Class 6 Math-ষষ্ঠ শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ১.২ সমাধান
১. ৩০ থেকে ৭০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো লেখ।
সমাধানঃ
৩০ থেকে ৭০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো-
৩১,৩৭,৪১,৪৩,৪৭,৫৩,৫৯,৬১,৬৭
২. সহমৌলিক জোড়া নির্ণয় করঃ
(ক) ২৭,৫৪
এখানে,
২৭=১x৩x৩x৩
৫৪=১x২x৩x৩x৩
২৭ এর গুণনীয়কগুলো ১,৩,৯,২৭
এবং ৫৪ এর গুণনীয়কগুলো ১,২,৩,৬,৯,১৮,২৭,৫৪
২৭ ও ৫৪ এর সাধারণ গুণনীয়কগুলোঃ ১,৩,৯,২৭
সুতরাং ২৭ ও ৫৪ পরস্পর সহমৌলিক নয়।
(খ) ৬৩,৯১
এখানে,
৬৩=১x৩x৩x৭
৯১=১x৭x১৩
৬৩ এর গুণনীয়কগুলো ১,৩,৭,৯,২১,৬৩
৯১ এর গুণনীয়কগুলো ১,৭,১৩,৯১
৬৩ ও ৯১ এর মধ্যে ১ ছাড়াও অন্য সাধারন গুণনীয়ক ৭ আছে।
সুতরাং, ৬৩ ও ৯১ সংখ্যাদ্বয় পরস্পর সহমৌলিক নয়।
(গ) ১৮৯,২১০
এখানে,
১৮৯=১x৩x৩x৩x৭
২১০=১x২x৩x৫x৭
১৮৯ এর গুণনীয়কগুলো ১,৩,৭,৯,২১,২৭,৬৩
২১০ এর গুণনীয়কগুলো ১,২,৩,৫,৬,৭,১০,১৪,১৫,২১,৩০,৩৫,৪২,৭০,১০৫,২১০
১৮৯ ও ২১০ এর মধ্যে ১ ছাড়াও অন্য সাধারণ গুণনীয়ক ৩,৭ ও ২১ আছে।
সুতরাং ১৮৯ ও ২১০ পরস্পর সহমৌলিক নয়।
(ঘ) ৫২,৯৭
সমাধানঃ
এখানে,
৫২=১x২x২x১৩
৯৭=১x৯৭
৫২ এর গুণনীয়কগুলো ১,২,৪,১৩,২৬,৫২
৯৭ এর গুণনীয়কগুলো ১,৯৭
৫২ ও ৯৭ এর মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোন সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
সুতরাং, ৫২ ও ৯৭ পরস্পর সহমৌলিক।
৩. নিচের কোন সংখ্যাগুলো নির্দেশিত সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য।
(ক) ৩ দিয়েঃ ৫৪৫,৬৭৭৪,৮৫৩৫
সমাধানঃ
৫৪৫ এর জন্য:
আমরা জানি, কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে সেই সংখ্যাও ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
অতএব,
৫৪৫ এর অঙ্ক গুলোর যোগফল = ৫ + ৪ + ৫ = ১৪, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং ৫৪৫ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
৬৭৭৪ এর জন্য:
আমরা জানি, কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে সেই সংখ্যাও ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
অতএব,
৬৭৭৪ এর অঙ্ক গুলোর যোগফল = ৬+৭+৭+৪=২৪ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৬৭৭৪ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
৮৫৩৫ এর জন্য:
আমরা জানি, কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে সেই সংখ্যাও ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
অতএব,
৮৫৩৫ এর অঙ্ক গুলোর যোগফল = ৮+৫+৩+৫=২১ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৮৫৩৫ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
(খ) ৪ দিয়েঃ ৮৫৪২,২১৮৪,৫২৭৪
সমাধানঃ
৮৫৪২ এর জন্য:
আমরা জানি, কোন সংখ্যার একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা যদি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটিও ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৮৫৪২ সংখ্যাটির একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪২ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং, ৮৫৪২ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
২১৮৪ এর জন্য:
আমরা জানি, কোন সংখ্যার একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা যদি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটিও ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
২১৮৪ সংখ্যাটির একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৮৪ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য । সুতরাং,২১৮৪ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য ।
৫২৭৪ এর জন্য:
আমরা জানি, কোন সংখ্যার একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা যদি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটিও ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৫২৭৪ সংখ্যাটির একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৭৪ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং,২১৮৪ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
(গ) ৬ দিয়েঃ ২১৮৪, ১০৭৪, ৭৮৩২
সমাধানঃ
২১৮৪ এর জন্য:
আমরা জানি, কোন সংখ্যা ২ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
২১৮৪ এর একক স্থানীয় অঙ্ক ৪ যা ২ দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ ২১৮৪, ২ দ্বারা বিভাজ্য।
আবার, ২১৮৪ সংখ্যাটির অঙ্ক গুলোর যোগফল = ২+১+৮+৪=১৫ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ ২১৮৪, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
সুতরাং, ২১৮৪, ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
১০৭৪ এর জন্য:
আমরা জানি, কোন সংখ্যা ২ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
১০৭৪ এর একক স্থানীয় অঙ্ক ৪ যা ২ দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ ১০৭৪, ২ দ্বারা বিভাজ্য।
আবার, ১০৭৪ সংখ্যাটির অঙ্ক গুলোর যোগফল = ১+০+৭+৪=১২ যা ৩ দ্বরা বিভাজ্য অর্থাৎ ১০৭৪, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
সুতরাং ১০৭৪, ৬ দ্বরা বিভাজ্য।
৭৮৩২ এর জন্য:
আমরা জানি, কোন সংখ্যা ২ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৭৮৩২ এর একক স্থানীয় অঙ্ক ২ যা ২ দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ ৭৮৩২, ২ দ্বারা বিভাজ্য।
আবার, ৭৮৩২ সংখ্যাটির অঙ্ক গুলোর যোগফল = ৭+৮+৩+২=২০ যা ৩ দ্বরা বিভাজ্য নয় অর্থাৎ ৭৮৩২, ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
সুতরাং ৭৮৩২, ৬ দ্বরা বিভাজ্য নয়।
(ঘ) ৯ দিয়েঃ ৫০৭৫, ১৭৩৭, ২১৯৩
সমাধানঃ
৫০৭৫ এর জন্য:
আমরা জানি, কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে সেই সংখ্যাও ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
অতএব,
৫০৭৫ এর অঙ্ক গুলোর যোগফল = ৫+০+৭+৫=১৭, যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং ৫০৭৫ সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৭৩৭ এর জন্য:
আমরা জানি, কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে সেই সংখ্যাও ৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
অতএব,
১৭৩৭ এর অঙ্ক গুলোর যোগফল = ১+৭+৩+৭=১৮ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ১৭৩৭ সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
২১৯৩ এর জন্য:
আমরা জানি, কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে সেই সংখ্যাও ৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
অতএব,
২১৯৩ এর অঙ্ক গুলোর যোগফল = ২+১+৯+৩=১৫ যা ৯ দ্বরা বিভাজ্য নয়।। সুতরাং২১৯৩ সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
৪. নিচের ⬜চিহ্নিত স্থানে কোন কোন অঙ্ক বসালে সংখ্যাটি ৯ দ্বরা বিভাজ্য হবে?
(ক) ৫⬜৪৭২৩
সমাধানঃ
৫⬜৪৭২৩ এ ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর যোগফল ৫+৪+৭+২+৩=২১ যা ৯ দ্বরা বিভাজ্য নয়।
২১ এর পর ৯ দ্বরা বিভজ্য পরবর্তী সংখ্যা ২৭
এখন, ২৭-২১=৬
অতএব, ⬜=৬ হলে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
(খ) ৮১২⬜৭৪
৮+১+২+৭+৪=২২ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়। ২২ এর পর ৯ দ্বারা বিভাজ্য পরবর্তী সংখ্যা ২৭
এখন, ২৭-২২=৫
অতএব, ⬜=৫ হলে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
(গ)⬜৪১৫৭৮
৪+১+৫+৭+৮=২৫ যা ৯ দ্বরা বিভাজ্য নয়।
২৫ এর পর ৯ দ্বরা বিভজ্য পরবর্তী সংখ্যা ২৭
এখন, ২৭-২৫=২
অতএব, ⬜=২ হলে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
(ঘ) ৫৭৪২⬜
৫+৭+৪+২=১৮ যা ৯ দ্বরা বিভাজ্য
অতএব, ⬜=০ হলে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
আবার,
১৮ এর পর ৯ দ্বরা বিভজ্য পরবর্তী সংখ্যা ২৭
এখন, ২৭-১৮=৯
অতএব, ⬜=৯ হলেও সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৫. পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা নির্ণয় কর যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
সমাধানঃ
পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০০০
এখন, ১+০+০+০+০=১ যা ৩ দ্বরা বিভাজ্য নয়।
১ এর পর ৩ দ্বরা বিভজ্য পরবর্তী সংখ্যা ৩।
এখন, ৩-১=২
অতএব, ৩ দ্বরা বিভাজ্য ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে ১০০০০+২=১০০০২
৬. সাত অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা নির্ণয় কর যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
সমাধানঃ
সাত অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা=৯৯৯৯৯৯৯
এখন, ৯+৯+৯+৯+৯+৯+৯=৬৩ যা ৩ দ্বরা বিভাজ্য অর্থাৎ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য। কিন্তু যেহেতু সংখ্যাটির একক স্থানে ০ বা জোড় সংখ্যা নেই সেহেতু সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
অতএব, সংখ্যাটি ৬ দ্বারাও বিভাজ্য নয়।
এখন, ৯৯৯৯৯৯-৩=৯৯৯৯৯৯৬; ৯+৯+৯+৯+৯+৯+৬=৬০
যা ৩ দ্বরা বিভাজ্য এবং একক স্থানের অঙ্ক ৬, ২ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, ৯৯৯৯৯৯৬ সংখ্যাটি ৬ দ্বরা বিভাজ্য।
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা=৯৯৯৯৯৯৬
৭. ৩,০,৫,২,৭ অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা ৪ এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
৩,০,৫,২,৭ দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা=৭৫৩২০ যার একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা=২০ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য বা সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
আবার, ৭৫৩২০ এর একক স্থানীয় অঙ্ক ০, অর্থাৎ সংখ্যাটি ৫ দ্বরা বিভাজ্য।
