SSC higher math ex 3.2 triangle and circle solution | ত্রিভুজ ও বৃত্ত বিষয়ক সমস্যা

SSC higher math ex 3.2 triangle and circle solution

ত্রিভুজ ও বৃত্ত বিষয়ক সমস্যাঃ লম্ব অভিক্ষেপ, লম্ববিন্দু, মধ্যমা, পরিবৃত্ত, বহির্বৃত্ত, জ্যা, পরিকেন্দ্র

১. নিচের বামের চিত্রে XY রেখাংশে AB এর লম্ব অভিক্ষেপ কোনটি?

ক) AB   

খ) BC    

গ) AC    

ঘ) XY

উত্তরঃ খ

২. উপরের ডানের চিত্রে কোনটি লম্ববিন্দু?

ক) D   

খ) E    

গ) F    

ঘ) O

উত্তরঃ ঘ

৩. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য 3 সেমি হলে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক) 4.5 সেমি  

খ) 3.46 সেমি  

গ) 4.24 সেমি  

ঘ) 2.59 সেমি

উত্তরঃ খ

উপরের চিত্রে D, E, F যথাক্রমে BC, AC ও AB এর মধ্যবিন্দু। সেই আলোকে ৪-৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

৪. G বিন্দুর নাম কী?

ক) লম্ববিন্দু   

খ) অন্তঃকেন্দ্র   

গ) ভরকেন্দ্র    

ঘ) পরিকেন্দ্র

উত্তরঃ গ

৫. △ABC এর শীর্ষ বিন্দু তিনটি দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের নাম কী?

ক) পরিবৃত্ত   

খ) অন্তুর্বৃত্ত   

গ) বহির্বৃত্ত    

ঘ) নববিন্দুবৃত্ত

উত্তরঃ ক

৬. △ABC এর ক্ষেত্রে নিচের কোনটি এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে?

ক) AB²+AC²=BC²  

খ) AB²+AC²=2(AD²+BD²)

গ) AB²+AC²=2(AG²+GD²)  

ঘ) AB²+AC²=2(BD²+CD²)

উত্তরঃ খ

৭. ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তস্থ যেকোনো বিন্দু P থেকে BC ও CA এর উপর PD ও PE লম্ব অঙ্কন করা হয়েছে। যদি ED রেখাংশ AB কে O বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ কর যে, PO রেখা AB এর উপর লম্ব, অর্থাৎ PO⊥AB।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, P, ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তস্থ যেকোনো একটি বিন্দু। PD⊥BC ও PE⊥AC। ED রেখাংশ AB কে O বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করতে হবে যে, PO রেখা AB এর উপর লম্ব, অর্থাৎ PO⊥AB।

প্রমাণঃ

আমরা জানি, পরিবৃত্তস্থ কোনো বিন্দু হতে কোনো ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের ওপর অঙ্কিত লম্বত্রয়ের পাদবিন্দুগুলো সমরেখ।

এখানে, PD⊥BC, PE⊥AC এবং ED রেখাংশ Ab কে O বিন্দুতে ছেদ করায় D, E, O সমরেখ। সুতরাং O বিন্দু অবশ্যই P হতে AB এর ওপর লম্বের পাদবিন্দু হবে।

অর্থাৎ PO⊥AB (প্রমাণিত)।

৮. △ABC এর ∠C সমকোণ। C থেকে অতিভুজের উপর অঙ্কিত লম্ব CD হলে, প্রমাণ কর যে, CD²=AD.BD।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, △ABC এর ∠C=90⁰। CD, AB এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, CD²=AD.BD।

প্রমাণঃ

△ABD-এ ∠BDC=90⁰ [CD, AB এর উপর লম্ব]

CB²=CD²+BD²

বা, CD²=CB²-BD²……….(i)

একইভাবে, △ADC-এ

CD²=AC²-AD²………(ii)

এখন, (i)+(ii) করে পাই,

2CD²=AC²+CB²-BD²-AD²

বা, 2CD²=AB²-BD²-AD² [△ABC-এ ∠C=90⁰; AB²=AC²+CB²]

বা, 2CD²=(AD+BD)²-BD²-AD² [AB=AD+BD]

বা, 2CD²=AD²+BD²+2AD.BD-BD²-AD²

বা, 2CD²=2AD.BD

বা, CD²=AD.BD [প্রমাণিত]

৯. △ABC এর শীর্ষত্রয় থেকে বিপরীত বাহুগুলোর উপর লম্ব AD, BE ও CF রেখাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AO.OD=BO.OE=CO.OF।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, △ABC এর শীর্ষত্রয় থেকে বিপরীত বাহুগুলোর উপর লম্ব AD, BE ও CF রেখাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AO.OD=BO.OE=CO.OF।

প্রমাণঃ

△BOF ও △COE-এ

∠OFB=∠OEC=90⁰   [CF⊥AB, BE⊥AC]

এবং ∠BOF=∠COE [বিপ্রতীপ কোণ]

ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী।

∴ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ।

অতএব,

\frac{BO}{CO} = \frac{OF}{OE}

বা, BO.OE=CO.OF………..(i)

আবার,

△BOD ও △AOE-এ

∠ODB=∠OEA=90⁰   [AD⊥BC, BE⊥AC]

এবং ∠BOD=∠AOE [বিপ্রতীপ কোণ]

ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী।

∴ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ।

অতএব,

\frac{BO}{AO} = \frac{OD}{OE}

বা, AO.OD=BO.OE………..(ii)

এখন সমীকরণ (i) ও (ii) হতে পাই,

∴AO.OD=BO.OE=CO.OF (প্রমাণিত)

১০. AB ব্যাসের উপর অঙ্কিত অর্ধবৃত্তের দুইটি জ্যা AC ও BD পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AB²=AC.AP+BD.BP।

সমাধানঃ

 বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে,

AB ব্যাসের উপর অঙ্কিত অর্ধবৃত্তের দুইটি জ্যা AC ও BD পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AB²=AC.AP+BD.BP।

অঙ্কনঃ

A,D; B,C ও C,D যোগ করি।

প্রমাণঃ

△ABD এর ∠ADB=90⁰ [∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলে]

∴ AB²=AD²+BD²………….(i)

একইভাবে,

△ABC এ

AB²=BC²+AC²………(ii)

(i)+(ii) করে পাই,

AB²+AB²=AD²+BC²+AC²+BD²

বা, 2AB²= AD²+BC²+AC²+BD²…..(iii)

আবার,

△APD এর ∠ADB=90⁰ [∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলে]

AP²=AD²+DP²

বা, AD²=AP²-DP²

একইভাবে,

△PBC এ

PB²=BC²+PC²

বা, BC²=PB²-PC²

এখন,

AD² ও BC² এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

2AB²=AP²-DP²+PB²-PC²+AC²+BD²

বা, 2AB²=AP²-(BD-BP)²+PB²-(AC-AP)²+AC²+BD²

বা, 2AB²=AP²-(BD²+BP²-2BD.BP)+PB²-(AC²+AP²-2AC.AP)+AC²+BD²

বা, 2AB²=AP²-BD²-BP²+2BD.BP+PB²-AC²-AP²+2AC.AP+AC²+BD²

বা, 2AB²=2BD.BP+2AC.AP

বা, AB²=BD.BP+AC.AP [প্রমাণিত]

১১. কোনো সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সেমি হলে ঐ ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, O, ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, তাহলে এর ব্যাসার্ধ OA=OB=OC=3 সেমি (দেওয়া আছে)। বাহুর দৈর্ঘ্য AB=BC=CA=a (ধরি) নির্ণয় করতে হবে।

বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ঃ

AD⊥BC আঁকি যা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে। AD⊥BC হওয়ায় △ABD ও △ACD উভয়ে সমকোণী ত্রিভুজ।

△ABD ও △ACD ত্রিভুজদ্বয়ের অতিভুজ AB=অতিভুজ AC [ABC সমবাহু বলে]

এবং AD সাধারণ বাহু।

∴ △ABD ≅ △ACD

∴ BD=CD অর্থাৎ AD একটি মধ্যমা।

এখন, যেহেতু D,BC এর মধ্যবিন্দু এবং AD⊥BC সেহেতু AD অবশ্যই কেন্দ্র O দিয়ে যাবে।

অনুরুপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, B ও C শীর্ষ হতে অঙ্কিত মধ্যমা দুইটিও O বিন্দু দিয়ে যায়। সুতরাং O, △ABC এর ভরকেন্দ্র।

∴ AO : OD = 2 : 1

\frac{AO}{OD} = \frac{2}{1}

বা, OD= \frac{1}{2} AO

বা, OD = \frac{1}{2} ✕3 সেমি

বা, OD = \frac{3}{2} সেমি

এবং BD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} a সেমি

আবার, OBD সমকোণী ত্রিভুজে,

OB²=OD²+BD²

বা, (3)² = (\frac{3}{2})²+(\frac{a}{2})²

বা, 9 = \frac{9}{4} + \frac{a}{4}

বা, 36 = 9+a²  [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]

বা, a² = 36-9

বা, a²=27

বা, a = √27

বা, a = 3√3 সেমি।

বা, AB = BC = CA = 3√3 সেমি।

অর্থাৎ, প্রদত্ত ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3√3 সেমি।

১২. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A হতে ভূমি BC এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD এবং ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R হলে প্রমাণ কর যে, AB²=2R.AD।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC এ AB=AC। A হতে BC এর ওপর অঙ্কিত লম্ব AD এবং ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R। প্রমাণ করতে হবে যে, AB²=2R.AD.

অঙ্কনঃ

AD-কে বর্ধিত করি, যেন তা পরিবৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করে। C,E যোগ করি।

প্রমাণঃ

△ADC ও △ACE এ

∠ADC=∠ACE

[অর্ধবৃত্তস্থ ∠ACE=90⁰ এবং AD,BC এর ওপর লম্ব বলে ∠ADC=90⁰]

∠EAC সাধারণ কোণ।

এবং অবশিষ্ট ∠ACD=অবশিষ্ট ∠AEC.

∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী তথা সদৃশ।

অতএব,

\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AE}

 [সদৃশকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরুপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]

বা, AC²=AE.AD

বা, AB²=AE.AD……..(i)

আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABD ও ACD এর মধ্যে

অতিভুজ AB=অতিভুজ AC

AD সাধারণ বাহু।

∴ △ABD ≅ △ACD

∴ BD=CD

অর্থাৎ, AD⊥BC এবং AD,BC এর সমদ্বিখজন্ডক।

∴ AD বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।

[কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে]

∴ AE, △ABC এর পরিব্যাস।

∴AE=2R

তাহলে, (i) হতে পাই,

AB²=2R.AD (প্রমাণিত)

১৩. ABC ত্রিভুজের ∠A এর সমদ্বিখন্ডক BC কে D বিন্দুতে এবং ABC পরিবৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাও যে, AD²=AB.AC-BD.DC।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, △ABC এর ∠A এর সমদ্বিখন্ডক রেখাংশ BC কে D বিন্দুতে এবং ABC পরিবৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে,  AD²=AB.AC-BD.DC.

অঙ্কনঃ C,E যোগ করি।

প্রমাণঃ

△ABD ও △ACE-এ

∠BAD=∠CAE [AD, ∠A এর সমদ্বিখন্ডক]

এবং ∠ABD=∠AEC [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ]

অতএব, অবশিষ্ট ∠ADB=অবশিষ্ট ∠ACE

∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী।

∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।

তাহলে,

\frac{AD}{AC} = \frac{AB}{AE}

 [দুইটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]

বা, AB.AC=AD.AE……(i)

আবার, △ABD ও △CDE এ

∠ABD=∠CED [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ]

এবং ∠ADB=∠CDE [বিপ্রতীপ কোণ]

অতএব, অবশিষ্ট ∠BAD=অবশিষ্ট ∠DCE

∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী।

∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।

তাহলে,

\frac{BD}{DE} = \frac{AD}{DC}

 [দুইটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]

বা, AD.DE=BD.DC…..(ii)

এখন, সমীকরণ (i) হতে পাই,

AB.AC=AD.AE

বা, AB.AC =AD(AD+DE)

বা, AB.AC =AD.AD+AD.DE

বা, AB.AC =AD²+AD.DE

বা, AD²=AB.AC-AD.DE

বা, AD²=AB.AC-BD.DC [সমীকরণ (ii) হতে মান বসিয়ে]

অর্থাৎ, AD²=AB.AC-BD.DC (দেখানো হলো)    

১৪. ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব। দেখাও যে, △ABC : △AEF = AB² : AE²।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব। E,F যোগ করি। দেখাতে হবে যে, △ABC : △AEF = AB² : AE²।

প্রমাণঃ

∠BEC=∠BFC=এক সমকোণ   [AC ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব]

যেহেতু কোণ দুইটি BC এর একই পাশে অবস্থিত সেহেতু B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

∴ BCEF চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ।

এখন, △ABC ও △AEF এর মধ্যে

∠AEF=∠ABC

এবং ∠AFE=∠ACB

[বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ বিপরীত অন্তঃস্থকোণের সমান]

∠A সাধারন কোণ।

∴ △ABC ও △AEF সদৃশ

তাহলে,

\frac{△ABC }{△AEF } = \frac{AB²}{ AE²}

বা, △ABC : △AEF = AB² : AE² (দেখানো হলো)

১৫. △PQR এ PM, QN ও RS মধ্যমাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ক) O বিন্দুটির নাম কী? O বিন্দু PM কে কী অনুপাতে বিভক্ত করে?

সমাধানঃ

O বিন্দুটির নাম হলো ভরকেন্দ্র।

O বিন্দু PM কে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

খ) △PQR হতে PQ²+PR²=2(PM²+QM²) সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত কর।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, △PQR-এ PM, QN, RS মধ্যমাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করে। PQ²+PR²=2(PM²+QM²) সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠা করতে হবে।

অঙ্কনঃ

P হতে OR এর উপর PD লম্ব আঁকি।

সম্পর্ক প্রতিষ্ঠাঃ

△PQM-এ ∠PMQ সূক্ষ্মকোণ

∴ PQ²=PM²+QM²-2QM.DM…..(i)

[সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি হতে]

আবার, △PMR-এ ∠PMR স্থূলকোণ

∴ PR²=PM²+MR²+2MR.DM…..(ii)

[স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি হতে]

(i)+(ii) করে পাই,

PQ²+ PR²= PM²+QM²-2QM.DM+PM²+MR²+2MR.DM

      =(PM²+PM²)+(QM²+MR²)-2QM.DM+2MR.DM

      =(PM²+PM²)+(QM²+QM²)-2QM.DM+2QM.DM  [মধ্যমা বলে QM=MR]

      =2PM²+2QM²

      =2(PM²+QM²)

∴ PQ²+PR²=2(PM²+QM²) সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত হলো।

গ) দেখাও যে, △PQR এর বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি O বিন্দু হতে শীর্ষবিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টির তিনগুণ।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, △PQR-এ PM, QN, RS মধ্যমাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাতে হবে যে, PQR এর বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি O বিন্দু হতে শীর্ষবিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টির তিনগুণ অর্থাৎ PQ²+PR²+QR²=3(OP²+OR²+OQ²)

প্রমাণঃ 

খ হতে পাই,

PQ²+PR²=2(PM²+QM²)

বা, PQ²+PR²=2PM²+2QM²

বা, PQ²+PR²=2PM²+2. \frac{1}{2}.QR)²  [M, QR এর মধ্যবিন্দু বলে; কারন PM মধ্যমা]

বা, PQ²+PR²=2PM²+2.\frac{1}{4}.QR²

বা, PQ²+PR²=2PM²+ \frac{1}{2} QR²…….(i)

অনুরুপভাবে পাই,

PQ²+QR²=2QN²+ \frac{1}{2}.PR²…….(ii)

এবং,

QR²+PR²=2SR²+ \frac{1}{2}PQ²…….(iii)

(i)+(ii)+(iii) করে পাই,

 PQ²+PR²+ PQ²+QR²+QR²+PR²=2PM²+ \frac{1}{2}QR²+2QN²+ \frac{1}{2}.PR²+2SR²+ \frac{1}{2}PQ²

বা, 2(PQ²+QR²+PR²)=2(PM²+QN²+SR²)+ \frac{1}{2}(PQ²+QR²+PR²)

বা,  4(PQ²+QR²+PR²)=4(PM²+QN²+SR²)+(PQ²+QR²+PR²) [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে]

বা, 4(PQ²+QR²+PR²)- (PQ²+QR²+PR²)= 4(PM²+QN²+SR²)

বা, 3(PQ²+QR²+PR²)=4(PM²+QN²+SR²)

বা, 3(PQ²+QR²+PR²)=4PM²+4QN²+4SR²…..(iv)

আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো সম্পাত বিন্দুতে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

অতএব,

\frac{PO}{OM} = \frac{2}{1}

বা, \frac{OM}{PO} = \frac{1}{2}

বা, \frac{OM + PO}{PO} = \frac{1 + 2}{2}         [যোজন করে]

বা, \frac{PM}{PO} = \frac{3}{2}        

বা, 2PM=3PO

বা, 4PM²=9PO²

একইভাবে, 4QN²=9QO²; 4SR²=9OR²

এই মানগুলো (iv) নং এ বসিয়ে পাই,

3(PQ²+QR²+PR²)= 9PO²+9QO²+9OR²

বা, 3(PQ²+QR²+PR²)= 9(PO²+QO²+OR²)

বা, (PQ²+QR²+PR²)= 3(PO²+QO²+OR²) [দেখানো হলো]

১৬. নিচের চিত্রে S, O যথাক্রমে △ABC এর পরিকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু। AP মধ্যমা, BC=a, AC=b এবং AB=c।

ক) OA এবং SP এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের লম্ব বিন্দু থেকে শীর্ষের দূরত্ব ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র থেকে ঐ শীর্ষের বিপরীত বাহুর দূরত্বের দ্বিগুণ।  △ABC এর লম্ব বিন্দু O থেকে A শীর্ষের দূরত্ব OA এবং পরিকেন্দ্র S থেকে A শীর্ষের বিপরীত বাহু  BC এর দূরত্ব SP.

∴ OA=2SP

ইহাই OA ও SP এর মধ্যে সম্পর্ক।

খ) দেখাও যে, S, G, O একই সরল রেখায় অবস্থিত।

সমাধানঃ

চিত্রে S হলো △ABC এর পরিকেন্দ্র এবং O হলো △ABC এর লম্ববিন্দু। AP হলো ত্রিভুজটির একটি মধ্যমা। S,O এর সংযোগ রেখা SO এবং AP পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে G বিন্দু ভরকেন্দ্র হলে S, G, O একই সরল রেখায় অবস্থিত হবে।

এখন, ক হতে পাই, OA=2SP.

এখন যেহেতু AD ও SP উভয়ই BC এর ওপর লম্ব সেহেতু AD।।SP.

এখন AD।।SP এবং AP এদের ছেদক।

∴ ∠PAD=∠APS [একান্তর কোণ]

অর্থাৎ, ∠OAG=∠SPG.

এখন, △AGO এবং △PGS এর মধ্যে

∠OAG=∠SPG [একান্তর কোণ]

∠AGO=∠PGS [বিপ্রতীপ্ কোণ]

∴ অবশিষ্ট ∠AOG=অবশিষ্ট ∠PSG

∴ △AGO এবং △PGS সদৃশকোণী।

সুতরাং,

\frac{AG}{GP} = \frac{OA}{SP}    

বা, \frac{AG}{GP} = \frac{2SP}{SP}      [(i) নং হতে]

বা, AG : GP = 2 : 1

অর্থাৎ G বিন্দু  AP মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করেছে।

∴ G বিন্দু △ABC এর ভরকেন্দ্র।

অর্থাৎ S, G, O একই সরলরেখায় অবস্থিত (দেখানো হলো)

গ) ∠C সূক্ষ্মকোণ হলে, a.CD=b.CE সমীকরণটি প্রতিষ্ঠিত কর।

সমাধানঃ

AD⊥BC হওয়ায় △ABC এর ∠ACB সূক্ষ্মকোণ এবং CD, BC বাহুতে AC বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ।

∴ AB²=AC²+BC²-2BC.CD……(i)

এবং CE, AC বাহুতে BC বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ।

∴ AB²=BC²+AC²-2AC.CE……(ii)

(i) ও (ii) নং হতে পাই,

AC²+BC²-2BC.CD=BC²+AC²-2AC.CE

বা, -2BC.CD=-2AC.CE

বা, BC.CD=AC.CE

বা, a.CD=b.CE [সমীকরণটি প্রতিষ্ঠিত হলো]