৭ম শ্রেণি গণিত – CLASS SEVEN MATH অনুশীলনী ৪.১ সমাধান

৭ম শ্রেণি গণিত – CLASS SEVEN MATH অনুশীলনী ৪.১ সমাধান প্রদান করা হয়েছে। এখানে প্রতিটি সমস্যা বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যাতে শিক্ষার্থীরা সহজে গণিতের মৌলিক ধারণা ও সূত্রগুলির সাথে পরিচিত হতে পারে। এটি ছাত্র-ছাত্রীদের গণিতের দক্ষতা বাড়াতে এবং তাদের পাঠ্যবইয়ের বিষয়গুলো পরিষ্কারভাবে বুঝতে সাহায্য করবে।

৭ম শ্রেণি গণিত – CLASS SEVEN MATH অনুশীলনী ৪.১ সমাধান

বীজগণিতীয় রাশির গুণ 

গুণের বিনিময় বিধি :
আমরা জানি, $2\times 3=6$ আবার, $3\times 2=6$
$\therefore 2\times 3=3\times 2$; যা গুণের বিনিময় বিধি।
একইভাবে, $a,b$ যেকোনো দুটি বীজগণিতীয় রাশি হলে, a \times b = b \times a
অর্থাৎ, গুণ ও গুণকের স্থান বিনিময় করলে, গুণফলের কোনো পরিবর্তন হয় না।

গুণের সংযোজন বিধি :
(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24 ; আবার, 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24
∴ (2 \times 3) \times 4 = 2 \times (3 \times 4) ; যা গুণের সংযোজন বিধি।
একইভাবে, $a,b,c$ যেকোনো তিনটি বীজগণিতীয় রাশির জন্য
(a \times b) \times c = a \times (b \times c) যা গুণের সংযোজন বিধি।

গুণের সূচক বিধি :
সাধারণভাবে, a^m \times a^n = a^{m+n} , $m,n$ যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।
(a^m)^n = a^{mn}

গুণের বণ্টন বিধি :
a(b + c) = ab + ac
সাধারণভাবে, m(a + b + c + \text{---------}) = ma + mb + mc + \text{----}

চিহ্নযুক্ত রাশির গুণ

যেকোনো বীজগণিতীয় রাশি $a$ ও $b$ এর জন্য

a × b = ab ………………… (i)
সাধারণভাবে , (- a) × b = – (a × b) = – ab ……………. (ii)
আবার, a × ( – b) = ( – b) × a, ¸গুণের বিনিময় বিধি
a  × (- b) = – (a × b) = – ab …………………. (iii)
(- a) × (- b) = ab ……………………………… (iv)

লক্ষ্য করি :

• একই চিহ্নযুক্ত দুটি রাশির গুণফল $(+)$ চিহ্নযুক্ত হবে
• বিপরীত চিহ্নযুক্ত দুটি রাশির গুণফল $(-)$ চিহ্নযুক্ত হবে

উদাহরণস্বরূপ:

• $(+1)\times (+1)=+1$
• $(-1)\times (-1)=+1$
• $(+1)\times (-1)=-1$
• $(-1)\times (+1)=-1$

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

১ম রাশিকে ২য় রাশি দ্বারা গুণ কর $(\mathrm{১}\text{ থেকে }\mathrm{২৪})$:

প্রশ্ন ১:
3ab, ; 4a^3
সমাধান:
3ab \times 4a^3 = (3 \times 4) \times (a \times a^3) \times b = 12a^4b
নির্ঘাত গুণফল: 12a^4b .

প্রশ্ন ২:
5xy, ; 6az
সমাধান:
5xy \times 6az = (5 \times 6) \times x \times a \times y \times z = 30axyz
নির্ঘাত গুণফল: 30axyz .

প্রশ্ন ৩:
5a^2x^2, ; 3ax^5y
সমাধান:
5a^2x^2 \times 3ax^5y = (5 \times 3) \times (a^2 \times a) \times (x^2 \times x^5) \times y = 15a^3x^7y
নির্ঘাত গুণফল: 15a^3x^7y .

প্রশ্ন ৪:
8a^2b, ; -2b^2
সমাধান:
8a^2b \times -2b^2 = 8 \times (-2) \times a^2 \times (b \times b^2) = -16a^2b^3
নির্ঘাত গুণফল: -16a^2b^3 .

প্রশ্ন ৫:
-2abx^2, ; 10b^3xyz
সমাধান:
-2abx^2 \times 10b^3xyz
= (-2 \times 10) \times a \times (b \times b^3) \times (x^2 \times x) \times y \times z
= -20ab^4x^3yz
নির্ঘাত গুণফল: -20ab^4x^3yz .

প্রশ্ন ৬:
-3p^2q^3, ; -6p^5q^4
সমাধান:
-3p^2q^3 \times -6p^5q^4
= (-3) \times (-6) \times (p^2 \times p^5) \times (q^3 \times q^4)
= 18p^7q^7
নির্ঘাত গুণফল: 18p^7q^7 .

প্রশ্ন ৭:
-12m^2a^2x^3, ; -2ma^2x^2
সমাধান:
-12m^2a^2x^3 \times -2ma^2x^2
= (-12) \times (-2) \times (m^2 \times m) \times (a^2 \times a^2) \times (x^3 \times x^2)
= 24m^3a^4x^5
নির্ঘাত গুণফল: 24m^3a^4x^5 .

প্রশ্ন ৮:
7a^3bx^5y^2, ; -3x^5y^3a^2b^2
সমাধান:
7a^3bx^5y^2 \times -3x^5y^3a^2b^2
= 7 \times (-3) \times (a^3 \times a^2) \times (b \times b^2) \times (x^5 \times x^5) \times (y^2 \times y^3)
= -21a^5b^3x^{10}y^5
নির্ণেয় গুণফল: -21a^5b^3x^{10}y^5 .

প্রশ্ন ৯:
2x + 3y, ; 5xy
সমাধান:
(2x + 3y) \times 5xy
= (2x \times 5xy) + (3y \times 5xy)
= (2 \times 5) \times (x \times x) \times y + (3 \times 5) \times x \times (y \times y)
= 10x^2y + 15xy^2
নির্ণেয় গুণফল: 10x^2y + 15xy^2 .

প্রশ্ন ১০:
5x^2 - 4xy, ; 9x^2y^2
সমাধান:
(5x^2 - 4xy) \times 9x^2y^2
= (5x^2 \times 9x^2y^2) - (4xy \times 9x^2y^2)
= (5 \times 9) \times (x^2 \times x^2) \times y^2 - (4 \times 9) \times (x \times x^2) \times (y \times y^2)
= 45x^4y^2 - 36x^3y^3
নির্ণেয় গুণফল: 45x^4y^2 - 36x^3y^3 .

প্রশ্ন ১১:
2a^2 - 3b^2 + c^2, ; a^3b^2
সমাধান:
(2a^2 - 3b^2 + c^2) \times a^3b^2
= (2a^2 \times a^3b^2) - (3b^2 \times a^3b^2) + (c^2 \times a^3b^2)
= 2 \times (a^2 \times a^3) \times b^2 - 3 \times a^3 \times (b^2 \times b^2) + c^2 \times a^3b^2
= 2a^5b^2 - 3a^3b^4 + a^3b^2c^2
নির্ণেয় গুণফল: 2a^5b^2 - 3a^3b^4 + a^3b^2c^2 .

প্রশ্ন ১২:
x^3 - y^3 + 3xyz, ; x^4y
সমাধান:
(x^3 - y^3 + 3xyz) \times x^4y
= (x^3 \times x^4y) - (y^3 \times x^4y) + (3xyz \times x^4y)
= x^7y - x^4y^4 + 3x^5y^2z
নির্ণেয় গুণফল: x^7y - x^4y^4 + 3x^5y^2z .

প্রশ্ন ১৩: 2a - 3b, ; 3a + 2b

সমাধান:

\frac{\begin{array}{c}2a - 3b \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\3a + 2b \quad \longleftarrow \quad\text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}6a^2 - 9ab \quad \longleftarrow \quad 3a \text{ দ্বারা গুণ করে} \\4ab - 6b^2 \quad \longleftarrow \quad 2b \text{ দ্বারা গুণ করে}\end{array}}{6a^2 - 5ab - 6b^2 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}
নির্ণেয় গুণফল: 6a^2 - 5ab - 6b^2 .

প্রশ্ন ১৪:
a + b, ; a - b
সমাধান:

\frac{\begin{array}{c}a + b \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\a - b \quad \longleftarrow \quad \text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}a^2 + ab \quad \longleftarrow \quad a \text{ দ্বারা গুণ করে} \\-ab - b^2\quad \longleftarrow \quad b \text{ দ্বারা গুণ করে}\end{array}}{a^2 - b^2 \quad \longleftarrow \quad\text{যোগফল}}}

নির্ণেয় গুণফল: a^2 - b^2

প্রশ্ন ১৫:

x^2 + 1, ; x^2 - 1
সমাধান:

\frac{\begin{array}{c}x^2 + 1 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\x^2 - 1 \quad \longleftarrow \quad\text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}x^4 + x^2 \quad \longleftarrow \quad x^2 \text{ দ্বারা গুণ করে} \\- x^2 - 1 \quad \longleftarrow \quad 1 \text{ দ্বারা গুণ করে}\end{array}}{x^4 - 1 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}

\quad \text{নির্ণেয় গুণফল: } x^4 - 1

প্রশ্ন ১৬:

\frac{\begin{array}{c}a^2 + b^2 \\a + b\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}a^3 + ab^2 \\+ a^2b + b^3\end{array}}{a^3 + ab^2 + a^2b + b^3 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}

প্রশ্ন ১৭:
a^2 - ab + b^2, ; a + b

সমাধান:

\frac{\begin{array}{c}a^2 - ab + b^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\a + b \quad \longleftarrow \quad\text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}a^3 - a^2b + ab^2 \\a^2b - ab^2 + b^3\end{array}}{a^3 + b^3\quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}

নির্ণেয় গুণফল: a^3 + b^3

প্রশ্ন ১৮:
x^2 + 2xy + y^2, ; x + y

সমাধান:

\frac{\begin{array}{c}x^2 + 2xy + y^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\x + y \quad \longleftarrow \quad \text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}x^3 + 2x^2y + xy^2 \\x^2y + 2xy^2 + y^3\end{array}}{x^3 + 3x^2y +3xy^2 + y^3 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}

প্রশ্ন ১৯:
x^2 - 2xy + y^2, ; x - y
সমাধান:

\frac{\begin{array}{c}x^2 - 2xy + y^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\x - y \quad \longleftarrow \quad\text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}x^3 - 2x^2y + xy^2 \\- x^2y + 2xy^2 - y^3\end{array}}{x^3 - 3x^2y+ 3xy^2 - y^3 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}

নির্ণেয় গুণফল: x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3

প্রশ্ন ২০:
x^2 + 2x - 3, ; x + 3
সমাধান:
\frac{ \begin{array}{c} x^2 + 2x - 3 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\ x + 3 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণক} \end{array} }{ \frac{ \begin{array}{c} x^3 + 2x^2 - 3x \\ 3x^2 + 6x - 9 \end{array} }{ x^3 + 5x^2 + 3x - 9 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল} } }

নির্ণেয় গুণফল: x^3 + 5x^2 + 3x - 9

প্রশ্ন ২১:
a^2 + ab + b^2, ; b^2 - ab + a^2
সমাধান:

\frac{ \begin{array}{c} a^2 + ab + b^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\ b^2 - ab + a^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণক} \end{array} }{ \frac{ \begin{array}{c} a^2b^2 + ab^3 + b^4 \\a^2b^2 - ab^3 - a^3b \\ a^2b^2 + a^3b + a^4 \end{array} }{a^4 + a^2b^2 + b^4 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}} }

নির্ণেয় গুণফল: a^4 + a^2b^2 + b^4

প্রশ্ন ২২:
a + b + c, ; a + b + c
সমাধান:

\frac{ \begin{array}{c} a + b + c \ a + b + c \end{array} }{ \begin{array}{c} a^2 + ab + ca \ ab + b^2 + bc \ ca + bc + c^2 \end{array} }

যোগফল:

a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca

নির্ণেয় গুণফল: a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca

প্রশ্ন ২৩:
x^2 + xy + y^2, ; x^2 - xy + y^2
সমাধান:

\frac{ \begin{array}{c} x^2 + xy + y^2 \\ x^2 - xy + y^2 \end{array} }{ \frac{ \begin{array}{c} x^4 + x^3y + x^2y^2 \\x^3y - x^2y^2 - xy^3 \\ x^2y^2 + xy^3 + y^4 \end{array} }{ x^4 + x^2y^2 + y^4 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল} } }

নির্ণেয় গুণফল: x^4 + x^2y^2 + y^4

প্রশ্ন ২৪:
y^2 - y + 1, ; 1 + y + y^2
সমাধান:

\frac{ \begin{array}{c} y^2 - y + 1 \\ 1 + y + y^2 \end{array} }{ \frac{ \begin{array}{c} y^2 - y + 1 \\y^2 + y + y^3 \\ y^2 - y^3 + y^4 \end{array} }{ y^4 + y^2 + 1 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল} } }

নির্ণেয় গুণফল: y^4 + y^2 + 1

প্রশ্ন ২৫:
A = x^2 + xy + y^2 \; \text{এবং} \; B = x - y হলে, প্রমাণ কর যে AB = x^3 - y^3 ।

সমাধান:
\text{দেওয়া আছে, } A = x^2 + xy + y^2 \; \text{এবং} \; B = x - y

AB = (x^2 + xy + y^2)(x - y)

= x(x^2 + xy + y^2) - y(x^2 + xy + y^2)

= x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3

= x^3 - y^3

অতএব, AB = x^3 - y^3 \; \text{(প্রমাণিত)}

প্রশ্ন ২৬:
যদি A = a^2 - ab + b^2 এবং B = a + b হয়, তবে AB কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = a^2 - ab + b^2 এবং B = a + b

AB = (a^2 - ab + b^2)(a + b)

= a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)

= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3

= a^3 + b^3 \quad \text{(Ans.)}

প্রশ্ন ২৭:
প্রমাণ করতে হবে যে, (a + 1)(a - 1)(a^2 + 1) = a^4 - 1

সমাধান:
বামপক্ষ: (a + 1)(a - 1)(a^2 + 1)

= {a(a - 1) + 1(a - 1)}(a^2 + 1)

= (a^2 - a + a - 1)(a^2 + 1)

= (a^2 - 1)(a^2 + 1)

= a^4 + a^2 - a^2 - 1

= a^4 - 1

অতএব, (a + 1)(a - 1)(a^2 + 1) = a^4 - 1 \quad \text{(প্রমাণিত হলো)}

প্রশ্ন ২৮:
প্রমাণ করতে হবে যে, (x + y)(x - y)(x^2 + y^2) = x^4 - y^4

সমাধান:

বামপক্ষ:
(x + y)(x - y)(x^2 + y^2)

= {x(x - y) + y(x - y)}(x^2 + y^2)

= (x^2 - xy + xy - y^2)(x^2 + y^2)

= (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)

= x^2(x^2 + y^2) - y^2(x^2 + y^2)

= x^4 + x^2y^2 - x^2y^2 - y^4

= x^4 - y^4

অতএব, (x + y)(x - y)(x^2 + y^2) = x^4 - y^4 \quad (\text{প্রমাণিত})