SSC math exercise 8.1 solution || বৃত্ত
বৃত্ত :
বৃত্ত একটি সমতলীয় জ্যামিতিক চিত্র যার বিন্দুগুলো
কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত। নির্দিষ্ট
বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র। নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্ব বজায়
রেখে কোনো বিন্দু যে আবদ্ধ পথ চিত্রিত করে তাই বৃত্ত।
কেন্দ্র হতে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলে।
যার কেন্দ্র O ও ব্যাসার্ধ r। চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র, A, B ও C
বৃত্তস্থ বিন্দু। OA, OB ও OC এর প্রত্যেকটি বৃত্তটির ব্যাসার্ধ।
বৃত্তের অভ্যন্তর ও বহির্ভাগ :
যদি কোনো বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাসার্ধ r
হয় তবে O থেকে সমতলের যে সকল বিন্দুর
দূরত্ব r থেকে কম তাদের সেটকে বৃত্তটির
অভ্যন্তর এবং O থেকে সমতলের যে সকল বিন্দুর দূরত্ব r থেকে বেশি তাদের সেটকে বৃত্তটির বহির্ভাগ বলা হয়। বৃত্তের অভ্যন্তরস্থ দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ সম্পূর্ণভাবে বৃত্তের অভ্যন্তরেই থাকে।
বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস :
বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ
বৃত্তটির একটি জ্যা। বৃত্তের কোনো জ্যা যদি
কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে জ্যাটিকে বৃত্তের ব্যাস
বলা হয়। চিত্রে, AB ও AC বৃত্তটির দুইটি জ্যা
এবং বৃত্তটির কেন্দ্র O। এদের মধ্যে AC জ্যাটি
ব্যাস; কারণ জ্যাটি বৃত্তটির কেন্দ্রগামী। প্রত্যেক
ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2r, যেখানে r বৃত্তটির ব্যাসার্ধ।
অনুশীলনীর সমাধান
প্রশ্ন \ ১ \ প্রমাণ কর যে, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের AB ও CD দুইটি জ্যা পরস্পরকে E বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ঊ-ই বৃত্তের কেন্দ্র।
অঙ্কন : বৃত্তটির কেন্দ্র E না ধরে O ধরি এবং O, E যোগ করি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু E
অর্থাৎ ∠OEA = এক সমকোণ |
[জানা আছে যে, বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দু এবং কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর ওপর লম্ব] |
| (২) আবার, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং CD জ্যা এর মধ্যবিন্দু E
∴ OE ⊥ CD অর্থাৎ ∠OEC = এক সমকোণ |
|
| (৩) যেহেতু AB এবং CD দুইটি পরস্পরচ্ছেদী সরলরেখা।
∴ ∠OEA এবং ∠OEC উভয়ই এক সমকোণ হতে পারে না। |
|
| সুতরাং E ব্যতীত অন্য কোনো বিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র হতে পারে না।
∴ E বিন্দুটি ABCD বৃত্তের কেন্দ্র। [প্রমাণিত] |
প্রশ্ন \ ২ \ প্রমাণ কর যে, দুইটি সমান্তরাল জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের ওপর লম্ব।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, দুইটি সমান্তরাল জ্যায়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের ওপর লম্ব।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের কেন্দ্র O। AB এর মধ্যবিন্দু E এবং CD এর মধ্যবিন্দু F এবং AB || CD। প্রমাণ করতে হবে যে, EF কেন্দ্রগামী এবং AB ও CD এর ওপর লম্ব।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) F, CD এর মধ্যবিন্দু এবং OF কেন্দ্র ও জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ।
∴ OF, CD এর ওপর লম্ব। এবং ∠OFC = এক সমকোণ।
|
[বৃত্তের কেন্দ্র ও জ্যায়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যায়ের ওপর লম্ব] |
| (২) আবার, E, AB এর মধ্যবিন্দু হওয়ায় OE, AB এর ওপর লম্ব এবং ∠AEO = এক সমকোণ।
∴ ∠AEO = ∠OFC |
[একই কারণে]
[একান্তর কোণ] |
| (৩) AB || CD হওয়ায় EF ছেদক।
অর্থাৎ E, O, F একই সরলরেখা। অতএব, EF কেন্দ্রগামী এবং EF ⊥ CD এবং EF ⊥ AB [প্রমাণিত] |
প্রশ্ন \ ৩ \ কোনো বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুইটি A বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে। প্রমাণ কর যে, AB = AC.
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC বৃত্তের কেন্দ্র O। AB ও AC জ্যা দুইটি OA ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে অর্থাৎ ∠BAO = ∠CAO
প্রমাণ করতে হবে যে, AB = AC.
অঙ্কন : O হতে AB এর ওপর OM এবং AC এর ওপর ON লম্ব আঁকি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) OM,AB এর ওপর লম্ব হওয়ায়, OM, AB কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ, AM = \[\frac12 \]AB
|
|
| (২) আবার, OM, AC এর ওপর লম্ব হওয়ায়,
AN = \[\frac12 \]AC |
|
| (৩) এখন, ΔAOM ও ΔAON এর মধ্যে
∠AMO = ∠ANO ∠MAO = ∠NAO এবং AO সাধারণ বাহু। ∴ ত্রিভুজ দুটি সর্বসম। অতএব, AM = AN অর্থাৎ \[\frac12\]AB = \[\frac12\]AC ∴ AB = AC [প্রমাণিত] |
[সমকোণ বলে] [কল্পনা] |
প্রশ্ন \ ৪ \ চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং জ্যা AB = জ্যা AC। প্রমাণ কর যে, ∠BAO = ∠CAO. 
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC বৃত্তের O কেন্দ্র এবং জ্যা AB = জ্যা AC। AO কেন্দ্রগামী ব্যাসার্ধ।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BAO = ∠CAO
অঙ্কন : O,B এবং O, C যোগ করি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| ΔAOB ও ΔAOC এর মধ্যে
AB = AC BO = CO এবং AO বাহু সাধারণ। ∴ ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম। অতএব, ∠BAO = ∠CAO । [প্রমাণিত] |
[দেওয়া আছে] [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ] [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] |
প্রশ্ন \ ৫ \ কোনো বৃত্ত একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে যায়। দেখাও যে, বৃত্তটির কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : কোনো বৃত্ত একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে যায়। দেখাতে হবে যে, বৃত্তটির কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, সমকোণী ΔABC এর ∠B = এক সমকোণ এবং AC অতিভুজ।
A, B, C শীর্ষবিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা হলো। মনে করি, বৃত্তটির কেন্দ্র O। দেখাতে হবে যে, কেন্দ্র O অতিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) ΔABC-এর
∠ABC = এক সমকোণ ∴ ∠ABC, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। |
[কল্পনা] |
| (২) A, B, C বিন্দুগামী বৃত্তের ব্যাস AC।
সুতরাং বৃত্তের কেন্দ্র o, ব্যাস AC এর উপর অবস্থিত। ∴ OA = OC ∴ বৃত্তের কেন্দ্র O, অতিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু। [দেখানো হলো] |
[একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে] |
প্রশ্ন \ ৬ \ দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের একটির AB জ্যা অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AC = BD.
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABE ও CDF বৃত্ত দুইটির কেন্দ্র O। ABE বৃত্তের জ্যা AB, CDF বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AC = BD।
অঙ্কন : O হতে AB বা CD এর ওপর OC লম্ব আঁকি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) OP, CD এর ওপর লম্ব হওয়ায় OP, CD – কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ CP = PD |
[বৃত্তের কেন্দ্র হতে কোনো জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] |
| (২) আবার, OP, AB এর ওপর লম্ব হওয়ায়, OP, AB -কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অর্থাৎ, AP= BP এখন, AP = AC + CP এবং BP = PD + BD সুতরাং AC + CP = PD + BD ∴ AC = BD [প্রমাণিত] |
[একই]
[Q AP = BP]
|
প্রশ্ন \ ৭ \ বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে দেখাও যে, তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে, দেখাতে হবে যে, তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ACBD বৃত্তের কেন্দ্র O। AB ও CD দুটি সমান জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AP = PD এবং PB = PC.
অঙ্কন : O হতে AB এর ওপর OM এবং CD এর ওপর ON লম্ব আঁকি। O, P যোগ করি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) MOP ও NOP সমকোণী ত্রিভুজ দুইটির মধ্যে
OM = ON এবং OP সাধারণ অতিভুজ। ∴ ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম। ∴ PM = PN ———————(i) |
[সমান সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী] |
| (২) এখন, OM, AB এর ওপর লম্ব হওয়ায়,
AM = \[\frac12 \]
|
[বৃত্তের কেন্দ্র হতে কোনো জ্যায়ের ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] |
| (৩) ON, CD এর ওপর লম্ব হওয়ায়,
DN = \[\frac12 \]CD যেহেতু, AB = CD ∴ AM = DN ——————— (ii) |
[একই] |
| (৪) সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
PM + AM = PN + DN বা, AP = PD |
|
| (৫) আবার, AB = CD
বা, AB – AP = CD – PD বা, PB = PC অতএব, AP = PD এবং PB = PC [দেখানো হলো] |
প্রশ্ন \ ৮ \ প্রমাণ কর যে, বৃত্তের সমান জ্যা এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, বৃত্তের সমান জ্যা এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCDEF বৃত্তে O কেন্দ্র। AB, CD এবং EF তিনটি পরস্পর সমান সমান জ্যা। M, N এবং P সমান জ্যা’গুলোর মধ্যবিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে যে, M, N এবং P সমবৃত্ত।
অঙ্কন : O ও M, O ও N এবং O ও P যোগ করি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) যেহেতু M, AB এর মধ্যবিন্দু এবং OM কেন্দ্রগামী রেখাংশ।
∴ OM, AB এর উপর লম্ব। |
[বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর ওপর লম্ব] |
| (২) OP, CD এর ওপর লম্ব। | [একই কারণ] |
| (৩) ON, EF এর উপর লম্ব। | [একই কারণ] |
| (৪) OM = OP = ON
সুতরাং O কে কেন্দ্র করে OM অথবা ON অথবা OP এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে M, N ও P বিন্দু দিয়ে যাবে। অতএব, M, N ও P সমবৃত্ত। [প্রমাণিত] |
[বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী] |
প্রশ্ন \ ৯ \ দেখাও যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তার বিপরীত দিকে দুইটি সমান জ্যা অঙ্কন করলে তারা সমান্তরাল হয়।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : দেখাতে হবে যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তার বিপরীত দিকে দুইটি সমান জ্যা অঙ্কন করলে তারা সমান্তরাল হয়।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের O কেন্দ্র এবং AC ব্যাস। AB ও CD দুইটি সমান সমান জ্যা অঈ ব্যাসের বিপরীত দিকে অবস্থিত।
প্রমাণ করতে হবে যে, AB || CD
অঙ্কন : O হতে AB এর ওপর OM এবং CD এর ওপর ON লম্ব আঁকি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) OM, AB এর ওপর লম্ব হওয়ায়,
AM = \[\frac12\] AB |
[কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] |
| (২) ON, CD এর ওপর লম্ব হওয়ায়,
CN = \[\frac12\] CD |
[একই] |
| (৩) যেহেতু, AB = CD
∴ AM = CN |
|
| (৪) ΔAOM ও ΔCON
এর মধ্যে AM = CN AO = OC এবং OM =ON ∴ ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম। ∴ ∠A = ∠C কিন্তু কোণ দুইটি AC রেখার বিপরীত পাশে অবস্থিত। সুতরাং কোণ দুইটি একান্তর হওয়ায় AB || CD [দেখানো হলো] |
[একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে] [সমান সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী বলে]
|
প্রশ্ন \ ১০ \ দেখাও যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তার বিপরীত দিকে দুইটি সমান্তরাল জ্যা আঁকলে তারা সমান হয়।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : দেখাতে হবে যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তার বিপরীত দিকে দুইটি সমান্তরাল জ্যা আঁকলে তারা সমান হয়।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের O কেন্দ্র এবং AC ব্যাস। AC ব্যাসের বিপরীত পাশে AB || CD দুইটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, AB = CD.
অঙ্কন :O হতে AB এর ওপর OM এবং CD এর ওপর ON লম্ব আঁকি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) OM, AB জ্যা এর ওপর লম্ব হওয়ায়,
AM = \[\frac12\] AB |
[কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] |
| (২) ON, CD এর ওপর লম্ব হওয়ায়,
CN = \[\frac12\] CD |
[একই] |
| (৪) ΔAOM ও ΔCON
এর মধ্যে ∠AMO = ∠CNO ∠MAO = NCO এবং AO = CO ∴ ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম। ∴ AM = CN |
[সমকোণ বলে]
[একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে] |
| (৪) অর্থাৎ \[\frac12\] AB = \[\frac12\] CD
অতএব, AB = CD [দেখানো হলো] |
প্রশ্ন \ ১১ \ দেখাও যে, বৃত্তের দুইটি জ্যা এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যা-টি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতর।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : দেখাতে হবে যে, বৃত্তের দুইটি জ্যা-এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যাটি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতর।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের O কেন্দ্র। AB ও CD দুইটি জ্যা-এর মধ্যে AB>CD। OE এবং OF কেন্দ্র O থেকে যথাক্রমে AB ও CD এর ওপর লম্ব। দেখাতে হবে যে, OE < OF
অঙ্কন : O, A এবং O, C যোগ করি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) OE, AB এর ওপর লম্ব হওয়ায়,
AE = \[\frac12\] AB |
[কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে] |
| (২) এবং OF, CD এর ওপর লম্ব হওয়ায়,
CF = \[\frac12\] CD |
[একই] |
| (৩) AOE সমকোণী ত্রিভুজে অঙ অতিভুজ
∴ OA2 = OE2 + AE2—————- (i) |
[পিথাগোরাসের উপপাদ্য] |
| (৪) আবার, COF সমকোণী ত্রিভুজে CO অতিভুজ
∴ OC2 = OF2 + CF2—————-(ii) |
|
| (৫) AO এবং OC একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ হওয়ায়, OA = OC
সুতরাং, OE2 + AE2 = OF2 + CF2 ——–(iii) |
[একই] |
| (৬) কিন্তু AB > CD হওয়ায়,
\[\frac12\] AB > \[\frac12\] CD বা, AE > CF ∴ AE2 > CF2 সমীকরণ (iii) নং থেকে দেখা যায়, AE2 যদি CF2 থেকে বৃহত্তর হয় তবে OE2, OF2 থেকে ক্ষুদ্রতর হবে। সুতরাং OE2 < OF2 ∴ OE < OF [দেখানো হলো] |
SSC math exercise 8.1 solution || বৃত্ত pdf
