SSC higher math Coordinate geometry (স্থানাঙ্ক জ্যামিতি) exercise 11.1 solution
স্থানাঙ্ক জ্যামিতি সূত্র, স্থানাঙ্ক জ্যামিতি class 10, স্থানাঙ্ক জ্যামিতি অনুশীল, বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়,দুই বিন্দুর দুরত্ব নির্ণয়
স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: বিন্দু সমূহের মধ্যবর্তী দূরত্ব, স্থানাঙ্ক দ্বারা ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ অঙ্কন ও যাচাই
প্রশ্ন ॥ ১ ॥ প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত বিন্দুসমূহের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।
i. (2, 3) ও (4, 6)
সমাধান :
⸫ মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(2, 3) এবং Q(4, 6)
বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব
PQ = \[\sqrt{\left(4-2\right)^2+\left(6-3\right)^2} \]একক
= \[\sqrt{ 2^2+ 3^2} \]একক
= \[\sqrt{ 4+ 9} \]একক
= \[\sqrt{ 13} \] একক
নির্ণেয় দূরত্ব = \[\sqrt{ 13} \] একক।
ii. (- 3, 7) ও (-7, 3)
সমাধান :
মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(- 3, 7) এবং Q (-7, 3)
⸫ বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব
PQ = \[\sqrt{(-7-(-3))^2+(3-7)^2} \] একক
= \[\sqrt{(-7+3))^2+(3-7)^2} \] একক
= \[\sqrt{(-4))^2+(-4)^2} \] একক
= \[\sqrt{16+16} \] একক
= \[\sqrt{32} \] একক
= \[4\sqrt{2} \] একক
নির্ণেয় দূরত্ব = \[4\sqrt{2} \] একক।
iii. (a, b) ও (b, a)
সমাধান :
মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(a, b) এবং Q(b, a)
⸫ বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব
PQ = \[\sqrt{(b – a)^2+(a – b)^2} \] একক
= \[\sqrt{(b ^2 – 2ba + a^2+(a ^2-2ab+b^2} \] একক
= \[\sqrt{2a^2- 4ab + 2b^2} \] একক
= \[\sqrt{2(a- b)^2} \] একক
= \[(a – b) \sqrt{2} \] একক
নির্ণেয় দূরত্ব = \[(a – b) \sqrt{2} \] একক।
Class 9 math chapter 17 solution
iv. (0, 0) ও (sinθ, cosθ)
সমাধান :
মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(0, 0) এবং Q(sinθ, cosθ)
⸫ বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব
PQ = \[\sqrt{( sinθ – 0)^2+( cosθ – 0)^2} \] একক
= \[\sqrt{ sinθ ^2+ cosθ ^2} \]একক
= \[\sqrt{ 1} \]
= 1 একক
নির্ণেয় দূরত্ব = 1 একক।
v. \[(-\frac{3}{2},-1)\] এবং \[(\frac{1}{2},2)\]
সমাধান :
মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P\[(-\frac{3}{2},-1)\] এবং Q\[(\frac{1}{2},2)\]
⸫ বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব
PQ = \[ \sqrt{(\frac12-(-\frac32))^2+(2-(-1))^2} \] একক
= \[ \sqrt{(\frac12+\frac32)^2+{(2+1)}^2} \] একক
= \[ \sqrt{(\frac42))^2+(3)^2} \] একক
একক
= \[ \sqrt{2^2+9} \] একক
= \[ \sqrt{4+9} \] একক
= \[ \sqrt{13} \] একক
নির্ণেয় দূরত্ব = \[ \sqrt{13} \] একক।
প্রশ্ন ॥ ২ ॥ একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় যথাক্রমে A(2, – 4), B( – 4, 4) ও C(3, 3)| ত্রিভুজটি অঙ্কন কর এবং দেখাও যে, এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
সমাধান :
প্রদত্ত বিন্দুসমূহ A(2, – 4), B( – 4, 4) ও C(3, 3)। XY সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো A, B; B, C এবং C, A যোগ করে ত্রিভুজটি অঙ্কন করা হলো :
এখন, ABC ত্রিভুজের
AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(- 4 – 2)^2+(4-(-4))^2} \] একক
= \[ \sqrt{(- 6)^2+(-8)^2} \] একক
= \[ \sqrt{36+64} \] একক
= \[ \sqrt{100} \] একক
= 10 একক।
BC বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(3 + 4)^2+(3-4)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(7)^2+(-1)^2} \] একক
= \[ \sqrt{49+1} \] একক
= \[ \sqrt{50} \] একক
= \[ 5\sqrt{2} \] একক।
এবং AC বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(3 – 2)^2+(3+4)^2} \] একক
= \[ \sqrt{1^2 + 7^2} \] একক
= \[ \sqrt{1+ 49} \] একক
= \[ \sqrt{50} \] একক
= \[ 5\sqrt{2} \] একক।
যেহেতু ABC ত্রিভুজে, BC বাহুর দৈর্ঘ্য = AC বাহুর দৈর্ঘ্য।
সুতরাং ABC ত্রিভুজ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (দেখানো হলো)
প্রশ্ন ॥ ৩ ॥ A(2, 5), B( – 1, 1) ও C(2, 1) একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়। ত্রিভুজটি আঁক ও দেখাও যে, এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
সমাধান :
দেওয়া আছে, একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় A(2, 5), B( – 1, 1) ও C(2, 1) । XY সমতলে বিন্দুত্রয়ের অবস্থান দেখানো হলো এবং এদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি দেখানো হলো।
এখন, ABC ত্রিভুজের
AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(- 1 – 2)^2+(1- 5))^2} \] একক
= \[ \sqrt{(- 3)^2+(-4)^2} \] একক
= \[ \sqrt{9 + 16} \] একক
= \[ \sqrt{25} \] একক
= 5 একক।
To know more about mathematics
BC বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(2 + 1)^2+(1 – 1)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(3)^2+(0)^2} \] একক
= \[ \sqrt{9} \] একক
= 3 একক
এবং AC বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(2 – 2)^2+(1 – 5)^2} \] একক
= \[ \sqrt{0^2 + (- 4)^2} \] একক
= \[ \sqrt{0+ 16} \] একক
= \[ \sqrt{16} \] একক
= 4 একক।
সুতরাং AB2 = 52 = 25
BC2 = 32 = 9
AC2 = 42 = 16
∴ AC2 + BC2 = 16 + 9 = 25 = AB2
অতএব, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ। (দেখানো হলো)
প্রশ্ন ॥ ৪ ॥ A(1, 2), B( – 3, 5) ও C(5, – 1) বিন্দুত্রয় দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যায় কিনা যাচাই কর।
সমাধান :
আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজ এবং AB, BC ও AC এর তিনটি বাহু।
এখানে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(- 3 – 1)^2+(5- 2))^2} \] একক
= \[ \sqrt{(- 4)^2+(3)^2} \] একক
= \[ \sqrt{16 + 9} \] একক
= \[ \sqrt{25} \] একক
= 5 একক।
BC বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(5 + 3)^2+(- 1 – 5)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(8)^2+(- 6)^2} \] একক
= \[ \sqrt{64 + 36} \] একক
= \[ \sqrt{100} \]
= 10 একক
এবং AC বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(5 – 1)^2+(- 1 – 2)^2} \] একক
= \[ \sqrt{4^2 + (- 3)^2} \] একক
= \[ \sqrt{16+ 9} \] একক
= \[ \sqrt{25} \] একক
= 5 একক।
এখানে, AB + AC = 5 + 5 = 10 = BC
অর্থাৎ দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর সমান।
⸫ বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থান করে অর্থাৎ বিন্দু তিনটি দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।
প্রশ্ন ॥ ৫ ॥ মূলবিন্দু থেকে ( – 5, 5) ও (5, k) বিন্দুদ্বয় সমদূরবর্তী হলে k এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান :
মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় ( – 5, 5) ও (5, k) এবং মূলবিন্দু O(0, 0)।
সুতরাং, দূরত্ব OA = \[ \sqrt{(- 5 – 0)^2+(5- 0))^2} \] একক
= \[ \sqrt{(- 5 )^2+(5))^2} \] একক
= \[ \sqrt{25+25} \] একক
= \[ \sqrt{50} \] একক।
এবং দূরত্ব OB = \[ \sqrt{(- 5 – 0)^2+(k- 0)^2} \]
= \[ \sqrt{(- 5)^2+(k)^2} \]
= \[ \sqrt{25+k^2} \] একক।
যেহেতু, OA = OB
সুতরাং \[ \sqrt{25+k^2} \] = \[ \sqrt{50} \]
বা, \[25+k^2 \] = 50 [বর্গ করে]
বা, \[ k^2 \] = 50 – 25
বা, \[ k^2 \] = 25
⸫ k = ± 5
নির্ণেয় মান k = ± 5
প্রশ্ন ॥ ৬ ॥ দেখাও যে, A(2, 2), B( – 2, – 2) এবং C(\[ -2\sqrt{3}, 2\sqrt{3} \]) একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। এর পরিসীমা তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।
সমাধান :
XY সমতলে A(2, 2), B( – 2, – 2) এবং C( \[ -2\sqrt{3}, 2\sqrt{3} \]) বিন্দুগুলোর অবস্থান চিহ্নিত করা হলো :
এখানে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(- 2 – 2)^2+(-2- 2)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(- 4)^2+(-4)^2} \] একক
= \[ \sqrt{16 + 16} \] একক
= \[ \sqrt{32} \] একক
= \[ 4\sqrt{2} \] একক।
BC বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{{(-2\sqrt3+2)}^2+{(2\sqrt3+2)}^2} \] একক
= \[ \sqrt{{(2 – 2\sqrt3)}^2+{( 2 + 2\sqrt3)}^2} \] একক
= \[ \sqrt{2^2-2.2.2\sqrt3+{(2\sqrt3)}^2+2^2+2.2.2\sqrt3+{(2\sqrt3)}^2}\] একক
= \[ \sqrt{4-8\sqrt3+ 12 +4 + 8 \sqrt3 +12} \] একক
= \[ \sqrt{8 + 12 +12} \] একক
= \[ \sqrt{32} \] একক
= \[ 4\sqrt{2} \] একক।
এবং AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{{(-2\sqrt3- 2)}^2+{(2\sqrt3 – 2)}^2} \] একক
= \[ \sqrt{{(2\sqrt3+2)}^2+{(2\sqrt3+2)}^2} \] একক
= \[ \sqrt{2^2 + 2.2.2\sqrt3 + {(2\sqrt3)}^2 + 2^2 – 2.2.2\sqrt3 + {(2\sqrt3)}^2}\] একক
= \[ \sqrt{4 + 8\sqrt3 + 12 +4 + 8 \sqrt3 +12} \] একক
= \[ \sqrt{8 + 12 +12} \] একক
= \[ \sqrt{32} \] একক
= \[ 4\sqrt{2} \] একক।
এখানে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য = BC বাহুর র্দৈঘ্য = AC বাহুর দৈর্ঘ্য।
সুতরাং ABC ত্রিভুজ একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং A, B, C বিন্দুত্রয় ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু।
আবার, ABC ত্রিভুজের পরিসীমা = AB + BC + AC
= \[ 4\sqrt{2} \] + \[ 4\sqrt{2} \] + \[ 4\sqrt{2} \] একক
= \[ 12\sqrt{2} \] একক
= 16.971 একক [তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত (প্রায়)।] (Ans.)
প্রশ্ন ॥ ৭ ॥ দেখাও যে, A( – 5, 0), B(5, 0), C(5, 5) ও D( – 5, 5) একটি আয়তক্ষেত্রের চারটি শীর্ষবিন্দু।
সমাধান : XY সমতলে A( – 5, 0), B(5, 0), C(5, 5) ও D( – 5, 5) বিন্দু চারটির অবস্থান চিহ্নিত করা হলো :
এখানে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(5 + 5)^2 + (0 – 0)^2} \] একক
= \[ 4\sqrt{(10)^2 + (0 – 0)^2} \]একক
= 10 একক।
CD বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(- 5 – 5)^2 + (5 – 5)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(- 10)^2 + (0)^2} \] একক
= \[ \sqrt{100} \] একক
= 10 একক।
⸫ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = CD বাহুর দৈর্ঘ্য
আবার, AD বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(- 5 + 5)^2 + (5 – 0)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(0)^2 + (5)^2} \]একক
= \[ \sqrt{(5)^2} \] একক
= 5 একক।
BC বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(5 – 5)^2 + (5 – 0)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(0)^2 + (5)^2} \] একক
= \[ \sqrt{25} \] একক
= 5 একক।
⸫ AD বাহুর দৈর্ঘ্য = BC বাহুর দৈর্ঘ্য
⸫ ABCD চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান।
সুতরাং ABCD একটি সামান্তরিক বা আয়তক্ষেত্র।
এখন, BD কর্ণের দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(- 5 – 5)^2 + (5 – 0)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(- 10)^2 + (5)^2} \] একক
= \[ \sqrt{100 + 25} \] একক
= \[ \sqrt{125} \] একক
= \[ 5\sqrt{5} \] একক
এখন BD2 = \[ (5\sqrt{5})^2 \]
= 25 × 5
= 125
AB2 = 102 = 100
AD2 = 52 = 25
∴ AB2 + AD2 = 100 + 25 = 125
∴ BD2 = AB2 + AD2
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে ABD একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং BAD সমকোণ।
সুতরাং ABCD একটি আয়তক্ষেত্র।
অর্থাৎ বিন্দু চারটি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু। (দেখানো হলো)
[বি. দ্র. Text বইয়ে ভুলক্রমে আয়তক্ষেত্রের স্থলে বর্গক্ষেত্র লেখা হয়েছে।]
প্রশ্ন ॥ ৮ ॥ A( – 2, – 1), B(5, 4), C(6, 7) এবং D( – 1, 2) দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি সামান্তরিক না আয়তক্ষেত্র তা নির্ণয় কর।
সমাধান : XY সমতলে A( – 2, – 1), B(5, 4), C(6, 7) এবং D( – 1, 2) বিন্দু চারটির অবস্থান চিহ্নিত করা হলো :
এখানে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(5 – (-2))^2 + (5 – (-1))^2} \] একক
= \[ \sqrt{(5 + 2)^2 + (5 +1)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(7)^2 + (6)^2} \] একক
= \[ \sqrt{49 + 36} \] একক
= \[ \sqrt{74} \] একক।
CD বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(-1 – 6)^2 + (2 – 7)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(– 7)^2 + (– 5)^2} \] একক
= \[ \sqrt{49 + 25} \] একক
= \[ \sqrt{74} \] একক।
⸫ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = CD বাহুর দৈর্ঘ্য
আবার, AD বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(–1 + 2)^2 + (2 + 1)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(1)^2 + (3)^2} \] একক
= \[ \sqrt{1+ 9} \] একক
= \[ \sqrt{10} \] একক।
BC বাহুর দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(6 – 5)^2 + (7 – 4)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(1)^2 + (3)^2} \] একক
= \[ \sqrt{1+ 9} \] একক
= \[ \sqrt{10} \] একক।
⸫ AD বাহুর দৈর্ঘ্য = BC বাহুর দৈর্ঘ্য
সুতরাং ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান।
⸫ ABCD একটি সামান্তরিক বা আয়তক্ষেত্র।
এখন, AC কর্ণের দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(6 + 2)^2 + (7 + 1)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(8)^2 + (8)^2} \] একক
= \[ \sqrt{64+ 64} \] একক
= \[ \sqrt{128} \] একক
= \[ 8\sqrt{2} \] একক।
এবং BD কর্ণের দৈর্ঘ্য = \[ \sqrt{(– 1 – 5)^2 + (2 – 4)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(– 6)^2 + (– 2)^2} \] একক
= \[ \sqrt{36+ 4} \] একক
= \[ \sqrt{40} \] একক
= \[ 2\sqrt{10} \] একক।
⸫ AC কর্ণের দৈর্ঘ্য ≠ BD কর্ণের দৈর্ঘ্য
সুতরাং ABCD একটি সামান্তরিক।
অর্থাৎ বিন্দু চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
প্রশ্ন ॥ ৯ ॥ A(10, 5), B(7, 6), C ( – 3, 5) বিন্দুগুলোর মধ্যে কোনটি P(3, – 2) এর সবচেয়ে নিকটবর্তী ও কোনটি সবচেয়ে দূরবর্তী।
সমাধান : প্রদত্ত বিন্দুগুলো যথাক্রমে A(10, 5), B(7, 6), C ( – 3, 5) এবং P(3, – 2) ।
P হতে যথাক্রমে A, B, C বিন্দুগুলোর দূরত্ব নির্ণয় করি।
⸫ দূরত্ব PA = \[ \sqrt{(10 – 3)^2 + (5 + 2)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(7)^2 + (7)^2} \] একক
= \[ \sqrt{49+ 49} \] একক
= \[ \sqrt{98} \] একক
= 9.899 একক (প্রায়)।
দূরত্ব PB = \[ \sqrt{(7 – 3)^2 + (6 + 2)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(4)^2 + (8)^2} \] একক
= \[ \sqrt{16 + 64} \] একক
= \[ \sqrt{80} \] একক
= 8.944 একক (প্রায়)।
দূরত্ব PC = \[ \sqrt{(– 3 – 3)^2 + (5 + 2)^2} \] একক
= \[ \sqrt{(– 6)^2 + (7)^2} \] একক
= \[ \sqrt{36 + 49} \] একক
= \[ \sqrt{85} \] একক
= 9.220 একক (প্রায়)।
সুতরাং P হতে B এর দূরত্ব কম এবং A এর দূরত্ব বেশি।
⸫ P বিন্দুর সবচেয়ে নিকটবর্তী বিন্দু B এবং সবচেয়ে দূরবর্তী বিন্দু A.
প্রশ্ন ॥ ১০ ॥ P(x, y) বিন্দু থেকে y-অক্ষের দূরত্ব এবং Q(3, 2) বিন্দুর দূরত্ব সমান। প্রমাণ কর যে, y2 – 4y – 6x + 13 = 0
সমাধান :
এখানে, P(x, y) বিন্দু থেকে y অক্ষের দূরত্ব = x
এবং P(x, y) বিন্দু থেকে Q(3, 2) বিন্দুর দূরত্ব
= \[ \sqrt{(3 – x)^2 + (2 – y)^2} \] একক
= \[ \sqrt{9 – 6x + x^2 + 4 – 4y + y^2} \] একক
= \[ \sqrt{x^2 + y^2– 6x – 4y 13} \] একক
প্রশ্নমতে, \[ \sqrt{x^2 + y^2– 6x – 4y + 13} \] = x
বা, \[ x^2 + y^2– 6x – 4y +13 = x^2 \] [বর্গ করে]
বা, \[ x^2 + y^2– 6x – 4y + 13 – x^2 = 0 \]
⸫ \[ y^2– 6x – 4y +13 = 0 \] (প্রমাণিত)
