ষষ্ঠ শ্রেণির গণিত বইয়ের Class 6 Math অনুশীলনী ৪.২ সূচক অধ্যায়ের উপর ভিত্তি করে তৈরি। এখানে সূচকের সংজ্ঞা, গুণ ও ভাগের নিয়ম, এবং বাস্তব উদাহরণসহ অনুশীলনীর প্রতিটি প্রশ্নের সহজ ও বিস্তারিত সমাধান দেওয়া হয়েছে, যা শিক্ষার্থীদের শেখা সহজ করবে।
Class 6 Math অনুশীলনী ৪.২ সূচক
সূচক: কোনো রাশিতে একই উৎপাদক যতবার গুণ আকারে থাকে, ততবারের সংখ্যাকে উৎপাদকটির সূচক বলা হয়। উৎপাদকটিকে ভিত্তি বলা হয়। যেমন, 16 = 2 × 2 × 2 × 2, 2 গুণ আকারে আছে 4 বার = \[ 2 ^ 4\] এখানে, 16 এর সূচক হলো 4 এবং ভিত্তি 2।
ঘাত বা শক্তি : a একটি বীজগণিতীয় রাশি a কে a দ্বারা এক বার, দুই বার, তিন বার, চার বার, …….., n বার গুণ করলে হবে
\[ a × a = a^2 \]
\[ a ×a ×a = a^3 \]
\[ a × a ×a ×a = a^4\]
\[ …………………… \]
\[ …………………… \]
\[ a ×a × a × a ×………….. × a (n বার) = a^n \]
যেখানে, \[ a^2, a^3, a^4, ……, a^n \] কে যথাক্রমে a এর দ্বিতীয়, তৃতীয়, চতুর্থ, …. n তম ঘাত বলে এবং পড়া হয় \[ a^2 \] = a এর বর্গ,
\[ a^3 \] = a এর ঘন, \[ a^4 \] = a এর চতুর্ঘাত, ………….
এখানে, \[ a^n \] কে a এর n তম ঘাত বা শক্তি বলে। n হলো ঘাতের সূচক ও a হবে ভিত্তি।
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
নিয়ম:
ধাপ-১: একই জাতীয় সংখ্যা প্রতীককে প্রথম বর্ণটির ভেতরে লিখতে হবে।
ধাপ-২: একই জাতীয় সংখ্যা প্রতীককে ঘাতসমূহ যোগ করতে হবে।
(i) \[ x^3 \times x^7 \]
সমাধান:
\[ x^3 \times x^7 \]
= \[ (x \times x \times x) \times (x \times x \times x \times x \times x \times x \times x) \]
= \[ x^{10} \] (Ans.)
বিকল্প পদ্ধতি:
\[ x^3 \times x^7 = x^{3+7} \] ; \[ [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ] \]
= \[ x^{10} \] (Ans.)
(ii) \[ a^3 \times a \times a^5 \]
সমাধান:
\[ a^3 \times a \times a^5 \]
= \[ a^{3+1} \times a^5 \] ; \[ [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ] \]
= \[ a^4 \times a^5 \]
= \[ a^{4+5} \] ; \[ [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ] \]
= \[ a^9 \] (Ans.)
(iii) \[ x^4 \times x^2 \times x^9 \]
সমাধান:
\[ x^4 \times x^2 \times x^9 \]
= \[ x^{4+2} \times x^9 \] ; \[ [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ] \]
= \[ x^6 \times x^9 \]
= \[ x^{6+9} \] ; \[ [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ] \]
= \[ x^{15} \] (Ans.)
(iv) \[ m \times m^2 \times m^3 \times m^3 \times m^7 \]
সমাধান:
\[ m \times m^2 \times m^3 \times m^3 \times m^7 \]
= \[ (m \times m^2 \times m^3) \times (m^3 \times m^7) \]
= \[ (m^{2+1} \times m^3) \times (m^{3+7}) \] ; \[ [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ] \]
= \[ (m^3 \times m^3) \times m^{10} \]
= \[ m^{3+3} \times m^{10} \] ; \[ [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ] \]
= \[ m^6 \times m^{10} \]
= \[ m^{6+10} \] ; \[ [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ] \]
= \[ m^{16} \] (Ans.)
(v) \[ 3a \times 4b \times 2a \times 5c \times 3b \]
সমাধান:
\[ 3a \times 4b \times 2a \times 5c \times 3b \]
= \[ (3a \times 2a) \times (4b \times 3b) \times 5c \]
= \[ (3 \times 2 \times a \times a) \times (4 \times 3 \times b \times b) \times 5c \]
= \[ (6 \times a^{1+1}) \times (12 \times b^{1+1}) \times 5c \] ; \[ [ \because a^m \times a^n = a^{m+n} ] \]
= \[ 6a^2 \times 12b^2 \times 5c \]
= \[ (6 \times 12 \times 5) a^2 b^2 c \]
= \[ 360 a^2 b^2 c \] (Ans.)
(vi) \[ 2x^2 y^2 \times z^2 z^2 \times 3y^2 \times 4x^2 \]
সমাধান:
\[ 2x^2 y^2 \times z^2 z^2 \times 3y^2 \times 4x^2 \]
= \[ (2x^2 \times 4x^2) \times (y^2 \times 3y^2) \times z^2 z^2 \]
= \[ (2 \times 4 \times x^{2+2}) \times (y^2 \times 3y^2) \times z^{2+2} \]
= \[ (2 \times 4 \times x^4) \times (3 \times y^4) \times z^4 \]
= \[ 8x^4 \times 3y^4 \times z^4 \]
= \[ (8 \times 3 \times 2) x^4 y^4 z^2 \]
= \[ 48x^4 y^4 z^2 \] (Ans.)
২. \[ a = 2, b = 3, c = 1 \] হলে, নিচের রাশিগুলোর মান নির্ণয় কর:
নিয়ম:
ধাপ-১: মান বসাতে হবে।
ধাপ-২: ঘাত সমূহকে ভেঙ্গে গুণ করতে হবে।
ধাপ-৩: প্রদত্ত চিহ্ন অনুযায়ী যোগ অথবা বিয়োগ করতে হবে।
(i) \[ a^3 + b^2 \]
সমাধান:
দেওয়া আছে, \[ a = 2 \, এবং \, b = 3 \]
প্রদত্ত রাশি = \[ a^3 + b^2 \]
= \[ (2)^3 + (3)^2 \] ; [a এবং b এর মান বসিয়ে]
= \[ (2 \times 2 \times 2) + (3 \times 3) \]
= \[ 8 + 9 = 17 \] (Ans.)
(ii) \[ b^3 + c^3 \]
সমাধান:
দেওয়া আছে, \[ b = 3 \, এবং \, c = 1 \]
প্রদত্ত রাশি = \[ b^3 + c^3 \]
= \[ (3)^3 + (1)^3 \] ; [ b এবং c এর মান বসিয়ে]
= \[ (3 \times 3 \times 3) + (1 \times 1 \times 1) \]
= \[ 27 + 1 = 28 \] (Ans.)
(iii) \[ a^2 – b^2 + c^2 \]
সমাধান:
দেওয়া আছে, \[ a = 2, b = 3, \, এবং \, c = 1 \]
প্রদত্ত রাশি = \[ a^2 – b^2 + c^2 \]
= \[ (2)^2 – (3)^2 + (1)^2 \] ; [ a, b, এবং c এর মান বসিয়ে]
= \[ (2 \times 2) – (3 \times 3) + (1 \times 1) \]
= \[ 4 – 9 + 1 = (4 + 1) – 9 \]
= \[ 5 – 9 = -4 \] (Ans.)
(iv) \[ b^2 – 2ab + a^2 \]
সমাধান:
দেওয়া আছে, \[ a = 2 \, এবং \, b = 3 \]
প্রদত্ত রাশি = \[ b^2 – 2ab + a^2 \]
= \[ (3)^2 – 2 \times 2 \times 3 + (2)^2 \] ; [a , এবং , b এর মান বসিয়ে]
= \[ (3 \times 3) – 12 + (2 \times 2) \]
= \[ 9 – 12 + 4 = (9 + 4) – 12 \]
= \[ 13 – 12 = 1 \] (Ans.)
(v) \[ a^2 – 2ac + c^2 \]
সমাধান:
দেওয়া আছে, \[ a = 2, b = 3, \, এবং \, c = 1 \]
প্রদত্ত রাশি = \[ a^2 – 2ac + c^2 \]
= \[ (2)^2 – 2 \times 2 \times 1 + (1)^2 \] ; [a , এবং c এর মান বসিয়ে]
= \[ (2 \times 2) – 4 + (1 \times 1) \]
= \[ 4 – 4 + 1 = (4 + 1) – 4 \]
= \[ 5 – 4 = 1 \] (Ans.)
৩. \[ x = 3, y = 5, z = 2 \] হলে, দেখাও যে,
(i) \[ y^2 – x^2 = (x + y)(y – x) \]
সমাধান:
দেওয়া আছে, \[ x = 3, y = 5 \]
বামপক্ষ:
\[ y^2 – x^2 \]
= \[ (5)^2 – (3)^2 \] ; [x এবং y এর মান বসিয়ে]
= \[ (5 \times 5) – (3 \times 3) = 25 – 9 = 16 \]
ডানপক্ষ:
\[ (x + y)(y – x) \]
= \[ (3 + 5)(5 – 3) \] ; [x এবং y এর মান বসিয়ে]
= \[ 8 \times 2 = 16 \]
অতএব, \[ y^2 – x^2 = (x + y)(y – x) \] (দেখানো হলো)
(ii) \[ (x + y)^2 = (x – y)^2 + 4xy \]
সমাধান:
দেওয়া আছে, \[ x = 3, y = 5 \]
বামপক্ষ:
\[ (x + y)^2 \]
= \[ (3 + 5)^2 \] ; [x এবং y এর মান বসিয়ে]
= \[ (8)^2 = 8 \times 8 = 64 \]
ডানপক্ষ:
\[ (x – y)^2 + 4xy \]
= \[ (3 – 5)^2 + (4 \times 3 \times 5) \] ; [x এবং y এর মান বসিয়ে]
= \[ (-2)^2 + 60 \]
= \[ (-2) \times (-2) + 60 = 4 + 60 = 64 \]
অতএব, \[ (x + y)^2 = (x – y)^2 + 4xy \] (দেখানো হলো)
(iii) \[ (y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2 \]
সমাধান:
দেওয়া আছে, \[ y = 5, z = 2 \]
বামপক্ষ:
\[ (y + z)^2 \]
= \[ (5 + 2)^2 \] ; [y এবং z এর মান বসিয়ে]
= \[ (7)^2 = 7 \times 7 = 49 \]
ডানপক্ষ:
\[ y^2 + 2yz + z^2 \]
= \[ (5)^2 + 2 \times 5 \times 2 + (2)^2 \] ; [y এবং z এর মান বসিয়ে]
= \[ (5 \times 5) + 20 + (2 \times 2) \]
= \[ 25 + 20 + 4 = 49 \]
অতএব, \[ (y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2 \] (দেখানো হলো)
(iv) \[ (x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2 \]
সমাধান:
দেওয়া আছে, \[ x = 3, z = 2 \]
বামপক্ষ:
\[ (x + z)^2 \]
= \[ (3 + 2)^2 \] ; [x এবং z এর মান বসিয়ে]
= \[ (5)^2 = 5 \times 5 = 25 \]
ডানপক্ষ:
\[ x^2 + 2xz + z^2 \]
= \[ (3)^2 + 2 \times 3 \times 2 + (2)^2 \] ; [x এবং z এর মান বসিয়ে]
= \[ (3 \times 3) + 12 + (2 \times 2) \]
= \[ 9 + 12 + 4 = 25 \]
অতএব, \[ (x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2 \] (দেখানো হলো)
৮. সঠিক উত্তরটি লেখ:
(i) \[ a^7 \times a^8 \] এর মান কোনটি?
ক) \[ a^{56} \]
খ) \[ a^{15} \]
গ) 15
ঘ) 56
ব্যাখ্যা:
\[ a^7 \times a^8 = a^{7 + 8} = a^{15} \]
উত্তর: খ) \[ a^{15} \]
(ii) \[ a^3 \times a^{-3} \] এর মান কোনটি?
ক) \[ a^6 \]
খ) \[ a^9 \]
গ) \[ a^0 \]
ঘ) \[ a^3 \]
ব্যাখ্যা:
\[ a^3 \times a^{-3} = a^{3 – 3} = a^0 \]
উত্তর: গ) \[ a^0 \]
(iii) \[ 5x^2 \times 4x^4 \] এর মান কোনটি?
ক) \[ x^6 \]
খ) \[ 20x^6 \]
গ) \[ 20x^8 \]
ঘ) \[ 9x^6 \]
ব্যাখ্যা:
\[ 5x^2 \times 4x^4 = (5 \times 4) \times (x^2 \times x^4) = 20 \times x^{4+2} = 20x^6 \]
উত্তর: খ) \[ 20x^6 \]
(iv) \[ x^5 \times x^4 \] এর সূচক কোনটি?
ক) \[ x^{20} \]
খ) \[ x^9 \]
গ) 9
ঘ) 20
ব্যাখ্যা:
\[ x^5 \times x^4 = x^{5+4} = x^9 \]
উত্তর: খ) \[ x^9 \]
(v) \[ 5a^3 \times a^5 \] এর সূচক কোনটি?
ক) 5
খ) \[ a^8 \]
গ) 15
ঘ) 8
ব্যাখ্যা:
\[ 5a^3 \times a^5 = 5 \times a^{3+5} = 5a^8 \]
অতএব, \[ 5a^8 \] এর সূচক হলো 8।
উত্তর: ঘ) 8
