SSC math circle exercise 8.2 solution || বৃত্ত
বৃত্তচাপ:বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী 
পরিধির অংশকে চাপ বলে। চিত্রে A ও B দুইটি
বিন্দুর মাঝে বৃত্তের অংশগুলো লক্ষ করি। দেখা
যায়, দুইটি অংশের একটি অংশ ছোট, অন্যটি
তুলনামূলকভাবে বড়। ছোট অংশটিকে উপচাপ
ও বড়টিকে অধিচাপ বলা হয়। বৃত্তের দুইটি বিন্দু
A ও B বৃত্তটিকে দুইটি চাপে বিভক্ত করে। উভয় চাপের প্রান্তবিন্দু A ও B এবং প্রান্তবিন্দু ছাড়া চাপ দুইটির অন্য কোনো সাধারণ বিন্দু নেই।
কোণ কর্তৃক খণ্ডিত চাপ
একটি কোণ কোনো বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত
বা ছিন্ন করে বলা হয় যদি
(১) চাপটির প্রত্যেক প্রান্তবিন্দু কোণটির
বাহুতে অবস্থিত হয়,
(২) কোণটির প্রত্যেক বাহুতে চাপটির অন্তত
একটি প্রান্তবিন্দু, অবস্থিত হয় এবং
(৩) চাপটির অন্তঃস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু কোণটির অভ্যন্তরে থাকে। চিত্রে প্রদর্শিত কোণটি O কেন্দ্রিক বৃত্তে APB চাপ খণ্ডিত করে।
বৃত্তস্থ কোণ
একটি কোণের শীর্ষবিন্দু কোনো বৃত্তের একটি
বিন্দু হলে এবং কোণটির প্রত্যেক বাহুতে শীর্ষবিন্দু
ছাড়াও বৃত্তের একটি বিন্দু থাকলে কোণটিকে একটি
বৃত্তস্থ কোণ বা বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোণ বলা হয়। চিত্রে
কোণগুলো বৃত্তস্থ কোণ। প্রত্যেক বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে
একটি চাপ তৈরী করে। এই চাপ উপচাপ, অর্ধবৃত্ত অথবা অধিচাপ হতে পারে।
বৃত্ত || SSC Math Chapter 8.2 Solution
মন্তব্য : বৃত্তের কোনো চাপে অন্তর্লিখিত একটি
কোণ হচ্ছে সেই কোণ যার শীর্ষবিন্দু ঐ চাপের
একটি অন্তঃস্থ বিন্দু এবং যার এক একটি বাহু
ঐ চাপের এক একটি প্রান্তবিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তের
কোনো চাপে দণ্ডায়মান একটি বৃত্তস্থ কোণ হচ্ছে
ঐ চাপের অনুবন্ধী চাপে অন্তর্লিখিত একটি কোণ।
কেন্দ্রস্থ কোণ: একটি কোণের শীর্ষবিন্দু
কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হলে, কোণটিকে
ঐ বৃত্তের একটি কেন্দ্রস্থ কোণ বলা হয় এবং
কোণটি বৃত্তে যে চাপ খণ্ডিত করে সেই চাপের
ওপর তা দণ্ডায়মান বলা হয়। পাশের চিত্রের
∠AOB কোণটি একটি কেন্দ্রস্থ কোণ এবং তা
APB চাপের ওপর দণ্ডায়মান। অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রে কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC সরলকোণ এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC সমকোণ।
প্রশ্ন \ ১ \ O কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো বৃত্তে ABCD একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। AC, BD কর্ণদ্বয় E বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে, , ∠AOB + ∠COD = 2∠AEB.
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD বৃত্তের O কেন্দ্র এবং ABCD চতুর্ভুজটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত। AC ও BD কর্ণদ্বয় ঊ বিন্দুতে ছেদ করেছে। A, O; B, O; C, O এবং D, O যোগ করা হলো।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOB + ∠COD = 2∠AEB.
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) AB চাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ ∠AOB এবং ∠ADB ।
∴ ∠AOB = 2∠ADB |
[কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের
দ্বিগুণ (দেওয়া আছে)]
|
| (২) CD চাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ ∠COD এবং বৃত্তস্থ ∠DAC ।
∴ ∠COD = 2∠DAC |
[একই] |
| (৩) ∠AOB + ∠COD = 2 ∠ADB + 2∠DAC = 2(∠ADB + ∠DAC) ———– (i) | [১ ও ২নং হতে] |
| (৪) ΔADE – এ বহিঃস্থ ∠AEB এবং অন্তঃস্থ বিপরীত কোণগুলো হলো, ∠EAD ও ∠EDA
অতএব, ∠AEB = ∠EAD + ∠EDA = ∠DAC + ∠ADB |
[ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান] |
| (৫) সমীকরণ (i) নং এ ∠DAC + ∠ADB = ∠AEB বসিয়ে পাই, ∠AOB + ∠COD = 2 ∠AEB. [প্রমাণিত] |
প্রশ্ন \ ২ \ ABCD বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুইটি পরস্পর E বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাও যে, ΔAED ও ΔBEC সদৃশকোণী।
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ACBD বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পর E বিন্দুতে ছেদ করেছে। A, D এবং B, C যোগ করা হলো।
প্রমাণ করতে হবে যে, ΔAED ও ΔBEC সদৃশকোণী।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) BD চাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ ∠DAB ও ∠BCD
সুতরাং, ∠DAB = ∠BCD |
[সমান চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণগুলো সমান] |
| (২) আবার, AC চাপের উপর অবস্থিত বলে ∠ADC = ∠ABC | |
| (৩) এখন, ΔAED ও ΔBEC এর
∠DAE = ∠BCE ∠ADE = ∠CBE এবং ∠AED = ∠BEC অতএব, ΔAED ও ΔBEC সদৃশকোণী। [দেখানো হলো] |
[ইউ চাপের উপর অবস্থিত বলে] [অঈ চাপের উপর অবস্থিত বলে] [বিপ্রতীপ কোণ বলে]
|
Circle Exercise 8.2 Solution || SSC Math
প্রশ্ন \ ৩ \ O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে, ∠ADB + ∠BDC = এক সমকোণ। প্রমাণ কর যে, A, O এবং C এক সরলরেখায় অবস্থিত।
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে, ∠ADB + ∠BDC = এক সমকোণ।
প্রমাণ করতে হবে যে, A, O এবং C এক সরলরেখায় অবস্থিত।
অঙ্কন : A, O; C, O এবং B, O যোগ করি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) AB চাপের ওপর
কেন্দ্রস্থ ∠AOB এবং বৃত্তস্থ ∠ADB। সুতরাং ∠AOB = 2∠ADB—— (i) |
[কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] |
| (২) আবার, BC চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ ∠BOC এবং বৃত্তস্থ ∠BDC
∴ ∠BOC = 2∠BDC ——— (ii) |
[একই] |
| (৩) সমীকরণ (i) এবং (ii) যোগ করে পাই,
∠AOB + ∠BOC = 2∠ADB + 2∠BDC বা, ∠AOC = 2(∠ADB + ∠BDC) = 2∠ADC = 2 × এক সমকোণ = 2 × সমকোণ = এক সরলকোণ অর্থাৎ ১৮০0 অতএব, A, O এবং C এক সরলরেখায় অবস্থিত। [প্রমাণিত] |
∠ADC = অর্ধবৃত্তস্থকোণ |
SSC গণিত অধ্যায় ৮.২ সমাধান || বৃত্ত
প্রশ্ন \ ৪ \ AB ও CD দুইটি জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে, AC ও BD চাপদ্বয় কেন্দ্রে যে দুইটি কোণ উৎপন্ন করে, তাদের সমষ্টি ∠AEC এর দ্বিগুণ।
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ADBC বৃত্তের O কেন্দ্র এবং AB ও CD দুইটি জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। AC ও BD চাপদ্বয় কেন্দ্রে ∠AOC ও ∠BOD উৎপন্ন করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOC + ∠BOD = 2 ∠AEC
অঙ্কন : B, C যোগ করি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) AC চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ ∠ABC
সুতরাং ∠AOC = 2∠ABC ——– (i) |
[কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] |
| (২) আবার, BD চাপের ওপর
কেন্দ্রস্থ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ ∠BCD ∴ ∠BOD = 2∠BCD ———– (ii) |
[একই] |
| (৩) সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
অতএব, ∠AOC + ∠BOD = 2(∠ABC + ∠BCD) |
|
| (৪) এখন, ΔBCE এর
বহিঃস্থ ∠AEC = (∠BCE + ∠CBE) অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি বা, ∠AEC = ∠BCD + ∠ABC |
[ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
|
| (৫) অতএব, ∠AOC + ∠BOD = 2∠AEC [প্রমাণিত] |
প্রশ্ন \ ৫ \ দেখাও যে, বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : দেখাতে হবে যে, বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD একটি বৃত্ত এবং O তার কেন্দ্র। ABCD একটি বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম। এর AB || CD এবং AD ও BC দুইটি তির্যক বাহু। দেখাতে হবে যে, BC = AD.
অঙ্কন : A, O; B, O; C, O; D, O এবং B ও D যোগ করি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) BC চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ ∠BOC এবং বৃত্তস্থ ∠BDC
সুতরাং, ∠BOC = 2∠BDC ————— (i) |
[কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ] |
| (২) আবার, AD চাপের উপর কেন্দ্রস্থ ∠AOD এবং বৃত্তস্থ ∠ABD
∴ ∠AOD = 2∠ABD —————— (ii) |
[ একই ] |
| (৩) কিন্তু AB || CD এবং BD ছেদক হওয়ায়
∠ABD = ∠BDC বা, 2∠ABD = 2∠BDC ∴ ∠BOC = ∠AOD ∴ চাপ BC = চাপ AD [সমান সমান জ্যা বৃত্তে সমান চাপ ছিন্ন করে।] অতএব BC = AD। [দেখানো হলো] |
[একান্তর কোণ বলে]
[সমান সমান চাপ কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে]
|
প্রশ্ন \ ৬ \ AB ও AC কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা এবং P ও Q যথাক্রমে তাদের দ্বারা ছিন্ন উপচাপ দুইটির মধ্যবিন্দু। PQ জ্যা AB ও AC জ্যাকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাও যে, AD = AE.
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC বৃত্তের O কেন্দ্র এবং AB ও AC দুটি জ্যা। P ও Q যথাক্রমে AB ও AC দ্বারা ছিন্ন উপচাপ দুইটির মধ্যবিন্দু। PQ জ্যা AB ও AC জ্যাকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে।
দেখাতে হবে যে, AD = AE.
অঙ্কন : A ও P এবং P ও C যোগ করি।
প্রমাণ :
| ধাপসমূহ | যথার্থতা |
| (১) P মধ্যবিন্দু হওয়ায় চাপ চাপ AP = চাপ PB
∴ ∠ACP = ∠PAB |
[সমান সমান চাপের উপর অবস্থিত বলে] |
| (২) আবার Q মধ্যবিন্দু হওয়ায় চাপ
AQ = চাপ CQ ∴ ∠CPQ = ∠APQ সুতরাং ∠ACP + ∠CPQ = ∠PAB + ∠APQ |
[ সমান সমান চাপের উপর অবস্থিত বলে]
|
| (৩) কিন্তু, ΔPAD এ
বহিঃস্থ ∠AEP = ∠ECP + ∠EPC বা, ∠AED = ∠ACP + ∠CPQ |
[অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি]
|
| (৪) আবার, ΔPAD -এ বহিঃস্থ
∠ADQ = ∠PAD + ∠APD বা, ∠ADE = ∠PAB + ∠APQ = ∠ACP + ∠CPQ সুতরাং ∠AED = ∠ADE |
[অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি]
|
| (৫) ΔADE এ ∠ADE = ∠AED হওয়ায়
∴ AD = AE [দেখানো হলো]। |
