ষষ্ঠ শ্রেণির গণিত বইয়ের Class 6 Math অনুশীলনী ৪.২ সূচক অধ্যায়ের উপর ভিত্তি করে তৈরি। এখানে সূচকের সংজ্ঞা, গুণ ও ভাগের নিয়ম, এবং বাস্তব উদাহরণসহ অনুশীলনীর প্রতিটি প্রশ্নের সহজ ও বিস্তারিত সমাধান দেওয়া হয়েছে, যা শিক্ষার্থীদের শেখা সহজ করবে।
Class 6 Math অনুশীলনী ৪.২ সূচক
সূচক: কোনো রাশিতে একই উৎপাদক যতবার গুণ আকারে থাকে, ততবারের সংখ্যাকে উৎপাদকটির সূচক বলা হয়। উৎপাদকটিকে ভিত্তি বলা হয়। যেমন, 16 = 2 × 2 × 2 × 2, 2 গুণ আকারে আছে 4 বার = 2 ^ 4 এখানে, 16 এর সূচক হলো 4 এবং ভিত্তি 2।
ঘাত বা শক্তি : a একটি বীজগণিতীয় রাশি a কে a দ্বারা এক বার, দুই বার, তিন বার, চার বার, …….., n বার গুণ করলে হবে
a × a = a^2
a ×a ×a = a^3
a × a ×a ×a = a^4
........................
........................
a ×a × a × a ×.............. × a (n বার) = a^n
যেখানে, a^2, a^3, a^4, ......, a^n কে যথাক্রমে a এর দ্বিতীয়, তৃতীয়, চতুর্থ, …. n তম ঘাত বলে এবং পড়া হয় a^2 = a এর বর্গ,
a^3 = a এর ঘন, a^4 = a এর চতুর্ঘাত, ………….
এখানে, a^n কে a এর n তম ঘাত বা শক্তি বলে। n হলো ঘাতের সূচক ও a হবে ভিত্তি।
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
নিয়ম:
ধাপ-১: একই জাতীয় সংখ্যা প্রতীককে প্রথম বর্ণটির ভেতরে লিখতে হবে।
ধাপ-২: একই জাতীয় সংখ্যা প্রতীককে ঘাতসমূহ যোগ করতে হবে।
(i) x^3 \times x^7
সমাধান:
x^3 \times x^7
= (x \times x \times x) \times (x \times x \times x \times x \times x \times x \times x)
= x^{10} (Ans.)
বিকল্প পদ্ধতি:
x^3 \times x^7 = x^{3+7} ; [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ]
= x^{10} (Ans.)
(ii) a^3 \times a \times a^5
সমাধান:
a^3 \times a \times a^5
= a^{3+1} \times a^5 ; [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ]
= a^4 \times a^5
= a^{4+5} ; [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ]
= a^9 (Ans.)
(iii) x^4 \times x^2 \times x^9
সমাধান:
x^4 \times x^2 \times x^9
= x^{4+2} \times x^9 ; [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ]
= x^6 \times x^9
= x^{6+9} ; [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ]
= x^{15} (Ans.)
(iv) m \times m^2 \times m^3 \times m^3 \times m^7
সমাধান:
m \times m^2 \times m^3 \times m^3 \times m^7
= (m \times m^2 \times m^3) \times (m^3 \times m^7)
= (m^{2+1} \times m^3) \times (m^{3+7}) ; [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ]
= (m^3 \times m^3) \times m^{10}
= m^{3+3} \times m^{10} ; [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ]
= m^6 \times m^{10}
= m^{6+10} ; [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ]
= m^{16} (Ans.)
(v) 3a \times 4b \times 2a \times 5c \times 3b
সমাধান:
3a \times 4b \times 2a \times 5c \times 3b
= (3a \times 2a) \times (4b \times 3b) \times 5c
= (3 \times 2 \times a \times a) \times (4 \times 3 \times b \times b) \times 5c
= (6 \times a^{1+1}) \times (12 \times b^{1+1}) \times 5c ; [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ]
= 6a^2 \times 12b^2 \times 5c
= (6 \times 12 \times 5) a^2 b^2 c
= 360 a^2 b^2 c (Ans.)
(vi) 2x^2 y^2 \times z^2 z^2 \times 3y^2 \times 4x^2
সমাধান:
2x^2 y^2 \times z^2 z^2 \times 3y^2 \times 4x^2
= (2x^2 \times 4x^2) \times (y^2 \times 3y^2) \times z^2 z^2
= (2 \times 4 \times x^{2+2}) \times (y^2 \times 3y^2) \times z^{2+2}
= (2 \times 4 \times x^4) \times (3 \times y^4) \times z^4
= 8x^4 \times 3y^4 \times z^4
= (8 \times 3 \times 2) x^4 y^4 z^2
= 48x^4 y^4 z^2 (Ans.)
২. a = 2, b = 3, c = 1 হলে, নিচের রাশিগুলোর মান নির্ণয় কর:
নিয়ম:
ধাপ-১: মান বসাতে হবে।
ধাপ-২: ঘাত সমূহকে ভেঙ্গে গুণ করতে হবে।
ধাপ-৩: প্রদত্ত চিহ্ন অনুযায়ী যোগ অথবা বিয়োগ করতে হবে।
(i) a^3 + b^2
সমাধান:
দেওয়া আছে, a = 2 \, এবং \, b = 3
প্রদত্ত রাশি = a^3 + b^2
= (2)^3 + (3)^2 ; [a এবং b এর মান বসিয়ে]
= (2 \times 2 \times 2) + (3 \times 3)
= 8 + 9 = 17 (Ans.)
(ii) b^3 + c^3
সমাধান:
দেওয়া আছে, b = 3 \, এবং \, c = 1
প্রদত্ত রাশি = b^3 + c^3
= (3)^3 + (1)^3 ; [ b এবং c এর মান বসিয়ে]
= (3 \times 3 \times 3) + (1 \times 1 \times 1)
= 27 + 1 = 28 (Ans.)
(iii) a^2 - b^2 + c^2
সমাধান:
দেওয়া আছে, a = 2, b = 3, \, এবং \, c = 1
প্রদত্ত রাশি = a^2 - b^2 + c^2
= (2)^2 - (3)^2 + (1)^2 ; [ a, b, এবং c এর মান বসিয়ে]
= (2 \times 2) - (3 \times 3) + (1 \times 1)
= 4 - 9 + 1 = (4 + 1) - 9
= 5 - 9 = -4 (Ans.)
(iv) b^2 - 2ab + a^2
সমাধান:
দেওয়া আছে, a = 2 \, এবং \, b = 3
প্রদত্ত রাশি = b^2 - 2ab + a^2
= (3)^2 - 2 \times 2 \times 3 + (2)^2 ; [a , এবং , b এর মান বসিয়ে]
= (3 \times 3) - 12 + (2 \times 2)
= 9 - 12 + 4 = (9 + 4) - 12
= 13 - 12 = 1 (Ans.)
(v) a^2 - 2ac + c^2
সমাধান:
দেওয়া আছে, a = 2, b = 3, \, এবং \, c = 1
প্রদত্ত রাশি = a^2 - 2ac + c^2
= (2)^2 - 2 \times 2 \times 1 + (1)^2 ; [a , এবং c এর মান বসিয়ে]
= (2 \times 2) - 4 + (1 \times 1)
= 4 - 4 + 1 = (4 + 1) - 4
= 5 - 4 = 1 (Ans.)
৩. x = 3, y = 5, z = 2 হলে, দেখাও যে,
(i) y^2 - x^2 = (x + y)(y - x)
সমাধান:
দেওয়া আছে, x = 3, y = 5
বামপক্ষ:
y^2 - x^2
= (5)^2 - (3)^2 ; [x এবং y এর মান বসিয়ে]
= (5 \times 5) - (3 \times 3) = 25 - 9 = 16
ডানপক্ষ:
(x + y)(y - x)
= (3 + 5)(5 - 3) ; [x এবং y এর মান বসিয়ে]
= 8 \times 2 = 16
অতএব, y^2 - x^2 = (x + y)(y - x) (দেখানো হলো)
(ii) (x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy
সমাধান:
দেওয়া আছে, x = 3, y = 5
বামপক্ষ:
(x + y)^2
= (3 + 5)^2 ; [x এবং y এর মান বসিয়ে]
= (8)^2 = 8 \times 8 = 64
ডানপক্ষ:
(x - y)^2 + 4xy
= (3 - 5)^2 + (4 \times 3 \times 5) ; [x এবং y এর মান বসিয়ে]
= (-2)^2 + 60
= (-2) \times (-2) + 60 = 4 + 60 = 64
অতএব, (x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy (দেখানো হলো)
(iii) (y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2
সমাধান:
দেওয়া আছে, y = 5, z = 2
বামপক্ষ:
(y + z)^2
= (5 + 2)^2 ; [y এবং z এর মান বসিয়ে]
= (7)^2 = 7 \times 7 = 49
ডানপক্ষ:
y^2 + 2yz + z^2
= (5)^2 + 2 \times 5 \times 2 + (2)^2 ; [y এবং z এর মান বসিয়ে]
= (5 \times 5) + 20 + (2 \times 2)
= 25 + 20 + 4 = 49
অতএব, (y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2 (দেখানো হলো)
(iv) (x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2
সমাধান:
দেওয়া আছে, x = 3, z = 2
বামপক্ষ:
(x + z)^2
= (3 + 2)^2 ; [x এবং z এর মান বসিয়ে]
= (5)^2 = 5 \times 5 = 25
ডানপক্ষ:
x^2 + 2xz + z^2
= (3)^2 + 2 \times 3 \times 2 + (2)^2 ; [x এবং z এর মান বসিয়ে]
= (3 \times 3) + 12 + (2 \times 2)
= 9 + 12 + 4 = 25
অতএব, (x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2 (দেখানো হলো)
৮. সঠিক উত্তরটি লেখ:
(i) a^7 \times a^8 এর মান কোনটি?
ক) a^{56}
খ) a^{15}
গ) 15
ঘ) 56
ব্যাখ্যা:
a^7 \times a^8 = a^{7 + 8} = a^{15}
উত্তর: খ) a^{15}
(ii) a^3 \times a^{-3} এর মান কোনটি?
ক) a^6
খ) a^9
গ) a^0
ঘ) a^3
ব্যাখ্যা:
a^3 \times a^{-3} = a^{3 - 3} = a^0
উত্তর: গ) a^0
(iii) 5x^2 \times 4x^4 এর মান কোনটি?
ক) x^6
খ) 20x^6
গ) 20x^8
ঘ) 9x^6
ব্যাখ্যা:
5x^2 \times 4x^4 = (5 \times 4) \times (x^2 \times x^4) = 20 \times x^{4+2} = 20x^6
উত্তর: খ) 20x^6
(iv) x^5 \times x^4 এর সূচক কোনটি?
ক) x^{20}
খ) x^9
গ) 9
ঘ) 20
ব্যাখ্যা:
x^5 \times x^4 = x^{5+4} = x^9
উত্তর: খ) x^9
(v) 5a^3 \times a^5 এর সূচক কোনটি?
ক) 5
খ) a^8
গ) 15
ঘ) 8
ব্যাখ্যা:
5a^3 \times a^5 = 5 \times a^{3+5} = 5a^8
অতএব, 5a^8 এর সূচক হলো 8।
উত্তর: ঘ) 8
