SSC higher math ex-3.2 solution || জ্যামিতি

SSC higher math ex-3.2 solution || জ্যামিতি

১.       দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক হবে।

২.       ত্রিভুজের বাহুগুলো সমানুপাতিক হলে অনুরূপ বাহুর বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।

৩.      দুইটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত তাদের যেকোনো দুই অনুরূপ বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাতের সমান।

৪.       ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমরেখ।

৫.       ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলা হয়। ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

৬.      ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্ব সমদ্বিখণ্ডকত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলা হয়। এই বিন্দু ত্রিভুজে পরিলিখিত বৃত্তের কেন্দ্র।

৭.       ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় হতে বিপরীত বাহুর উপর লম্বত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র বা লম্ববিন্দু বলা হয়। লম্বত্রয়ের পাদবিন্দুত্রয় সংযোজন করে উৎপন্ন ত্রিভুজকে মূল ত্রিভুজের পাদত্রিভুজ বলা হয়।

১.      

          XY রেখাংশে AB এর লম্ব অভিক্ষেপ নিচের কোনটি?

(ক) AB

(খ) BC

(গ) AC

(ঘ) XY

২.      

          উপরের চিত্রে কোনটি লম্ববিন্দু?

(ক) D

(খ) E

(গ) F

(ঘ) O

৩.     

i. ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে

ii. ভরকেন্দ্র যেকোনো মধ্যমাকে 3 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে

iii. সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক

          নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i ও ii

(খ) ii ও iii

(গ) i ও iii

(ঘ) i, ii ও iii

D, E, F যথাক্রমে BC, AC ও AB এর মধ্যবিন্দু হলে ওপরের চিত্রের আলোকে ৪-৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাও :

৪.       G বিন্দুর নাম কী?

(ক) লম্ববিন্দু

(খ) অন্তঃকেন্দ্র

(গ) ভরকেন্দ্র

(ঘ) পরিকেন্দ্র

৫.       ΔABC এর শীর্ষ বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের নাম কী?

(ক)  পরিবৃত্ত

(খ) অন্তর্বৃত্ত

(গ) বহির্বৃত্ত

(ঘ) নববিন্দু বৃত্ত

৬.      ΔABC এর ক্ষেত্রে নিচের কোনটি এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে?

(ক) AB² + AC² = BC²      

(খ) AB² + AC² = 2(AD² + BD²)

(গ) AB² + AC² = 2(AG² + GD²)

(ঘ) AB² + AC² = 2(AG² + GD²)

প্রশ্ন \ ৭ \ ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তস্থ যেকোনো P বিন্দু থেকে BC ও CA এর ওপর PD ও PE লম্ব অঙ্কন করা হয়েছে। যদি ED রেখাংশ AB কে O বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ কর যে, PO রেখা AB এর ওপর লম্ব। অর্থাৎ PO ⊥ AB.

সমাধান :

P, ΔABC -এর পরিবৃত্তস্থ যেকোনো একটি বিন্দু। PD ⊥ BC ও PE⊥CA এবং ED রেখাংশAB  কে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, PO ⊥ AB.

প্রমাণ : আমরা জানি, পরিবৃত্তস্থ কোনো বিন্দু হতে কোনো ত্রিভুজের বাহুদ্বয়ের উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয়ের পাদবিন্দুগুলো সমরেখ।

এখানে, PD ⊥BC ও PE ⊥ CA হওয়ায় এবং ঊউ রেখাংশ AB কে O বিন্দুতে ছেদ করায় D, E, O  সমরেখ।

সুতরাং O বিন্দু অবশ্যই P হতে AB এর উপর লম্বের পাদবিন্দু হবে।

∴ PO ⊥ AB. (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ ৮ \ ΔABC এর ∠C সমকোণ। C থেকে অতিভুজের উপর অঙ্কিত লম্ব CD হলে, প্রমাণ কর যে, CD² = AD.BD

সমাধান :

মনে করি, ΔABC এ ∠C = 1 সমকোণ এবং E বিন্দু থেকে অতিভুজ AB এর উপর CD লম্ব।

প্রমাণ করতে হবে যে, CD² = AD.BD

প্রমাণ : ΔABC এ ∠C = 90°

∴ ∠ACD + ∠BCD = 90° …………………….(i)

আবার, ΔADC–এ ∠ADC = 90°  [∵ CD ^ AB]

∴ ∠CAD + ∠ACD = 90° ……………………(ii)

সমীকরণ (i) ও (ii) হতে পাই,

∠ACD + ∠BCD = ∠CAD + ∠ACD

∴ ∠BCD = ∠CAD

এখন, ΔADC ও ΔBDC -এ

∠ADC = ∠BDC = 90°

এবং ∠CAD = ∠BCD

সুতরাং ত্রিভুজ দুটি সদৃশকোণী; অর্থাৎ সদৃশ।

∴  \[\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD} \]

∴ CD² = BD. AD (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ ৯ \ ΔABC এর শীর্ষত্রয় থেকে বিপরীত বাহুগুলোর ওপর লম্ব AD, BE ও CF রেখাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AO.OD = BO.OE = CO.OF

সমাধান :

দেওয়া আছে, ΔABC এর শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর উপর AD, BE, CF রেখাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AO.OD = BO.OE = CO.OF

প্রমাণ : ΔAOE ও ΔAOD এর মধ্যে

          ∠AOE = বিপ্রতীপ ∠BOD

          এবং ∠AEO =∠BDO

[প্রত্যেকে সমকোণ, কারণ BE ⊥AC এবং AD ⊥ BC]

∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী, সুতরাং তারা সদৃশ।

∴   \[\frac{AO}{BO} = \frac{OE}{OD} \]

 [দুটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]

∴ AO. OD = BO. OE ………………….(i) [বজ্রগুণন করে]

আবার, DBOF ও DCOE এর মধ্যে

∠BOF = বিপ্রতীপ ∠COE

এবং ∠BFO = ∠CEO = 90° [BE ⊥ AC এবং CF ⊥ AB]

∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী, অর্থাৎ সদৃশ।

∴ \[\frac{BO}{CO} = \frac{OF}{OE} \]

∴ BO.OE = CO.OF …………………. (ii) [বজ্রগুণন করে]

সমীকরণ (i) ও (ii) হতে পাই,

∴ OD = BO. OE = CO.OF (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ ১০ \ AB ব্যাসের ওপর অঙ্কিত অর্ধবৃত্তের দুইটি জ্যা AC ও BD পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AB² = AC.AP + BD.BP

সমাধান :

দেওয়া আছে,AB ব্যাসের উপর অঙ্কিত অর্ধবৃত্তের দুটি জ্যা AC ও BD পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, AB² = AC.AP + BD.BP ।

অঙ্কন : AB বাহুর উপর P বিন্দু থেকে PQ লম্ব আঁকি। উহা AB কে Q বিন্দুতে ছেদ করে। A, D ও B, C যোগ করি।

প্রমাণ : ADPQ চতুর্ভুজে ∠D = ∠AQP = 90°

[ D অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এবং PQ ⊥ AB]

∴ ADPQ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

উক্ত বৃত্তের AQ ও DP জ্যাদ্বয় বৃত্তের বহিঃস্থ B বিন্দুতে পরস্পর ছেদ করে।

∴ AB.BQ = BD.BP …………………………(i)

 [কারণ, বৃত্তের জ্যা দুটি বহিঃস্থ কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে একটির অংশদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র অপরটির অংশদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমান]

আবার, BCPQ চতুর্ভুজে, ∠C = ∠BQP = 90° [C অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এবং PQ ^ AB]

∴ BCPQ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

∴ AB.AQ = AC.AP …………………………..(ii)

এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

AB.BQ + AB.AQ = BD.BP + AC.AP

বা,  AB (BQ + AQ) = AC.AP + BD.BP

∴ AB.AB = AC.AP + BD.BP

∴ AB² = AC.AP + BD.BP (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ ১১ \ কোনো সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 3.0 সে.মি. হলে ঐ ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সে.মি.।

আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র ঐ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস এবং ঐ বাহুদ্বয়ের সাধারণ বিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমান। সুতরাং চিত্রে, AB.AC = 2R.AD

[এখানে AD লম্ব ও 2R পরিবৃত্তের ব্যাস]

AB² = 2R.AD………………………..(i)

ΔABC -এর BO = AO = 3  সে.মি.

AO যোগ করে বর্ধিত করায় AD মধ্যমা।

এখন, যেহেতু BO = AO = 3 সে.মি.

∴ OD =  \[ \frac{3}{2}\] সে.মি.     [∵ O সম্পাত বিন্দু]

∴ AD = AO + OD

          = 3 +\[ \frac{3}{2}\] সে.মি.

 [∵মধ্যমাত্রয় সম্পাত বিন্দুতে পরস্পরকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে]

          =  \[ \frac{9}{2}\]  সে.মি.

এখন, সমীকরণ (i) এ সংশ্লিষ্ট মান বসিয়ে পাই,

AB² = 2R.AD

     = 2 × 3 × \[ \frac{9}{2}\]  = 27

∴ AB = \[ \sqrt{27} =3 \sqrt{3}  \]

∴ DABC এর বাহুর দৈর্ঘ্য \[ 3 \sqrt{3}  \]  সে.মি.

প্রশ্ন \ ১২ \ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A হতে ভূমি BC এর ওপর অঙ্কিত লম্ব AC এবং ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R হলে প্রমাণ কর যে, AB² = 2R.AD [ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্যে AB = AC]

সমাধান :

দেওয়া আছে, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের A থেকে BC এর উপর লম্ব AD এবং ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R। প্রমাণ করতে হবে যে, 2R.AD = AB²

অঙ্কন : O, ΔABC এর পরিকেন্দ্র। A, O যোগ করে P পর্যন্ত বর্ধিত করি, যা পরিধিকে P বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে AO + OP = 2R বা AP = 2R | C, P যোগ করি।

প্রমাণ : DABD এবং DACP-এ

∠ADB = ∠ACP   [উভয়ে এক সমকোণ]

∠ABD = ∠APC             [একই জ্যা AC এর উপর অবস্থিত]

অবশিষ্ট ∠BAD = অবশিষ্ট ∠CAP

∴ ΔABD ও ΔACP সদৃশকোণী ও সদৃশ।

তাহলে, \[\frac{AB}{AD} = \frac{AP}{AC} \] [∵ অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]

বা, AB.AC = AD.AP

বা, AB.AB = 2R.AD [∵ AB = AC ও AP = 2R]

∴ AB² = 2R.AD (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ ১৩ \ ABC ত্রিভুজের ÐA এর সমদ্বিখণ্ডক BC কে D বিন্দুতে এবং ABC পরিবৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।

দেখাও যে, AD² = AB.AC – BD.DC

সমাধান :

দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের ∠ A -এর সমদ্বিখণ্ডক রেখাংশ BC কে D বিন্দুতে এবং ΔABC -এর পরিবৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AD² = AB.AC – BD.DC

অঙ্কন : C, E যোগ করি।

প্রমাণ : ΔABD ও ΔAEC এ

∠BAD = ∠CAE   [স্বীকার]

এবং∠ABD =∠AEC        [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ বলে]

∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী, অর্থাৎ সদৃশ।

সুতরাং এদের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক

∴ \[\frac{AB}{AE} = \frac{AD}{AC} \]

বা,  AB.AC = AE.AD ………………………….(i)

আবার, ΔABD ও ΔCDE এ

∠ABD = ∠CED [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ বলে]

এবং ∠ADB = বিপ্রতীপ ∠CDE

∴ ত্রিভুজ দুটি সদৃশকোণী; সুতরাং তারা সদৃশ।

বা,  \[\frac{AD}{DC} = \frac{BD}{DE} \]

বা, AD.DE = BD.DC ………………………….(ii)

সমীকরণ (i) হতে, AB. AC = AE.AD

                         = (AD + DE) AD

                         = AD.AD + AD.DE

                         = AD² + AD.DE.

বা, AB.AC = AD² + BD.DC [(ii) হতে মান বসিয়ে]

বা, AD² = AB.AC – BD.DC (প্রমাণিত)

প্রশ্ন \ ১৪ \ ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর ওপর যথাক্রমে BE ও CFলম্ব। দেখাও যে, ΔABC : ΔAEF = AB² : AE²

সমাধান :

দেওয়া আছে, ΔABC ও BE ⊥ AC এবং CF ⊥ AB. E ও F যোগ করা হলো।

প্রমাণ করতে হবে যে, ΔABC : ΔAEF = AB² : AE²

প্রমাণ : ∠BEC = 90° = ∠BEB    [Q BE ⊥ AC, CF ⊥ AB]

BC কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তটি E ও F বিন্দু দিয়ে যাবে।

কারণ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।

∴ BCEF একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

CF বাহুকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোন ∠AEF.

∴ ∠AEF = ∠ABC [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে

          উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান]

অনুরূপভাবে ∠AEF =∠ACB        [একই কারণে]

ΔABC ও ΔAEF এর মধ্যে

∠ABC = ∠AEF. ∠ACB = ∠AFE

এবং ∠A সাধারণ

সুতরাং ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী অর্থাৎ সদৃশ।

কিন্তু AB ও AE তাদের অনুরূপ বাহু।

∴ \[\frac{DABC}{DAEF} = \frac{AB^2}{AE^2} \]

∴ DABC : DAEF = AB² : AE² (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ ১৫ \ ΔPQR -এ PM, QN ও RS মধ্যমাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ক.      O বিন্দুটির নাম কী? O বিন্দু PM কে কী অনুপাতে বিভক্ত করে?

খ.       ΔPQR হতে PQ² + PR² = 2(PM² + QM²) সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত কর।

গ.       দেখাও যে, ΔPQR -এর বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি O বিন্দু হতে শীর্ষবিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টির তিনগুণ।

সমাধান :

ক.      এখানে PM, QN ও RS মধ্যমাত্রয় বিন্দুতে ছেদ করেছে।

          অতএব, O বিন্দুর নাম ভরকেন্দ্র।

                   O বিন্দু PM কে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

খ.       ΔPQR -এ PM, QN ও RS মধ্যমাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করেছে। QR বাহুর উপর PD লম্ব আঁকি।

          এখন ΔPQM -এ ∠ PMQ স্থূলকোণ

     ∴ PQ² = PM² + QM² + 2QM.DM …………………..(i)

                   [স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি হতে]

          আবার, ΔPRM–এ ∠ PMR সূ²কোণ

          ∴ PR² = PM² + RM² – 2RM.DM ……………………(ii)

                 [সূ²কোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি হতে]

          (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

     PQ² + PR² = PM² + QM² + 2QM.DM + PM² + RM² – 2RM.DM

                   = 2PM² + 2QM² + 2QM.DM – 2QM.DM [মধ্যমা বলে RM = QM]

                   = 2(PM² + QM²)

          সুতরাং PQ² + PR² = 2(PM² + QM²) সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত হলো।

গ.       ‘খ’ হতে পাই,

     PQ² + PR² = 2(PM² + QM²) ………………………(i)

     PQ² + QR² = 2(QN² + RN²) ……………………..(ii)

     এবং QR² + PR² = 2(RS² + QS²) ………………..(iii)

          এখন সমীকরণ (i), (ii) ও (iii) যোগ করে পাই,

     2PQ² + 2QR² + 2PR² = 2PM² + 2QM² + 2QN² + 2RN² + 2RS² + 2QS²

     বা, 2(PQ² + QR² + PR²) = 2(PM² + QN² + RS²) + 2(QM² + RN² + QS²)

     বা, 4(PQ² + QR² + PR²) = 4(PM² + QN² + RS²) + 4(QM² + RN² + QS²         [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে]

     4(PQ² + QR² + PR²) = 4(PM² + QN² + RS²) + (2QM)² + (2RN)² + (2QS)²

     বা, 4(PQ² + QR² + PR²) = 4(PM² + QN² + RS²) + QR² + PR² + PQ².

          [M, N, S যথাক্রমে QR, RP এবং PQ এর মধ্যবিন্দু বলে, 2QM = QR, 2RN = PR এবং 2QS = PQ]

          বা, 3(PQ² + QR² + PR²) = 4(PM² + QN² + RS²) …….(iv)

          আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো সম্পাত বিন্দুতে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

     \  \[\frac{PO}{OM} = \frac{2}{1} \]

          বা, \[\frac{OM}{PO} = \frac{1}{2} \]

          বা, \[\frac{OM + PO}{PO} = \frac{1 + 2}{2} \]         [যোজন করে]

          বা,  \[\frac{PM}{PO} = \frac{3}{2} \]   

          বা, 2PM = 3PO

          বা, 4PM² = 9PO²    [বর্গ করে]

          অনুরূপে 4QN² = 9QO²

          এবং 4RS² = 9RO²

          সুতরাং (iv) নং সমীকরণ থেকে পাই

     3(PQ² + QR² + PR²) = 9PO² + 9QO² + 9RO²

          ∴ PQ² + QR² + PR² = 3(PO² + QO² + RO²) [3 দ্বারা ভাগ করে] (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ ১৬ \

উপরের চিত্রে S, O যথাক্রমে ΔABC এর পরিকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু। AP মধ্যমা, BC = a, AC = b এবং AB = c

ক.      OA এবং SP এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।

খ.       দেখাও যে, S, G, O একই সরলরেখায় অবস্থিত।

গ.       ∠ C সূ²কোণ হলে a.CD = b.CE  সমীকরণটি প্রতিষ্ঠিত কর।

সমাধান :

ক.      আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের লম্ববিন্দু থেকে তার যেকোনো শীর্ষের দূরত্ব, ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র থেকে ঐ শীর্ষের বিপরীত বাহুর দূরত্বের দ্বিগুণ।

          ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O, পরিকেন্দ্র S এবং S থেকে BC বাহুর উপর লম্ব দূরত্ব SP, O থেকে A এর দূরত্ব S থেকে BC এর দূরত্বের দ্বিগুণ।

     ∴ OA = 2SP

          এটিই OA এবং SP এর মধ্যে সম্পর্ক।

খ.       ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O, পরিকেন্দ্র S এবং BC এর মধ্যবিন্দু D; A, D এবং S, O যোগ করি। S, O রেখাংশ AD কে G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, S, G, O একই সরলরেখায় অবস্থিত। অর্থাৎ এটা প্রমাণ করলেই হবে যে, G বিন্দুটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।

          প্রমাণ : যেহেতু AD ও SP উভয়ই BC এর উপর লম্ব সেহেতু AD || SP.

                    AD এবং AP এদের ছেদক হওয়ায় ∠PAD = ∠SPG [একান্তর কোণ]

          অর্থাৎ, ∠OAG = ∠SPG

          এখন, ΔAGO এবং ΔPGS এর মধ্যে

          ∠AGO = ∠PGS   [বিপ্রতীপ কোণ]

          ∠OAG = ∠SPG [একান্তর কোণ]

          ∴ অবশিষ্ট ∠AGO = অবশিষ্ট ∠PSG

          ∴ DAGO ও DPGS সদৃশকোণী।

          সুতরাং \[\frac{AG}{GP} = \frac{OA}{SP} \]   

            বা, \[\frac{AG}{GP} = \frac{2SP}{SP} \]      [‘ক’ হতে]

            বা, \[\frac{AG}{GP} = \frac{2}{1} \]

          ∴ AG : GP = 2 : 1

          অর্থাৎ এ বিন্দু AP মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করেছে।

          ∴ G বিন্দুটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।

          ∴ S, G, O একই সরলরেখায় অবস্থিত। (প্রমাণিত)

গ.       ΔABC এর AD, BC এর উপর এবং BE, AC এর উপর লম্ব এবং BC = a, AC = b । প্রমাণ করতে হবে যে, BC.CD = AC.CE অর্থাৎ a. CD = b.CE

          প্রমাণ : AD⊥ BC হওয়ায় ΔABC এর ÐACB সূক্ষ্মকোণ এবং CD, BC বাহুতে AC বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ হওয়ায় AB² = AC² + BC² – 2BC.CD ………(i)

          আবার, CE, AC বাহুতে BC বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ।

           AB² = BC² + AC² – 2AC.CE ……………..(ii)

          (i) নং ও (ii) নং সমীকরণ হতে পাই

          AC² + BC² – 2BC.CD = BC² + AC² – 2AC.CE

          বা, -2 BC.CD = -2 AC.CE

          বা, BC.CD = AC.CE                  [উভয়পক্ষকে (-2) দ্বারা ভাগ করে]

          ∴ a.CD = b.CE সমীকরণটি প্রতিষ্ঠিত হলো।

ssc higher math 3.2 solution