SSC higher math ex-1.2 solution | এসএসসি উচ্চতর গণিত অনুশীলনী ১.২ সমাধান – এই অনুশীলনীর প্রতিটি সমস্যার সহজ, ধাপে ধাপে ও বিশ্লেষণভিত্তিক সমাধান এখানে দেওয়া হয়েছে। গাণিতিক যুক্তি ও সূত্র ব্যবহার করে বুঝিয়ে দেওয়া হয়েছে প্রতিটি ধাপ। পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সাহায্যের জন্য এটি হতে পারে তোমার বিশ্বস্ত সঙ্গী। এখনই দেখে নাও অনুশীলনী ১.২-এর সম্পূর্ণ সমাধান!
SSC higher math ex-1.2 solution | এসএসসি উচ্চতর গণিত অনুশীলনী ১.২ সমাধান
১. {(2,2),(4,2),(2,10),(7,7)} অন্বয়ের ডোমেন কোনটি?
ক) {2,4,5,7}
খ) {2,2,10,7}
গ) {2,4,10,7}
ঘ) {2,4,7}
উত্তরঃ ক
২. S={(x,y):x∈A, y∈A এবং y=x2} এবং A={-2,-1,0,1,2} নিচের কোনটি S অন্বয়ের সদস্য?
ক) (2,4)
খ) (-4,4)
গ) (-1,1)
ঘ) (1,-1)
উত্তরঃ গ
[y=x2 তে x=-1 বসালে y=(-1)2=1 হবে, অর্থাৎ (x,y)=(-1,1)]
৩. যদি S={(1,4),(2,1),(3,0),(4,1),(5,4)} হয় তবে,
(i) S অন্বয়ের রেঞ্জ {4,1,0}
(ii) S অন্বয়ের বিপরীত অন্বয়, S-1={(4,1),(1,2),(0,3),(1,4),(4,5)}
(iii) S অন্বয়টি একটি ফাংশন
উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i. ও ii.
খ) ii. ও iii.
গ) i. ও iii.
ঘ) i, ii. ও iii.
উত্তরঃ খ
৪. যদি F(x) =\[\sqrt{(x-1)}\] হয় তবে F(10)=কত?
ক) 9.
খ) 3.
গ) -3.
ঘ) \[\sqrt{10}\]
উত্তরঃ খ
৫. S={(x,y) : x2+y2-25=0 এবং x
≥0} হলে,
(i) অন্বয়টি ফাংশন নয়।
(ii) অন্বয়টির লেখচিত্র একটি অর্ধবৃত্ত।
(iii) অন্বয়টির লেখচিত্র x অক্ষের উপর অর্ধতলে থাকবে।
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i. ও ii.
খ) ii. ও iii.
গ) i. ও iii.
ঘ) i, ii. ও iii.
উত্তরঃ ক
৬. F(x) = \[\sqrt{(x-1)}\] = 5 হলে x এর মান কত?
ক) 5.
খ) 24.
গ) 25.
ঘ) 26.
উত্তরঃ ঘ
৭. F(x) = \[\sqrt{(x-1)}\] ফাংশনটির ডোমেন নিচের কোনটি?
ক) ডোম F={x∈R : x≠1}
খ) ডোম F={x
∈R : x≥1}
গ) ডোম F={x∈R : x≤1}
ঘ) ডোম F={x∈R : x>1}
উত্তরঃ খ
৮. (i) নিচে প্রদত্ত S অন্বয়গুলোর ডোমেন, রেঞ্জ ও বিপরীত অন্বয় নির্ণয় কর।
(ii) S অথবা S-1 অন্বয়গুলো ফাংশন কিনা তা নির্ধারণ কর।
(iii) ফাংশনগুলো এক–এক কিনা নির্ধারণ কর।
ক) S={(1,5),(2,10),(3,15),(4,20)}
খ) S={(-3,8),(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3),(3,8)}
গ) S= {(\[\frac{1}{2}\],0),(1,1),(1,-1),(0,0),( \[\frac52\],2),( \[\frac12\],-2)} \[\frac12\]
ঘ) S={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}
ঙ) S={(2,1),(2,2),(2,3)}
সমাধানঃ
(ক)
(i) এখানে, S={(1,5),(2,10),(3,15),(4,20)}
ডোম S={1,2,3,4}
রেঞ্জ S={5,10,15,20}
S-1={(5,1),(10,2),(15,3),(20,4)}
(ii) এখানে S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S একটি ফাংশন।
আবার, S-1 অন্বয়েরও একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S-1 অন্বয়টিও একটি ফাংশন।
(iii) S={(1,5),(2,10),(3,15),(4,20)}
S ফাংশনের ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন ভিন্ন।
∴S এক-এক ফাংশন।
আবার, S-1={(5,1),(10,2),(15,3),(20,4)}
S-1 ফাংশনের ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন ভিন্ন।
∴S-1 এক-এক ফাংশন।
(খ)
(i) এখানে, S={(-3,8),(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3),(3,8)}
ডোম S={-3,-2,-1,0,1,2,3}
রেঞ্জ R={-1,0,3,8}
S-1={(8,-3),(3,2),(0,-1),(-1,0),(0,1),(3,2),(8,3)}
(ii) এখানে S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S একটি ফাংশন।
আবার, S-1 এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে। যেমনঃ (0,-1) এবং (0,1)। সুতরাং S-1 একটি ফাংশন নয়।
(iii) S={(-3,8),(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3),(3,8)}
এই ফাংশনের একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। কিন্তু দ্বিতীয় উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে। যেমনঃ (-3,8) ও (3,8)। সুতরাং এটি এক-এক ফাংশন নয়।
∴S এক-এক ফাংশন নয়।
আবার,
S-1={(8,-3),(3,2),(0,-1),(-1,0),(0,1),(3,2),(8,3)}
S-1 এ একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট (0,-1) ও (0,1) ক্রমজোড় আছে। কাজেই এটি ফাংশন নয়। সুতরাং এটি এক-এক ফাংশন নয়।
(গ)
(i) S={(\[\frac12\],0),(1,1),(1,-1),(0,0),( \[\frac52\],2),( \[\frac52\],-2)}
ডোম S={\[\frac12\],1, \[\frac52\]}
রেঞ্জ S={-2,-1,0,1,2}
S-1={(0, \[\frac12\]), (1,1), (-1,1), (2, \[\frac52\]),(-2, \[\frac52\])}
(ii) S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে, যেমনঃ (1,1) এবং (1,-1)।
∴ S ফাংশন নয়।
S-1 এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই।
∴ S-1 একটি ফাংশন।
(iii) S={(\[\frac12\],0),(1,1),(1,-1),(0,0),( \[\frac52\],2),( \[\frac52\],-2)}
যেহেতু S ফাংশন নয় তাই S এক-এক ফাংশন নয়।
S-1={(0, \[\frac12\]), (1,1), (-1,1), (2, \[\frac52\]),(-2, \[\frac52\])}
S-1 এর ফাংশনটির একই দ্বিতীয় উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে, যেমন (1,1) ও (-1,1)। সুতরাং এটি এক-এক ফাংশন নয়।
(ঘ)
(i) S={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}
ডোম S={-3,-1,0,1,3}
রেঞ্জ S={-3,-1,0,13}
S-1={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}
(ii) S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S একটি ফাংশন।
S-1 এরও একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S-1 একটি ফাংশন।
(iii) S={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}
S ফাংশনের ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন। সুতরাং S এক-এক ফাংশন।
S-1={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}
S-1 ফাংশনের ডোমনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন। সুতরাং S-1 এক-এক ফাংশন।
(ঙ)
(i) S={(2,1),(2,2),(2,3)}
ডোম S={2}
রেঞ্জ S={1,2,3}
S-1={(1,2),(2,2),(3,2)}
(ii) S এর একই প্রথম উপাদানবিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে, যেমনঃ (2,1) ও (2,2)। সুতরাং S ফাংশন নয়।
S-1 এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S-1 ফাংশন।
(iii) S ফাংশন নয় তাই এক-এক নয়।
S-1 ফাংশনটির একই দ্বিতীয় উপদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় রয়েছে। যেমনঃ (1,2), (2,2), (3,2)।
সুতরাং ফাংশনটি S-1 এক-এক নয়।
৯. F(x) = \[\sqrt{(x – 1)}\] দ্বারা বর্ণিত ফাংশনের জন্য
ক) F(1), F(5) এবং F(10) নির্ণয় কর।
খ) F(a2+1) নির্ণয় কর যেখানে a∈R
গ) F(x)=5 হলে, x নির্ণয় কর।
ঘ) F(x)=y হলে, x নির্ণয় কর যেখানে y≥0।
সমাধানঃ
(ক) দেওয়া আছে, F(x) = \[\sqrt{(x – 1)}\]
∴ F(1) = \[\sqrt{(1 – 1)}\] = \[\sqrt{0}\] = 0
F(5) = \[\sqrt{(5 – 1)}\] = \[\sqrt{4}\] =2
F(10) = √(10-1) \[\sqrt{(10 – 1)}\] = \[\sqrt{9}\] =3
(খ) দেওয়া আছে, F(x)= \[\sqrt{(x – 1)}\]
F(a^2+1)= \[\sqrt{(a^2+1-1)}\] = \[\sqrt{(a^2)}\] =।a।
(গ) দেওয়া আছে, F(x) = \[\sqrt{(x – 1)}\]এবং F(x)=5
∴ \[\sqrt{(x – 1)}\] = 5
বা, x-1 = 25 [বর্গ করে]
বা, x = 25+1
বা, x=26
(ঘ) দেওয়া আছে, F(x) = \[\sqrt{(x – 1)}\] এবং F(x)=y
∴ \[\sqrt{(x – 1)}\] = y
বা, x-1 = \[y^2 \] [বর্গ করে]
বা, x = \[1+y^2\]
১০. F : R –àR, F(x)=x3 ফাংশনের জন্য
ক) ডোম F এবং রেঞ্জ F নির্ণয় কর।
খ) দেখাও যে, F এক–এক ফাংশন।
গ) F-1 নির্ণয় কর।
ঘ) দেখাও যে, F-1 একটি ফাংশন।
সমাধানঃ
ক) দেওয়া আছে, F : R -àR, F(x)=x3
x এর যে সকল বাস্তব মানের জন্য F(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে সেগুলো F(x) এর ডোমেন হবে।
∴ ডোম F=R
আবার, x এর বাস্তব মানের জন্য y বা x3 ও বাস্তব হবে।
সুতরাং রেঞ্জ F=R.
খ) দেওয়া আছে, F : R -àR, F(x)=x3
ধরি, x1, x2 ∈ ডোম F
∴ F(x1)=F(x2)
বা, x13=x23
বা, x1=x2
সুতরাং, F এক-এক ফাংশন (দেখানো হলো)
গ) দেওয়া আছে, F : R -àR, F(x) = x3
ধরি, F(x) = y
বা, x = F-1(y)
এখন, y = x3
বা, x3 = y
বা, x = \[ x^\frac13 \]
∴ F-1(y) = \[ y^\frac13 \]
বা, F-1(x) = \[ x^\frac13 \]
ঘ) গ হতে পাই, F-1(x) = \[ x^\frac13 \]
এখানে, F-1(x) এর ডোম = R এবং x এর সকল বাস্তক মানের জন্য F-1(x) = \[ x^\frac13 \] এর একটি অনন্য মান পাওয়া যাবে।
∴ F-1(x) একটি ফাংশন (দেখানো হলো)
১১. ক) f : R → R একটি ফাংশন যা f(x)=ax+b; a,b ∈ R দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, দেখাও যে, f এক–এক এবং সার্বিক।
খ) f : [0,1]à[0,1]ফাংশনটি f(x)=√(1-x2) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, দেখাও যে, f এক–এক এবং সার্বিক।
সমাধানঃ
(ক) দেওয়া আছে, f(x)=ax+b
ধরি, x1, x2 ∈ ডোম f
এখন, f(x1)=f(x2) এর জন্য f এক-এক ফাংশন হবে যদি এবং কেবল যদি x1=x2 হয়।
এখন, f(x1)=ax1+b এবং f(x2)=ax2+b
∴ f(x1)=f(x2)
বা, ax1+b= ax2+b
বা, ax1=ax2
বা, x1=x2
অতএব, প্রদত্ত ফাংশন এক-এক ফাংশন।
এখন ধরি, y=f(x)=ax+b
বা, y = ax+b
বা, ax = y-b
বা, x = \[\frac{y – b}{a}\]
এখন, f(x)=ax+b
∴ f(\[\frac{y – b}{a}\])=a. \[\frac{y – b}{a}\]+b
= y-b+b
= y
= f(x)
অতএব, ফাংশটি অনটু বা সার্বিক।
(খ) দেওয়া আছে, f(x)=
\[\sqrt{(1-x^2)}\]
তাহলে, f(a)= \[\sqrt{(1-a^2)}\] এবং f(b) = \[\sqrt{(1-b^2)}\]
যদি f(a)=f(b) হয়, তবে
\[\sqrt{(1-a^2)}\] = \[\sqrt{(1-b^2)}\]
বা, 1-a2 = 1-b2
বা, -a2 = -b2
বা, a2 = b2
বা, a = b
অতএব, ফাংশনটি এক-এক ফাংশন।
আবার ধরি, y = f(x) = \[\sqrt{(1-x^2)}\]
বা, y2 = 1-x2
বা, x2 = 1-y2
বা, x = \[\sqrt{(1-y^2)}\]
এখন, f(x) = \[\sqrt{(1-x^2)}\]
f( \[\sqrt{(1- y^2)}\] )= \[\sqrt{1 –\sqrt{1-(\sqrt{1-y^2})^2}}\]
= y
= f(x)
∴ ফাংশনটি সার্বিক বা অনটু।
১২. ক) যদি f : R→R এবং g : R→R ফাংশনদ্বয় f(x)=x3+5 এবং g(x) = \[ (x-5)^\frac13 \] দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, তবে দেখাও যে, g=f-1।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, f(x) = x3+5 এবং g(x) = \[ (x-5)^\frac13 \]
ধরি, y = f(x) = x3+5
বা, y = x3+5 এবং y = f(x)
বা, x3 = y-5 বা, x = f-1(y)…….(i)
বা, x = \[ (y-5)^\frac13 \] …(ii)
(i) ও (ii) হতে,
f-1(y) = \[ (y-5)^\frac13 \]
বা, f-1(x) = \[ (x-5)^\frac13 \]
বা, f-1(x) = g(x) [দেওয়া তথ্য হতে]
বা, g = f-1 (দেখানো হলো)
খ) যদি f : R→R ফাংশনটি f(x) = 5x-4 দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, তবে y = f-1(x) নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, f : RàR ফাংশনটি f(x)=5x-4
ধরি, a = f(x) = 5x-4
বা, a = 5x-4 অথবা, a = f(x)
বা, 5x = a+4 বা, x = f-1(a)…..(i)
বা, x = \[\frac{a+4}{5}\]…..(ii)
(i) ও (ii) হতে পাই,
f-1(a)= \[\frac{a+4}{5}\]
বা, f-1(x) = \[\frac{x+4}{5}\]
∴ y = f-1(x) = \[\frac{x+4}{5}\]
১৩. S অন্বয়ের লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং অন্বয়টি ফাংশন কিনা তা লেখচিত্র থেকে নির্ণয় কর।
ক) S={(x,y) : 2x-y+5=0}
সমাধানঃ
S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
2x-y+5=0
বা, y=2x+5 থেকে x ও y এর কয়েকটি সংশ্লিষ্ট মান নিচের ছকে নির্ণয় করা হলো-
| x | 0 | 1 | -1 |
| y | 5 | 7 | 3 |
∴ L={(0,5),(1,7),(-1,3),(2,9),(-2,1)} ⊂S
এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।
লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর S এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন।
খ) S={(x,y) : x+y=1}
সমাধানঃ
S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
x+y=1
বা, y=1-x থেকে x ও y এর কয়েকটি সংশ্লিষ্ট মান নিচের ছকে নির্ণয় করা হলো-
| x | 0 | 1 | -2 |
| y | 1 | 0 | 3 |
∴ L={(0,1),(1,0),(-2,3)} ⊂S
এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।
লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর S এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন।
গ) S={(x,y) : 3x+y=4}
সমাধানঃ
S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
3x+y=4
বা, y=4-3x থেকে x ও y এর কয়েকটি সংশ্লিষ্ট মান নিচের ছকে নির্ণয় করা হলো-
| x | 0 | 1 | 2 |
| y | 4 | 1 | -2 |
∴ L={(0,4),(1,1),(2,-2)} ⊂S
এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।
লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর S এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন।
ঘ) S={(x,y) : x=-2}
সমাধানঃ
S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
x=-2 তে y যুক্ত কোনো পদ নেই। y এর মান যাই হোক না কেন x এর মান সর্বদাই -2. S অন্বয়ের লেখচিত্র হলো y অক্ষের সমান্তরাল রেখা যা মূলবিন্দু হতে 2 একক বামে অবস্থিত।
লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল রেখার ওপর অসংখ্য বিন্দু আছে। সুতরাং এটি একটি ফাংশন নয়।
১৪. S অন্বয়ের লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং অন্বয়টি ফাংশন কিনা তা লেখচিত্র থেকে নির্ণয় কর।
ক) S={(x,y) : x2+y2=25}
সমাধানঃ
S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
x2+y2=25
বা, (x-0)2+(y-0)2=52
∴S এর লেখ একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ 5. ছক কাগজে (0,0) বিন্দু পাতন করে একে 5 একক ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আকলেই S এর লেখ পাওয়া যাবে। নিচে তা দেখানো হলো।
লেখচিত্রে দেখা যায় y অক্ষের ওপর দুইটি বিন্দু (0,5) ও (0,-5) অবস্থিত। সুতরাং S একটি ফাংশন নয়।
খ) S={(x,y) : x2+y=9}
সমাধানঃ
S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,
x2+y2=9
বা, (x-0)2+(y-0)2=32
∴S এর লেখ একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ 3. ছক কাগজে (0,0) বিন্দু পাতন করে একে 3 একক ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আকলেই S এর লেখ পাওয়া যাবে। নিচে তা দেখানো হলো।
লেখচিত্রে দেখা যায় y অক্ষের ওপর দুইটি বিন্দু (0,3) ও (0,-3) অবস্থিত। সুতরাং S একটি ফাংশন নয়।
১৫. দেওয়া আছে, F(x)=2x-1
ক) F(x+1) এবং F(\[\frac{1}{2}\]) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, F(x)=2x-1
F(x+1)=2(x+1)-1
=2x+2-1
=2x+1
F(\[\frac{1}{2}\])=2. \[\frac{1}{2}\]-1
= 1-1
= 0
খ) F(x) ফাংশনটি এক.এক. কিনা তা যাচাই কর, যখন x,y∈R।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, F(x)=2x-1
∴ F(a)=2a-1 এবং F(b)=2b-1
এখন, F(a)=F(b) এর জন্য
2a-1=2b-1
বা, 2a=2b
বা, a=b
সুতরাং ফাংশনটি এক-এক।
গ) F(x)=y হলে x এর তিনটি পূর্ণ সাংখ্যিক মানের জন্য y এর মান নির্ণয় কর এবং y=2x-1 সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন কর।
সমাধানঃ
F(x)=y
বা, F(x)=2x-1=y [y=2x-1]
বা, 2x=y+1
বা, x=\[\frac{1}{2}\] (y+1)
এখন, y=1 হলে, \[\frac{1}{2}\] (1+1)= \[\frac{1}{2}\]✕2=1
y=3 হলে, \[\frac{1}{2}\] (3+1)= \[\frac{1}{2}\] ✕4=2
y=5 হলে, \[\frac{1}{2}\] (5+1)= \[\frac{1}{2}\]✕6=3
∴ x এর তিনটি মান 1,2,3
এখানে, ক্রমজোড় তিনটি (1,1), (2,3), (3,5)
এবং এই তিনটি বিন্দু দ্বারা অঙ্কিত লেখচিত্র নিন্মরূপঃ
১৬. f : R →R এবং g : RàR ফাংশন দুইটি যথাক্রমে f(x)=3x+3 এবং g(x) = \[\frac{x – 3}{3}\] দ্বারা সংজ্ঞায়িত।
ক) g-1(-3) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
g(x) = \[\frac{ x-3}{3}\]
ধরি, y = g(x)
বা, y = \[\frac{ x-3}{3}\]
বা, 3y = x-3
বা, x = 3y+3……..(i)
আবার, y = g(x)
বা, x = g-1(y)…….(ii)
(i) ও (ii) হতে পাই,
g-1(y) = 3y+3
বা, g-1(-3) = 3.(-3)+3
= – 9 +3
= – 6
খ) f(x) সার্বিক ফাংশন কিনা তা নির্ধারণ কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, f : RàR এবং f(x)=3x+3
ধরি, y = f(x)
বা, y = 3x+3
বা, 3x = y-3
বা, x = \[\frac{y-3}{3}\]
এখন, f(x) = 3x+3
∴ f (\[\frac{y-3}{3}\]) = 3. \[\frac{y-3}{3}\] + 3
= y-3+3
= y
= f(x)
∴ ফাংশনটি সার্বিক।
গ) দেখাও যে, g=f-1।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, f(x)=3x+3
ধরি, y=f(x)
বা, y=3x+3
বা, 3x = y-3
বা, x = \[\frac{y-3}{3}\]….(i)
এখন,
y = f(x)
বা, x = f-1(y)……(ii)
(i) ও (ii) হতে পাই,
f-1(y)= \[\frac{y-3}{3}\]
বা, f-1(x)= \[\frac{x-3}{3}\]….(iii)
আবার, দেওয়া আছে,
g(x)= \[\frac{x-3}{3}\]……(iv)
(iii) ও (iv) হতে পাই,
f-1(x) = g(x)
বা, g=f-1 (দেখানো হলো)
১৭. দেওয়া আছে, f(x)= \[\sqrt{(x-4)}\]
ক) f(x) এর ডোমেন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, f(x)= \[\sqrt{(x-4)}\]
x এর মান ডোমেন হলে f(x) এর মান হবে রেঞ্জ।
f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে যদি এবং কেবল যদি
x-4≥0 হয়
বা, x≥4 হয়।
সুতরাং ডোম f={x∈R : x≥4}
খ) f(x) এক–এক ফাংশন কিনা নির্ধারণ কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, f(x) = \[\sqrt{(x-4)}\]
∴ f(a)= \[\sqrt{(a-4)}\] এবং f(b) = \[\sqrt{(b-4)}\]
এখন, f(a)=f(b) এর জন্য ফাংশনটি এক-এক হবে যদি এবং কেবল যদি a=b হয়।
এখন, f(a)=f(b) হলে,
\[\sqrt{(a-4)}\] = \[\sqrt{(b-4)}\]
বা, a – 4 = b – 4 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, a = b
∴ ফাংশনটি এক-এক।
গ) f-1(x) ফাংশন কিনা তা লেখচিত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, f(x) = \[\sqrt{(x-4)}\]
ধরি, y = f(x)
বা, x = f-1(y)…….(i)
এবং y = f(x) = \[\sqrt{(x-4)}\]
বা, y = \[\sqrt{(x-4)}\]
বা, y2 = x-4
বা, x-4 = y2
বা, x = y2+4……(ii)
(i) ও (ii) হতে পাই,
f-1(y) = y2+4
বা, f-1(x) = x2+4
x এর কয়েকটি মানের জন্য f-1(x) এর মান নির্ণয় করি।
| x | -1 | 0 | 1 |
| f-1(x) | 5 | 4 | 5 |
L={(-1,5),(0,4),(1,5)}
এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।
লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর f-1(x) এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন।
