \[ \frac1{16}\]+ \[ \frac52\]-3= \[ \frac{1 + 40 – 48 }{16}\] = \[ – \frac{7}{16}\]
১৩. যদি f(y)=y3+ky2-4y-8 হয়, তবে k এর কোন মানের জন্য f(-2)=0 হবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, f(y)=y3+ky2-4y-8
∴f(-2)= (-2)3+k(-2)2-4✕(-2)-8=-8+4k+8-8=-8+4k
প্রশ্নমতে, f(-2)=0 হবে
তাহলে, -8+4k=0
বা, -8=-4k
বা, 4k=8
বা, k=8/4
বা, k=2
∴k এর নির্ণেয় মান 2
১৪. f(x)=x3-6x2+11x-6 হয়, তবে x এর কোন মানের জন্য f(x)=0 হবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, f(x)=x3-6x2+11x-6
প্রশ্নমতে, f(x)=0 হবে
তাহলে, x3-6x2+11x-6=0
বা, x3-x2-5x2+5x+6x-6=0
বা, x2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)=0
বা, (x2-5x+6)(x-1)=0
বা, (x-1){x2-3x-2x+6)}=0
বা, (x-1){x(x-3)-2(x-3)}=0
বা, (x-1)(x-3)(x-2)=0
বা, x-1=0; x-3=0; x-2=0
বা, x=1, x=3, x=2
∴x এর নির্ণেয় মান 1,2 বা 3.
১৫. যদি ƒ(x)= \[ \frac{2x+1}{2x-1}\] হয়, তবে \[\frac{ ƒ ({\frac1{x^2}})+1}{ ƒ (\frac1{x^2})-1}\] এর মান নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, ƒ(x)= \[ \frac{2x+1}{2x-1}\]
\[ \therefore\frac{2\times\frac1{x^2}+1}{2\times\frac1{x^2}-1}\\\\=\frac{{\displaystyle\frac2{x^2}}+1}{\frac2{x^2}-1}\\\\=\frac{\displaystyle\frac{2+x^2}{x^2}}{\frac{2-x^2}{x^2}}\\\\=\frac{2+x^2}{x^2}\times\frac{x^2}{2-x^2}\\\\=\frac{2+x^2}{2-x^2}\\\\\]
\[\therefore\frac{ƒ\left({\displaystyle\frac1{x^2}}\right)+1}{ƒ\left(\frac1{x^2}\right)-1}\]
=\[\frac{\frac{2+x^2}{2-x^2}+1}{\frac{2+x^2}{2-x^2}-1}\]
=\[\frac{\frac{2+x^2+2-x^2}{2-x^2}}{\frac{2+x^2-2+x^2}{2-x^2}}\]
=\[\frac{\displaystyle\frac4{2-x^2}}{\displaystyle\frac{2x^2}{2-x^2}}\]
=\[\frac4{2-x^2}\times\frac{2-x^2}{2x^2}=\frac2{x^2}\\\\\]
নির্ণেয়মান: \[\frac2{x^2}\]
১৭. নিচের অন্বয়গুলো থেকে ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর।
ক) R={(2,1),(2,2),(2,3)}
সমাধানঃ
প্রদত্ত R অন্বয়ের ক্রম্জোড়গুলোর প্রথম উপাদান 2 এবং ২য় উপাদানগুলো 1,2,3.
∴ডোমেন R={2}
রেঞ্জ R{1,2,3}
খ) S={(-2,-4),(-1,1)(0,0),(1,1),(2,4)}
সমাধানঃ
প্রদত্ত S অন্বয়ের ক্রম্জোড়গুলোর প্রথম উপাদান -2,-1,0,1,2 এবং ২য় উপাদানগুলো 0,1,4.
∴ডোমেন R={-2,-1,0,1,2}
রেঞ্জ R{0,1,4}
গ) F={(\[ \frac12\],0),(1,1),(1,-1),( \[ \frac52\],2),( \[ \frac52\],-2)}
সমাধানঃ
প্রদত্ত F অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদান \[ \frac12\],1, \[ \frac52\] এবং ২য় উপাদানগুলো -2,-1,0,1,2.
∴ডোমেন R = \[ \frac12\],1, \[ \frac52 \]
রেঞ্জ R = {-2,-1,0,1,2}
১৮. নিচের অন্বয়গুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর এবং ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।
ক) R={(x,y):x∈A,y∈A এবং x+y=1} যেখানে A={-2,-1,0,1,2}
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, R={(x,y):x∈A,y∈A এবং x+y=1}, A={-2,-1,0,1,2}
প্রদত্ত শর্ত হতে, x+y=1 বা, y=1-x
এখন, x∈A এর জন্য, y=1-x এর মান নির্ণয় করিঃ
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 |
∴যেহেতু, 3∉A সেহেতু, (-2,3) ∉R.
R={(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}
∴ডোমেন R={-1,0,1,2}
রেঞ্জ R={-1,0,1,2}
খ) F={(x,y):x∈C,y∈C এবং y=2x} যেখানে C={-1,0,1,2,3}
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, F={(x,y):x∈C,y∈C এবং y=2x}, C={-1,0,1,2,3}
প্রদত্ত শর্ত হতে, y=2x
এখন, x∈C এর জন্য, y=2x এর মান নির্ণয় করিঃ
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
∴যেহেতু, -2,4,6∉C সেহেতু, (-1,-2),(2,4),(3,6) ∉F.
F={(0,0),(1,2)}
∴ডোমেন F={0,1}
রেঞ্জ F={0,2}
১৯. ছক কাগজে (-3,2), (0,-5), (\[ \frac12\], – \[ \frac56\]) বিন্দুগুলো স্থাপন কর।
সমাধানঃ
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x অক্ষ ও y অক্ষ। o মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
(-3,2) বিন্দুর ভুজ =-3 এবং কোটি=2। কাজেই x অক্ষের দিকে বামে -3 একক গিয়ে y অক্ষের ওপরের দিকে 2 একক যাওয়ার পর যে বিন্দুটি পাওয়া যাবে সেটিই হবে (-3,2) বিন্দুর অবস্থান।
অনুরুপভাবে, (0,-5), (\[ \frac12\], – \[ \frac56\]) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করি।
(0,-5) y O OY’ 5 (0,-5)
(\[ \frac12\],- \[ \frac56\]) O OX OY’ (\[ \frac12\],- \[ \frac56\])
২০. ছক কাগজে (1,2), (-1,1), (11,7) বিন্দু তিনটি স্থাপন করে দেখাও যে, বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।
সমাধানঃ
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x অক্ষ ও y অক্ষ। o মূলবিন্দু। ছক কাগজে উভয় অক্ষের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি এবং (1,2), (-1,1), (11,7) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দু তিনটি যোগ করে একটি সরলরেখা পেলাম। অর্থাৎ, বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত (দেখানো হলো)।
২১. সার্বিক সেট U={x:x∈N এবং x বিজোড় সংখ্যা}
A={x:x∈N এবং 2≤x≤7}
B={x:x∈N এবং 3<x<6}
C={x:x∈N এবং x2>5 এবং x3<130}
ক) A সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, U={x:x∈N এবং x বিজোড় সংখ্যা}; A={x:x∈N এবং 2≤x≤7}
আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N={1,2,3,4,5……..}
∴ তাহলে, 2 হেকে 7 পর্যন্ত বিজোর সংখ্যাসমূহ 3,5,7
A={3,5,7}
গ) B✕C এবং P(A∩C) নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ক, খ হতে,
A={3,5,7}
B={5}
C={3,5}
এখন,
A∩C={3,5,7}∩{3,5}={3,5}
∴P(A∩C)={{3,5},{3},{5},∅}
∴B✕C={5}✕{3,5}={(5,3),(5,5)}
২২. ভেনচিত্রটি লক্ষ করিঃ
ক) B সেটকে গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
সমাধানঃ
ভেনচিত্র হতে, B সেটের উপাদানগুলোঃ 2,3,5,7 যা মৌলিক সংখ্যা।
∴নির্ণেয় সেট, B=A={x:x∈N এবং 2≤x≤7}
খ) উদ্দীপক ব্যবহার করে A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) সম্পর্কটির সত্যতা যাচাই কর।
সমাধানঃ
ভেনচিত্রের উদ্দীপদ হতে,
A={1,2,3,4}, B={2,3,5,7}, C={3,4,5,6}
∴B∩C={2,3,5,7}∩{3,4,5,6}={3,5}
বামপক্ষ=A∪(B∩C)= {1,2,3,4}∪{3,5}={1,2,3,4,5}
আবার,
A∪B={1,2,3,4}∪{2,3,5,7}={1,2,3,4,5,7}
A∪C={1,2,3,4}∪{3,4,5,6}={1,2,3,5,6}
∴ ডানপক্ষ=(A∪B)∩(A∪C)= {1,2,3,4,5,7}∩{1,2,3,5,6}={1,2,3,4,5}
∴ বামপক্ষ=ডানপক্ষ (সত্যতা যাচাই হলো)
গ) S=(B∪C)C✕A হলে, ডোম S নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
U={1,2,3,4,5,6,7,8}
A={1,2,3,4}, B={2,3,5,7}, C={3,4,5,6}
এখন, BUC={2,3,5,7}U{3,4,5,6}={2,3,4,5,6,7}
∴ (B∪C)C=U-(B∪C)={1,2,3,4,5,6,7,8}-{2,3,4,5,6,7}={1,8}
∴S=(B∪C)C✕A={1,8}✕{1,2,3,4}={1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(8,1),(8,2),(8,3),(8,4)}
S অন্বয়ের ক্রমজোড়গুলোর প্রথম উপাদান 1,8
∴ডোম S={1,8}
