SSC Math Exercise 6.3 Solution || Part 2

SSC math exercise 6.3 solution || part 2

প্রশ্ন \ ১২ \ ∆ABC এর ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ কর যে, ∠BOC = 90° + $\frac{1}{2}$ ∠A

সমাধান :

বিশেষ নির্বচন : ∆ABC এর ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BOC = 90° + $\frac{1}{2}$ ∠A

প্রমাণ :

ধাপসমূহ

যথার্থতা

(১) ∆ABC এ ∠A + ∠B + ∠C =180°

[ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ]

(২) আবার, ∆BOC এ

∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°

[ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ]

(৩) কিন্তু ∠OBC = $\frac{1}{2}$ ∠B এবং

∠OCB = $\frac{1}{2}$ ∠C

[BO ও CO যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক]

(৪) সুতরাং

∠BOC + $\frac{1}{2}$ ∠B + $\frac{1}{2}$ ∠C = 180°

বা, ∠BOC + $\frac{1}{2}$ ∠B + $\frac{1}{2}$ ∠C = ÐA + ∠B + ∠C [ (i) নং হতে]

বা, ∠BOC = ÐA + ÐB – $\frac{1}{2}$ ∠B + ∠C – $\frac{1}{2}$ ∠C

বা, ∠BOC = ∠A + $\frac{1}{2}$ ∠B + $\frac{1}{2}$ ∠C

বা, ∠BOC = $\frac{1}{2}$ ∠A + $\frac{1}{2}$ ∠B + ∠C + $\frac{1}{2}$ ∠A

বা, ∠BOC = (∠A + ∠B + ∠C)+ $\frac{1}{2}$ ∠A

বা, ∠BOC = $\frac{1}{2}$ ´ 180° + $\frac{1}{2}$ ∠A

∴ ∠BOC = 90° + $\frac{1}{2}$ ∠A [ প্রমাণিত ]

প্রশ্ন \ ১৩ \ ∆ABC এর AB ও AC বাহুকে বর্ধিত করলে B ও C বিন্দুতে যে বহিঃকোণ দুইটি উৎপন্ন হয়, তাদের সমদ্বিখণ্ডক দুইটি O বিন্দুতে মিলিত হলে,

প্রমাণ কর যে, ∠BOC= 90° – $\frac{1}{2}$ ∠A

সমাধান :

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ∆ABC এর AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো।

B ও C বিন্দুতে উৎপন্ন বহিঃকোণ দুইটির সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BOC= 90° – $\frac{1}{2}$ ∠A

প্রমাণ :

ধাপসমূহ	যথার্থতা
(১) ∆ABC এ ∠A + ∠B + ∠C = 180°	[ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ]
(২) আবার, ∆BOC এ ∠BOC + ∠OBC +∠OCB = 180°	[ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ]
(৩) কিন্তু ∠OBC = $\frac{1}{2}$ ∠EBC = $\frac{1}{2}$ ( ∠A + ∠C) এবং ∠OCB = $\frac{1}{2}$ ∠BCF = $\frac{1}{2}$ (∠A + ∠B)	[বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ দুইটির সমষ্টির সমান]
(৪) সুতরাং, ∠BOC + $\frac{1}{2}$ (∠A + ∠C + ∠A + ∠B) = 180° বা, ∠BOC + $\frac{1}{2}$ (180° + ∠A) = 180° [A + ∠B + ∠C = 180°] বা, ∠BOC + $\frac{1}{2}$ – 180° + $\frac{1}{2}$ ∠A = 180° বা, ∠BOC + 90° + $\frac{1}{2}$ ∠A = 180° বা, ∠BOC = 180° – 90° – $\frac{1}{2}$ ∠A ∴ ∠BOC = 90° – $\frac{1}{2}$ ∠A [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ ১৪ \ চিত্রে, দেওয়া আছে, ∠C = এক

সমকোণ এবং ∠B = 2∠A

প্রমাণ কর যে, AB = 2BC.

সমাধান :

বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, ∠C = এক সমকোণ এবং ∠B = 2∠A । প্রমাণ করতে হবে যে, AB = 2BC.

অঙ্কন : BC কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন BC = CD হয় এবং D, A যোগ করি।

প্রমাণ :

ধাপসমূহ

যথার্থতা

(১) ∠ACB = এক সমকোণ হওয়ায় ∠ACD = এক সমকোণ।

[ কোণ দুইটি সন্নিহিত]

(২) এখন, ABC ও ADC সমকোণী ত্রিভুজ দুইটির মধ্যে

BC = CD

AC সাধারণ বাহু

এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ACB = অন্তর্ভুক্ত ∠ACD

[কল্পনা]

[সমকোণ]

(৩) ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD

= $\frac{1}{2}$ ∠B + $\frac{1}{2}$ ∠B = ∠B

∠B = 2∠A

বা, ∠A = $\frac{1}{2}$ ∠B

(৪) DABD এ

∠B = ∠D = ∠DAB হওয়ায় ত্রিভুজটি সমবাহু।

∴ AB = BD

AB = BC + CD

AB = BC + BC

AB = 2BC× [প্রমাণিত]

[Q BC = CD]

প্রশ্ন \ ১৫ \ প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

সমাধান : সাধারণ নির্বচন : ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ∆ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করায় বহিঃস্থ ∠ACD উৎপন্ন হয়েছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACD = ∠BAC +∠ABC

অঙ্কন : C বিন্দুতে BAরেখার সমান্তরাল CE রেখা টানি।

প্রমাণ :

ধাপসমূহ যথার্থতা

(১) যেহেতু BA ও CE সমান্তরাল এবং AC তাদের ছেদক।

∴ ∠BAC = ∠ACE ————– (i) [একান্তর কোণ]

(২) আবার, BA ও CE সমান্তরাল এবং BD তাদের ছেদক

∴ ∠ABC = ∠ECD ———— (ii) [অনুরূপ কোণ]

(৩) (i) নং ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

∴ ∠BAC + ∠ABC = ∠ACE + ∠ECD

বা, ∠BAC + ∠ABC = ∠ACD [অঙ্কনানুসারে]

∴ ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC

প্রশ্ন \ ১৬ \ প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

সমাধান : সাধারণ নির্বচন : ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজ। AC এর ক্ষুদ্রতম বাহু এবং AB বৃহত্তম বাহু। প্রমাণ করতে হবে যে, এর যেকোনো দুই বাহুর অন্তর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। অর্থাৎ AB – AC < BC.

অঙ্কন : AB হতে AC এর সমান করে AD অংশ কেটে নেই এবং D, C যোগ করি।

প্রমাণ :

ধাপসমূহ

যথার্থতা

(১) ∆ACD এ ∠ACD = ∠ADC

(২) আবার,

D ACD এ বহিঃস্থ ∠BDC > অন্তঃস্থ ∠ACD

∴ ∠BDC > ∠ACD

[বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর]

[একই]

(৩) আবার,

∆BDC এ বহিঃস্থ ∠ADC > অন্তঃস্থ ∠BCD

∴ ∠ADC > ∠BCD

(৪) এখন, ∆ BDC- এ

∠BDC > ∠BCD

∴ BC > BD

বা, BD < BC

বা, AB – AD < BC

∴ AB – AC < BC (প্রমাণিত)

[বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
[∵ AD = AC]

প্রশ্ন \ ১৭ \ চিত্রে, ABC ত্রিভুজের ∠B = এক সমকোণ

এবং D, অতিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ কর যে,

BD = $\frac{1}{2}$ AC

সমাধান :

বিশেষ নির্বচন : ABC ত্রিভুজের ∠B = এক সমকোণ এবং D, অতিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু। B. D যোগ করা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, BD = $\frac{1}{2}$ AC

অঙ্কন : F, AB এর এবং E, BC-এর মধ্যবিন্দু নির্ণয় করি। F, D এবং E, D যোগ করি।

প্রমাণ :

ধাপসমূহ

যথার্থতা

(১) FD, AC এবং AB এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ।

∴ FD || BC

(২) আবার, DE, BC ও AC এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ।

∴ DE || AB

∠AFD = ∠B

∠AFD = এক সমকোণ

তাহলে, ÐDFB = এক সমকোণ

[অনুরূপ কোণ বলে]

(৩) ∆AFD ও ∆BFD ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে

AF = BF

FD সাধারণ বাহু।

এবং অন্তর্ভুক্ত ∠AFD = অন্তর্ভুক্ত ∠BFD

∴ ∆AFD ≅ ∆BFD

অতএব ∠FAD = ∠FBD

[অঙ্কনানুসারে]

[সমকোণ বলে]

(৪) ∆ABD এ

∠DAB = ∠ABD

∴ AD = BD

[সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণ]

(৫) এরূপে, ∆BDE ও ∆CDE নিয়ে প্রমাণ করা যায় যে,

BD = CD

∴ BD + BD = AD + CD

বা, 2BD = AC

∴ BD = $\frac{1}{2}$ AC [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ ১৮ \ ∆ABC এ AB>AC এবং ∠A এর সমদ্বিখণ্ডক AD, BC বাহুকে উ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, ∠ADB স্থূলকোণ।

সমাধান :

বিশেষ নির্বচন : ∆ABC এ AB>AC এবং ∠A এর সমদ্বিখণ্ডক AD, BC বাহুকে উ বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ADB স্থূলকোণ।

প্রমাণ :

ধাপসমূহ	যথার্থতা
∆ABD এ, AB বাহুর বিপরীত ∠ADB ∆ACD এ, AC বাহুর বিপরীত ∠ADC এখন, AB > AC ∠ADB > ∠ADC	[ত্রিভুজের এক বাহু অপর এক বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর]
(২) ∠ADB + ∠ADC = এক সরলকোণ = 180°
(৩) যেহেতু ∠ADB > ∠ADC সুতরাং ∠ADB > এক সমকোণ ∴ ADB স্থূলকোণ। [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ ১৯ \ প্রমাণ কর যে, কোনো রেখাংশের লম্বদ্বিখণ্ডকের উপরিস্থিত যেকোনো বিন্দু উক্ত রেখাংশের প্রান্ত বিন্দুদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।

সমাধান : সাধারণ নির্বচন : কোনো রেখাংশের লম্বদ্বিখণ্ডকের উপরিস্থিত যেকোনো বিন্দু উক্ত সরলরেখার প্রান্ত বিন্দুদ্বয় হতে সমদূরবর্তী।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, AB সরলরেখার উপর CD লম্বদ্বিখণ্ডক এবং P, CD এর উপর একটি বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, PA = PB.

প্রমাণ :

ধাপসমূহ

যথার্থতা

(১) CD লম্বদ্বিখণ্ডক হওয়ায় AC = BC

এবং ∠PCA = ∠PCB

[∵ PC ⊥ AB]

[সমকোণ]

(২) ΔAPC ও ΔBPC এর মধ্যে

AC = BC,

সাধারণ বাহু এবং

অন্তর্ভুক্ত ∠ACP = অন্তর্ভুক্ত ∠BCP

ΔAPC ≅ ΔBPC

∴ PA = PB [প্রমাণিত]

[∵ প্রত্যেকে সমকোণ]

[∵ দুই বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয় সমান]

প্রশ্ন \ ২০ \ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A = এক সমকোণ। BC বাহুর মধ্যবিন্দু D.

ক. প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী ABC ত্রিভুজটি অঙ্কন কর।

খ. দেখাও যে, AB + AC > 2AD.

গ. প্রমাণ কর যে, AD = $\frac12$ BC.

সমাধান :

ক.

চিত্রে, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A = এক সমকোণ। BC বাহুর মধ্যবিন্দু D.

খ. দেখাতে হবে যে, AB + AC > 2AD.

অঙ্কন : AD কে E পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করি যেন AD = DE হয় এবং E, C যোগ করি।

প্রমাণ :

ধাপসমূহ

যথার্থতা

(১) ΔABD ও ΔCDE এর মধ্যে

BD = CD

AD = DE

এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ADB = অন্তর্ভুক্ত ∠CDE

∴ ΔABD @ ΔCDE

∴ AB = CE

[D, BC এর মধ্যবিন্দু]

[অঙ্কনানুসারে]
[বিপ্রতীপ কোণ]

[বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

(২) এখন ΔACE-এ

AC + CE > AE

বা, AC + AB > AD + DE
বা, AB + AC > AD + AD

∴ AB + AC > 2AD [দেখানো হলো]

[∵ AB = CE]

[∵ AD = DE]

গ. প্রমাণ করতে হবে যে, AD = $\frac12$ BC.

অঙ্কন : AB এর মধ্যবিন্দু E নির্ণয় করি। D, E যোগ করি।

প্রমাণ :

ধাপসমূহ

যথার্থতা

(১) ΔABC-এ D ও E বিন্দু যথাক্রমে BC ও AB এর মধ্যবিন্দু।

∴ DE ∥ AC

∴ ÐDEB = ÐCAE

∴ ÐDEA = ÐDEB

[অনুরূপ কোণ এবং প্রত্যেকে এক সমকোণ]

[সমকোণ]

(২) এখন, ΔDEB ও ΔDEA এ

AE = EB

DE = DE

∴ ΔDEB ≅ ΔDEA

∴ AD = BD

∴ AD = $\frac12$ BC. (প্রমাণিত)

[অঙ্কনানুসারে]

[সাধারণ বাহু]
[বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

[∵ D, BC এর মধ্যবিন্দু

SSC math exercise 6.3 solution part 1

Post Views: 2,176

SSC math exercise 6.3 solution || part 2