Class 9 10 math solution exercise 3.5
বাস্তব সমস্যা সমাধানে বীজগাণিতিক সূত্র গঠন ও প্রয়োগ :
দৈনন্দিন কাজে বিভিন্ন সময়ে বিভিন্নভাবে আমরা বাস্তব সমস্যার সম্মুখীন হই। এই সমস্যাগুলো ভাষাগতভাবে বর্ণিত হয়। এ সমস্যা সমাধানে বীজগাণিতিক সূত্র গঠন এবং তা প্রয়োগ করার বিভিন্ন পদ্ধতি অবলম্বন করি।
সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি :
(ক) প্রথমেই সতর্কতার সাথে সমস্যাটি পর্যবেক্ষণ করে এবং মনোযোগ সহকারে পড়ে কোনগুলো অজ্ঞাত এবং কী নির্ণয় করতে হবে তা চিহ্নিত করতে হবে।
(খ) অজ্ঞাত রাশিগুলোর একটিকে যেকোনো চলক (ধরি x) দ্বারা সূচিত করতে হবে। অতঃপর সমস্যাটি ভালোভাবে অনুধাবন করে অন্যান্য অজ্ঞাত রাশিগুলোকেও একই চলক x এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে।
(গ) সমস্যাকে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশে বিভক্ত করে বীজগাণিতিক রাশি দ্বারা প্রকাশ করতে হবে।
(ঘ) প্রদত্ত শর্ত ব্যবহার করে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশগুলোকে একত্রে একটি সমীকরণে প্রকাশ করতে হবে।
(ঙ) সমীকরণটি সমাধান করে অজ্ঞাত রাশি x এর মান নির্ণয় করতে হবে।
বাস্তব সমস্যা সমাধানে বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করা হয়। সূত্রগুলো নিচে উল্লেখ করা হলো :
(১) দেয় বা প্রাপ্য বিষয়ক :
দেয় বা প্রাপ্য, A = qn টাকা
যেখানে, q = জনপ্রতি দেয় বা প্রাপ্য টাকার পরিমাণ
n = লোকের সংখ্যা
(২) সময় ও কাজ বিষয়ক :
কয়েকজন লোক একটি কাজ সম্পন্ন করলে, কাজের পরিমাণ, W = qnx
যেখানে, q = প্রত্যেকে একক সময়ে কাজের যে অংশ সম্পন্ন করে
n = কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা
x = কাজের মোট সময়
W = n জনে x সময়ে কাজের যে অংশ সম্পন্ন করে
(৩) সময় ও দূরত্ব বিষয়ক :
নির্দিষ্ট সময়ে দূরত্ব, d = vt
যেখানে, v = প্রতি ঘণ্টায় গতিবেগ
t = মোট সময়
(৪) নল ও চৌবাচ্চা বিষয়ক :
নির্দিষ্ট সময়ে চৌবাচ্চায় পানির পরিমাণ, Q(t) = Q0 ± qt
যেখানে, Q0 = নলের মুখ খুলে দেওয়ার সময় চৌবাচ্চায় জমা পানির পরিমাণ।
q = প্রতি একক সময়ে নল দিয়ে যে পানি প্রবেশ করে অথবা বের হয়।
t = অতিক্রান্ত সময়।
Q(t) = t সময়ে চৌবাচ্চায় পানির পরিমাণ (পানি প্রবেশ হওয়ার শর্তে ‘+’ চিহ্ন এবং পানি বের হওয়ার শর্তে ‘Ñ’ চিহ্ন ব্যবহার করতে হবে।)
(৫) শতকরা অংশ বিষয়ক :
p = br
যেখানে, b = মোট রাশি; r = শতকরা ভগ্নাংশ =\[\frac{s}{100}\] = s%; p = শতকরা অংশ = b এর s%
(৬) লাভ-ক্ষতি বিষয়ক :
S= C(I ± r)
লাভের ক্ষেত্র, S = C(I + r)
ক্ষতির ক্ষেত্রে, S = C(I – r)
যেখানে, S (টাকা) = বিক্রয়মূল্য; C (টাকা) = ক্রয়মূল্য; I = লাভ বা মুনাফা; r = লাভ বা ক্ষতির হার
(৭) বিনিয়োগ-মুনাফা বিষয়ক :
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে, I = Pnr টাকা
A = P + I = P+Pnr = P(1+nr) টাকা
চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে, A = P(I + r)^n
যেখানে, I = n সময় পরে মুনাফা; n = নির্দিষ্ট সময়; P = মূলধন; r = একক সময়ে একক মূলধনের মুনাফাদ; A = n সময় পরে মুনাফাসহ মূলধন।
১. f(x)= \[ x^2-4x+4\] হলে, f(2) এর মান নিচের কোনটি?
ক) 4
খ) 2
গ) 1
ঘ) 0
উত্তরঃ ঘ
২. \[ \frac{1}{2}{(a+b)^2-(a-b)^2} \] এর মান নিচের কোনটি?
ক) \[ 2(a^2+b^2) \]
খ) \[ a^2+b^2 \]
গ) 2ab
ঘ) 4ab
উত্তরঃ গ
৩. \[ x + \frac{2}{x} =3 \] হলে, \[ x^3 + \frac{8}{x^3} \] এর মান কত?
ক) 1
খ) 8
গ) 9
ঘ) 16
উত্তরঃ গ
৪. \[ p^4+p^2+1 \] এর উৎপাদকে বিশ্লেষায়িত রূপ নিচের কোনটি?
ক) \[ (p^2-p+1)(p^2+p-1) \]
খ) \[ (p^2-p-1)(p^2+p+1) \]
গ) \[ (p^2+p+1)(p^2+p+1) \]
ঘ) \[ (p^2-p-1)(p^2-p+1) \]
উত্তরঃ ঘ
৫. যদি \[ x = 2 – \sqrt{3} \] হয়, \[ x^3 \] তবে এর মান কত?
ক) 1
খ) \[ 7-4\sqrt{3} \]
গ) \[ 2+\sqrt{3}\]
ঘ) \[ 1/(2-\sqrt{3})\]
উত্তরঃ খ
৬. \[ f(x)=x^2-5x+6 \] এবং f(x)=0 হলে x=কত?
ক) 2,3
খ) -5,1
গ) -2,3
ঘ) 1,-5
উত্তরঃ ক
৭. \[ 9x^2+16y^2 \] এর সাথে কত যোগ করলে পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
ক) 6xy
খ) 12xy
গ) 24xy
ঘ) 144xy
উত্তরঃ গ
\[ x^4-x^2+1 = 0 \] হলে, নিচের ৮-১০ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
৮. \[ x^2 + \frac{1}{x^2} \]এর মান কত?
ক) 4
খ) 2
গ) 1
ঘ) 0
উত্তরঃ গ
৯. \[ (x+ \frac{1}{x})^2 \]এর মান কত?
ক) 4
খ) 3
গ) 2
ঘ) 0
উত্তরঃ খ
১০. \[ x^3 + \frac{1}{x^3}\]এর মান কত?
ক) 3
খ) 2
গ) 1
ঘ) 0
উত্তরঃ ঘ
১১. \[ a^2+b^2=9 \] এবং ab = 3 হলে
(i) \[ (a-b)^2=3 \]
(ii) \[ (a+b)^2=15 \]
(iii) \[ a^2+b^2+a^2b^2=18\]
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii
খ) i, iii
গ) ii,iii
ঘ) i, ii, iii
উত্তরঃ ঘ
১২. \[ 3a^5-6a^4+3a+14 \]একটি বীজগাণিতিক রাশি হলে-
(i) রাশিটির চলক a
(ii) রাশিটির মাত্রা 5
(iii) a4 এর সহগ 6
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii
খ) i, iii
গ) ii,iii
ঘ) i, ii, iii
উত্তরঃ ঘ
১৩. \[ p^3 – \frac{1}{64} \]এর উৎপাদক-
(i) \[ p -\frac{1}{4} \]
(ii) \[ p^2 + \frac{P}{4} + \frac{1}{8} \]
(iii) \[ p^2 + \frac{P}{4} +\frac{1}{16} \]
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii
খ) i, iii
গ) ii,iii
ঘ) i, ii, iii
উত্তরঃ খ
১৪. ক একটি কাজ p দিনে করে এবং খ 2p দিনে করে। তারা একটি কাজ আরম্ভ করে এবং কয়েকদিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকি কাজটুকু খ r দিনে শেষ করে। কাজটি কত দিনে শেষ হয়েছিল?
সমাধানঃ
মনে করি, সম্পূর্ণ কাজ x ।
ক p দিনে করে x অংশ কাজ
∴ 1 “ “ \[ \frac{x}{p}\]
খ 2p দিনে করে x অংশ কাজ
∴ 1 “ “ \[ \frac{x}{2p}\]
∴ r “ “ \[ \frac{xr}{2p}\]
ক ও খ একত্রে 1 দিনে করে = \[ \frac{x}{2p}\] + \[ \frac{xr}{2p}\]
= \[ \frac{2x + x}{2p}\]
= \[ \frac{3x}{2p}\]
∴ খ r দিন কাজ করায় কাজের বাকি থাকে = \[ (x – \frac{xr}{2p})\]
অর্থাৎ, কাজটির \[ (x – \frac{xr}{2p})\] অংশ ক ও খ একত্রে করে।
এখন, ক ও খ একত্রে \[ \frac{3x}{2p}\] অংশ করে 1 দিনে
∴ ” ” 1 ” ” \[ \frac{2p}{3x}\] দিনে
∴ ” ” \[ (x – \frac{xr}{2p})\] ” ” \[ \frac{2p}{3x}\] \[ (x – \frac{xr}{2p})\] দিনে
= \[ \frac{2p}{3x}\] × x \[ (1 – \frac{r}{2p})\] দিনে
= \[ \frac{2p}{3}\] \[ (1 – \frac{r}{2p})\] দিনে
∴ কাজটি শেষ হয়েছিল = {r + \[ \frac{2p}{3} \] \[ (1 – \frac{r}{2p})\]}
= {r + \[ \frac{2p}{3} – \frac{2p}{3} × \frac{r}{2p} \]
= {r + \[ \frac{2p}{3} – \frac{r}{3} \]
= \[ \frac{3r + 2p – r}{3} \]
= \[ \frac{2r + 2p}{3} \]
= \[ \frac23(p + r) \]
প্রশ্ন \ ২৩ \ দৈনিক 8 ঘণ্টা পরিশ্রম করে 50 জন লোক একটি কাজ 12 দিনে করতে পারে। দৈনিক কত ঘণ্টা পরিশ্রম করে 60 জনে 16 দিনে ঐ কাজটি করতে পারবে?
সমাধান : আমরা জানি, কয়েকজন লোক একটি কাজ সম্পন্ন করলে,
কাজের পরিমাণ, W = qnx
যেখানে, q = প্রত্যেকে একক সময়ে কাজের যে অংশ সম্পন্ন করে
n = কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা
x = কাজের মোট সময়
W= n জনে x সময়ে কাজের যে অংশ সম্পন্ন করে
মনে করি, দৈনিক 8 ঘণ্টা পরিশ্রম করে 50 জন লোক যে কাজটি 12 দিনে করতে পারে দৈনিক x ঘণ্টা পরিশ্রম করে 60 জনে 16 দিনে ঐ কাজটি করতে পারে।
প্রত্যেকের একক সময়ে সম্পন্ন কাজের পরিমাণ q হলে,
q × 50 ×12 × 8 = q × 60 ×x × 16
বা, 4800 = x × 960
বা, x = \[\frac{4800}{960}\]
⸫ x = 5
⸫ দৈনিক 5 ঘণ্টা পরিশ্রম করে 60 জনে 16 দিনে ঐ কাজটি করতে পারে। (Ans.)
প্রশ্ন \ ২৪ \ মিতা একটি কাজ x দিনে করতে পারে। রিতা সে কাজ y দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কত দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?
সমাধান : মনে করি, মিতা ও রিতা একত্রে ফ দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে।
মিতা x দিনে করতে পারে 1 অংশ
⸫ “ 1 “ “ “ \[\frac{1}{x}\] “
⸫ “ d “ “ “ \[\frac{d}{x}\] “
রিতা y দিনে করতে পারে 1 অংশ
⸫ “ 1 “ “ “ \[\frac{1}{y}\] “
⸫ “ d “ “ “ \[\frac{d}{y}\] “
প্রশ্নানুসারে, \[\frac{d}{x}\] + \[\frac{d}{y}\] = ১ [⸪ সম্পূর্ণ কাজ 1 অংশ]
বা, d(\[\frac{1}{x}\] + \[\frac{1}{y}\]) = 1
বা, d(\[\frac{x + y}{xy}\]) = 1
বা, d = \[\frac{1}{\frac{x + y}{x}}\] = 1 × \[\frac{xy}{x + y}\]
⸫ d = \[\frac{xy}{x + y}\]
সুতরাং তারা একত্রে \[\frac{xy}{x + y}\] দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে। (Ans.)
প্রশ্ন \ ২৫ \ বনভোজনে যাওয়ার জন্য 5700 টাকায় একটি বাস ভাড়া করা হলো এবং শর্ত হলো যে, প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে। 5 জন যাত্রী না যাওয়ায় মাথাপিছু ভাড়া 3 টাকা বৃদ্ধি পেল। বাসে কতজন যাত্রী গিয়েছিল?
সমাধান : মনে করি, বাসে যাওয়া যাত্রী সংখ্যা x জন
⸫ মাথাপিছু ভাড়া হবে \[\frac{5700}{x}\] টাকা
আবার, ৫ জন যাত্রী উপস্থিত থাকলে যাত্রীর সংখ্যা হতো (x + 5) জন
⸫ এক্ষেত্রে মাথাপিছু ভাড়া হতো \[\frac{5700}{x + 5}\] টাকা।
প্রশ্নমতে, \[\frac{5700}{x}\] – \[\frac{5700}{x + 5}\] = 3
বা, 5700(\[\frac{1}{x}\] – \[\frac{1}{x + 5}\]) = 3
বা, \[\frac{1}{x}\] – \[\frac{1}{x + 5}\] = \[\frac{3}{5700}\]
বা, \[\frac{x + 5 – x}{x(x + 5)}\] = \[\frac{1}{1900}\]
বা, \[\frac{5}{x(x + 5)}\] = \[\frac{1}{1900}\]
বা, x(x + 5) = 5 × 1900
বা, x2 + 5x = 9500
বা, x2 + 5x – 9500 = 0
বা, x2 + 100x – 95x – 9500 = 0
বা, x(x + 100) – 95(x + 100) = 0
বা, (x + 100) (x – 95) = 0
হয়, x + 100 = 0 অথবা, x – 95 = 0
⸫ x = -100 ⸫ x = 95
যেহেতু x যাত্রীসংখ্যা নির্দেশ করে তাই x কখনই ঋণাত্মক হতে পারে না।
⸫ x = 95
অর্থাৎ, বাসে 95 জন যাত্রী গিয়েছিল।
প্রশ্ন \ ২৬ \ একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে p ঘণ্টায় d কি.মি. যেতে পারে। স্রোতের অনুকূলে ঐ পথ যেতে তার q ঘণ্টা লাগে। স্রোতের বেগ ও নৌকার বেগ কত?
সমাধান : মনে করি, স্রোতের বেগ ঘণ্টায় v কি.মি. এবং স্থির পানিতে নৌকার বেগ ঘণ্টায় u কি.মি.।
তাহলে, স্রোতের অনুক‚লে নৌকার কার্যকরী বেগ ঘণ্টায় (u + v) কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিক‚লে নৌকার কার্যকরী বেগ ঘণ্টায় (u – v) কি.মি.
প্রশ্নানুসারে, u + v = \[\frac{d}{q}\] —————- (i)
যেহেতু, বেগ = \[\frac{অতিক্রান্ত দূরত্ব}{সময়}\]
এবং u – v = \[\frac{d}{p}\] —————- (i)
সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
2u = \[\frac{d}{q}\] + \[\frac{d}{p}\]
= d(\[\frac{1}{q}\] + \[\frac{1}{p}\])
⸫ u = \[\frac{d}{2}\](\[\frac{1}{q}\] + \[\frac{1}{p}\])
সমীকরণ (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,
2v = \[\frac{d}{q}\] – \[\frac{d}{p}\]
= d(\[\frac{1}{q}\] – \[\frac{1}{p}\])
⸫ v = \[\frac{d}{2}\](\[\frac{1}{q}\] – \[\frac{1}{p}\])
সুতরাং, স্রোতের বেগ ঘণ্টায় \[\frac{d}{2}\](\[\frac{1}{q}\] + \[\frac{1}{p}\]) কি.মি.
এবং নৌকার বেগ ঘণ্টায় \[\frac{d}{2}\](\[\frac{1}{q}\] – \[\frac{1}{p}\]) কি.মি. (Ans.)
প্রশ্ন \ ২৭ \ একজন মাঝির দাঁড় বেয়ে 15 কি.মি. যেতে এবং সেখান থেকে ফিরে আসতে 4 ঘণ্টা সময় লাগে। সে স্রোতের অনুকূলে যতক্ষণে 5 কি.মি. যায়, স্রোতের প্রতিকূলে ততক্ষণে 3 কি.মি. যায়। দাঁড়ের বেগ ও স্রোতের বেগ নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, দাঁড়ের বেগ ঘণ্টায় u কি.মি এবং স্রোতের বেগ ঘণ্টায় v কি.মি.
তাহলে, স্রোতের অনুক‚লে বেগ ঘণ্টায় (u + v) কি.মি.
এবং স্রোতের প্রতিক‚লে বেগ ঘণ্টায় (u – v) কি.মি.
⸫ ১ম শর্তানুসারে, \[\frac{15}{u + v}+ \frac{15}{u – v} \] = 4 ————- (i)
২য় শর্তানুসারে, \[\frac{5}{u + v} = \frac{3}{u – v} \] —————— (ii)
সমীকরণ (ii) হতে পাই,
\[\frac{5}{u + v} = \frac{3}{u – v} \]
বা, 5(u – v) = 3(u + v)
বা, 5u – 5v = 3u + 3v
বা, 5u – 3u = 5v + 3v
বা, 2u = 8v
বা, u = \[\frac{8}{2}v\]
⸫ u = 4v ——————- (iii)
এখন, u এর মান সমীকরণ (i)-এ বসিয়ে পাই,
\[\frac{15}{4v + v}+ \frac{15}{4v – v} \] = 4
বা, \[\frac{15}{5v}+ \frac{15}{3v} \] = 4
বা, \[\frac{3}{v}+ \frac{5}{v} \] = 4
বা, \[\frac{3 + 5}{v} \] = 4
বা, \[\frac{8}{v} \] = 4
⸫ v = \[\frac{8}{4} \] = ২
এখন, v এর মান সমীকরণ (iii)-এ বসিয়ে পাই, u = 4 × 2 = 8
অর্থাৎ, দাঁড়ের বেগ ঘণ্টায় 8 কি.মি.এবং স্রোতের বেগ ঘণ্টায় ২ কি.মি (Ans.)
প্রশ্ন \ ২৮ \ একটি চৌবাচ্চায় দুইটি নল সংযুক্ত আছে। প্রথম নল দ্বারা চৌবাচ্চাটি t1 মিনিটে পূর্ণ হয় এবং দ্বিতীয় নল দ্বারা t2 মিনিটে খালি হয়। নল দুইটি একত্রে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে? (এখানে t1 > t2)
সমাধান : মনে করি, প্রথম নল দ্বারা প্রতি মিনিটে p লিটার পানি প্রবেশ করে ও দ্বিতীয় নল দ্বারা q লিটার পানি বের হয় এবং চৌবাচ্চাটিতে মোট v লিটার পানি ধরে।
ধরি, নল দুইটি একত্রে খোলা থাকলে খালি চৌবাচ্চা t মিনিটে পূর্ণ হয়।
প্রথম নল দ্বারা t1 মিনিটে খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়।
⸫ v = pt1 ———————— (i)
দ্বিতীয় নল দ্বারা t2 মিনিটে পূর্ণ চৌবাচ্চা খালি হয়।
0 = v – qt2
বা, v = qt2 ———————— (ii)
দুইটি নল দ্বারা t মিনিটে খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়।
v = pt – qt
বা, v = (p – q) t ———————– (iii)
(i) থেকে, p = \[\frac{v}{ t1}\]
(ii) থেকে, q = \[\frac{v}{ t2}\]
⸫ (iii) থেকে v = (\[\frac{v}{ t1}\] – \[\frac{v}{ t2}\])t
বা, v = v(\[\frac{1}{ t1}\] – \[\frac{1}{ t2}\])t
বা, 1 = (\[\frac{1}{ t1}\] – \[\frac{1}{ t2}\])t
বা, 1 = (\[\frac{ t2 – t1}{t1 t2}\])t
⸫ t = \[\frac{ t1 t2}{t2 – t1}\]
নির্ণেয় সময় \[\frac{ t1 t2}{t2 – t1}\] মিনিট (Ans.)
প্রশ্ন \ ২৯ \ একটি নল দ্বারা 12 মিনিটে একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়। অপর একটি নল দ্বারা 1 মিনিটে তা থেকে 15 লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসঙ্গে খুলে দেওয়া হয় এবং চৌবাচ্চাটি 48 মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?
সমাধান : মনে করি, প্রথম নল দ্বারা প্রতি মিনিটে p লিটার পানি প্রবেশ করে এবং চৌবাচ্চাটিতে মোট q লিটার পানি ধরে।
প্রশ্নানুসারে, প্রথম নল দ্বারা 12 মিনিটে খালি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়
⸫ q = 12p —————————– (i)
আবার, দুইটি নল দ্বারা 48 মিনিটে খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়
⸫ q = 48p – 48 × 15 ———————- (ii)
সমীকরণ (i) থেকে পাই, p = \[\frac{q}{12}\]
এখন, p এর মান সমীকরণ (ii)-এ বসিয়ে পাই,
q = 48 × \[\frac{q}{12}\] – 48 ×15
বা, q = 4q – 48 × 15
বা, 4q – q = 48 ×15
বা, 3q = 48 × 15
⸫ q = \[\frac{48 × 15}{3}\] = 240
সুতরাং, চৌবাচ্চাটিতে মোট 240 লিটার পানি ধরে। (Ans.)
প্রশ্ন \ ৩০ \ একটি কলম 11 টাকায় বিক্রয় করলে 10% লাভ হয়। কলমটির ক্রয়মূল্য কত?
সমাধান : মনে করি, কলমটির ক্রয়মূল্য C টাকা
10% লাভে কলমটির বিক্রয়মূল্য = C + C এর 10%
= C + C × \[\frac{10}{100}\] টাকা
= C(1 + \[\frac{10}{100}\]) টাকা
= C(1 + \[\frac{1}{10}\]) টাকা
প্রশ্নানুসারে, C(1 + \[\frac{1}{10}\]) = 11
বা, C(\[\frac{10 + 1}{10}\]) = 11
বা, C(\[\frac{11}{10}\]) = 11
বা, C = \[\frac{11 × 10}{10}\]
⸫ C = 10
অর্থাৎ, কলমটির ক্রয়মূল্য 10 টাকা। (Ans.)
প্রশ্ন \ ৩১ \ একটি খাতা 36 টাকায় বিক্রয় করায় যত ক্ষতি হলো, 72 টাকায় বিক্রয় করলে তার দ্বিগুণ লাভ হতো, খাতাটির ক্রয়মূল্য কত?
সমাধান : মনে করি, খাতাটির ক্রয়মূল্য x টাকা
তাহলে, খাতাটি 36 টাকায় বিক্রয় করায় ক্ষতি হলো (x – 36) টাকা
এবং 72 টাকায় বিক্রয় করায় লাভ হলো (72 – x) টাকা
প্রশ্নানুসারে, 72 – x = 2.(x – 36)
বা, 72 – x = 2x – 72
বা, 2x – 72 = 72 – x
বা, 2x + x = 72 + 72
বা, 3x = 144
বা, x = \[\frac{144}{3}\]
⸫ x = 48
সুতরাং, খাতাটির ক্রয়মূল্য 48 টাকা (Ans.)
প্রশ্ন \ ৩২ \ ক, খ ও গ এর মধ্যে 260 টাকা এরূপে ভাগ করে দাও যেন ক এর অংশের 2 গুণ, খ এর অংশের 3 গুণ এবং গ এর অংশের 4 গুণ পরস্পর সমান হয়।
সমাধান : মনে করি, ক অংশ x টাকা, খ অংশ y টাকা এবং গ অংশ z টাকা
প্রশ্নানুসারে, 2x = 3y = 4z
এখানে, 2x = 3y
বা, y = \[\frac{2}{3}x\]
আবার, 4z = 2x
বা, z = \[\frac{2}{4}x\]
⸫ z = \[\frac{1}{2}x\]
এখন, x + y + z = 260
বা, x + \[\frac{2}{3}x\] + \[\frac{1}{2}x\] = 260
বা, \[\frac{6x + 4x + 3x}{6}\] = 260
বা, \[\frac{13x}{6}\] = 260
বা, 13x = 6 × 260
বা, x = \[\frac{6 × 260}{13}\]
⸫ x = 120
অতএব, ক পাবে ১২০ টাকা, খ পাবে ২৩, ১২০ টাকা বা ৮০ টাক এবং গ পাবে টাকা বা ৬০ টাকা (Ans.)
প্রশ্ন \ ৩৩ \ একটি দ্রব্য x% ক্ষতিতে বিক্রয় করলে যে মূল্য পাওয়া যায়, 3x% লাভে বিক্রয় করলে তার চেয়ে 1 টাকা বেশি পাওয়া যায়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত ছিল?
সমাধান : মনেকরি, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য C টাকা
⸫ x% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (C – C এর x%) টাকা
= ( C – C × \[\frac{x}{100}\]) টাকা
= ( C – \[\frac{Cx}{100}\]) টাকা
এবং 3x% লাভে বিক্রয়মূল্য (C + C এর 3x%) টাকা
= ( C + C × \[\frac{3x}{100}\]) টাকা
= ( C +\[\frac{3Cx}{100}\]) টাকা
প্রশ্নমতে, ( C +\[\frac{3Cx}{100}\]) – ( C – \[\frac{Cx}{100}\]) = 18x
বা, C +\[\frac{3Cx}{100}\] – C + \[\frac{Cx}{100}\] = 18x
বা, \[\frac{3Cx}{100}\] + \[\frac{Cx}{100}\] = 18x
বা, \[\frac{Cx}{100}(3 + 1)\] = 18x
বা, \[\frac{Cx}{100} × 4 \] = 18x
বা, \[\frac{Cx}{25} \] = 18x
বা, C = \[\frac{25 × 18x}{x} \]
⸫ x = 450
অতএব, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য 450 টাকা। (Ans.)
প্রশ্ন \ ৩৪ \ মুনাফার একই হারে 300 টাকার 4 বছরের সরল মুনাফা ও 400 টাকার 5 বছরের সরল মুনাফা একত্রে 148 টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?
সমাধান : মনে করি, শতকরা মুনাফার হার r%
এখানে, মূলধন (P) = ৩০০ টাকা, সময় (n) = ৪ বছর
আমরা জানি, I = Pnr
তাহলে, ১ম শর্তানুসারে I1 = Pnr = 300.4. r = 1200r
এবং ২য় শর্তানুসারে, I2 = Pnr
= 400.5.r [⸪P = 400 টাকা n = 5 বছর]
= 2000r
প্রশ্নানুসারে, 1200r + 2000r = 148 [ I1 + I2 = 148]
বা, (1200 + 2000)r = 148
বা, 3200r = 148
বা, r = \[\frac{148}{3200}\]
বা, r = \[\frac{148 × 100}{3200}\]%
⸫ r = 4.625 %
সুতরাং মুনাফার হার 4.625 % (Ans.)
