SSC math exercise 6.3 solution || part 2
প্রশ্ন \ ১২ \ ∆ABC এর ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ কর যে, ∠BOC = 90° + \[\frac{1}{2}\] ∠A
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : ∆ABC এর ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BOC = 90° + \[\frac{1}{2}\] ∠A
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা | |
| (১) ∆ABC এ ∠A + ∠B + ∠C =180° | [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ] | |
| (২) আবার, ∆BOC এ
∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180° |
[ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ]
|
|
| (৩) কিন্তু ∠OBC = \[\frac{1}{2}\] ∠B এবং
∠OCB = \[\frac{1}{2}\] ∠C |
[BO ও CO যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক]
|
|
| (৪) সুতরাং
∠BOC + \[\frac{1}{2}\] ∠B +\[\frac{1}{2}\] ∠C = 180° বা, ∠BOC + \[\frac{1}{2}\] ∠B + \[\frac{1}{2}\] ∠C = ÐA + ∠B + ∠C [ (i) নং হতে] বা, ∠BOC = ÐA + ÐB – \[\frac{1}{2}\] ∠B + ∠C – \[\frac{1}{2}\] ∠C বা, ∠BOC = ∠A + \[\frac{1}{2}\] ∠B + \[\frac{1}{2}\] ∠C বা, ∠BOC = \[\frac{1}{2}\] ∠A + \[\frac{1}{2}\] ∠B + ∠C + \[\frac{1}{2}\] ∠A বা, ∠BOC = (∠A + ∠B + ∠C)+ \[\frac{1}{2}\] ∠A বা, ∠BOC = \[\frac{1}{2}\] ´ 180° + \[\frac{1}{2}\] ∠A ∴ ∠BOC = 90° + \[\frac{1}{2}\] ∠A [ প্রমাণিত ] |
প্রশ্ন \ ১৩ \ ∆ABC এর AB ও AC বাহুকে বর্ধিত করলে B ও C বিন্দুতে যে বহিঃকোণ দুইটি উৎপন্ন হয়, তাদের সমদ্বিখণ্ডক দুইটি O বিন্দুতে মিলিত হলে,
প্রমাণ কর যে, ∠BOC= 90° – \[\frac{1}{2}\] ∠A
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ∆ABC এর AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো।
B ও C বিন্দুতে উৎপন্ন বহিঃকোণ দুইটির সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BOC= 90° – \[\frac{1}{2}\] ∠A
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) ∆ABC এ ∠A + ∠B + ∠C = 180° | [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ] |
| (২) আবার, ∆BOC এ ∠BOC + ∠OBC +∠OCB = 180° | [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ] |
| (৩) কিন্তু ∠OBC = \[\frac{1}{2}\] ∠EBC = \[\frac{1}{2}\]( ∠A + ∠C) এবং
∠OCB = \[\frac{1}{2}\] ∠BCF = \[\frac{1}{2}\] (∠A + ∠B) |
[বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুইটির সমষ্টির সমান] |
| (৪) সুতরাং, ∠BOC + \[\frac{1}{2}\] (∠A + ∠C + ∠A + ∠B) = 180°
বা, ∠BOC + \[\frac{1}{2}\] (180° + ∠A) = 180° [A + ∠B + ∠C = 180°] বা, ∠BOC + \[\frac{1}{2}\] – 180° +\[\frac{1}{2}\] ∠A = 180° বা, ∠BOC + 90° + \[\frac{1}{2}\] ∠A = 180° বা, ∠BOC = 180° – 90° –\[\frac{1}{2} \] ∠A ∴ ∠BOC = 90° – \[\frac{1}{2}\] ∠A [প্রমাণিত] |
প্রশ্ন \ ১৪ \ চিত্রে, দেওয়া আছে, ∠C = এক
সমকোণ এবং ∠B = 2∠A
প্রমাণ কর যে, AB = 2BC.
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, ∠C = এক সমকোণ এবং ∠B = 2∠A । প্রমাণ করতে হবে যে, AB = 2BC.
অঙ্কন : BC কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন BC = CD হয় এবং D, A যোগ করি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) ∠ACB = এক সমকোণ হওয়ায় ∠ACD = এক সমকোণ। | [ কোণ দুইটি সন্নিহিত] |
| (২) এখন, ABC ও ADC সমকোণী ত্রিভুজ দুইটির মধ্যে
BC = CD AC সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ACB = অন্তর্ভুক্ত ∠ACD |
[কল্পনা] [সমকোণ] |
| (৩) ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD
= \[\frac{1}{2}\] ∠B + \[\frac{1}{2}\] ∠B = ∠B |
∠B = 2∠A
বা, ∠A = \[\frac{1}{2}\] ∠B |
| (৪) DABD এ
∠B = ∠D = ∠DAB হওয়ায় ত্রিভুজটি সমবাহু। ∴ AB = BD AB = BC + CD AB = BC + BC AB = 2BC× [প্রমাণিত] |
[Q BC = CD] |
প্রশ্ন \ ১৫ \ প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ∆ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করায় বহিঃস্থ ∠ACD উৎপন্ন হয়েছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACD = ∠BAC +∠ABC
অঙ্কন : C বিন্দুতে BAরেখার সমান্তরাল CE রেখা টানি।
প্রমাণ :
ধাপসমূহ যথার্থতা
(১) যেহেতু BA ও CE সমান্তরাল এবং AC তাদের ছেদক।
∴ ∠BAC = ∠ACE ————– (i) [একান্তর কোণ]
(২) আবার, BA ও CE সমান্তরাল এবং BD তাদের ছেদক
∴ ∠ABC = ∠ECD ———— (ii) [অনুরূপ কোণ]
(৩) (i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
∴ ∠BAC + ∠ABC = ∠ACE + ∠ECD
বা, ∠BAC + ∠ABC = ∠ACD [অঙ্কনানুসারে]
∴ ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC
প্রশ্ন \ ১৬ \ প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজ। AC এর ক্ষুদ্রতম বাহু এবং AB বৃহত্তম বাহু। প্রমাণ করতে হবে যে, এর যেকোনো দুই বাহুর অন্তর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। অর্থাৎ AB – AC < BC.
অঙ্কন : AB হতে AC এর সমান করে AD অংশ কেটে নেই এবং D, C যোগ করি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) ∆ACD এ ∠ACD = ∠ADC | |
| (২) আবার,
D ACD এ বহিঃস্থ ∠BDC > অন্তঃস্থ ∠ACD
∴ ∠BDC > ∠ACD |
[বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর] [একই] |
| (৩) আবার,
∆BDC এ বহিঃস্থ ∠ADC > অন্তঃস্থ ∠BCD ∴ ∠ADC > ∠BCD |
|
| (৪) এখন, ∆ BDC- এ
∠BDC > ∠BCD ∴ BC > BD বা, BD < BC বা, AB – AD < BC ∴ AB – AC < BC (প্রমাণিত) |
[বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর] |
প্রশ্ন \ ১৭ \ চিত্রে, ABC ত্রিভুজের ∠B = এক সমকোণ
এবং D, অতিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ কর যে,
BD = \[\frac{1}{2}\] AC
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : ABC ত্রিভুজের ∠B = এক সমকোণ এবং D, অতিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু। B. D যোগ করা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, BD = \[\frac{1}{2}\] AC
অঙ্কন : F, AB এর এবং E, BC-এর মধ্যবিন্দু নির্ণয় করি। F, D এবং E, D যোগ করি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) FD, AC এবং AB এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ।
∴ FD || BC |
|
| (২) আবার, DE, BC ও AC এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ।
∴ DE || AB ∠AFD = ∠B ∠AFD = এক সমকোণ তাহলে, ÐDFB = এক সমকোণ |
[অনুরূপ কোণ বলে]
|
| (৩) ∆AFD ও ∆BFD ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে
AF = BF FD সাধারণ বাহু। এবং অন্তর্ভুক্ত ∠AFD = অন্তর্ভুক্ত ∠BFD ∴ ∆AFD ≅ ∆BFD অতএব ∠FAD = ∠FBD |
[অঙ্কনানুসারে] [সমকোণ বলে]
|
| (৪) ∆ABD এ
∠DAB = ∠ABD ∴ AD = BD |
[সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণ] |
| (৫) এরূপে, ∆BDE ও ∆CDE নিয়ে প্রমাণ করা যায় যে,
BD = CD ∴ BD + BD = AD + CD বা, 2BD = AC ∴ BD = \[\frac{1}{2}\] AC [প্রমাণিত] |
প্রশ্ন \ ১৮ \ ∆ABC এ AB>AC এবং ∠A এর সমদ্বিখণ্ডক AD, BC বাহুকে উ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, ∠ADB স্থূলকোণ।
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : ∆ABC এ AB>AC এবং ∠A এর সমদ্বিখণ্ডক AD, BC বাহুকে উ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ADB স্থূলকোণ।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| ∆ABD এ, AB বাহুর বিপরীত ∠ADB
∆ACD এ, AC বাহুর বিপরীত ∠ADC এখন, AB > AC ∠ADB > ∠ADC |
[ত্রিভুজের এক বাহু অপর এক বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর] |
| (২) ∠ADB + ∠ADC = এক সরলকোণ = 180° | |
| (৩) যেহেতু ∠ADB > ∠ADC
সুতরাং ∠ADB > এক সমকোণ ∴ ADB স্থূলকোণ। [প্রমাণিত] |
প্রশ্ন \ ১৯ \ প্রমাণ কর যে, কোনো রেখাংশের লম্বদ্বিখণ্ডকের উপরিস্থিত যেকোনো বিন্দু উক্ত রেখাংশের প্রান্ত বিন্দুদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : কোনো রেখাংশের লম্বদ্বিখণ্ডকের উপরিস্থিত যেকোনো বিন্দু উক্ত সরলরেখার প্রান্ত বিন্দুদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, AB সরলরেখার উপর CD লম্বদ্বিখণ্ডক এবং P, CD এর উপর একটি বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, PA = PB.
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) CD লম্বদ্বিখণ্ডক হওয়ায় AC = BC
এবং ∠PCA = ∠PCB |
[∵ PC ⊥ AB]
[সমকোণ] |
| (২) ΔAPC ও ΔBPC এর মধ্যে
AC = BC, সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ACP = অন্তর্ভুক্ত ∠BCP ΔAPC ≅ ΔBPC ∴ PA = PB [প্রমাণিত] |
[∵ প্রত্যেকে সমকোণ] [∵ দুই বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয় সমান] |
প্রশ্ন \ ২০ \ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A = এক সমকোণ। BC বাহুর মধ্যবিন্দু D.
ক. প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী ABC ত্রিভুজটি অঙ্কন কর।
খ. দেখাও যে, AB + AC > 2AD.
গ. প্রমাণ কর যে, AD = \[\frac12\] BC.
সমাধান :
ক.
চিত্রে, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A = এক সমকোণ। BC বাহুর মধ্যবিন্দু D.
খ. দেখাতে হবে যে, AB + AC > 2AD.
অঙ্কন : AD কে E পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন AD = DE হয় এবং E, C যোগ করি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) ΔABD ও ΔCDE এর মধ্যে
BD = CD AD = DE এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ADB = অন্তর্ভুক্ত ∠CDE ∴ ΔABD @ ΔCDE ∴ AB = CE |
[D, BC এর মধ্যবিন্দু] [অঙ্কনানুসারে] [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য] |
| (২) এখন ΔACE-এ
AC + CE > AE বা, AC + AB > AD + DE ∴ AB + AC > 2AD [দেখানো হলো] |
[∵ AB = CE] [∵ AD = DE]
|
গ. প্রমাণ করতে হবে যে, AD = \[\frac12\] BC.
অঙ্কন : AB এর মধ্যবিন্দু E নির্ণয় করি। D, E যোগ করি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) ΔABC-এ D ও E বিন্দু যথাক্রমে BC ও AB এর মধ্যবিন্দু।
∴ DE ∥ AC ∴ ÐDEB = ÐCAE ∴ ÐDEA = ÐDEB |
[অনুরূপ কোণ এবং প্রত্যেকে এক সমকোণ] [সমকোণ] |
| (২) এখন, ΔDEB ও ΔDEA এ
AE = EB DE = DE ∴ ΔDEB ≅ ΔDEA ∴ AD = BD ∴ AD = \[\frac12\] BC. (প্রমাণিত) |
[অঙ্কনানুসারে] [সাধারণ বাহু] [∵ D, BC এর মধ্যবিন্দু
|
