Geometry SSC Higher Math Chapter 3.1 Solution । প্রতিটি সমস্যার সমাধান ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যাতে শিক্ষার্থীরা সহজে বুঝতে পারে।
জ্যামিতি(Geometry) লম্ব অভিক্ষেপ, পীথাগোরাসের উপপাদ্য, এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য
১. △ABC এর ∠B=600 হলে প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2-AB.BC
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
△ABC এর ∠B=600 হলে প্রমাণ করতে হবে যে, AC2=AB2+BC2-AB.BC
অঙ্কনঃ
AD⊥BC টানি।
প্রমাণঃ
আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণের বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ওপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি অপেক্ষা ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার ওপর অপরটির লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের দ্বিগুণ পরিমাণ কম।
∴△ABC এর ∠B=600, অর্থাৎ সূক্ষ্মকোণ এবং তাহলে BD,BC এর ওপর AB এর লম্ব অভিক্ষেপ।
∴ AC2=AB2+BC2-2BC.BD……(i)
সমকোণী △ABD এ লম্ব AD, ভূমি BD এবং অতিভুজ AB.
∴ cos∠ABD= \[\frac{BD}{AB}\]
[cosθ = \[\frac{ভুমি }{ অতিভুজ }\]]
বা, BD=AB.cos∠ABD
= AB.cos600
= AB \[\frac12\]
= \[\frac12\] AB
এখন, (i) নং এ BD এর মান বসিয়ে পাই,
AC2=AB2+BC2-2BC. \[\frac12\] AB
= AB2+BC2-BC.AB
∴ AC2=AB2+BC2-AB.BC (প্রমাণিত)
২. △ABC এর ∠B=1200 হলে প্রমাণ কর যে, AC2=AB2+BC2-AB.BC
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABC এর ∠B=1200 হলে প্রমাণ করতে হবে যে, AC2=AB2+BC2-AB.BC
অঙ্কনঃ
CB এর বর্ধিতাংশের ওপর AD লম্ব আঁকি।
প্রমাণঃ
আমরা জানি, স্থুলকোণী ত্রিভুজের স্থুলকোণের বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ কোণের সন্নিহিত দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি এবং ঐ দুই বাহুর যে কোনো একটি ও তার ওপর অপর বাহুর লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের দ্বিগুণের সমষ্টির সমান।
এখন, △ABC এর ∠B=1200, অর্থাৎ স্থুলকোণ
∴ AC2=AB2+BC2-2BC.BD……(i)
CD সরলরেখার ওপর ∠ABC ও ∠ABD দুইটি সন্নিহিত কোণ।
∠ABC + ∠ABD = 1800
বা, 1200+ ∠ABD = 1800
বা, ∠ABD = 1800-1200
বা, ∠ABD = 600
এখন, সমকোণী △ABD এ লম্ব AD, ভূমি BD এবং অতিভুজ AB.
∴cos∠ABD= \[\frac{BD }{ AB}\]
[cosθ= \[\frac{ভুমি }{ অতিভুজ }\]]
বা, BD=AB.cos∠ABD
=AB.cos600
=AB. \[\frac{1}{ 2}\]
= \[\frac{1}{ 2}\] AB
(i) নং এ BD এর মান বসিয়ে পাই,
AC2=AB2+BC2+2BC.½AB
= AB2+BC2+BC.AB
∴ AC2=AB2+BC2+AB.BC (প্রমাণিত)
৩. △ABC এর ∠C=900 এবং BC এর মধ্যবিন্দু D। প্রমাণ কর যে, AB2=AD2+3BD2
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABC এর ∠C=900 এবং BC এর মধ্যবিন্দু D। প্রমাণ করতে হবে যে, AB2=AD2+3BD2
প্রমাণঃ
△ABC এর ∠C=900
∴ AB2=AC2+BC2 [পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে]
=AC2+(BD+CD)2 [BC=BD+CD]
=AC2+BD2+2BD.CD+CD2
=(AC2+CD2)+BD2+2BD.BD [D, BC এর মধ্যবিন্দু]
=(AC2+CD2)+BD2+2BD2
=(AC2+CD2)+3BD2
=AD2+3BD2 [△ACD-এ পীথাগোরাসের সূত্রানুসারে AD2=AC2+CD2 কারন ∠C=900]
∴ AB2=AD2+3BD2 (প্রমাণিত)
৪. △ABC এ AD,BC বাহুর উপর
লম্ব এবং BE, AC এর উপর লম্ব। দেখাও যে, BC.CD=AC.CE
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABC এ AD,BC বাহুর উপর লম্ব এবং BE, AC এর উপর লম্ব। দেখাও যে, BC.CD=AC.CE
প্রমাণঃ
△ABC এর ∠ACB সূক্ষ্মকোণ; AD,BC বাহুর উপর লম্ব এবং CD, BC বাহুতে AC বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ।
AB2=AC2+BC2-2BC.CD….(i)
আবার,
△ABC এর ∠ACB সূক্ষ্মকোণ; BE,AC বাহুর উপর লম্ব এবং CE, AC বাহুতে BC বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ।
AB2=BC2+AC2-2AC.CE……(ii)
(i) ও (ii) হতে পাই,
AC2+BC2-2BC.CD=AB2=BC2+AC2-2AC.CE
বা, -2BC.CD=-2AC.CE
বা, BC.CD=AC.CE (প্রমাণিত)
৫. △ABC এর BC বাহু P ও Q বিন্দুতে তিনটি
সমান অংশে বিভক্ত হয়েছে। প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AP2+AQ2+4PQ2
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABC এর BC বাহু P ও Q বিন্দুতে তিনটি সমান অংশে বিভক্ত হয়েছে অর্থাৎ BP=PQ=QC। A,P ও A,Q যোগ করি। প্রমাণ কর যে, AB2+AC2=AP2+AQ2+4PQ2
প্রমাণঃ
△ABQ এর মধ্যমা AP [BP=PQ]
∴ এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে,
AB2+AQ2=2(AP2+PQ2)……(i)
আবার, △ABC এর মধ্যমা AQ [PQ=QC]
∴ AP2+AC2=2(AQ2+PQ2)…..(ii)
এখন, (i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,
AB2+AQ2+ AP2+AC2=2(AP2+PQ2)+2(AQ2+PQ2)
বা, AB2+AC2=2(AP2+PQ2)+2(AQ2+PQ2)- AQ2– AP2
বা, AB2+AC2=2AP2+2PQ2+2AQ2+2PQ2-AQ2-AP2
বা, AB2+AC2=AP2+AQ2+4PQ2 (প্রমাণিত)
৬. △ABC এর AB=AC। ভূমি BC এর উপর P যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ কর যে, AB2-AP2=BP.PC
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABC এর AB=AC। ভূমি BC এর উপর P যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ কর যে, AB2-AP2=BP.PC
অঙ্কনঃ
AD⊥BC আঁকি।
প্রমাণঃ
△ABD এর ∠ADB=এক সমকোণ এবং AB অতিভুজ।
∴ পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
AB2=AD2+BD2…..(i)
আবার,
△APD এর ∠ADP=এক সমকোণ এবং AP অতিভুজ।
∴ পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
AP2=AD2+PD2……(ii)
এখন (i) নং থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
AB2-AP2=AD2+BD2-AD2-PD2
বা, AB2-AP2=BD2-PD2
বা, AB2-AP2=(BD-PD)(BD+PD)
বা, AB2-AP2=BP(BD+PD)
বা, AB2-AP2=BP(CD+PD) [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে ভূমির ওপর লম্ব ভুমিকে সমদ্বিখন্ডিত করে অর্থাৎ BD=CD]
বা, AB2-AP2=BP.PC (প্রমাণিত)
৭. △ABC এর মধ্যমাত্রয় G বিন্দুতে মিলিত হলে প্রমাণ কর যে, AB2+BC2+AC2=3(GA2+GB2+GC2).
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, △ABC এর মধ্যমাত্রয় যথাক্রমে AD, BE ও CF পরস্পর G বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AB2+BC2+AC2=3(GA2+GB2+GC2).
প্রমাণঃ
△ABC এর AD, BE ও CF তিনটি মধ্যমা।
∴ এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে,
AB2+CA2=2(AD2+BD2)…….(i)
AB2+BC2=2(BE2+CE2)…….(ii)
এবং BC2+CA2=2(CF2+BF2)……(iii)
এখন, (i), (ii) ও (iii) যোগ করে পাই,
2AB2+2BC2+2CA2=2AD2+2BD2+2BE2+2CE2+2CF2+2BF2
বা, 2(AB2+BC2+CA2)=2(AD2+BE2+CF2)+2(BD2+CE2+BF2)
বা, 4(AB2+BC2+CA2)=4(AD2+BE2+CF2)+4(BD2+CE2+BF2) [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে]
বা, 4(AB2+BC2+CA2)=4(AD2+BE2+CF2)+(2BD)2+(2CE)2+(2BF)2
বা, 4(AB2+BC2+CA2)=4(AD2+BE2+CF2)+BC2+CA2+AB2
বা, 3(AB2+BC2+CA2)=4(AD2+BE2+CF2)
বা, 3(AB2+BC2+CA2)=4AD2+4BE2+4CF2…..(iV)
আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো সমপাত বিন্দুতে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
তাহলে,
\[\frac{AG}{GD} = \frac21 \]
বা, \[\frac{GD}{AG} = \frac12 \]
বা, \[\frac{GD + AG}{AG} = \frac{1 + 2}2 \]
বা, \[\frac{GD + AG}{AG} = \frac{3}2 \]
বা, 4AD2 = 9AG2
অনুরূপভাবে পাই,
4BE2=9BG2 এবং 4CF2=9CG2
4AD2, 4BE2 ও 4CF2 এর মান (iv) নং এ বসিয়ে পাই,
3(AB2+BC2+CA2)=9AG2+9BG2+9CG2
বা, 3(AB2+BC2+CA2)=9(AG2+BG2+CG2)
বা, (AB2+BC2+CA2)=3(GA2+GB2+GC2). [প্রমাণিত]
