SSC/class 9 10 general math ex-5.1 solution part 2
প্রশ্ন \ ১৬ \ \frac{m}{m – x} + \frac{n}{n – x} = \frac{m + n}{m + n – x}
সমাধান : দেওয়া আছে,
\frac{m}{m – x} + \frac{n}{n – x} = \frac{m + n}{m + n – x}
বা, \frac{m}{m – x} + \frac{n}{n – x} = \frac{m}{m + n – x} + \frac{n}{m + n – x}
বা, \frac{m}{m – x} – \frac{m}{m + n – x}= \frac{n}{m + n – x} – \frac{n}{n – x} [পক্ষান্তর করে]
বা, \frac{m(m + n – x) – m(m – x)}{(m – x)( m + n – x)} = \frac{n(n – x) – n(m + n – x) }{(m + n – x)(n – x)}
বা, \frac{m^2 + mn –mx – m^2 + mx)}{(m – x)( m + n – x)} = \frac{n^2 – nx – mn – n^2 + nx) }{(m + n – x)(n – x)}
বা, \frac{mn}{(m – x)( m + n – x)} = \frac{– mn}{(m + n – x)(n – x)}
বা, \frac{1}{m – x} = \frac{– 1}{n – x}
[উভয়পক্ষকে \frac{mn}{m + n – x} দিয়ে ভাগ করে]
বা, – m + x = n – x
বা, x + x = m + n
বা, 2x = m + n
∴ x = \frac{m + n}{2}
নির্ণেয় সমাধান সেট, S = \frac{m + n}{2}
প্রশ্ন \ ১৭ \ \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x + 3}
সমাধান : দেওয়া আছে,
\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{x + 4} + \frac{1}{x + 3}
বা, \frac{1}{x + 2} – \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{x + 3} – \frac{1}{x + 5} [পক্ষান্তর করে]
বা, \frac{x + 3 – x – 2}{(x + 2)( x + 4)} = \frac{x + 5 – x – 4}{(x + 3)( x + 5)}
বা, \frac{1}{(x + 2)( x + 4)} = \frac{1}{(x + 3)( x + 5)}
বা, (x + 4) (x + 5) = (x + 2) (x + 3) [আড়গুণন করে]
বা, x2 + 9x + 20 = x2 + 5x + 6
বা, x2 + 9x – x2 -5x = 6 – 20 [পক্ষান্তর করে]
বা, 4x = – 14
বা, x = – \frac{14}{4}
∴ x = – \frac{7}{2}
নির্ণেয় সমাধান সেট, S = – \frac{7}{2}
প্রশ্ন \ ১৮ \ \frac{2t – 6}{9} + \frac{15 – 2t}{12 – 5t} = \frac{4t – 15}{18}
সমাধান : দেওয়া আছে,
\frac{2t – 6}{9} + \frac{15 – 2t}{12 – 5t} = \frac{4t – 15}{18}
বা, \frac{15 – 2t}{12 – 5t} = \frac{4t – 15}{18} – \frac{2t – 6}{9} [পক্ষান্তর করে ]
বা, \frac{15 – 2t}{12 – 5t} = \frac{4t – 15 – 4t + 12}{18}
বা, \frac{15 – 2t}{12 – 5t} = \frac{– 3}{18}
বা, \frac{15 – 2t}{12 – 5t} = \frac{– 1}{6}
বা, – 12 + 5t = 90 – 12t [আড়গুণন করে]
বা, 5t + 12t = 90 + 12 [পক্ষান্তর করে ]
বা, 17t = 102
বা, t = \frac{102}{17}
∴ t = 6
নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {6}
প্রশ্ন \ ১৯ \ \frac{x + 2b^2 + c^2}{a + b} + \frac{x + 2c^2 + a^2}{b + c} + \frac{x + 2a^2 + b^2}{c + a} = 0
সমাধান : দেওয়া আছে,
\frac{x + 2b^2 + c^2}{a + b} + \frac{x + 2c^2 + a^2}{b + c} + \frac{x + 2a^2 + b^2}{c + a} = 0
বা, \frac{x + 2b^2 + c^2}{a + b} + \frac{x + 2c^2 + a^2}{b + c} + \frac{x + 2ba^2 + b^2} + {c + a} + (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0 [Q(a – b) + (b – c) + (c – a) = 0]
বা, \frac{x + 2b^2 + c^2}{a + b} + (a – b) + \frac{x + 2c^2 + a^2}{b + c} + (b – c) + \frac{x + 2a^2 + b^2}{c + a} + (c – a) = 0
বা, \frac{x + 2b^2 + c^2 + a^2 – b^2}{a + b} + \frac{x + 2c^2 + a^2 + b^2 – c^2}{b + c} + \frac{x + 2a^2 + b^2 + c^2 – a^2}{c + a} = 0
বা, \frac{x + a^2 + b^2 + c^2}{a + b} + \frac{ x + a^2 + b^2 + c^2}{b + c} + \frac{ x + a^2 + b^2 + c^2}{c + a} = 0
বা, (x + a^2 + b^2 + c^2)(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}) = 0
এখানে, \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}= 0
[ চলক বর্জিত রাশি, কেননা a, b, c প্রত্যেকে ধ্রুবক]
∴ x + a^2 + b^2 + c^2 = 0
∴ x = – ( a^2 + b^2 + c^2))
নির্ণেয় সমাধান সেট, S = { – a^2 + b^2 + c^2)}
∴ সমীকরণ গঠন করে সমাধান কর (২০ – ২৭) :
প্রশ্ন \ ২০ \ একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার \frac{2}{5} গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি 98 হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।
সমাধান : ধরি, একটি সংখ্যা x তাহলে অপর সংখ্যা \frac{2}{5}x
প্রশ্নানুসারে, x + \frac{2}{5}x = 98
বা, \frac{5x + 2x}{5} = 98
বা, 7x = 490
বা, x = \frac{490}{7}
∴ x = 70
∴ একটি সংখ্যা x = ৭০ এবং অপর সংখ্যা = \frac{2}{5} x = \frac{2}{5} × 70 = 28
নির্ণেয় সংখ্যা দুটি 70 এবং 28.
প্রশ্ন \ ২১ \ একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 1; লব থেকে 2 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশটি পাওয়া যাবে, তা \frac{1}{6} এর সমান। ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর।
সমাধান : ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশের লব = x
∴প্রকৃত ভগ্নাংশের হর = x + 1
[∵ প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা বড়]
∴ ভগ্নাংশটি = \frac{x}{x + 1}
প্রশ্নমতে, \frac{x – 2}{x + 1 + 2} = 0
বা, 6x – 12 = x + 1 + 2 [আড়গুণন করে]
বা, 6x – x = 3 + 12 [পক্ষান্তর করে]
বা, 5x = 15
বা, x = \frac{15}{5}
∴ x= 3
∴ ভগ্নাংশটি = \frac{3}{3 + 1} = \frac{3}{4} (Ans.)
প্রশ্ন \ ২২ \ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 9; অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 45 কম হবে। সংখ্যাটি কত?
সমাধান : ধরি, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = x
তাহলে সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = (9 – x)
∴ সংখ্যাটি = 10 × দশক স্থানীয় অঙ্ক + একক স্থানীয় অঙ্ক
= 10 (9 – x) + x
= 90 – 10x + x
= 90 – 9x
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10x + (9 – x)
= 9x + 9
প্রশ্নমতে, 9x + 9 = 90 – 9x – 45
বা, 9x + 9x = 90 – 45 – 9 [পক্ষান্তর করে]
বা, 18x = 36
বা, x = \frac{36}{18}
∴ x = 2
∴ সংখ্যাটি = 90 – 9x
= 90 – (9 × 2)
= 90 – 18 = 72 (Ans.)
প্রশ্ন \ ২৩ \ দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। দেখাও যে, সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাত গুণ।
সমাধান : ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক = x
তাহলে, দশক স্থানীয় অঙ্ক = 2x
∴ সংখ্যাটি = 10 × 2x + x
= 20x + x = 21x
আবার, অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি = x + 2x = 3x
অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ = 3x × 7 = 21x
∴ সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির 7 গুণের সমান। (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ২৪ \ একজন ক্ষুদ্র ব্যবসায়ী 5600 টাকা বিনিয়োগ করে এক বছর পর কিছু টাকার উপর 5% এবং অবশিষ্ট টাকার উপর 4% লাভ করলেন। মোট 256 টাকা লাভ করলে তিনি কত টাকার উপর 5% লাভ করলেন?
সমাধান : মনে করি, ঐ ব্যক্তি 5% হারে x টাকা বিনিয়োগ করেছেন।
তাহলে, 4% হারে (5600 – x) টাকা বিনিয়োগ করেছেন।
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে, I = Pnr
এক্ষেত্রে, মুনাফা = I
মূলধন = P
সময় = n = 1 বছর
5% হারে, r = \frac{5}{100} এবং 4% হারে, r = \frac{4}{100}
প্রশ্নমতে, x.1. \frac{5}{100} + (5600– x).1. \frac{4}{100} = 256
বা, 5x + 22400 – 4x = 25600 [100 দ্বারা উভয়পক্ষে গুণ করে ]
বা, x = 25600 – 22400
∴ x = 3200
ঐ ব্যক্তি 3200 টাকার উপর 5% লাভ করলেন। (Ans.)
প্রশ্ন \ ২৫ \ একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47; মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?
সমাধান : কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = x
তাহলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা = (47– x)
প্রশ্নমতে, ডেকের মাথাপিছু ভাড়া = 30 টাকা
∴ কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া = (30 × 2) টাকা = 60 টাকা
প্রশ্নমতে, 60.x + 30(47 – x) = 1680
বা, 60x + 1410 – 30x = 1680
বা, 30x = 1680 – 1410
বা, x = \frac{270}{30}
∴ x = 9
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা 9। (Ans.)
প্রশ্ন \ ২৬ \ 120 টি পঁচিশ পয়সার মুদ্রা ও পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রায় মোট 35 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?
সমাধান : পঁচিশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা x টি
∴ পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা (120 – x) টি
পঁচিশ পয়সার মুদ্রার টাকার মান \frac{x × 25}{100} টাকা
এবং পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার টাকার মান \frac{(120 – x) × 50}{100}
প্রশ্নানুসারে, \frac{x × 25}{100} + \frac{(120 – x) × 50}{100} = 35
বা, 25x + (120 – x) 50 = 3500
বা, 25x + 6000 – 50x = 3500
বা, – 25x = 3500 – 6000
বা, 25x = 2500 [উভয় পক্ষকে – 1 দ্বারা গুণ করে]
বা, x = \frac{2500}{25}
∴ x = 100
∴ পঁচিশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা 100 টি
এবং পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা (120 – 100)টি বা, 20 টি। (Ans.)
প্রশ্ন \ ২৭ \ একটি গাড়ি ঘণ্টায় 60 কি.মি. বেগে কিছু পথ এবং ঘণ্টায় 40 কি.মি. বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। গাড়িটি মোট 5 ঘণ্টায় 240 কি.মি. পথ অতিক্রম করলে, ঘণ্টায় 60 কি. মি. বেগে কতদূর গিয়েছে?
সমাধান : ধরি, 60 কি.মি./ঘণ্টা বেগে x কি.মি. দূরত্ব গিয়েছিল।
তাহলে, ঘণ্টায় 40 কি.মি. বেগে গিয়েছিল (240 – x) কি.মি.।
প্রশ্নমতে, \frac{x}{60} + \frac{240 – x}{40} = 5
বা, 2x + 3 (240 – x) = 600 [উভয়পক্ষে 120 দ্বারা গুণ করে]
বা, 2x + 720 – 3x = 600
বা, – x = 600 – 720
বা, – x = – 120
∴ x = 120
∴ গাড়িটি 60 কি.মি. বেগে 120 কি.মি. গিয়েছিল। (Ans.)
SSC/class 9 10 General Math Ex-5.1 Solution part 2
