Class 7 math ex-5.4 solution | ৭ম শ্রেণি গণিত অনু ৫.৪ সমাধান । এখানে দেওয়া হয়েছে সহজ ভাষায় ও ধাপে ধাপে ব্যাখ্যার মাধ্যমে। ছাত্রছাত্রীরা এই অংশ থেকে ভগ্নাংশের গুণ ও ভাগ সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পাবে। পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য এটি অত্যন্ত সহায়ক।
গসাগু ও লসাগু
১. a-5 এর বর্গ কোনটি?
(ক) a2+10a+25
(খ) a2-10a+25
(গ) a2+5a+25
(ঘ) a2-5a+25
উত্তরঃ খ
২. (x+y)2+2(x+y)(x-y)+(x-y)2 এর মান কোনটি?
(ক) 8x2
(খ) 8y2
(গ) 4x2
(ঘ) 4y2
উত্তরঃ গ
৩. a+b=4 এবং a-b=2 হলে, ab এর মান কত?
(ক) 3
(খ) 8
(গ) 12
(ঘ) 16
উত্তরঃ ক
৪. একটি রাশি অপর একটি রাশি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে, ভাজ্যকে ভাজকের কী বলে?
(ক) ভাগফল
(খ) ভাগশেষ
(গ) গুণিতক
(ঘ) গুণনীয়ক
উত্তরঃ গ
৫. a, a2, a(a+b) এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক কোনটি?
(ক) a
(খ) a2
(গ) a(a+b)
(ঘ) a2(a+b)
উত্তরঃ ঘ
৬. 2a ও 3b এর গসাগু কত?
(ক) 1
(খ) 6
(গ) a
(ঘ) b
উত্তরঃ ক
a, b বাস্তব সংখ্যা হলে–
৭. (i). (a+b)2=a2+2ab+b2
(ii). 4ab=(a+b)2+(a-b)2
(iii). a2-b2=(a+b)(a-b)
কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ খ
(x3y-xy3) ও (x-y)(x+2y) দুইটি বীজগণিতীয় রাশি।
উপরের তথ্যের আলোকে ৮–১০ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
৮. প্রথম রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষীত রূপ নিচের কোনটি?
(ক) (x+y)(x-y)
(খ) x(x+y)(x-y)
(গ) y(x+y)(x-y)
(ঘ) xy(x+y)(x-y)
উত্তরঃ ঘ
৯. বীজগণিতীয় রাশি দুইটির গসাগু নিচের কোনটি?
(ক) (x+y)
(খ) (x-y)
(গ) y(x+y)
(ঘ) x(x-y)
উত্তরঃ খ
১০. বীজগণিতীয় রাশি দুইটিরর লসাগু নিচের কোনটি?
(ক) x(x+y)(x-y)
(খ) y(x+y)(x-y)
(গ) xy(x2-y2)(x+2y)
(ঘ) xy(x+y)(x+2y)
উত্তরঃ গ
১১. 9x2-25y2 এবং 15ax-25ay এর লসাগু কত?
(ক) (3x+5y)
(খ) (3x-5y)
(গ) (9x2-25y2)
(ঘ) 5a(9x2-25y2)
উত্তরঃ ঘ
১২. x3y5 ও a2-b2 এর গসাগু কত?
(ক) x3y5
(খ) x2a2
(গ) xy4
(ঘ) 1
উত্তরঃ ঘ
১৩. x – \frac1x =0 হলে,
(i). x=1
(ii). x=-1
(iii). x= ±1
নিচের কোনটি সঠিক?
(ক) i ও ii
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ঘ
১৪. a+\frac1a =4 হলে a2-4a+1 এর মান কত?
(ক) 4
(খ) 3
(গ) 2
(ঘ) 0
উত্তরঃ ঘ
১৫. a+5 এর বর্গ কোনটি?
(ক) a2+10a+5
(খ) a2-10a+25
(গ) a2+5a+25
(ঘ) a2+10a-25
উত্তরঃ খ
১৬. a+b=8, a-b=4 হলে ab= কত?
(ক) 8
(খ) 10
(গ) 12
(ঘ) 18
উত্তরঃ গ
গসাগু নির্ণয় কর (১৭-২৬):
১৭. 3a2b2c2, 6ab2c2
সমাধানঃ
১ম রাশি=3a2b2c2=3✕a✕a✕a✕b✕b✕c
২য় রাশি=6ab2c2=2✕3✕a✕b✕b✕c✕c
এখানে, সাধারণ গুণনীয়কগুলো হলোঃ 3,a,b,b,c
∴নির্ণেয় গসাগু=3✕a✕b✕b✕c=3ab2c
১৮. 5ab2x2, 10a2by2
সমাধানঃ
১ম রাশি=5ab2x2=5✕a✕b✕b✕x✕x
২য় রাশি=10a2by2=2✕5✕a✕a✕b✕y✕y
এখানে, সাধারণ গুণনীয়কগুলো হলোঃ 5,a,b
∴নির্ণেয় গসাগু=5✕a✕b=5ab
১৯. 3a2x2, 6axy2, 9ay2
সমাধানঃ
১ম রাশি=3a2x2=3✕a✕a✕x✕x
২য় রাশি=6axy2=2✕3✕a✕x✕y✕y
৩য় রাশি=9ay2=3✕3✕a✕y✕y
এখানে, সাধারণ গুণনীয়কগুলো হলোঃ 3,a
∴নির্ণেয় গসাগু=3✕a=3a
২০. 16a3x4y, 40a2y2x, 28ax3
সমাধানঃ
১ম রাশি=16a3x4y =2✕2✕2✕2✕a✕a✕a✕x✕x✕x✕x✕y
২য় রাশি=40a2y2x =2✕2✕2✕5✕a✕a✕y✕y✕x
৩য় রাশি=28ax3=2✕2✕7✕a✕x✕x✕x
এখানে, সাধারণ গুণনীয়কগুলো হলোঃ 2,2,a,x
∴নির্ণেয় গসাগু=2✕2✕a✕x=4ax
২১. a2+ab, a2-b2
সমাধানঃ
১ম রাশি= a2+ab=a(a+b)
২য় রাশি= a2-b2=(a-b)(a+b)
এখানে, সাধারণ মৌলিক উৎপাদক হলোঃ (a+b)
∴নির্ণেয় গসাগু=(a+b)
২২. x3y-xy3, (x-y)2
সমাধানঃ
১ম রাশি=x3y-xy3=xy(x2-y2)=xy(x+y)(x-y)
২য় রাশি=(x-y)2=(x-y)(x-y)
এখানে, সাধারণ মৌলিক উৎপাদক হলোঃ (x-y)
∴নির্ণেয় গসাগু= x-y
২৩. x2+7x+12, x2+9x+20
সমাধানঃ
১ম রাশি
= x2+7x+12
=x2+3x+4x+12
=x(x+3)+4(x+3)
=(x+3)(x+4)
২য় রাশি
= x2+9x+20
=x2+4x+5x+20
=x(x+4)+5(x+4)
=(x+5)(x+4)
এখানে, সাধারণ মৌলিক উৎপাদক হলোঃ (x+4)
∴নির্ণেয় গসাগু= (x+4)
২৪. a3-ab2, a4+2a3b+a2b2
সমাধানঃ
১ম রাশি
= a3-ab2
=a(a2-b2)
=a(a+b)(a-b)
২য় রাশি
= a4+2a3b+a2b2
=a2(a2+2ab+b2)
=a2(a+b)2
=a✕a(a+b)(a+b)
এখানে, সাধারণ মৌলিক উৎপাদক হলোঃ a(a+b)
∴নির্ণেয় গসাগু=a(a+b)
২৫. a2-16, 3a+12, a2+5a+4
সমাধানঃ
১ম রাশি
= a2-16
=a2-42
=(a-4)(a+4)
২য় রাশি
=3a+12
=3(a+4)
৩য় রাশি
= a2+5a+4
=a2+a+4a+4
=a(a+1)+4(a+1)
=(a+1)(a+4)
এখানে, সাধারণ মৌলিক উৎপাদক হলোঃ (a+4)
∴নির্ণেয় গসাগু=(a+4)
২৬. xy-y, x3y-xy, x2-2x+1
সমাধানঃ
১ম রাশি= xy-y=y(x-1)
২য় রাশি
= x3y-xy
=xy(x2-1)
=xy(x+1)(x-1)
৩য় রাশি
= x2-2x+1
= x2-2✕x✕1+12
=(x-1)2
=(x-1)(x-1)
এখানে, সাধারণ মৌলিক উৎপাদক হলোঃ (x-1)
∴নির্ণেয় গসাগু=(x-1)
লসাগু নির্ণয় কর (২৭-৩৬):
২৭. 6a3b2c, 9a4bd2
সমাধানঃ
রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগ 6 ও 9 এর লসাগু 18
প্রদত্ত রাশিগুলোর অন্তর্ভুক্ত a, b, c, d উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ ঘাত যথাক্রমে a4, b2, c, d2
∴নির্ণেয় লসাগু=18 a4b2cd2
২৮. 5x2y2, 10xz3, 15y3z4
সমাধানঃ
রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগ 5, 10 ও 15 এর লসাগু 30
প্রদত্ত রাশিগুলোর অন্তর্ভুক্ত x,y,z উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ ঘাত যথাক্রমে x2, y3, z4
∴নির্ণেয় লসাগু=30 x2y3z4
২৯. 2p2xy2, 3pq2, 6pqx2
সমাধানঃ
রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগ 2, 3 ও 6 এর লসাগু 6
প্রদত্ত রাশিগুলোর অন্তর্ভুক্ত p, q, x, y উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ ঘাত যথাক্রমে p2, q2, x2, y2
∴নির্ণেয় লসাগু=6 p2q2 x2 y2
৩০. (b2-c2), (b+c)2
সমাধানঃ
১ম রাশি=(b2-c2)=(b+c)(b-c)
২য় রাশি=(b+c)2=(b+c)
এখানে, (b+c) রাশির সর্বোচ্চ ঘাত (b+c)2
∴নির্ণেয় লসাগু=(b-c)(b+c)2
৩১. x2+2x, x2+3x+2
সমাধানঃ
১ম রাশি= x2+2x=x(x+2)
২য় রাশি
= x2+3x+2
= x2+x+2x+2
=x(x+1)+2(x+1)
=(x+1)(x+2)
প্রদত্ত রাশিগুলোর অন্তর্ভুক্ত উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ ঘাত যথাক্রমে x, (x+2), (x+1)
∴নির্ণেয় লসাগু= x(x+2)(x+1)=x(x2+3x+2)
৩২. 9x2-25y2, 15ax-25ay
সমাধানঃ
১ম রাশি
=9x2-25y2
=(3x)2-(5y)2
=(3x+5y)(3x-5y)
২য় রাশি
=15ax-25ay
=5a(3x-5y)
∴নির্ণেয় লসাগু=5a(3x-5y)(3x+5y)=5a(9x2-25y2)
৩৩. x2-3x-10, x2-10x+25
সমাধানঃ
১ম রাশি
= x2-3x-10
= x2-5x+2x-10
=x(x-5)+2(x-5)
=(x+20(x-5)
২য় রাশি
= x2-10x+25
= x2-2✕x✕5+52
=(x-5)2
এখানে, (x-5) রাশির সর্বোচ্চ ঘাত (x-5)2
∴নির্ণেয় লসাগু=(x-2)(x-5)2
৩৪. a2-7a+12, a2+a-20, a2+2a-15
সমাধানঃ
১ম রাশি
= a2-7a+12
= a2-3a-4a+12
=a(a-3)-4(a-3)
=(a-4)(a-3)
২য় রাশি
=a2+a-20
= a2+5a-4a-20
=a(a+5)-4(a+5)
=(a+5)(a-4)
৩য় রাশি
= a2+2a-15
= a2+5a-3a-15
=a(a+5)-3(a+5)
=(a+5)(a-3)
প্রদত্ত রাশিগুলোর অন্তর্ভুক্ত উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ ঘাত যথাক্রমে (a+5), (a-3), (a-2)
∴নির্ণেয় লসাগু=(a+5)(a-3)(a-2)
৩৫. x2-8x+15, x2-25, x2+2x-15
সমাধানঃ
১ম রাশি
= x2-8x+15
= x2-3x-5x+15
=x(x-3)-5(x-3)
=(x-5)(x-3)
২য় রাশি
= x2-25
= x2-52
=(x-5)(x+5)
৩য় রাশি
= x2+2x-15
= x2+5x-3x-15
=x(x+5)-3(x+5)
=(x-3)(x+5)
∴নির্ণেয় লসাগু=(x-3)(x-5)(x+5)=(x-3)(x2-25)
৩৬. x+5, x2+5x, x2+7x+10
সমাধানঃ
১ম রাশি=x+5
২য় রাশি= x2+5x=x(x+5)
৩য় রাশি= x2+7x+10= x2+2x+5x+10=x(x+2)+5(x+2)=(x+5)(x+2)
∴নির্ণেয় লসাগু=x(x+2)(x+5)
৩৭. a=2x-3 এবং b=2x+5
(ক) a+b এর মান নির্ণয় কর।
(খ) সূত্রের সাহায্যে a2 এর মান নির্ণয় কর।
(গ) সূত্রের সাহায্যে a ও b এর গূনফল নির্ণয় কর। x=2 হলে ab=কত?
সমাধানঃ
(ক)
a+b=(2x-3)+(2x+5)=2x-3+2x+5=4x+2
(খ)
a2=(2x-3)2=(2x)2-2✕2x✕3+(3)2=4x2-12x+9
(গ)
ab
=(2x-3)(2x+5)
=(2x-3)✕2x+(2x-3)✕5
=4x2-6x+10x-15
=4x2+4x-15
x=2 হলে,
4x2+4x-15=4✕22+4✕2-15=16+8-15=9
∴ab=9
৩৮. x4-625 এবং x2+3x-10 দুইটি বীজগণিতীয় রাশি।
(ক) দ্বিতীয় রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষন কর।
(খ) রাশি দুইটির গসাগু নির্ণয় কর।
(গ) রাশি দুইটির লসাগু নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
(ক)
x2+3x-10
= x2+5x-2x-10
=x(x+5)-2(x+5)
=(x-2)(x+5)
(খ)
১ম রাশি
x4-625
=(x2)2-(25)2
=(x2-25)(x2+25)
=(x2-52) (x2+25)
=(x-5)(x+5)( (x2+25)
২য় রাশি
=x2+3x-10
= x2+5x-2x-10
=x(x+5)-2(x+5)
=(x-2)(x+5)
∴রাশি দুইটির গসাগু=(x+5)
(গ)
১ম রাশি
x4-625
=(x2)2-(25)2
=(x2-25)(x2+25)
=(x2-52) (x2+25)
=(x-5)(x+5)(x2+25)
২য় রাশি
=x2+3x-10
= x2+5x-2x-10
=x(x+5)-2(x+5)
=(x-2)(x+5)
∴রাশি দুইটির লসাগু=(x-5)(x+5)( x2+25)(x-2)=(x-2)( x4-625)
৩৯. x2-3x-10, x3+6x+8x এবং x4-5x3-14x2 তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক) (3x-2y+z) এর বর্গ নির্নয় কর।
খ) ১ম ও ২য় রাশির গসাগু নির্ণয় কর।
গ) রাশি তিনটির লসাগু নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
(ক)
(3x-2y+z) এর বর্গ
=(3x-2y+z)2
=(3x-2y)2+2✕(3x-2y)✕z+z2
=(3x)2-2✕3x✕2y+(2y)2+2✕3x✕z-2✕2y✕z+z2
=9x2-12xy+4y2+6xz-4yz+z2
(খ)
১ম রাশি
= x2-3x-10
= x2-5x+2x-10
=x(x-5)+2(x-5)
=(x+2)(x-5)
২য় রাশি
=x3+6x+8x
= x3+4x+2x+8x
=x(x+4)+2(x+4)
=(x+2)(x+4)
১ম ও ২য় রাশির গসাগু=x+2
(গ)
১ম রাশি
= x2-3x-10
= x2-5x+2x-10
=x(x-5)+2(x-5)
=(x+2)(x-5)
২য় রাশি
=x3+6x+8x
= x3+4x+2x+8x
=x(x+4)+2(x+4)
=(x+2)(x+4)
৩য় রাশি
= x4-5x3-14x2
= x4-7x3+2x3-14x2
=x3(x-7)+2x2(x-7)
=(x3+2x2)(x-7)
=x2(x+2)(x-7)
∴লসাগু=(x+2)(x-5)(x+4)(x-7)x2
