SSC Higher Math Coordinate Geometry (স্থানাঙ্ক জ্যামিতি) Exercise 11.1 Solution

SSC higher math Coordinate geometry (স্থানাঙ্ক জ্যামিতি) exercise 11.1 solution

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি সূত্র, স্থানাঙ্ক জ্যামিতি class 10, স্থানাঙ্ক জ্যামিতি অনুশীল, বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়,দুই বিন্দুর দুরত্ব নির্ণয়

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি: বিন্দু সমূহের মধ্যবর্তী দূরত্ব, স্থানাঙ্ক দ্বারা ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ অঙ্কন ও যাচাই

প্রশ্ন ॥ ১ ॥ প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত বিন্দুসমূহের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় কর।

i. (2, 3) ও (4, 6)

সমাধান :

⸫ মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(2, 3) এবং Q(4, 6)

বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব

PQ = $\sqrt{\left(4-2\right)^2+\left(6-3\right)^2}$ একক

= $\sqrt{ 2^2+ 3^2}$ একক

= $\sqrt{ 4+ 9}$ একক

= $\sqrt{ 13}$ একক

নির্ণেয় দূরত্ব = $\sqrt{ 13}$ একক।

ii. (- 3, 7) ও (-7, 3)

সমাধান :

মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(- 3, 7) এবং Q (-7, 3)

⸫ বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব

PQ = $\sqrt{(-7-(-3))^2+(3-7)^2}$ একক

= $\sqrt{(-7+3))^2+(3-7)^2}$ একক

= $\sqrt{(-4))^2+(-4)^2}$ একক

= $\sqrt{16+16}$ একক

= $\sqrt{32}$ একক

= $4\sqrt{2}$ একক

নির্ণেয় দূরত্ব = $4\sqrt{2}$ একক।

iii. (a, b) ও (b, a)

সমাধান :

মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(a, b) এবং Q(b, a)

⸫ বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব

PQ = $\sqrt{(b - a)^2+(a - b)^2}$ একক

= $\sqrt{(b ^2 - 2ba + a^2+(a ^2-2ab+b^2}$ একক

= $\sqrt{2a^2- 4ab + 2b^2}$ একক

= $\sqrt{2(a- b)^2}$ একক

= $(a - b) \sqrt{2}$ একক

নির্ণেয় দূরত্ব = $(a - b) \sqrt{2}$ একক।

Class 9 math chapter 17 solution

iv. (0, 0) ও (sinθ, cosθ)

সমাধান :

মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P(0, 0) এবং Q(sinθ, cosθ)

⸫ বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব

PQ = $\sqrt{( sinθ - 0)^2+( cosθ - 0)^2}$ একক

= $\sqrt{ sinθ ^2+ cosθ ^2}$ একক

= $\sqrt{ 1}$

= 1 একক

নির্ণেয় দূরত্ব = 1 একক।

v. $(-\frac{3}{2},-1)$ এবং $(\frac{1}{2},2)$

সমাধান :

মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় P $(-\frac{3}{2},-1)$ এবং Q $(\frac{1}{2},2)$

⸫ বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব

PQ = $\sqrt{(\frac12-(-\frac32))^2+(2-(-1))^2}$ একক

= $\sqrt{(\frac12+\frac32)^2+{(2+1)}^2}$ একক

= $\sqrt{(\frac42))^2+(3)^2}$ একক

একক

= $\sqrt{2^2+9}$ একক

= $\sqrt{4+9}$ একক

= $\sqrt{13}$ একক

নির্ণেয় দূরত্ব = $\sqrt{13}$ একক।

প্রশ্ন ॥ ২ ॥ একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় যথাক্রমে A(2, – 4), B( – 4, 4) ও C(3, 3)| ত্রিভুজটি অঙ্কন কর এবং দেখাও যে, এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

সমাধান :

প্রদত্ত বিন্দুসমূহ A(2, – 4), B( – 4, 4) ও C(3, 3)। XY সমতলে বিন্দুগুলোর অবস্থান দেখানো হলো A, B; B, C এবং C, A যোগ করে ত্রিভুজটি অঙ্কন করা হলো :

এখন, ABC ত্রিভুজের

AB বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(- 4 - 2)^2+(4-(-4))^2}$ একক

= $\sqrt{(- 6)^2+(-8)^2}$ একক

= $\sqrt{36+64}$ একক

= $\sqrt{100}$ একক

= 10 একক।

BC বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(3 + 4)^2+(3-4)^2}$ একক

= $\sqrt{(7)^2+(-1)^2}$ একক

= $\sqrt{49+1}$ একক

= $\sqrt{50}$ একক

= $5\sqrt{2}$ একক।

এবং AC বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(3 - 2)^2+(3+4)^2}$ একক

= $\sqrt{1^2 + 7^2}$ একক

= $\sqrt{1+ 49}$ একক

= $\sqrt{50}$ একক

= $5\sqrt{2}$ একক।

যেহেতু ABC ত্রিভুজে, BC বাহুর দৈর্ঘ্য = AC বাহুর দৈর্ঘ্য।

সুতরাং ABC ত্রিভুজ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ॥ ৩ ॥ A(2, 5), B( – 1, 1) ও C(2, 1) একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয়। ত্রিভুজটি আঁক ও দেখাও যে, এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

সমাধান :

দেওয়া আছে, একটি ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় A(2, 5), B( – 1, 1) ও C(2, 1) । XY সমতলে বিন্দুত্রয়ের অবস্থান দেখানো হলো এবং এদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি দেখানো হলো।

এখন, ABC ত্রিভুজের

AB বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(- 1 - 2)^2+(1- 5))^2}$ একক

= $\sqrt{(- 3)^2+(-4)^2}$ একক

= $\sqrt{9 + 16}$ একক

= $\sqrt{25}$ একক

= 5 একক।

To know more about mathematics

BC বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(2 + 1)^2+(1 - 1)^2}$ একক

= $\sqrt{(3)^2+(0)^2}$ একক

= $\sqrt{9}$ একক

= 3 একক

এবং AC বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(2 - 2)^2+(1 - 5)^2}$ একক

= $\sqrt{0^2 + (- 4)^2}$ একক

= $\sqrt{0+ 16}$ একক

= $\sqrt{16}$ একক

= 4 একক।

সুতরাং AB² = 5² = 25

BC² = 3² = 9

AC² = 4² = 16

∴ AC² + BC² = 16 + 9 = 25 = AB²

অতএব, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ। (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ॥ ৪ ॥ A(1, 2), B( – 3, 5) ও C(5, – 1) বিন্দুত্রয় দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যায় কিনা যাচাই কর।

সমাধান :

আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজ এবং AB, BC ও AC এর তিনটি বাহু।

এখানে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(- 3 - 1)^2+(5- 2))^2}$ একক

= $\sqrt{(- 4)^2+(3)^2}$ একক

= $\sqrt{16 + 9}$ একক

= $\sqrt{25}$ একক

= 5 একক।

BC বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(5 + 3)^2+(- 1 - 5)^2}$ একক

= $\sqrt{(8)^2+(- 6)^2}$ একক

= $\sqrt{64 + 36}$ একক

= $\sqrt{100}$

= 10 একক

এবং AC বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(5 - 1)^2+(- 1 - 2)^2}$ একক

= $\sqrt{4^2 + (- 3)^2}$ একক

= $\sqrt{16+ 9}$ একক

= $\sqrt{25}$ একক

= 5 একক।

এখানে, AB + AC = 5 + 5 = 10 = BC

অর্থাৎ দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর সমান।

⸫ বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থান করে অর্থাৎ বিন্দু তিনটি দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।

প্রশ্ন ॥ ৫ ॥ মূলবিন্দু থেকে ( – 5, 5) ও (5, k) বিন্দুদ্বয় সমদূরবর্তী হলে k এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, প্রদত্ত বিন্দুদ্বয় ( – 5, 5) ও (5, k) এবং মূলবিন্দু O(0, 0)।

সুতরাং, দূরত্ব OA = $\sqrt{(- 5 - 0)^2+(5- 0))^2}$ একক

= $\sqrt{(- 5 )^2+(5))^2}$ একক

= $\sqrt{25+25}$ একক

= $\sqrt{50}$ একক।

এবং দূরত্ব OB = $\sqrt{(- 5 - 0)^2+(k- 0)^2}$

= $\sqrt{(- 5)^2+(k)^2}$

= $\sqrt{25+k^2}$ একক।

যেহেতু, OA = OB

সুতরাং $\sqrt{25+k^2}$ = $\sqrt{50}$

বা, $25+k^2$ = 50 [বর্গ করে]

বা, $k^2$ = 50 – 25

বা, $k^2$ = 25

⸫ k = ± 5

নির্ণেয় মান k = ± 5

প্রশ্ন ॥ ৬ ॥ দেখাও যে, A(2, 2), B( – 2, – 2) এবং C( $-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}$ ) একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। এর পরিসীমা তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।

সমাধান :

XY সমতলে A(2, 2), B( – 2, – 2) এবং C( $-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}$ ) বিন্দুগুলোর অবস্থান চিহ্নিত করা হলো :

এখানে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(- 2 - 2)^2+(-2- 2)^2}$ একক

= $\sqrt{(- 4)^2+(-4)^2}$ একক

= $\sqrt{16 + 16}$ একক

= $\sqrt{32}$ একক

= $4\sqrt{2}$ একক।

BC বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{{(-2\sqrt3+2)}^2+{(2\sqrt3+2)}^2}$ একক

= $\sqrt{{(2 - 2\sqrt3)}^2+{( 2 + 2\sqrt3)}^2}$ একক

= $\sqrt{2^2-2.2.2\sqrt3+{(2\sqrt3)}^2+2^2+2.2.2\sqrt3+{(2\sqrt3)}^2}$ একক

= $\sqrt{4-8\sqrt3+ 12 +4 + 8 \sqrt3 +12}$ একক

= $\sqrt{8 + 12 +12}$ একক

= $\sqrt{32}$ একক

= $4\sqrt{2}$ একক।

এবং AB বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{{(-2\sqrt3- 2)}^2+{(2\sqrt3 - 2)}^2}$ একক

= $\sqrt{{(2\sqrt3+2)}^2+{(2\sqrt3+2)}^2}$ একক

= $\sqrt{2^2 + 2.2.2\sqrt3 + {(2\sqrt3)}^2 + 2^2 - 2.2.2\sqrt3 + {(2\sqrt3)}^2}$ একক

= $\sqrt{4 + 8\sqrt3 + 12 +4 + 8 \sqrt3 +12}$ একক

= $\sqrt{8 + 12 +12}$ একক

= $\sqrt{32}$ একক

= $4\sqrt{2}$ একক।

এখানে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য = BC বাহুর র্দৈঘ্য = AC বাহুর দৈর্ঘ্য।

সুতরাং ABC ত্রিভুজ একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং A, B, C বিন্দুত্রয় ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু।

আবার, ABC ত্রিভুজের পরিসীমা = AB + BC + AC

= $4\sqrt{2}$ + $4\sqrt{2}$ + $4\sqrt{2}$ একক

= $12\sqrt{2}$ একক

= 16.971 একক [তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত (প্রায়)।] (Ans.)

প্রশ্ন ॥ ৭ ॥ দেখাও যে, A( – 5, 0), B(5, 0), C(5, 5) ও D( – 5, 5) একটি আয়তক্ষেত্রের চারটি শীর্ষবিন্দু।

সমাধান : XY সমতলে A( – 5, 0), B(5, 0), C(5, 5) ও D( – 5, 5) বিন্দু চারটির অবস্থান চিহ্নিত করা হলো :

এখানে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(5 + 5)^2 + (0 - 0)^2}$ একক

= $4\sqrt{(10)^2 + (0 - 0)^2}$ একক

= 10 একক।

CD বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(- 5 - 5)^2 + (5 - 5)^2}$ একক

= $\sqrt{(- 10)^2 + (0)^2}$ একক

= $\sqrt{100}$ একক

= 10 একক।

⸫ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = CD বাহুর দৈর্ঘ্য

আবার, AD বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(- 5 + 5)^2 + (5 - 0)^2}$ একক

= $\sqrt{(0)^2 + (5)^2}$ একক

= $\sqrt{(5)^2}$ একক

= 5 একক।

BC বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(5 - 5)^2 + (5 - 0)^2}$ একক

= $\sqrt{(0)^2 + (5)^2}$ একক

= $\sqrt{25}$ একক

= 5 একক।

⸫ AD বাহুর দৈর্ঘ্য = BC বাহুর দৈর্ঘ্য

⸫ ABCD চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান।

সুতরাং ABCD একটি সামান্তরিক বা আয়তক্ষেত্র।

এখন, BD কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(- 5 - 5)^2 + (5 - 0)^2}$ একক

= $\sqrt{(- 10)^2 + (5)^2}$ একক

= $\sqrt{100 + 25}$ একক

= $\sqrt{125}$ একক

= $5\sqrt{5}$ একক

এখন BD² = $(5\sqrt{5})^2$

= 25 × 5

= 125

AB² = 10² = 100

AD² = 5² = 25

∴ AB² + AD² = 100 + 25 = 125

∴ BD² = AB² + AD²

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে ABD একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং BAD সমকোণ।

সুতরাং ABCD একটি আয়তক্ষেত্র।

অর্থাৎ বিন্দু চারটি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু। (দেখানো হলো)

[বি. দ্র. Text বইয়ে ভুলক্রমে আয়তক্ষেত্রের স্থলে বর্গক্ষেত্র লেখা হয়েছে।]

প্রশ্ন ॥ ৮ ॥ A( – 2, – 1), B(5, 4), C(6, 7) এবং D( – 1, 2) দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি সামান্তরিক না আয়তক্ষেত্র তা নির্ণয় কর।

সমাধান : XY সমতলে A( – 2, – 1), B(5, 4), C(6, 7) এবং D( – 1, 2) বিন্দু চারটির অবস্থান চিহ্নিত করা হলো :

এখানে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(5 - (-2))^2 + (5 - (-1))^2}$ একক

= $\sqrt{(5 + 2)^2 + (5 +1)^2}$ একক

= $\sqrt{(7)^2 + (6)^2}$ একক

= $\sqrt{49 + 36}$ একক

= $\sqrt{74}$ একক।

CD বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(-1 - 6)^2 + (2 - 7)^2}$ একক

= $\sqrt{(- 7)^2 + (- 5)^2}$ একক

= $\sqrt{49 + 25}$ একক

= $\sqrt{74}$ একক।

⸫ AB বাহুর দৈর্ঘ্য = CD বাহুর দৈর্ঘ্য

আবার, AD বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(-1 + 2)^2 + (2 + 1)^2}$ একক

= $\sqrt{(1)^2 + (3)^2}$ একক

= $\sqrt{1+ 9}$ একক

= $\sqrt{10}$ একক।

BC বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(6 - 5)^2 + (7 - 4)^2}$ একক

= $\sqrt{(1)^2 + (3)^2}$ একক

= $\sqrt{1+ 9}$ একক

= $\sqrt{10}$ একক।

⸫ AD বাহুর দৈর্ঘ্য = BC বাহুর দৈর্ঘ্য

সুতরাং ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান।

⸫ ABCD একটি সামান্তরিক বা আয়তক্ষেত্র।

এখন, AC কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(6 + 2)^2 + (7 + 1)^2}$ একক

= $\sqrt{(8)^2 + (8)^2}$ একক

= $\sqrt{64+ 64}$ একক

= $\sqrt{128}$ একক

= $8\sqrt{2}$ একক।

এবং BD কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(- 1 - 5)^2 + (2 - 4)^2}$ একক

= $\sqrt{(- 6)^2 + (- 2)^2}$ একক

= $\sqrt{36+ 4}$ একক

= $\sqrt{40}$ একক

= $2\sqrt{10}$ একক।

⸫ AC কর্ণের দৈর্ঘ্য ≠ BD কর্ণের দৈর্ঘ্য

সুতরাং ABCD একটি সামান্তরিক।

অর্থাৎ বিন্দু চারটি দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।

প্রশ্ন ॥ ৯ ॥ A(10, 5), B(7, 6), C ( – 3, 5) বিন্দুগুলোর মধ্যে কোনটি P(3, – 2) এর সবচেয়ে নিকটবর্তী ও কোনটি সবচেয়ে দূরবর্তী।

সমাধান : প্রদত্ত বিন্দুগুলো যথাক্রমে A(10, 5), B(7, 6), C ( – 3, 5) এবং P(3, – 2) ।

P হতে যথাক্রমে A, B, C বিন্দুগুলোর দূরত্ব নির্ণয় করি।

⸫ দূরত্ব PA = $\sqrt{(10 - 3)^2 + (5 + 2)^2}$ একক

= $\sqrt{(7)^2 + (7)^2}$ একক

= $\sqrt{49+ 49}$ একক

= $\sqrt{98}$ একক

= 9.899 একক (প্রায়)।

দূরত্ব PB = $\sqrt{(7 - 3)^2 + (6 + 2)^2}$ একক

= $\sqrt{(4)^2 + (8)^2}$ একক

= $\sqrt{16 + 64}$ একক

= $\sqrt{80}$ একক

= 8.944 একক (প্রায়)।

দূরত্ব PC = $\sqrt{(- 3 - 3)^2 + (5 + 2)^2}$ একক

= $\sqrt{(- 6)^2 + (7)^2}$ একক

= $\sqrt{36 + 49}$ একক

= $\sqrt{85}$ একক

= 9.220 একক (প্রায়)।

সুতরাং P হতে B এর দূরত্ব কম এবং A এর দূরত্ব বেশি।

⸫ P বিন্দুর সবচেয়ে নিকটবর্তী বিন্দু B এবং সবচেয়ে দূরবর্তী বিন্দু A.

প্রশ্ন ॥ ১০ ॥ P(x, y) বিন্দু থেকে y-অক্ষের দূরত্ব এবং Q(3, 2) বিন্দুর দূরত্ব সমান। প্রমাণ কর যে, y² – 4y – 6x + 13 = 0

সমাধান :

এখানে, P(x, y) বিন্দু থেকে y অক্ষের দূরত্ব = x

এবং P(x, y) বিন্দু থেকে Q(3, 2) বিন্দুর দূরত্ব

= $\sqrt{(3 - x)^2 + (2 - y)^2}$ একক

= $\sqrt{9 - 6x + x^2 + 4 - 4y + y^2}$ একক

= $\sqrt{x^2 + y^2- 6x - 4y 13}$ একক

প্রশ্নমতে, $\sqrt{x^2 + y^2- 6x - 4y + 13}$ = x

বা, $x^2 + y^2- 6x - 4y +13 = x^2$ [বর্গ করে]

বা, $x^2 + y^2- 6x - 4y + 13 - x^2 = 0$

⸫ $y^2- 6x - 4y +13 = 0$ (প্রমাণিত)

Post Views: 2,571

SSC higher math Coordinate geometry (স্থানাঙ্ক জ্যামিতি) exercise 11.1 solution