SSC/Class 9-10 math solutions || Exercise 3.5 part 2
প্রশ্ন \ ৩৫ \ 4% হার মুনাফায় কোনো টাকার 2 বছরের মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য 1 টাকা হলে, মূলধন কত?
সমাধান : মনে করি, মূলধন = P টাকা
এখানে, n = 2 বছর
r = 4%
আমরা জানি, সরল মুনাফার ক্ষেত্রে I = Pnr = P × 2 × 4%
= P × 2 × \[\frac{4}{100}\] টাকা = \[\frac{2P}{25}\] টাকা
চক্রবৃদ্ধির ক্ষেত্রে সবৃদ্ধিমূল C হলে, C = P(\[1 + r \])^2
= P(\[1 + \frac{4}{100}\])^2 = P(\[ 1 + \frac{1}{25} \])^2
= P(\[ \frac{25 +1}{25} \])^2 = \[ \frac{676P}{625} \]
∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = সবৃদ্ধিমূল – মূলধন
= \[ \frac{676P}{625} \] – P
= P(\[ \frac{676}{625} \] – 1)
= P(\[ \frac{676 – 625}{625} \])
= (\[ \frac{51}{625}P \])
প্রশ্নানুসারে, \[ \frac{51}{625}P \] – \[\frac{2P}{25}\] = 1
বা, \[ \frac{51P – 50P}{625}P \] = 1
বা, \[ \frac{P}{625}P \] = 1
∴ P = 625
অর্থাৎ, মূলধন 625 টাকা। (Ans.)
প্রশ্ন \ ৩৬ \ কোনো আসল 3 বছরে সরল মুনাফাসহ 460 টাকা এবং 5 বছরে সরল মুনাফাসহ 600 টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?
সমাধান : আমরা জানি, A = P(I + nr) টাকা
যেখানে, n = নির্দিষ্ট সময়
P = মূলধন
r = একক সময়ে একক মূলধনের মুনাফা
A = n সময় পরে মুনাফাসহ মূলধন
১ম শর্তানুসারে, A = P(1 + 3r) = 460 ———————- (i)
২য় শর্তানুসারে, A = P(1 + 5r) = 600 ———————- (ii)
সমীকরণ (ii) কে (i) দ্বারা ভাগ করে পাই,
\[\frac{P(1 + 5r)}{P(1 + 3r)} = \frac{600}{460}\]
বা, \[\frac{1 + 5r}{1 + 3r} = \frac{30}{23}\]
বা, 23(1 + 5r) = 30(1 + 3r)
বা, 23 + 115r = 30 + 90r
বা, 115r – 90r = 30 – 23
বা, 25r = 7
∴ r = \[\frac{7}{25}\]
∴ মুনাফার হার = \[\frac{7}{25} × 100 \] % = 28%। (Ans.)
প্রশ্ন \ ৩৭ \ শতকরা বার্ষিক 5 টাকা হার সরল মুনাফায় কত টাকা 13 বছরে সবৃদ্ধিমূল 985 টাকা হবে?
সমাধান : আমরা জানি, S = P (1 + nr)
এখানে, মূলধন = P টাকা
n = 13 বছর
s = 5 টাকা
∴ r = \[\frac{s}{100} = \frac{5}{100} \]
দেওয়া আছে, S = 985 টাকা
প্রশ্নানুসারে, 985= P(1 + 13 × \[\frac{5}{100} \])
বা, 985= P(1 + \[\frac{13}{20} \])
বা, 985= P × \[\frac{33}{20} \]
বা, P = \[\frac{985 × 20}{33} \]
⸫ P = 596.97 (প্রায়)
নির্ণেয় মূলধন 596.97 টাকা (প্রায়)। (Ans.)
প্রশ্ন \ ৩৮ \ শতকরা বার্ষিক 5 টাকা হার মুনাফায় কত টাকা 12 বছরে সবৃদ্ধিমূল 1248 টাকা হবে?
সমাধান : আমরা জানি, S = P (1 + nr)
এখানে, P = মূলধন
n = 12 বছর
s = 5 টাকা
⸫ r = \[\frac{s}{100} = \frac{5}{100} \]
দেওয়া আছে, S = 1248 টাকা
প্রশ্নানুসারে, 1248 = P(1 + 12 × \[\frac{5}{100} \])
বা, 985= P(1 + \[\frac{3}{5} \])
বা, 985= P × \[\frac{8}{5} \]
বা, P = \[\frac{1248 × 5}{8} \]
⸫ P = 780
অর্থাৎ, মূলধন 780 টাকা। (Ans.)
প্রশ্ন \ ৩৯ \ 5% হার মুনাফায় 8000 টাকার 3 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য নির্ণয় কর।
সমাধান : এখানে, P = 8000 টাকা
n = 3 বছর
r = 5% = \[\frac{5}{100}\]
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে, I = Pnr
= 8000 × 3 × \[\frac{5}{100}\] টাকা
= 1200 টাকা
চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে সবৃদ্ধিমূল,
C = \[ P (1 + r)^n \]
= \[ 8000 (1 + \frac{5}{100})^3 \] টাকা
= \[ 8000 (1 + \frac{1}{20})^3 \] টাকা
= \[ 8000 (\frac{20 + 1}{20})^3 \] টাকা
= \[ 8000 (\frac{21}{20})^3 \] টাকা
= ৯২৬১ টাকা
∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = c – p
= (9261 – 8000) টাকা = 1261 টাকা
∴ উভয় মুনাফার পার্থক্য = (1261 – 1200) টাকা = 61 টাকা।
নির্ণেয় পার্থক্য 61 টাকা।
প্রশ্ন \ ৪০ \ মিষ্টির উপর মূল্য সংযোজন কর (Vat) x%। একজন বিক্রেতা ভ্যাটসহ চ টাকার মিষ্টি বিক্রয় করলে তাঁকে কত ভ্যাট দিতে হবে? x = 15, P = 2300 হলে, ভ্যাটের পরিমাণ কত?
সমাধান : মনেকরি, ভ্যাট বাদে বিক্রয়মূল্য C টাকা
x% ভ্যাটসহ মিষ্টির বিক্রয়মূল্য = (C + \[ \frac{Cx}{100}\]) টাকা
= C(1 + \[ \frac{x}{100}\]) টাকা
শর্তানুসারে, C(1 + \[ \frac{x}{100}\]) = P
বা, C = \[ \frac{P}{1+\frac{x}{100}}\]
= \[ \frac{P}{\frac{100 + x}{100}}\]
= \[ \frac{100P}{100 + x} \]
∴ ভ্যাটের পরিমাণ (P – C) টাকা = (P – \[ \frac{100P}{100 + x} \]) টাকা
= \[ \frac{100P + Px – 100P}{100 + x} \] টাকা
= \[ \frac{Px}{100 + x} \] টাকা
এখন, x = 15 এবংP = 2300 হলে,
ভ্যাটের পরিমাণ = \[ \frac{15 × 2300}{100 + 15} \] টাকা [x ও p এর মান বসিয়ে]
= \[ \frac{15 × 2300}{115} \] টাকা = 300 টাকা
অতএব, বিক্রেতাকে ভ্যাট দিতে হবে \[ \frac{Px}{100 + x} \] টাকা এবং ভ্যাটের পরিমাণ 300 টাকা। (Ans.)
প্রশ্ন \ ৪১ \ কোনো সংখ্যা ও ঐ সংখ্যার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি 3.
ক. সংখ্যাটিকে x চলকে প্রকাশ করে উপরের তথ্যকে একটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
খ. \[x^3 – \frac{1}{x^3} \] এর মান নির্ণয় কর।
গ. প্রমাণ কর \[x^5 + \frac{1}{x^5} \] = 123
সমাধান :
(ক) মনে করি, সংখ্যাটি x
∴ x এর গুণাত্মক বিপরীত \[ \frac{1}{x} \]
নির্ণেয় সমীকরণ, x + \[ \frac{1}{x} \] = 3
(খ) ‘ক’ থেকে পাই, x + \[ \frac{1}{x} \] = 3
আমরা জানি, \[ (x –\frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 – 4 . x . \frac{1}{x} \]
বা, \[ (x –\frac{1}{x})^2 = (3)^2 – 4 \]
[মান বসিয়ে]
বা, \[ (x –\frac{1}{x})^2 = 9 – 4 \] = 5
∴ \[ x –\frac{1}{x} = \sqrt{5} \]
∴ প্রদত্ত রাশি = \[ x^3 –\frac{1}{x^3} \]
= \[ (x –\frac{1}{x})^3 + 3.x. \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x})\]
= \[ (\sqrt{5})^3 + 3.1. \sqrt{5}\] [মান বসিয়ে]
= \[ 5\sqrt{5} + 3\sqrt{5}\]
= \[ 8\sqrt{5}\]
নির্ণেয় মান \[ 8\sqrt{5}\]
(গ) এখানে, \[ (x^3 + \frac{1}{x^3})(x^2 + \frac{1}{x^2})\]
= \[ x^5 + \frac{1}{x} + x + \frac{1}{x^5}\]
= \[ (x^5 + \frac{1}{x^5}) + (x + \frac{1}{x}) \]
∴ \[ x^5 + \frac{1}{x^5} = (x^5 + \frac{1}{x^5}) + (x + \frac{1}{x}) – (x + \frac{1}{x}) \]
এখানে, \[ x^3 + \frac{1}{x^3}\]
= \[ (x + \frac{1}{x})^3 – 3.x.\frac{1}{x}(x + \frac{1}{x})\]
= \[ (3)^3 – 3.1.3\]
= 27 – 9
= 18
এবং \[ x^2 + \frac{1}{x^2}\]
= \[ (x – \frac{1}{x})^2 + 2.x.\frac{1}{x} \]
= \[ (3)^2 – 2\] [ মান বসিয়ে ]
= 9 – 2
= 7
⸫ \[ x^5 + \frac{1}{x^5}\] = 18.7 – 3
= 126 – 3 = 123 (প্রমাণিত)
প্রশ্ন \ ৪২ \ কোনো সমিতির সদস্যগণ প্রত্যেকেই সদস্য সংখ্যার 100 গুণ চাঁদা দেওয়ার সিদ্ধান্ত নিলেন। কিন্তু ৪ জন সদস্য চাঁদা না দেওয়ায় প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ পূর্বের চেয়ে 500 টাকা বেড়ে গেল।
ক. সমিতির সদস্য সংখ্যা x এবং মোট চাঁদার পরিমাণ A হলে, এদের মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
খ. সমিতির সদস্য সংখ্যা ও মোট চাঁদার পরিমাণ নির্ণয় কর।
গ. মোট চাঁদার \[ \frac{1}{4}\] অংশ 5% হারে এবং অবশিষ্ট টাকা 4% হারে 2 বছরের জন্য সরল মুনাফায় বিনিয়োগ করা হলো। মোট মুনাফা নির্ণয় কর।
সমাধান :
ক. মনে করি, সমিতির সদস্য সংখ্যা x জন
এবং জনপ্রতি দেয় চাঁদার পরিমাণ 100x টাকা
তাহলে, মোট চাঁদা A = x ´ 100x টাকা = 100x2 টাকা (Ans.)
খ. 4 জন সদস্য চাঁদা না দেওয়ায়, প্রকৃতপক্ষে সদস্য সংখ্যা ছিল
(x – 4) জন এবং চাঁদা হলো (100x + 500) টাকা
প্রশ্নানুসারে, (x – 4)(100x + 500) = 100x2
বা, 100x2 + 500x – 400x – 2000 = 100x2
বা, 100x = 2000
বা, x = \[\frac{2000}{100}\]
∴ x = 20
∴ সমিতির সদস্য সংখ্যা = 20 জন এবং
মোট চাঁদার পরিমাণ = 100x2 টাকা
= 100 × (20)2 টাকা
= 100 × 400 টাকা
= 40000 টাকা
∴ সমিতির সদস্য সংখ্যা 20 জন এবং মোট চাঁদার পরিমাণ 40000 টাকা। (Ans.)
গ. মোট টাকার \[ \frac{1}{4}\] অংশ
= \[ \frac{1}{4}\] × 40000 টাকা
= 10000 টাকা
অবশিষ্ট টাকা = (40000 – 10000) টাকা
= 30000 টাকা
5% হারে, r1 = \[ \frac{5}{100}\] = \[ \frac{1}{20}\] টাকা
সময়, n = 2 বছর
মূলধন, P1 = 10000 টাকা
মুনাফা, I1 = ?
আমরা জানি, I1 = P1nr1 = 10000 ´ 2 ´ \[ \frac{1}{20}\] = 1000 টাকা
আবার, 4% হারে, r2 = \[ \frac{4}{100}\] = \[ \frac{1}{25}\] টাকা
সময়, n = 2 বছর
মূলধন, P2 = 30000 টাকা
মুনাফা, I2 = ?
আমরা জানি, I2 = P2nr2 = 30000 ´ 2 ´ \[ \frac{1}{25}\] = 2400 টাকা
মোট মুনাফা, I = I1 + I2 = (1000 + 2400) টাকা = 3400 টাকা (Ans.)
৩৫. বনভোজনে যাওয়ার জন্য একটি বাস 2400 টাকায় ভাড়া করা হলো এবং শর্ত হলো প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে। 10 জন যাত্রী না আসায় মাথাপিছু ভাড়া 8 টাকা বৃদ্ধি পেল।
ক) মাথা পিছু বর্ধিত ভাড়ার পরিমান, না আসা যাত্রী সংখ্যার শতকতা কত তা নির্ণয় কর।
খ) বাসে যাওয়া যাত্রীর মাথা পিছু ভাড়া নির্ণয় কর।
গ) বাস ভাড়ার সমপরিমাণ টাকার 5% হার মুনাফায় 13 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ক)
মাথাপিছু বর্ধিত ভাড়া=8 টাকা
না আসা যাত্রী সংখ্যা=10 জন
তাহলে, মাথা পিছু বর্ধিত ভাড়ার পরিমান, না আসা যাত্রী সংখ্যার =(\[\frac{8}{10}\])✕100% = 40%
খ)
বাস ভাড়া = 2400 টাকা
মনে করি, বনভোজনে যাওয়ার জন্য আগ্রহী যাত্রী সংখ্যা=x
∴ মাথাপিছু ভাড়া হত= \[\frac{2400}{x}\] টাকা।
10 জন যাত্রী না আসায় যাত্রী সংখ্যা = x-10
∴ মাথাপিছু ভাড়া হল= \[\frac{2400}{x – 10}\] টাকা।
প্রশ্নানুসারে,
\[\frac{2400}{x – 10}\] = \[\frac{2400}{x}\] +8
বা, \[\frac{2400}{x – 10}\] = \[\frac{2400 + 8x}{x}\]
বা, 2400x=(2400+8x)(x-10)
বা, \[ 2400x = 2400x+8x^2-24000-80x \]
বা, , \[ 2400x-2400x=8x^2-80x-24000 \]
বা, , \[ 0=8(x^2-10x-3000) \]
বা, , \[ x^2-10x-3000=0 \]
বা, , \[ x^2-60x+50x-3000=0\]
বা, x(x-60)+50(x-60)=0
বা, (x-60)(x+50)=0
বা, x=60; x=-50 [অগ্রহনযোগ্য কারন যাত্রী সংখ্যা ঋণাত্মক হয় না]
∴ বনভোজনে যাওয়ার জন্য আগ্রহী যাত্রী সংখ্যা=60 জন।
∴ 10 জন যাত্রী না আসায় যাত্রী সংখ্যা=60-10=50 জন।
∴ মাথাপিছু ভাড়া হল =\[ \frac{2400}{50}\] = 48 টাকা।
গ)
বাস ভাড়ার টাকা=2400 টাকা
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
P=2400 টাকা
n=13 বছর
r=5%=0.05
তাহলে, মুনাফা=Pnr=2400✕13✕0.05=1560 টাকা
আবার,
চক্রবৃদ্ধির মুনাফার ক্ষেত্রে,
চক্রবৃদ্ধির মুনাফা
=P(1+r)n-P
=2400(1+0.05)13-2400
=2400(1.05)13-2400
=4525.5579-2400
=2125.56 (প্রায়)
অতএব, সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য=2125.56-1560 টাকা=565.56 টাকা।
৩৬. দাঁড় বেয়ে একটি খালের A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে যেয়ে ফিরে আসতে হবে। দাঁড়ের বেগ ধ্রুব হলে স্রোত থাকলে সময় বেশি লাগবে না স্রোত না থাকলে সময় বেশি লাগবে?
সমাধানঃ
ধরি, দাঁড়ের বেগ x কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের বেগ y কিমি/ঘণ্টা
নদীর প্রস্থ AB=d কিমি
∴ স্রোতের অনুকুলে দাঁড়ের বেগ=x+y কিমি/ঘণ্টা
এবং, স্রোতের প্রতিকুলে দাঁড়ের বেগ=x-y কিমি/ঘণ্টা
স্রোতযুক্ত অবস্থায়,
A থেকে B তে যাওয়ার সময় মাঝি স্রোতের অনুকুলে যায়;
এক্ষেত্রে B বিন্দুতে যেতে সময় t1 লাগলে; t1=অতিক্রান্ত দূরত্ব/অনুকুলের বেগ = \[\frac{d}{x + y} \]
আবার, B থেকে A তে আসার সময় মাঝি স্রোতের প্রতিকুলে যায়;
এক্ষেত্রে A বিন্দুতে আসতে সময় t2 লাগলে; t2=অতিক্রান্ত দূরত্ব/প্রতিকুলের বেগ = \[\frac{d}{x – y} \]
তাহলে, মোট সময় লাগে,
t = t1+t2 = \[\frac{d}{x + y} \] – \[\frac{d}{x – y} \]
= \[\frac{d(x – y) + d(x + y)}{(x + y)(x – y)} \]
= \[\frac{d(x – y + x + y)}{x^2 – y^2} \]
= \[\frac{2dx}{x^2 – y^2} \] ————— (i)
স্রোতহীন অবস্থায়,
A থেকে B তে যাওয়ার সময় t3 = \[\frac{d}{x} \]
B থেকে A তে আসার সময় t4 = \[\frac{d}{x} \]
এক্ষেত্রে, মোট সময়
t’= t3+t4 = \[\frac{d}{x} \] + \[\frac{d}{x} \]
= \[\frac{2d}{x} \]
= \[\frac{2dx}{x^2} \]
এখন, (i) ও (ii) এর রাশির লব সমান; কিন্তু, \[ x^2-y^2 <x^2 \];
অর্থাৎ,
\[\frac{2dx}{x^2 – y^2} \] > \[\frac{2dx}{x^2} \]
∴ স্রোতযুক্ত অবস্থায় বেশী সময় লাগবে।
৩৭. একটি মাঠে ধ্রুব হারে ঘাস বৃদ্ধি পায়। 17 টি গরু দিনে সব ঘাস খেয়ে ফেলতে পারে। তবে 19টি গরুর লাগে 24 দিন। একদল গরু 6 দিন ঘাস খাওয়ার পর 4 টি গরু বিক্রয় করা হলে ঘাস খাওয়া শেষ করতে আরো 2 দিন লাগলো। দলটিতে শুরুতে কতগুলো গরু ছিল।
সমাধানঃ
মনে করি, মাঠে শুরুতে ঘাস ছিল p ঘনমি
ঘাস বৃদ্ধির হার q ঘনমি/দিন
প্রতিটি গরুর ঘাস খাওয়ার হার r ঘনমি/দিন
১ম শর্তমতে,
p+30q=17r✕30
বা, p+30q=510r…………..(i)
২য় শর্তমতে,
p+24q=19r✕24
বা, p+24q=475r……………..(ii)
(i)-(ii) করে,
6q=54r
বা, q=9r যা (i) নং এ বসিয়ে পাই,
p+30✕9r=510r
বা, p+270r=510r
বা, p=510r-270r
বা, p=240r
৩য় শর্তমতে,
শুরুতে গরুর সংখ্যা ছিল x ধরে,
p+8q=6xr+2r(x-4)
বা, 240r+8✕9r=6xr+2xr-8r
বা, 240r+72r=8xr-8r
বা, 240r+72r+8r=8xr
বা, 320r=8xr
বা, 320=8x
বা, x=40
∴ গরুর সংখ্যা ছিল 40 টি
৩৮. দুই ভাইয়ের একটি প্রশিক্ষিত ঘোড়া ছিল যা যেকোনো নির্দেশই পালন করতে পারে। দুই ভাই একই সময়ে বাসা থেকে রওনা হয়ে 20 মাইল দূরে একটি বৈশাখী মেলায় যেতে চায়। ঘোড়া যেকোনো মূহুর্তে মাত্র একজন ভাইকে বহন করতে পারে। ভাইদের বেগ ঘন্টায় 4 মাইল এবং ঘোড়ার বেগ ঘণ্টায় (মানুষসহ কিংবা ছাড়া) 10 মাইল হলে সর্বনিন্ম কত সময়ে তারা মেলায় পৌঁছাতে পারবে? প্রত্যেক ভাই কতটা পথ হাঁটবে?
সমাধানঃ
মনে করি,
প্রথম ভাইকে ঘোড়াটি t1 সময় ধরে নিয়ে যাওয়ার পর তাকে নামিয়ে দিয়ে t2 সময়ে ২য় ভাইয়ের কাছে পৌঁছায় এবং ঘোড়াটি t3 সময়ে ২য় ভাইকে নিয়ে মেলায় পৌঁছায়।
তাহলে,
১ম ভাইয়ের অতিক্রান্ত দূরত্ব=10t1+4t2+4t3=20………….(i)
২য় ভাইয়ের অতিক্রান্ত দূরত্ব=4t1+4t2+10t3=20………….(ii)
ঘোড়ার অতিক্রান্ত দূরত্ব=10t1-10t2+10t3=20………….(iii)
(i)-(ii) করে পাই,
6t1-6t3=0
বা, 6t1=6t3
বা, t1=t3………………..(iv)
(iii)-(ii) করে পাই,
6t1-14t2=0
বা, 6t1=14t2
বা, t1=7t2/3
বা, t2=3t1/7………..(v)
t1 ও t2 এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
10t1+4.3t1/7+4t1=20
বা, 14t1+12t1/7=20
বা, (98t1+12t1)/7=20
বা, 110t1=20✕7
বা, 110t1=140
বা, 11t1=14
বা, t1=14/11
বা, t3=14/11
এখন, t1 এর মান (v) নং এ বসিয়ে পাই,
t2=(3/7)✕(14/11)=6/11
∴ সর্বনিন্ম সময় লাগে
=t1+t2+t3
=14/11+6/11+14/11
=34/11
=3পূর্ণ1/11 ঘণ্টা।
∴১ম ভাই হাঁটবে=4t2+4t3=4✕(6/11)+4✕(14/11)=24/11+56/11=80/11 মাইল।
∴২য় ভাই হাঁটবে=4t1+4t2=4✕(14/11)+4✕(6/11)=56/11+24/11=80/11 =মাইল।
