ssc math chapter 1 বাস্তব সংখ্যা solution || part 2
প্রশ্ন \ ৯ \ গুণ কর :
(ক) \[0.\overset.3 × 0.\overset.6 \]
সমাধান : প্রদত্ত আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ গুলোকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করি।
\[0.\overset.3 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]
\[ 0.\overset.6 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]
⸫ \[0.\overset.3 × 0.\overset.6 \]
= \[ \frac{1}{3} × \frac{2}{3} \]
= \[0.\overset.2 \]
নির্ণেয় গুণফল \[0.\overset.2 \].
(খ) \[2.\overset.4 × 0.\overset.6 \]
সমাধান : প্রদত্ত আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ গুলোকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করি।
\[2.\overset.4 = \frac{24 – 2}{9} = \frac{22}{9} \]
\[ 0.\overset.8 \overset.1= \frac{81 – 0}{99} = \frac{81}{99} = \frac{9}{11} \]
⸫ \[2.\overset.4 × 0.\overset.6 \]
= \[ \frac{22}{9} × \frac{9}{11} \]
= 2
নির্ণেয় গুণফল ২
(গ) \[ 0.6\overset.2 × 0.\overset.3 \]
সমাধান : প্রদত্ত আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ গুলোকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করি।
\[ 0.6\overset.2 = \frac{62 – 6}{90} = \frac{56}{90} = \frac{28}{45} \]
\[ 0.\overset.3 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]
⸫ \[ 0.6\overset.2 × 0.\overset.3 \]
= \[ \frac{28}{45} × \frac{1}{3} \]
= 0.207407407 ……………. = \[ 0.2\overset.07\overset.4 \]
নির্ণেয় গুণফল \[ 0.2\overset.07\overset.4 \]
(ঘ) \[ 42.\overset.1\overset.8 × 0.2\overset.8 \]
সমাধান : প্রদত্ত আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ গুলোকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করি।
\[ 42.\overset.1\overset.8 = \frac{4218 – 42}{99} = \frac{4176}{99} \]
\[ 0.2\overset.8 = \frac{28 – 2}{90} = \frac{26}{90} \]
⸫ \[ 42.\overset.1\overset.8 × 0.2\overset.8 \]
= \[ \frac{4176}{99} × \frac{26}{90} \]
= \[ \frac{6032}{495} \]
= 12.18585858 ……..
= \[ 12.1\overset.8\overset.5 \]
নির্ণেয় গুণফল \[ 12.1\overset.8\overset.5 \]
প্রশ্ন \ ১০ \ ভাগ কর :
(ক) \[ 0.\overset.3 ÷ 0.\overset.6 \]
সমাধান : প্রদত্ত আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ গুলোকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করি।
\[ 0.\overset.3 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\]
\[ 0.\overset.6 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\]
∴ \[ 0.\overset.3 ÷ 0.\overset.6 \]
= \[ \frac{1}{3} ÷ \frac{2}{3} \]
= \[ \frac{1}{2} \]
= 0.5
নির্ণেয় ভাগফল 0.5
(খ) \[ 0.3\overset.5 ÷ 1.\overset.7 \]
সমাধান : প্রদত্ত আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ গুলোকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করি।
\[ 0.3\overset.5 = \frac{35 – 3}{90} = \frac{32}{90} = \frac{16}{45} \]
\[ 1.\overset.7 = \frac{17 – 1}{9} = \frac{16}{9} \]
\[ 0.3\overset.5 ÷ 1.\overset.7 \]
= \[ \frac{16}{45} ÷ \frac{16}{9} \]
= \[ \frac{16}{45} × \frac{9}{16} \]
= \[ \frac{1}{5} \]
= 0.2
নির্ণেয় ভাগফল 0.2
(গ) \[ 2.3\overset.7 ÷ 0.4\overset.5 \]
সমাধান : প্রদত্ত আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ গুলোকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করি।
\[ 2.3\overset.7 = \frac{237 – 23}{90} = \frac{214}{90} \]
\[ 0.4\overset.5 = \frac{45 – 4}{90} = \frac{41}{90} \]
\[ 2.3\overset.7 ÷ 0.4\overset.5 \]
= \[ \frac{214}{90} ÷ \frac{41}{90} \]
= \[ \frac{214}{90} × \frac{90}{41} \]
= \[ \frac{214}{41} \]
= 5.2195121951 ……………
= \[ 5.\overset.2195\overset.1 \]
নির্ণেয় ভাগফল \[ 5.\overset.2195\overset.1 \]
(ঘ) \[ 1.\overset.18\overset.5 ÷ 0. \overset.2\overset.4 \]
সমাধান : প্রদত্ত আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ গুলোকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করি।
\[ 1.\overset.18\overset.5 = \frac{1185 – 1}{999} = \frac{1184}{999} \]
\[ 0. \overset.2\overset.4 = \frac{24}{99}\]
∴ \[ 1.\overset.18\overset.5 ÷ 0. \overset.2\overset.4 \]
= \[ \frac{1184}{999} ÷ \frac{24}{99} \]
= \[ \frac{1184}{999} × \frac{99}{24} \]
= \[ \frac{1628}{333} \]
= 4.8888 ………….
= \[ 4.\overset.8 \]
নির্ণেয় ভাগফল \[ 4.\overset.8 \]
প্রশ্ন \ ১২ \ নিচের কোন সংখ্যাগুলো মূলদ এবং কোন সংখ্যাগুলো অমূলদ লেখ :
(ক) \[0.\overset.4\]
সমাধান : \[0.\overset.4 = \frac{4}{9}\]
∴ \[0.\overset.4\] সংখ্যাটি মূলদ
(খ) \[\sqrt{9}\]
সমাধান : \[\sqrt{9} = \sqrt{3^2} = 3\]
∴ \[\sqrt{9}\] সংখ্যাটি মূলদ
(গ) \[\sqrt{11}\]
সমাধান : \[\sqrt{11}\]
∴ \[\sqrt{11}\] সংখ্যাটি অমূলদ
(ঘ) \[\frac{\sqrt{6}}{3}\]
সমাধান : \[\frac{\sqrt{6}}{3}= \frac{\sqrt{3} × \sqrt{2}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} \]
∴ \[\frac{\sqrt{6}}{3}\] সংখ্যাটি অমূলদ
(ঙ) \[\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{7}}\]
সমাধান : \[\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{2} × \sqrt{4}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{2} × 2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \]
∴ \[\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{7}}\] সংখ্যাটি অমূলদ
(চ) \[\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{48}}\]
সমাধান : \[\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{48}} = \frac{\sqrt{3} × \sqrt{9}}{\sqrt{3} × \sqrt{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}\]
∴ \[\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{48}}\] সংখ্যাটি মূলদ
(ছ) \[\frac{\frac23}{\frac37}\]
সমাধান : \[\frac{\frac23}{\frac37} = \frac23 ÷ \frac37 = \frac23 × \frac73 = \frac{14}9\]
∴ \[\frac{\frac23}{\frac37}\] সংখ্যাটি মূলদ
(জ) \[5.\overset.63\overset.9 \]
সমাধান : \[5.\overset.63\overset.9 = \frac{5639 – 5}{999} = \frac{5634}{999}\]
∴ \[5.\overset.63\overset.9 \] সংখ্যাটি মূলদ
প্রশ্ন \ ১৩ \ সরল কর :
(ক) \[ \left(0.\overset.3\times0.8\overset.3\right)\div\left(0.5\times0.\overset.1\right) + 0.3\overset.5\div0.0\overset.8 \]
সমাধান : \[ \left(0.\overset.3\times0.8\overset.3\right)\div\left(0.5\times0.\overset.1\right)+0.3\overset.5\div0.0\overset.8\\\\=\left(\frac39\times\frac{83-8}{90}\right)\div\left(\frac5{10}\times\frac19\right)+\frac{35-3}{90}\div\frac{8-0}{90}\\\\=\left(\frac{\cancel3^1}{{\cancel9}_{{\cancel3}_1}}\times\frac{\cancel{75}^{25}}{90}\right)\div\frac5{90}+\frac{32}{90}\div\frac8{90}\\\\=\frac{25}{90}\div\frac5{90}+\frac{32}{90}\div\frac8{90}\\\\=\frac{\cancel{25}^5}{{\cancel{90}}_1}\times\frac{\cancel{90}^1}{{\cancel5}_1}+\frac{\cancel{32}^4}{{\cancel{90}}_1}\times\frac{\cancel{90}^1}{{\cancel8}_1}\\\\=5\;+\;4\\\\=9 \]
প্রশ্ন \ ১৪ \ \[\sqrt{5}\] ও 4 দুইটি বাস্তব সংখ্যা।
ক. কোনটি মূলদ ও কোনটি অমূলদ নির্দেশ কর।
খ. \[\sqrt{5}\] ও 4 এদের মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।
গ. প্রমাণ কর যে, \[\sqrt{5}\] একটি অমূলদ সংখ্যা।
সমাধান :
ক. \[\sqrt{5}\] অমূলদ সংখ্যা। কারণ, 5 পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।
4 মূলদ সংখ্যা। কারণ 4 = \[ \frac{4}{1}\] আকারে প্রকাশ করা যায় এবং এটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা।
খ. এখানে, \[\sqrt{5}\] = 2.2360679………..
মনে করি, a = 3.020022000222……….
এবং b = 3.505500555…………
স্পষ্টত: a ও b উভয়ই বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই 5 অপেক্ষা বড় এবং 4 অপেক্ষা ছোট।
অর্থাৎ, \[\sqrt{5}\] < 3.020022000222……….<4
এবং \[\sqrt{5}\] < 3.505500555…………<4
আবার, a ও b কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।
∴ a ও b দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা।
গ. প্রমাণ করতে হবে যে, \[\sqrt{5}\] একটি অমূলদ সংখ্যা।
প্রমাণ : 22 = 4; 32 = 9 এবং \[(\sqrt{5})^2 = 5 \]
সুতরাং \[\sqrt{5}\], 2 অপেক্ষা বড় কিন্তু 3 অপেক্ষা ছোট সংখ্যা।
অতএব, \[\sqrt{5}\] পূর্ণসংখ্যা নয়।
মনে করি, \[\sqrt{5}\] মূলদ সংখ্যা।
তাহলে ধরি, \[\sqrt{5} = \frac{p}{q}\] ; যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা, q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক, q > 1.
বা, 5 = \[ \frac{p^2}{q^2}\] ; বর্গ করে
বা, 5q = \[ \frac{p^2}{q}\] ; উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে
এখানে 5q স্পষ্টত পূর্ণসংখ্যা কিন্তু \[ \frac{p^2}{q}\] পূর্ণসংখ্যা নয়। কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1.
সুতরাং 5q এবং \[ \frac{p^2}{q}\] সমান হতে পারে না, অর্থাৎ 5q ≠ \[ \frac{p^2}{q}\]
∴ \[\sqrt{5}\] এর মান \[ \frac{p}{q}\] আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারেনা,
অর্থাৎ, \[\sqrt{5}\] ≠ \[ \frac{p}{q}\]
অতএব, \[\sqrt{5}\] একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)
