Class 8 math exercise 4.2 solution | ৮ম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৪.২ সমাধান । এই পেজে ৮ম শ্রেণির গণিত বইয়ের অধ্যায় ১১ এর সম্পূর্ণ সমাধান দেওয়া হয়েছে। প্রতিটি উদাহরণ ও অনুশীলনীর প্রশ্ন সহজভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে যাতে শিক্ষার্থীরা বিষয়টি ভালোভাবে বুঝতে পারে। Class 8 math exercise 4.2 solution এর জন্য এটি একটি সহায়ক রিসোর্স।
Class 8 math exercise 4.2 solution | ৮ম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৪.২ সমাধান
১। সূত্রের সাহায্যে নিচের রাশিগুলোর ঘন নির্নয় করঃ
(ক) 3x + y (খ) x2 + y (গ) 5 p + 2q (ঘ) a2b + c2d
(ঙ) 6 p – 7 (চ) ax – by (ছ) 2 p2 – 3r 2 (জ) x3 + 2
(ঝ) 2m + 3n – 5 p (ঞ) x2 – y 2 + z 2 (ট) a2b2 – c2d 2
(ঠ) a2b – b3c (ড) x3 – 2 y3
(ঢ) 11a -12b (ণ) x3 + y3
(ক) 3x + y
সমাধানঃ
(3x + y)3=(3x)3 +3× (3x)2 × y + 3× (3x) × ( y)2 + (y)3
=27x3 +3× 9x2 ×y + 3× (3x) × ( y)2 + (y)3
=27x3 +27x2 y + 9x y2 + y3
(খ) x2 + y
সমাধানঃ
(x2 + y)3=(x2)3+3×(x2)2 y+3 ×x2×y2+y3
=x6+3×x4×y+3×x2×y2+y3
= x6+3x4y+3x2y2+y3
(গ) 5 p + 2q
সমাধানঃ
(5 p + 2q)3=(5 p)3 + 3× (5 p)2 × 2q + 3×(5 p) × (2q)2 + (2q)3
= 125 p3 + 3× 25 p2 × 2q + 3× 5 p × 4q2 + 8q3
=125 p3 +150 p2q + 60 pq 2 + 8q3
(ঘ) a2b + c2d
সমাধানঃ
(a2b + c2d)3= (a2b)3 + 3× (a 2b)2 × c2 d + 3× (a2 b) × (c2 d)2 + (c2 d)3
= a6b3 + 3× a4b2 × c2d + 3× a2b × c4d 2 + c6d 3
=a6b3 + 3a4b2c2d + 3a2bc4d 2 + c6d 3
(ঙ) 6 p – 7
সমাধানঃ
(6 p – 7)3=(6p)3-3×(6p)2×7+3×(6p)×(7)2-(7)3
=216p3-3×36p2×7+3×(6p)×49-343
=216p3-756p2+882p-343
(চ) ax – by
সমাধানঃ
(ax – by)3=(ax)3-3×(ax)2×by+3×(ax)×(by)2-(by)3
=a3x3-3×a2x2×by+3×ax×b2y2-b3y3
= a3x3-3a2x2by+3axb2y2-b3y3
(ছ) 2 p2 – 3r 2
সমাধানঃ
(2p2 – 3r 2)3=(2p2)3-3×(2p2)2×3r2+3×(2p2)×(3r2)2-(3r2)3
=8p6-3×4p4×3r2+3×2p2×9r4-27r6
=8p6-36p4r2+54p2r4-27r6
(জ) x3 + 2
সমাধানঃ
(x3 + 2)3=(x3)3+3×(x3)2×2+3×(x3)×(2)2+(2)3
=x9+3×x6×2+3×x3×4+8
=x9+6x6+12x3+8
(ঝ) 2m + 3n – 5 p
সমাধানঃ
(2m + 3n – 5 p)3={(2m +3n) – (5 p)}3
= (2m+ 3n)3 – 3×(2m+ 3n)2 × (5 p) + 3×(2m+ 3n)×(5p)2 – (5 p)3
= {(2m)3 + 3×(2m)2 × 3n + 3× (2m) × (3n)2 + (3n)3} -15 p ×{(2m)2 + 2× 2m×3n + (3n)2}+ 3× (2m + 3n)×25 p2 -125 p3
= 8m3 + 4m2 × 9n + 6m× 9n2 + 27n3 -15 p ×{4m2 +2× 2m×3n + (3n)2}+ 3× (2m + 3n)× 25 p2 -125 p3
= 8m3 + 36m2 n + 36mn2 + 27n3 -15 p ×4m2 -15p×2× 2m×3n -15p× 9n2+ 6m×25p2 + 9n× 25p2 -125 p3
=8m3 + 36m2 n + 36mn2 + 27n3 -60 pm2 -180pmn -135pn2+ 150mp2 + 225np2 -125 p3
(ঞ) x2 – y 2 + z 2
সমাধানঃ
(x2 – y 2 + z 2)3
={( x2 – y 2) + (z 2)}3
= (x2 – y2 )3 + 3(x2 – y2 )2 z2 + 3(x2 – y2 )(z2 )2 + (z2 )3
= {(x2 )3 – 3(x2 )2 y2 + 3x2 ( y2 )2 – ( y2 )3} +3(x2 – y2 )2 z2 + 3(x2 – y2 )(z2 )2 + (z2 )3
= x6 – 3x4 y2 + 3x2 y4 – y6 + 3z2{(x2 )2 + 2x2 y2 + ( y2 )2}+ 3z4 (x2 – y2 ) + z6
= x6 – 3x4 y2 + 3x2 y4 – y6 + 3x4 z2 – 6x2 y2 z2 + 3y6 z2 + 3z4 x2 – 3z4 y2 + z6
= x6 – y6 + z6 – 3x4 y2 + 3x2 y4 + 3x4 z2 – 6x2 y2 z2 + 3y6 z2 +3x2 z4 – 3y2 z4
(ট) a2b2 – c2d 2
সমাধানঃ
(a2b2 – c2d 2 )3 = (a2b2) 3 – 3× (a2b2 )2 × c 2d2 + 3× (a2 b2 )× (c2 d2 )2 – (c2 d2)3
= a6b6 – 3a4b4c2d 2 + 3a2b2c4d 4 – c6d 6
(ঠ) a2b – b3c
সমাধানঃ
(a2b – b3c)3= (a2b) 3 – 3× (a2 b2)2 × b3 c + 3 (a2 b)× (b3 c)2 – (b3 c)3
=a6b3 – 3a4b2b3c + 3a2bb6c2 – b9c3
=a6b3 – 3a4b5c + 3a2b7c2 – b9c3
(ড) x3 – 2 y3
সমাধানঃ
(x3 -2y3 )3 =( x3) 3 – 3× (x3 )2 × 2y3 + 3× (x3 )× (2 y3 )2 + (2y3)3
= x9 – 6x6 y3 + 12 x3 y6 – 8y9
(ঢ) 11a -12b
সমাধানঃ
(11a -12b)3 = (11a)3 – 3× (11a)2 ×12b + 3× (11a)× (12b)2 – (12b)3
=1331a3 – 4356a2b+ 4752ab2 -1728b3
(ণ) x3 + y3
সমাধানঃ
(x3 + y3 )3 =( x3) 3 + 3×(x3 )2 × y3 + 3× (x3 )× ( y3 )2 +( y3)3
= x9 + 3x6 y3 + 3x3 y6 + y9
২। সরল করঃ
(ক) (3x + y)3 + 3(3x + y)2 (3x – y) + 3(3x + y)(3x – y)2 + (3x – y)3
(খ) (2 p + 5q)3 + 3(2 p + 5q)2 (5q – 2 p) + 3(2 p + 5q)(5q – 2 p)2 + (5q – 2 p)3
(গ) ( x + 2 y)3 – 3( x + 2 y)2 (x – 2 y) + 3( x + 2 y)( x – 2 y)2 – (x – 2 y)3
(ঘ) (6m + 2)3 – 3(6m + 2)2 (6m – 4) + 3(6m + 2)(6m – 4)2 + (6m – 4)3
(ঙ) ( x – y)3 + ( x + y)3 + 6x(x2 – y2)
(ক) (3x + y)3 + 3(3x + y)2 (3x – y) + 3(3x + y)(3x – y)2 + (3x – y)3
সমাধানঃ
ধরি, 3x + y = a
এবং 3x – y = b
∴ (3x + y)3 + 3(3x + y)2 (3x – y) + 3(3x + y)(3x – y)2 + (3x – y)3
=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
= (a + b)3
= (3x + y + 3x – y)3 [মান বসিয়ে]
= (6x)3
= 216x3
(খ) (2 p + 5q)3 + 3(2 p + 5q)2 (5q – 2 p) + 3(2 p + 5q)(5q – 2 p)2 + (5q – 2 p)3
সমাধানঃ
ধরি, 2p+5q=a
এবং,5q-2p=b
∴ প্রদত্ত রাশি= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
=(a+b)3
=(2p+5q+5q-2p)3 [মান বসিয়ে]
=(10q)3
=1000q3
(গ) ( x + 2 y)3 – 3( x + 2 y)2 (x – 2 y) + 3( x + 2 y)( x – 2 y)2 – (x – 2 y)3
সমাধানঃ
ধরি, x+2y=a
এবং, x-2y=b
∴ প্রদত্ত রাশি= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
=(a-b)3
={(x+27)-(x-2y)}3 [মান বসিয়ে]
=(x+2y-x+2y)3
=(4y)3
=64y3
(ঘ) (6m + 2)3 – 3(6m + 2)2 (6m – 4) + 3(6m + 2)(6m – 4)2 + (6m – 4)3
সমাধানঃ
ধরি, 6m+2=a
এবং 6m-4=b
∴ প্রদত্ত রাশি= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
=(a-b)3
={(6m+2)-(6m-4)}3 [মান বসিয়ে]
=(6m+2-6m+4)3
=63
=216
(ঙ) ( x – y)3 + ( x + y)3 + 6x(x2 – y2)
সমাধানঃ
ধরি, x-y=a
এবং, x+y=b
∴a+b=x-y+x-y=2x
এখন, ( x – y)3 + ( x + y)3 + 6x(x2 – y2)
=(x – y)3 + ( x + y)3 + 3×2x×(x – y)(x+y) [x2-y2=(x+y)(x-y)]
=a3+b3+3×(a+b)×a×b [মান বসিয়ে]
=a3+b3+3ab(a+b)
=(a+b)3
=(2x)3 [মান বসিয়ে]
=8x3
৩। a+b=8 এবং ab=15 হলে a3+b3 এর মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a+b=8 এবং ab=15
∴প্রদত্ত রাশি= a3+b3
=(a+b)3-3ab(a+b)
=83-3×15×8
=512-360
=152
৪। x+y=2 হলে, দেখাও যে, x3+y3+6xy=8
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, x+y=2
দেখাতে হবে, x3+y3+6xy=8
বামপক্ষ= x3+y3+6xy
= x3+y3+3xy.2
= x3+y3+3xy(x+y) [x+y=2]
=(x+y)3
=23 [মান বসিয়ে]
=8
=ডানপক্ষ (দেখানো হলো)
৫। 2x+3y=13 এবং xy=6 হলে, 8x3+27y3 এর মান নির্নয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, 2x+3y=13 এবং xy=6
প্রদত্ত রাশি=8x3+27y3
=(2x)3+(3y)3
=(2x+3y)3-3*2x*3y*(2x+3y)
=(13)3-18xy(13)
=(13)3-18*6*13
=2197-1404
=793
৬। p-q=5 এবং pq=3 হলে, p3-q3 এর মান নির্নয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, p-q=5 এবং pq=3
প্রদত্ত রাশি= p3-q3
=(p-q)3+3pq(p-q)
=53+3×3×5
=125+45
=170
৭। x-2y=3 হলে, x3-8y3-18xy এর মান নির্নয় কর?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, x-2y=3
প্রদত্ত রাশি= x3-8y3-18xy
= x3-(2y)3-3.x.2y.3
= x3-(2y)3-3.x.2y.(x-2y) [x-2y=3)
=(x-2y)3
=33 [মান বসিয়ে]
=27
৮। 4x-3=5 হলে, প্রমান কর যে, 64x3-27-180x=125
দেওয়া আছে, 4x-3=5
প্রমান করতে হবে যে, 64x3-27-180x=125
বামপক্ষ=64x3-27-180x
=(4x)3-33-180x
=(4x-3)3+3.4x.3(4x-3)-180x
=53+36.x.5-180x
=53+180x-180x
=53
=125
=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
৯। a=-3 এবং b=2 হলে, 8a3+36a2b+54ab2+27b3 এর মান নির্নয় কর
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a=-3 এবং b=2
প্রদত্ত রাশি=8a3+36a2b+54ab2+27b3
=(2a)3+3.(2a)2 .3b+3.2a.(3b)2+(3b)3
=(2a+3b)3
={2(-3)+3(2)}3
=(-6+6)3
=(0)3
=0
নির্নেয় মান 0
১০। a=7 হলে, a3+6a2+12a+1 এর মান নির্নয় কর
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a=7
প্রদত্ত রাশি= a3+6a2+12a+1
= a3+3.a2.2+3.a.22+22-7
=(a+2)3-7
=(7+2)3-7
=729-7
=722
নির্নেয় মান 722
১১। x=5 হলে, x3-12x2+48x-64 এর মান কত
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, x=5
প্রদত্ত রাশি= x3-12x2+48x-64
= x3-3.x2.4+3.x.42-43
=(x-4)3
=(5-4)3
=13
=1
নির্নেয় মান 1
১২। a2+b2=c2 হলে প্রমান কর যে, a6+b6+3a2b2c2=c4
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a2+b2=c2
প্রমান করতে হবে যে, a6+b6+3a2b2c2=c4
বামপক্ষ= a6+b6+3a2b2c2
=(a2)3+(b2)3+3a2b2c2
=(a2+b2)3-3a2.b2(a2+b2)+ 3a2b2c2
=(c2)3-3a2b2(c)2+3a2b2c2
=c6
=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
১৩। x + \frac{1}{x} = 4 হলে, প্রমান কর যে, x3 + \frac{1}{x^3} = 52
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, x+\frac{1}{x^3}=4
প্রমান করতে হবে যে, x3 + \frac{1}{x^3} =52
বামপক্ষ= x3+ \frac{1}{x^3}
= (x)3+(\frac{1}{x})3
=(x+\frac{1}{x})3-3.x. \frac{1}{x} (x+\frac{1}{x})
=(4)3-3(4)
=64-12
=52
=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)
১৪। a-\frac{1}{a}=5 হলে, a3–\frac{1}{a^3}এর মান কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a-\frac{1}{a}=5
প্রদত্ত রাশি= a3–\frac{1}{a^3}
=(a-\frac{1}{a})3+3.a. \frac{1}{a}.(1-\frac{1}{a})
=53+3.5
=125+15
=140
নির্নেয় মান 140
১৫। সূত্রের সাহায্যে গুনফল নির্নয় কর?
(ক) (a2 + b2 )(a4 – a2b2 + b4 ) (খ) (ax – by)(a2 x2 + abxy + b2 y2 )
(গ) (2ab2 -1)(4a2b4 + 2ab2 +1) (ঘ) (x2 + a)(x4 – ax2 + a2 )
(ঙ) (7a + 4b)(49a2 – 28ab +16b2 ) (চ) (2a -1)(4a2 + 2a +1)(8a3 +1)
(ছ) (x + a)(x2 – ax + a2 )(x – a)(x2 + ax + a2 )
(জ) (5a + 3b)(25a2 -15ab +9b2 )(125a3 – 27b3 )
(ক) (a2 + b2 )(a4 – a2b2 + b4 )
সমাধানঃ (a2 + b2 )(a4 – a2b2 + b4 )
=(a2 + b2 ){(a2)2 – a2b2 + (b2)2 )
=( a2)3 + (b2)3
= a6+b6
(খ) (ax – by)(a2 x2 + abxy + b2 y2 )
সমাধানঃ
(ax – by)(a2 x2 + abxy + b2 y2 )
=(ax – by){(ax)2 + abxy +( b y)2 }
=(ax)2+(bx)2
=a2x2+b2y2
(গ) (2ab2 -1)(4a2b4 + 2ab2 +1)
সমাধানঃ
(2ab2 -1)(4a2b4 + 2ab2 +1)
=(2ab2 -1){(2ab2)2 + 2ab2 +12}
=(2ab2)3-13
=8a3b6-1
(ঘ) (x2 + a)(x4 – ax2 + a2 )
সমাধানঃ
(x2 + a)(x4 – ax2 + a2 )
=(x2 + a){(x2)2 – x2 .a+ a2 )
=(x2)3+(a)3
=x6+a3
(ঙ) (7a + 4b)(49a2 – 28ab +16b2 )
সমাধানঃ
(7a + 4b)(49a2 – 28ab +16b2 )
=(7a + 4b){(7a2)2 – 7a.4b +(4b2)2}
=(7a)3+(4b)3
=343a3+64b3
(চ) (2a -1)(4a2 + 2a +1)(8a3 +1)
সমাধানঃ
(2a -1)(4a2 + 2a +1)(8a3 +1)
=(2a -1){(2a)2 + 2a.1 +12)(8a3 +1)
={(2a)3-(1)3}{8a3+1}
=(8a3-1)(8a3+1)
=(8a3)2-12
=64a6-1
(ছ) (x + a)(x2 – ax + a2 )(x – a)(x2 + ax + a2 )
সমাধানঃ
(x + a)(x2 – ax + a2 )(x – a)(x2 + ax + a2 )
=(x3 + a3)(x3-a3)
=x6-a6
(জ) (5a + 3b)(25a2 -15ab +9b2 )(125a3 – 27b3 )
সমাধানঃ
(5a + 3b)(25a2 -15ab +9b2 )(125a3 – 27b3 )
={(5a)3-(3b)3}(125a3-27b3)
=(125a3+27b3)(125a3-27b3)
=(125a3)2-(27b3)2
=15625a6-729b6
