৭ম শ্রেণি গণিত - CLASS SEVEN MATH অনুশীলনী ৪.১ সমাধান

৭ম শ্রেণি গণিত – CLASS SEVEN MATH অনুশীলনী ৪.১ সমাধান প্রদান করা হয়েছে। এখানে প্রতিটি সমস্যা বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যাতে শিক্ষার্থীরা সহজে গণিতের মৌলিক ধারণা ও সূত্রগুলির সাথে পরিচিত হতে পারে। এটি ছাত্র-ছাত্রীদের গণিতের দক্ষতা বাড়াতে এবং তাদের পাঠ্যবইয়ের বিষয়গুলো পরিষ্কারভাবে বুঝতে সাহায্য করবে।

৭ম শ্রেণি গণিত – CLASS SEVEN MATH অনুশীলনী ৪.১ সমাধান

বীজগণিতীয় রাশির গুণ

গুণের বিনিময় বিধি :
আমরা জানি, $\times 3 = 6$ আবার, $\times 2 = 6$
$\times 3 = 3 \times 2$ ; যা গুণের বিনিময় বিধি।
একইভাবে, $a, b$ যেকোনো দুটি বীজগণিতীয় রাশি হলে, $a \times b = b \times a$
অর্থাৎ, গুণ ও গুণকের স্থান বিনিময় করলে, গুণফলের কোনো পরিবর্তন হয় না।

গুণের সংযোজন বিধি :
$(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24$ ; আবার, $2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24$
$∴ (2 \times 3) \times 4 = 2 \times (3 \times 4)$ ; যা গুণের সংযোজন বিধি।
একইভাবে, $a, b, c$ যেকোনো তিনটি বীজগণিতীয় রাশির জন্য
$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ যা গুণের সংযোজন বিধি।

গুণের সূচক বিধি :
সাধারণভাবে, $a^m \times a^n = a^{m+n}$ , $m, n$ যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।
$(a^m)^n = a^{mn}$

গুণের বণ্টন বিধি :
$a(b + c) = ab + ac$
সাধারণভাবে, $m(a + b + c + \text{---------}) = ma + mb + mc + \text{----}$

চিহ্নযুক্ত রাশির গুণ

যেকোনো বীজগণিতীয় রাশি $a$ ও $b$ এর জন্য

a × b = ab ………………… (i)
সাধারণভাবে , (- a) × b = – (a × b) = – ab ……………. (ii)
আবার, a × ( – b) = ( – b) × a, ¸গুণের বিনিময় বিধি
a × (- b) = – (a × b) = – ab …………………. (iii)
(- a) × (- b) = ab ……………………………… (iv)

লক্ষ্য করি :

একই চিহ্নযুক্ত দুটি রাশির গুণফল $(+)$ চিহ্নযুক্ত হবে
বিপরীত চিহ্নযুক্ত দুটি রাশির গুণফল $(-)$ চিহ্নযুক্ত হবে

উদাহরণস্বরূপ:

$\times (+1) = +1$
$\times (-1) = +1$
$\times (-1) = -1$
$\times (+1) = -1$

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

১ম রাশিকে ২য় রাশি দ্বারা গুণ কর $\text{ থেকে } ২৪)$ :

প্রশ্ন ১:
$3ab, ; 4a^3$
সমাধান:
$3ab \times 4a^3 = (3 \times 4) \times (a \times a^3) \times b = 12a^4b$
নির্ঘাত গুণফল: $12a^4b$ .

প্রশ্ন ২:
$5xy, ; 6az$
সমাধান:
$5xy \times 6az = (5 \times 6) \times x \times a \times y \times z = 30axyz$
নির্ঘাত গুণফল: $30axyz$ .

প্রশ্ন ৩:
$5a^2x^2, ; 3ax^5y$
সমাধান:
$5a^2x^2 \times 3ax^5y = (5 \times 3) \times (a^2 \times a) \times (x^2 \times x^5) \times y = 15a^3x^7y$
নির্ঘাত গুণফল: $15a^3x^7y$ .

প্রশ্ন ৪:
$8a^2b, ; -2b^2$
সমাধান:
$8a^2b \times -2b^2 = 8 \times (-2) \times a^2 \times (b \times b^2) = -16a^2b^3$
নির্ঘাত গুণফল: $-16a^2b^3$ .

প্রশ্ন ৫:
$-2abx^2, ; 10b^3xyz$
সমাধান:
$-2abx^2 \times 10b^3xyz$
$= (-2 \times 10) \times a \times (b \times b^3) \times (x^2 \times x) \times y \times z$
$= -20ab^4x^3yz$
নির্ঘাত গুণফল: $-20ab^4x^3yz$ .

প্রশ্ন ৬:
$-3p^2q^3, ; -6p^5q^4$
সমাধান:
$-3p^2q^3 \times -6p^5q^4$
$= (-3) \times (-6) \times (p^2 \times p^5) \times (q^3 \times q^4)$
$= 18p^7q^7$
নির্ঘাত গুণফল: $18p^7q^7$ .

প্রশ্ন ৭:
$-12m^2a^2x^3, ; -2ma^2x^2$
সমাধান:
$-12m^2a^2x^3 \times -2ma^2x^2$
$= (-12) \times (-2) \times (m^2 \times m) \times (a^2 \times a^2) \times (x^3 \times x^2)$
$= 24m^3a^4x^5$
নির্ঘাত গুণফল: $24m^3a^4x^5$ .

প্রশ্ন ৮:
$7a^3bx^5y^2, ; -3x^5y^3a^2b^2$
সমাধান:
$7a^3bx^5y^2 \times -3x^5y^3a^2b^2$
$= 7 \times (-3) \times (a^3 \times a^2) \times (b \times b^2) \times (x^5 \times x^5) \times (y^2 \times y^3)$
$= -21a^5b^3x^{10}y^5$
নির্ণেয় গুণফল: $-21a^5b^3x^{10}y^5$ .

প্রশ্ন ৯:
$2x + 3y, ; 5xy$
সমাধান:
$(2x + 3y) \times 5xy$
$= (2x \times 5xy) + (3y \times 5xy)$
$= (2 \times 5) \times (x \times x) \times y + (3 \times 5) \times x \times (y \times y)$
$= 10x^2y + 15xy^2$
নির্ণেয় গুণফল: $10x^2y + 15xy^2$ .

প্রশ্ন ১০:
$5x^2 - 4xy, ; 9x^2y^2$
সমাধান:
$(5x^2 - 4xy) \times 9x^2y^2$
$= (5x^2 \times 9x^2y^2) - (4xy \times 9x^2y^2)$
$= (5 \times 9) \times (x^2 \times x^2) \times y^2 - (4 \times 9) \times (x \times x^2) \times (y \times y^2)$
$= 45x^4y^2 - 36x^3y^3$
নির্ণেয় গুণফল: $45x^4y^2 - 36x^3y^3$ .

প্রশ্ন ১১:
$2a^2 - 3b^2 + c^2, ; a^3b^2$
সমাধান:
$(2a^2 - 3b^2 + c^2) \times a^3b^2$
$= (2a^2 \times a^3b^2) - (3b^2 \times a^3b^2) + (c^2 \times a^3b^2)$
$= 2 \times (a^2 \times a^3) \times b^2 - 3 \times a^3 \times (b^2 \times b^2) + c^2 \times a^3b^2$
$= 2a^5b^2 - 3a^3b^4 + a^3b^2c^2$
নির্ণেয় গুণফল: $2a^5b^2 - 3a^3b^4 + a^3b^2c^2$ .

প্রশ্ন ১২:
$x^3 - y^3 + 3xyz, ; x^4y$
সমাধান:
$(x^3 - y^3 + 3xyz) \times x^4y$
$= (x^3 \times x^4y) - (y^3 \times x^4y) + (3xyz \times x^4y)$
$= x^7y - x^4y^4 + 3x^5y^2z$
নির্ণেয় গুণফল: $x^7y - x^4y^4 + 3x^5y^2z$ .

প্রশ্ন ১৩: $2a - 3b, ; 3a + 2b$

সমাধান:

$\frac{\begin{array}{c}2a - 3b \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\3a + 2b \quad \longleftarrow \quad\text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}6a^2 - 9ab \quad \longleftarrow \quad 3a \text{ দ্বারা গুণ করে} \\4ab - 6b^2 \quad \longleftarrow \quad 2b \text{ দ্বারা গুণ করে}\end{array}}{6a^2 - 5ab - 6b^2 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}$
নির্ণেয় গুণফল: $6a^2 - 5ab - 6b^2$ .

প্রশ্ন ১৪:
$a + b, ; a - b$
সমাধান:

$\frac{\begin{array}{c}a + b \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\a - b \quad \longleftarrow \quad \text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}a^2 + ab \quad \longleftarrow \quad a \text{ দ্বারা গুণ করে} \\-ab - b^2\quad \longleftarrow \quad b \text{ দ্বারা গুণ করে}\end{array}}{a^2 - b^2 \quad \longleftarrow \quad\text{যোগফল}}}$

নির্ণেয় গুণফল: $a^2 - b^2$

প্রশ্ন ১৫:

$x^2 + 1, ; x^2 - 1$
সমাধান:

$\frac{\begin{array}{c}x^2 + 1 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\x^2 - 1 \quad \longleftarrow \quad\text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}x^4 + x^2 \quad \longleftarrow \quad x^2 \text{ দ্বারা গুণ করে} \\- x^2 - 1 \quad \longleftarrow \quad 1 \text{ দ্বারা গুণ করে}\end{array}}{x^4 - 1 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}$

$\quad \text{নির্ণেয় গুণফল: } x^4 - 1$

প্রশ্ন ১৬:

$\frac{\begin{array}{c}a^2 + b^2 \\a + b\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}a^3 + ab^2 \\+ a^2b + b^3\end{array}}{a^3 + ab^2 + a^2b + b^3 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}$

প্রশ্ন ১৭:
$a^2 - ab + b^2, ; a + b$

সমাধান:

$\frac{\begin{array}{c}a^2 - ab + b^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\a + b \quad \longleftarrow \quad\text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}a^3 - a^2b + ab^2 \\a^2b - ab^2 + b^3\end{array}}{a^3 + b^3\quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}$

নির্ণেয় গুণফল: $a^3 + b^3$

প্রশ্ন ১৮:
$x^2 + 2xy + y^2, ; x + y$

সমাধান:

$\frac{\begin{array}{c}x^2 + 2xy + y^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\x + y \quad \longleftarrow \quad \text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}x^3 + 2x^2y + xy^2 \\x^2y + 2xy^2 + y^3\end{array}}{x^3 + 3x^2y +3xy^2 + y^3 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}$

প্রশ্ন ১৯:
$x^2 - 2xy + y^2, ; x - y$
সমাধান:

$\frac{\begin{array}{c}x^2 - 2xy + y^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\x - y \quad \longleftarrow \quad\text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}x^3 - 2x^2y + xy^2 \\- x^2y + 2xy^2 - y^3\end{array}}{x^3 - 3x^2y+ 3xy^2 - y^3 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}$

নির্ণেয় গুণফল: $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

প্রশ্ন ২০:
$x^2 + 2x - 3, ; x + 3$
সমাধান:
$\frac{ \begin{array}{c} x^2 + 2x - 3 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\ x + 3 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণক} \end{array} }{ \frac{ \begin{array}{c} x^3 + 2x^2 - 3x \\ 3x^2 + 6x - 9 \end{array} }{ x^3 + 5x^2 + 3x - 9 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল} } }$

নির্ণেয় গুণফল: $x^3 + 5x^2 + 3x - 9$

প্রশ্ন ২১:
$a^2 + ab + b^2, ; b^2 - ab + a^2$
সমাধান:

$\frac{ \begin{array}{c} a^2 + ab + b^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\ b^2 - ab + a^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণক} \end{array} }{ \frac{ \begin{array}{c} a^2b^2 + ab^3 + b^4 \\a^2b^2 - ab^3 - a^3b \\ a^2b^2 + a^3b + a^4 \end{array} }{a^4 + a^2b^2 + b^4 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}} }$

নির্ণেয় গুণফল: $a^4 + a^2b^2 + b^4$

প্রশ্ন ২২:
$a + b + c, ; a + b + c$
সমাধান:

$\frac{ \begin{array}{c} a + b + c \ a + b + c \end{array} }{ \begin{array}{c} a^2 + ab + ca \ ab + b^2 + bc \ ca + bc + c^2 \end{array} }$

যোগফল:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

নির্ণেয় গুণফল: $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

প্রশ্ন ২৩:
$x^2 + xy + y^2, ; x^2 - xy + y^2$
সমাধান:

$\frac{ \begin{array}{c} x^2 + xy + y^2 \\ x^2 - xy + y^2 \end{array} }{ \frac{ \begin{array}{c} x^4 + x^3y + x^2y^2 \\x^3y - x^2y^2 - xy^3 \\ x^2y^2 + xy^3 + y^4 \end{array} }{ x^4 + x^2y^2 + y^4 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল} } }$

নির্ণেয় গুণফল: $x^4 + x^2y^2 + y^4$

প্রশ্ন ২৪:
$y^2 - y + 1, ; 1 + y + y^2$
সমাধান:

$\frac{ \begin{array}{c} y^2 - y + 1 \\ 1 + y + y^2 \end{array} }{ \frac{ \begin{array}{c} y^2 - y + 1 \\y^2 + y + y^3 \\ y^2 - y^3 + y^4 \end{array} }{ y^4 + y^2 + 1 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল} } }$