৭ম শ্রেণি গণিত – CLASS SEVEN MATH অনুশীলনী ৪.১ সমাধান

৭ম শ্রেণি গণিত – CLASS SEVEN MATH অনুশীলনী ৪.১ সমাধান প্রদান করা হয়েছে। এখানে প্রতিটি সমস্যা বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যাতে শিক্ষার্থীরা সহজে গণিতের মৌলিক ধারণা ও সূত্রগুলির সাথে পরিচিত হতে পারে। এটি ছাত্র-ছাত্রীদের গণিতের দক্ষতা বাড়াতে এবং তাদের পাঠ্যবইয়ের বিষয়গুলো পরিষ্কারভাবে বুঝতে সাহায্য করবে।

৭ম শ্রেণি গণিত – CLASS SEVEN MATH অনুশীলনী ৪.১ সমাধান

বীজগণিতীয় রাশির গুণ 

গুণের বিনিময় বিধি :
আমরা জানি, $2\times 3=6$ আবার, $3\times 2=6$
$\therefore 2\times 3=3\times 2$; যা গুণের বিনিময় বিধি।
একইভাবে, $a,b$ যেকোনো দুটি বীজগণিতীয় রাশি হলে, \[ a \times b = b \times a \]
অর্থাৎ, গুণ ও গুণকের স্থান বিনিময় করলে, গুণফলের কোনো পরিবর্তন হয় না।

গুণের সংযোজন বিধি :
\[ (2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24 \]; আবার, \[ 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24 \]
\[ ∴ (2 \times 3) \times 4 = 2 \times (3 \times 4) \]; যা গুণের সংযোজন বিধি।
একইভাবে, $a,b,c$ যেকোনো তিনটি বীজগণিতীয় রাশির জন্য
\[ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \] যা গুণের সংযোজন বিধি।

গুণের সূচক বিধি :
সাধারণভাবে, \[ a^m \times a^n = a^{m+n} \], $m,n$ যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।
\[ (a^m)^n = a^{mn} \]

গুণের বণ্টন বিধি :
\[ a(b + c) = ab + ac \]
সাধারণভাবে, \[ m(a + b + c + \text{———}) = ma + mb + mc + \text{—-} \]

চিহ্নযুক্ত রাশির গুণ

যেকোনো বীজগণিতীয় রাশি $a$ ও $b$ এর জন্য

a × b = ab ………………… (i)
সাধারণভাবে , (- a) × b = – (a × b) = – ab ……………. (ii)
আবার, a × ( – b) = ( – b) × a, ¸গুণের বিনিময় বিধি
a  × (- b) = – (a × b) = – ab …………………. (iii)
(- a) × (- b) = ab ……………………………… (iv)

লক্ষ্য করি :

• একই চিহ্নযুক্ত দুটি রাশির গুণফল $(+)$ চিহ্নযুক্ত হবে
• বিপরীত চিহ্নযুক্ত দুটি রাশির গুণফল $(-)$ চিহ্নযুক্ত হবে

উদাহরণস্বরূপ:

• $(+1)\times (+1)=+1$
• $(-1)\times (-1)=+1$
• $(+1)\times (-1)=-1$
• $(-1)\times (+1)=-1$

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

১ম রাশিকে ২য় রাশি দ্বারা গুণ কর $(\mathrm{১}\text{ থেকে }\mathrm{২৪})$:

প্রশ্ন ১:
\[ 3ab, ; 4a^3 \]
সমাধান:
\[ 3ab \times 4a^3 = (3 \times 4) \times (a \times a^3) \times b = 12a^4b \]
নির্ঘাত গুণফল: \[ 12a^4b \].

প্রশ্ন ২:
\[ 5xy, ; 6az \]
সমাধান:
\[ 5xy \times 6az = (5 \times 6) \times x \times a \times y \times z = 30axyz \]
নির্ঘাত গুণফল: \[ 30axyz \].

প্রশ্ন ৩:
\[ 5a^2x^2, ; 3ax^5y \]
সমাধান:
\[ 5a^2x^2 \times 3ax^5y = (5 \times 3) \times (a^2 \times a) \times (x^2 \times x^5) \times y = 15a^3x^7y \]
নির্ঘাত গুণফল: \[ 15a^3x^7y \].

প্রশ্ন ৪:
\[ 8a^2b, ; -2b^2 \]
সমাধান:
\[ 8a^2b \times -2b^2 = 8 \times (-2) \times a^2 \times (b \times b^2) = -16a^2b^3 \]
নির্ঘাত গুণফল: \[ -16a^2b^3 \].

প্রশ্ন ৫:
\[ -2abx^2, ; 10b^3xyz \]
সমাধান:
\[ -2abx^2 \times 10b^3xyz \]
\[ = (-2 \times 10) \times a \times (b \times b^3) \times (x^2 \times x) \times y \times z \]
\[ = -20ab^4x^3yz \]
নির্ঘাত গুণফল: \[ -20ab^4x^3yz \].

প্রশ্ন ৬:
\[ -3p^2q^3, ; -6p^5q^4 \]
সমাধান:
\[ -3p^2q^3 \times -6p^5q^4 \]
\[ = (-3) \times (-6) \times (p^2 \times p^5) \times (q^3 \times q^4) \]
\[ = 18p^7q^7 \]
নির্ঘাত গুণফল: \[ 18p^7q^7 \].

প্রশ্ন ৭:
\[ -12m^2a^2x^3, ; -2ma^2x^2 \]
সমাধান:
\[ -12m^2a^2x^3 \times -2ma^2x^2 \]
\[ = (-12) \times (-2) \times (m^2 \times m) \times (a^2 \times a^2) \times (x^3 \times x^2) \]
\[ = 24m^3a^4x^5 \]
নির্ঘাত গুণফল: \[ 24m^3a^4x^5 \].

প্রশ্ন ৮:
\[ 7a^3bx^5y^2, ; -3x^5y^3a^2b^2 \]
সমাধান:
\[ 7a^3bx^5y^2 \times -3x^5y^3a^2b^2 \]
\[ = 7 \times (-3) \times (a^3 \times a^2) \times (b \times b^2) \times (x^5 \times x^5) \times (y^2 \times y^3) \]
\[ = -21a^5b^3x^{10}y^5 \]
নির্ণেয় গুণফল: \[ -21a^5b^3x^{10}y^5 \].

প্রশ্ন ৯:
\[ 2x + 3y, ; 5xy \]
সমাধান:
\[ (2x + 3y) \times 5xy \]
\[ = (2x \times 5xy) + (3y \times 5xy) \]
\[ = (2 \times 5) \times (x \times x) \times y + (3 \times 5) \times x \times (y \times y) \]
\[ = 10x^2y + 15xy^2 \]
নির্ণেয় গুণফল: \[ 10x^2y + 15xy^2 \].

প্রশ্ন ১০:
\[ 5x^2 – 4xy, ; 9x^2y^2 \]
সমাধান:
\[ (5x^2 – 4xy) \times 9x^2y^2 \]
\[ = (5x^2 \times 9x^2y^2) – (4xy \times 9x^2y^2) \]
\[ = (5 \times 9) \times (x^2 \times x^2) \times y^2 – (4 \times 9) \times (x \times x^2) \times (y \times y^2) \]
\[ = 45x^4y^2 – 36x^3y^3 \]
নির্ণেয় গুণফল: \[ 45x^4y^2 – 36x^3y^3 \].

প্রশ্ন ১১:
\[ 2a^2 – 3b^2 + c^2, ; a^3b^2 \]
সমাধান:
\[ (2a^2 – 3b^2 + c^2) \times a^3b^2 \]
\[ = (2a^2 \times a^3b^2) – (3b^2 \times a^3b^2) + (c^2 \times a^3b^2) \]
\[ = 2 \times (a^2 \times a^3) \times b^2 – 3 \times a^3 \times (b^2 \times b^2) + c^2 \times a^3b^2 \]
\[ = 2a^5b^2 – 3a^3b^4 + a^3b^2c^2 \]
নির্ণেয় গুণফল: \[ 2a^5b^2 – 3a^3b^4 + a^3b^2c^2 \].

প্রশ্ন ১২:
\[ x^3 – y^3 + 3xyz, ; x^4y \]
সমাধান:
\[ (x^3 – y^3 + 3xyz) \times x^4y \]
\[ = (x^3 \times x^4y) – (y^3 \times x^4y) + (3xyz \times x^4y) \]
\[ = x^7y – x^4y^4 + 3x^5y^2z \]
নির্ণেয় গুণফল: \[ x^7y – x^4y^4 + 3x^5y^2z \].

প্রশ্ন ১৩:\[ 2a – 3b, ; 3a + 2b \]

সমাধান:

\[\frac{\begin{array}{c}2a – 3b \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\3a + 2b \quad \longleftarrow \quad\text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}6a^2 – 9ab \quad \longleftarrow \quad 3a \text{ দ্বারা গুণ করে} \\4ab – 6b^2 \quad \longleftarrow \quad 2b \text{ দ্বারা গুণ করে}\end{array}}{6a^2 – 5ab – 6b^2 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}\]
নির্ণেয় গুণফল: \[ 6a^2 – 5ab – 6b^2 \].

প্রশ্ন ১৪:
\[ a + b, ; a – b \]
সমাধান:

\[\frac{\begin{array}{c}a + b \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\a – b \quad \longleftarrow \quad \text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}a^2 + ab \quad \longleftarrow \quad a \text{ দ্বারা গুণ করে} \\-ab – b^2\quad \longleftarrow \quad b \text{ দ্বারা গুণ করে}\end{array}}{a^2 – b^2 \quad \longleftarrow \quad\text{যোগফল}}}\]

নির্ণেয় গুণফল: \[ a^2 – b^2 \]

প্রশ্ন ১৫:

\[ x^2 + 1, ; x^2 – 1 \]
সমাধান:

\[\frac{\begin{array}{c}x^2 + 1 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\x^2 – 1 \quad \longleftarrow \quad\text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}x^4 + x^2 \quad \longleftarrow \quad x^2 \text{ দ্বারা গুণ করে} \\- x^2 – 1 \quad \longleftarrow \quad 1 \text{ দ্বারা গুণ করে}\end{array}}{x^4 – 1 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}\]

\[ \quad \text{নির্ণেয় গুণফল: } x^4 – 1 \]

প্রশ্ন ১৬:

\[\frac{\begin{array}{c}a^2 + b^2 \\a + b\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}a^3 + ab^2 \\+ a^2b + b^3\end{array}}{a^3 + ab^2 + a^2b + b^3 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}\]

প্রশ্ন ১৭:
\[ a^2 – ab + b^2, ; a + b \]

সমাধান:

\[\frac{\begin{array}{c}a^2 – ab + b^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\a + b \quad \longleftarrow \quad\text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}a^3 – a^2b + ab^2 \\a^2b – ab^2 + b^3\end{array}}{a^3 + b^3\quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}} \]

নির্ণেয় গুণফল: \[ a^3 + b^3 \]

প্রশ্ন ১৮:
\[ x^2 + 2xy + y^2, ; x + y \]

সমাধান:

\[\frac{\begin{array}{c}x^2 + 2xy + y^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\x + y \quad \longleftarrow \quad \text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}x^3 + 2x^2y + xy^2 \\x^2y + 2xy^2 + y^3\end{array}}{x^3 + 3x^2y +3xy^2 + y^3 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}} \]

প্রশ্ন ১৯:
\[ x^2 – 2xy + y^2, ; x – y \]
সমাধান:

\[\frac{\begin{array}{c}x^2 – 2xy + y^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\x – y \quad \longleftarrow \quad\text{গুণক}\end{array}}{\frac{\begin{array}{c}x^3 – 2x^2y + xy^2 \\- x^2y + 2xy^2 – y^3\end{array}}{x^3 – 3x^2y+ 3xy^2 – y^3 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}}}\]

নির্ণেয় গুণফল: \[ x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 \]

প্রশ্ন ২০:
\[ x^2 + 2x – 3, ; x + 3 \]
সমাধান:
\[ \frac{ \begin{array}{c} x^2 + 2x – 3 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\ x + 3 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণক} \end{array} }{ \frac{ \begin{array}{c} x^3 + 2x^2 – 3x \\ 3x^2 + 6x – 9 \end{array} }{ x^3 + 5x^2 + 3x – 9 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল} } } \]

নির্ণেয় গুণফল: \[ x^3 + 5x^2 + 3x – 9 \]

প্রশ্ন ২১:
\[ a^2 + ab + b^2, ; b^2 – ab + a^2 \]
সমাধান:

\[ \frac{ \begin{array}{c} a^2 + ab + b^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণ্য} \\ b^2 – ab + a^2 \quad \longleftarrow \quad \text{গুণক} \end{array} }{ \frac{ \begin{array}{c} a^2b^2 + ab^3 + b^4 \\a^2b^2 – ab^3 – a^3b \\ a^2b^2 + a^3b + a^4 \end{array} }{a^4 + a^2b^2 + b^4 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল}} } \]

নির্ণেয় গুণফল: \[ a^4 + a^2b^2 + b^4 \]

প্রশ্ন ২২:
\[ a + b + c, ; a + b + c \]
সমাধান:

\[ \frac{ \begin{array}{c} a + b + c \ a + b + c \end{array} }{ \begin{array}{c} a^2 + ab + ca \ ab + b^2 + bc \ ca + bc + c^2 \end{array} } \]

যোগফল:

\[ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \]

নির্ণেয় গুণফল: \[ a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \]

প্রশ্ন ২৩:
\[ x^2 + xy + y^2, ; x^2 – xy + y^2 \]
সমাধান:

\[ \frac{ \begin{array}{c} x^2 + xy + y^2 \\ x^2 – xy + y^2 \end{array} }{ \frac{ \begin{array}{c} x^4 + x^3y + x^2y^2 \\x^3y – x^2y^2 – xy^3 \\ x^2y^2 + xy^3 + y^4 \end{array} }{ x^4 + x^2y^2 + y^4 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল} } } \]

নির্ণেয় গুণফল: \[ x^4 + x^2y^2 + y^4 \]

প্রশ্ন ২৪:
\[ y^2 – y + 1, ; 1 + y + y^2 \]
সমাধান:

\[ \frac{ \begin{array}{c} y^2 – y + 1 \\ 1 + y + y^2 \end{array} }{ \frac{ \begin{array}{c} y^2 – y + 1 \\y^2 + y + y^3 \\ y^2 – y^3 + y^4 \end{array} }{ y^4 + y^2 + 1 \quad \longleftarrow \quad \text{যোগফল} } } \]

নির্ণেয় গুণফল: \[ y^4 + y^2 + 1 \]

প্রশ্ন ২৫:
\[ A = x^2 + xy + y^2 \; \text{এবং} \; B = x – y \] হলে, প্রমাণ কর যে \[ AB = x^3 – y^3 \]।

সমাধান:
\[\text{দেওয়া আছে, } A = x^2 + xy + y^2 \; \text{এবং} \; B = x – y\]

\[AB = (x^2 + xy + y^2)(x – y)\]

\[= x(x^2 + xy + y^2) – y(x^2 + xy + y^2)\]

\[= x^3 + x^2y + xy^2 – x^2y – xy^2 – y^3\]

\[= x^3 – y^3\]

অতএব, \[ AB = x^3 – y^3 \; \text{(প্রমাণিত)} \]

প্রশ্ন ২৬:
যদি \[ A = a^2 – ab + b^2 \] এবং \[ B = a + b \] হয়, তবে \[ AB \] কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, \[ A = a^2 – ab + b^2 \] এবং \[ B = a + b \]

\[ AB = (a^2 – ab + b^2)(a + b) \]

\[ = a(a^2 – ab + b^2) + b(a^2 – ab + b^2) \]

\[ = a^3 – a^2b + ab^2 + a^2b – ab^2 + b^3 \]

\[ = a^3 + b^3 \quad \text{(Ans.)} \]

প্রশ্ন ২৭:
প্রমাণ করতে হবে যে, \[ (a + 1)(a – 1)(a^2 + 1) = a^4 – 1 \]

সমাধান:
বামপক্ষ: \[ (a + 1)(a – 1)(a^2 + 1) \]

\[ = {a(a – 1) + 1(a – 1)}(a^2 + 1) \]

\[ = (a^2 – a + a – 1)(a^2 + 1) \]

\[ = (a^2 – 1)(a^2 + 1) \]

\[ = a^4 + a^2 – a^2 – 1 \]

\[ = a^4 – 1 \]

অতএব, \[ (a + 1)(a – 1)(a^2 + 1) = a^4 – 1 \quad \text{(প্রমাণিত হলো)} \]

প্রশ্ন ২৮:
প্রমাণ করতে হবে যে, \[ (x + y)(x – y)(x^2 + y^2) = x^4 – y^4 \]

সমাধান:

বামপক্ষ:
\[(x + y)(x – y)(x^2 + y^2)\]

\[= {x(x – y) + y(x – y)}(x^2 + y^2)\]

\[= (x^2 – xy + xy – y^2)(x^2 + y^2)\]

\[= (x^2 – y^2)(x^2 + y^2)\]

\[= x^2(x^2 + y^2) – y^2(x^2 + y^2)\]

\[= x^4 + x^2y^2 – x^2y^2 – y^4\]

\[= x^4 – y^4\]

অতএব, \[ (x + y)(x – y)(x^2 + y^2) = x^4 – y^4 \quad (\text{প্রমাণিত}) \]