SSC higher math chapter 2 solution part 2
প্রশ্ন \ ১০ \ যদি \[ \frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}=\frac3{abc} \] হয়, তবে দেখাও যে, bc + ca + ab = 0 অথবা, a = b = c
সমাধান : দেওয়া আছে,
\[ \frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}=\frac3{abc} \]
বা, \[ \frac1{a^3}+\frac1{b^3}+\frac1{c^3}-3.\frac1a.\frac1b.\frac1c = 0 \]
বা, \[ \frac12\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\left\{\left(\frac1a-\frac1b\right)^2+\left(\frac1b-\frac1c\right)^2+\left(\frac1c-\frac1a\right)^2\right\}=0 \]
বা, \[ \left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\left\{\left(\frac1a-\frac1b\right)^2+\left(\frac1b-\frac1c\right)^2+\left(\frac1c-\frac1a\right)^2\right\}=0 \]
বা, [/latex]\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right) [/latex] = 0
বা, \[ \frac{bc+ca+ab}{abc}=0 \]
∴ bc+ca+ab = 0
অথবা, \[ \left\{\left(\frac1a-\frac1b\right)^2+\left(\frac1b-\frac1c\right)^2+\left(\frac1c-\frac1a\right)^2\right\}=0 \]
যেহেতু তিনটি বর্গের সমষ্টির মান শূন্য, সুতরাং এদের প্রত্যেকের মান শূন্য।
অর্থাৎ \[ \left(\frac1a-\frac1b\right)^2=0 \]
বা, \[ \frac1a-\frac1b=0 \] [বর্গমূল করে]
বা, \[ \frac1a=\frac1b \]
বা, a = b
অনুরূপভাবে, b = c এবং c = a
∴ a = b = c
সুতরাং bc + ca + ab = 0 অথবা a = b = c (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ১১ \ যদি x = b + c – a, y = c + a – b হয়, z = a + b – c তবে দেখাও যে, x3 + y3 + z3 – 3xyz = 4(a3 + b3 + c3 – 3abc)
সমাধান : এখানে,
x3 + y3 + z3 – 3xyz
= \[\frac{1}{2}\] (x + y + z){(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x2)}
= \[\frac{1}{2}\] (b + c – a + c + a – b + a + b – c){(b + c – a – c – a + b)2 +
(c + a – b – a – b + c)2 + (a + b – c – b – c + a)2
[x, y, z এর মান বসিয়ে]
= \[\frac{1}{2}\] (a + b + c){(2b – 2a)2 + (2c – 2b)2 + (2a – 2c)2}
= \[\frac{1}{2}\] (a + b + c)[{ – 2(a – b)}2 + { – 2(b – c)}2 + { – 2(c – a)}2]
= \[\frac{1}{2}\] (a + b + c){ 4(a – b)2 + 4(b – c)2 + 4(c – a)2}
= 4. \[\frac{1}{2}\] (a + b + c){(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2}
= 4(a3 + b3 + c3 – 3abc)
\ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 4(a3 + b3 + c3 – 3abc) (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ১২ \ সরল কর :
(a) \[ \frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)} \]
সমাধান :
\[ \frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)} \]
= \[ \frac{a^2}{-\left(a-b\right)\left(c-a\right)}+\frac{b^2}{-\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\frac{c^2}{-\left(c-a\right)\left(b-c\right)} \]
= \[ \frac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right) } \]
চক্রক্রমিক রাশির সূত্রানুযায়ী
a2(b – c) + b2 (c – a) + c2(a – b) = – (a – b) (b – c) (c – a)
∴ প্রদত্ত রাশি = \[ \frac{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)} {-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)} \]
সমাধান :
\[ \frac{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)} {-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)} \]
= \[ \frac a{-\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(x-a\right)}+\frac b{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(x-b\right)}+\frac c{-\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(x-c\right)} \]
= \[ \frac{-a}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(x-a\right)}-\frac b{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(x-b\right)}-\frac c{\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(x-c\right)} \]
= \[ \frac{-a\left(b-c\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)-b\left(c-a\right)\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)-c\left(a-b\right)\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)} \]
এখানে, লব
= – a(b – c)(x2 – bx – cx + bc) – b(c – a)
(x2 – ax – cx + ca) – c(a – b)(x2 – ax – bx + ab)
= – a(b – c) {x2 – (b + c) x + bc} – b(c – a){x2 – x(c + a) + ca}
– c(a – b){x2 – x(a + b) + ab}
= – ax2(b – c) + a(b – c)(b + c) x – abc (b – c)
– bx2 (c – a) + b(c – a)(c + a) x – abc(c – a) – cx2(a – b)
+ c(a – b)(a + b)x – abc (a – b)
= – x2{a(b – c) + b(c – a) + c(a – b)} + x {a(b2 – c2)
+ b (c2 – a2) + c(a2 – b2)} – abc (b – c + c – a + a – b)
= – x2(ab – ca + bc – ab + ca – bc) + x (a – b) (b – c)(c – a) – abc × 0
= – x2 × 0 + x
= x(a – b)(b – c)(c – a)
∴ প্রদত্ত রাশি \[ \frac{x\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)} \]
= \[\frac{x}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)} \]
(c) \[ \frac{\left(a+b\right)^2-ab}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2-bc}{\left(c-a\right)\left(b-a\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2-ca}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)} \]
সমাধান :
\[ \frac{\left(a+b\right)^2-ab}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2-bc}{\left(c-a\right)\left(b-a\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2-ca}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)} \]
= \[ \frac{a^2+2ab+b^2-ab}{-\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{b^2+2bc+c^2-bc}{-\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+\frac{c^2+2ca+a^2-ca}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)} \]
= \[ \frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(b-c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)+\left(c-a\right)\left(c^2+ca+a^2\right)}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)} \]
= \[ \frac{\left(a^3-b^3\right)+\left(b^3-c^3\right)+\left(c^3-a^3\right)}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)} \]
= \[ \frac{a^3-b^3+b^3-c^3+c^3-a^3}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)} \]
= \[ \frac{0}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)} \]
= 0 (Ans)
(d) \[ \frac1{1+x}+\frac2{1+x^2} +\frac4{1+x^4}+\frac8{1+x^8} + \frac{16}{x^{16}-1} \]
সমাধান :
\[ \frac1{1+x} +\frac2{1+x^2} + \frac4{1+x^4} + \frac8{1+x^8} + \frac{16}{x^{16}-1} \]
= \[ \left(\frac1{1+x}-\frac1{x-1}\right) + \frac2{1+x^2} + \frac4{1+x^4} + \frac8{1+x^8}+\frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1} \]
= \[ \frac{x-1-x-1}{\left(1+x\right)\left(x-1\right)} + \frac2{1+x^2} + \frac4{1+x^4} +\frac8{1+x^8}+\frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1} \]
= \[ \frac{-2}{\left(1+x\right)\left(x-1\right)}+\frac2{x^2+1}+\frac4{x^4+1}+\frac8{x^8+1}+\frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1} \]
= \[ \frac{-2x^2-2+2x^2-2}{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)} +\frac4{x^4+1}+\frac8{x^8+1}+\frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1} \]
= \[ \frac{-4}{\left(x^4-1\right)} + \frac4{x^4+1} + \frac8{x^8+1} + \frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1} \]
= \[ \frac{-4x^4-4+4x^4-4}{\left(x^4-1\right)\left(x^4+1\right)} + \frac8{x^8+1} +\frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1} \]
= \[ \frac{-8}{\left(x^8-1\right)}+\frac8{x^8+1}+\frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1} \]
= \[ \frac{-8x^8-8+8x^8-8}{\left(x^8-1\right)\left(x^8+1\right)} + \frac{16}{x^{16}-1} +\frac1{x-1} \]
= \[ \frac{-16}{\left(x^{16}-1\right)}+\frac{16}{x^{16}-1}+\frac1{x-1} \]
=\[ \frac1{x-1}\]
প্রশ্ন \ ১৩ \ আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর :
(a) \[ \frac{5x+4}{x\left(x+2\right)} \]
সমাধান : মনে করি, \[ \frac{5x+4}{x\left(x+2\right)}\;\equiv\frac Ax+\frac B{x+2} \] ………. (i)
সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে x(x + 2) দ্বারা গুণ করে পাই,
5x + 4 ≡ A(x + 2) + B(x) …………. (ii)
সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 0 বসিয়ে পাই,
5.0 + 4 = A(0 + 2) + B ´ 0
বা, 4 = 2A
বা, 2A = 4
∴ A = 2
আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = -2 বসিয়ে পাই,
5.( – 2) + 4 = A(- 2 + 2) + B ( – 2)
বা, – 2B = -6
∴ B = 3
এখন, A এবং B এর মান সমীকরণ (i)- এ বসিয়ে পাই,
\[ \frac{5x+4}{x\left(x+2\right)}\;\equiv\frac 2x+\frac 3{x+2} \]; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।
(b) \[ \frac{x+2}{x^2-7x+12} \]
সমাধান : এখানে, \[ \frac{x+2}{x^2-7x+12}=\frac{x+2}{x^2-4x-3x+12} \]
= \[ \frac{x+2}{x\left(x-4\right)-3\left(x-4\right)} \]
= \[ \frac{x+2}{\left(x-3\right)\left(x-4\right)} \]
মনে করি, \[ \frac{x+2}{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}\equiv\frac A{x-3}+\frac B{x-4} \] ……….. (i)
সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে (x – 3)(x – 4) দ্বারা গুণ করে পাই,
x + 2 ≡ A(x – 4) + B(x – 3) …………… (ii)
সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 3 বসিয়ে পাই,
3 + 2 = A(3 – 4) + B(3 – 3)
বা, – A = 5
∴ A = -5
আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 4 বসিয়ে পাই,
4 + 2 = A(4 – 4) + B(4 – 3)
∴ B = 6
এখন, A ও B এর মান সমীকরণ (i) – এ বসিয়ে পাই,
\[ \frac{x+2}{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}\equiv\frac -5{x-3}+\frac 6{x-4} \] = \[ \frac -5{x-3}+\frac 6{x-4} \]; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।
(c) \[ \frac{x^2-9x-6x}{x\left(x-2\right)\left(x+3\right)} \]
সমাধান : মনে করি,
\[ \frac{x^2-9x-6x}{x\left(x-2\right)\left(x+3\right)}\equiv\frac Ax+\frac B{x-2}+\frac C{x+3} \] ………. (i)
সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে x (x – 2)(x + 3) দ্বারা গুণ করে পাই,
x2 – 9x – 6 ≡ A(x – 2)(x + 3) + B.x(x + 3) + C.x (x – 2) ………… (ii)
সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 0 বসিয়ে পাই,
0)2 – 9.0 – 6 = A(0 – 2)(0 + 3) + B.0(0 + 3) + C.0 (0 – 2)
বা, – 6 = – 6A
বা, A = 1
∴ A = 1
আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই,
22 – 9.2 – 6 = A(2 – 2)(2 + 3) + B.2 (2 + 3) + C.2 (2 – 2)
বা, 4 – 18 – 6 = 10B
বা, 10B = – 20
∴ B = – 2
আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = – 3 বসিয়ে পাই,
( – 3)2 – 9( – 3) – 6 = A( – 3 – 2)( – 3 + 3) + B (- 3 )( – 3 + 3) + C( – 3)( – 3 – 2)
বা, 9 + 27 – 6 = 0 + 0 + 15C
বা, 15C = 30
∴ C = 2
এখন A, B ও C এর মান সমীকরণ (i) – এ বসিয়ে পাই,
\[ \frac{x^2-9x-6x}{x\left(x-2\right)\left(x+3\right)}= \frac 1x-\frac 2{x-2}+\frac 2{x+3} \]; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।
(d) \[ \frac{x^2-4x-7}{\left(x+1\right)\left(x^2+4\right)} \]
সমাধান :
মনে করি, \[ \frac{x^2-4x-7}{\left(x+1\right)\left(x^2+4\right)}\equiv\frac A{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+4} \] ———————- (i)
সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে (x + 1)(x2 + 4) দ্বারা গুণ করে পাই,
x2 – 4x – 7 ≡ A(x2 + 4) + (Bx + C)(x + 1) ¼ ¼ ¼ ¼ (ii)
সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = – 1 বসিয়ে পাই,
(- 1)2 – 4(- 1) – 7 = A{(- 1)2 + 4} + {B(- 1) + C} (- 1 + 1)
বা, 1 + 4 – 7 = 5A
বা, 5 – 7 = 5A
বা, – 2 = 5A
বা, A = \[-\frac{2}{5}\]
আবার সমীকরণ (ii) এর x2 ও x এর সহগ সমীকৃত করে পাই,
A + B = 1 …………. (iii)
এবং B + C = -4…….. (iv)
সমীকরণ (iii) এ A = \[-\frac{2}{5}\] বসিয়ে পাই,
\[ -\frac{2}{5}\] + B = 1
বা, B = 1 + \[ \frac{2}{5}\]
বা, B = \[ \frac{7}{5}\]
সমীকরণ (iv) এ B = \[ \frac{7}{5}\] বসিয়ে পাই,
\[ \frac{7}{5}\] + C = – 4
বা, C = – 4 – \[ \frac{7}{5}\]
বা, C = \[ \frac{-20 – 7}{5}\]
বা, C = \[ \frac{- 27}{5}\]
সমীকরণ (i) এ A, B এবং C এর মান বসিয়ে পাই,
\[ \frac{x^2-4x-7}{\left(x+1\right)\left(x^2+4\right)}=\frac{\displaystyle\frac{-2}5}{x+1}+\frac{{\displaystyle\frac75}x-{\displaystyle\frac{27}5}}{x^2+4}=\frac15\left(\frac{-2}{x+1}+\frac{7x-2}{x^2+4}\right) \]
∴ \[ \frac{x^2-4x-7}{\left(x+1\right)\left(x^2+4\right)}=\frac15\left(\frac{7x-2}{x^2+4}-\frac2{x+1}\right) \]; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।
(e) \[ \frac{x^2}{\left(2x+1\right)\left(x+3\right)^2} \]
সমাধান : মনে করি,
\[ \frac{x^2}{\left(2x+1\right)\left(x+3\right)^2}\equiv\frac A{2x+1}+\frac B{x+3}+\frac C{\left(x+3\right)^2} \] ………………. (i)
সমীকরণ (i) এর উভয়পক্ষকে (2x + 1)(x + 3)2 দ্বারা গুণ করে পাই,
x2 ≡ A(x + 3)2 + B(x + 3)(2x + 1) + C(2x + 1) ……… (ii)
সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = – 3 বসিয়ে পাই,
( – 3)2 = A( – 3 + 3)2 + B( – 3 + 3){2( – 3) + 1} + C{2(- 3) + 1}
বা, 9 = -5C
বা, C = – \[\frac{9}{5} \]
∴ C = – \[\frac{9}{5} \]
আবার, সমীকরণ (ii) এর উভয়পক্ষে x = – \[\frac{1}{2} \] বসিয়ে পাই,
\[ \left(-\frac12\right)^2=A\left(-\frac12+3\right)^2+B\left(-\frac12+3\right)\left\{2\left(-\frac12\right)+1\right\}+C\left\{2\left(-\frac12+1\right)\right\} \]
বা, \[ \frac14=A\left(\frac{-1+6}2\right)^2+B.0+C.0 \]
বা, \[ \frac14=A\left(\frac52\right)^2 \]
বা, \[ \frac14=A\times\frac{25}4 \]
∴ \[ A = \frac{1}{25} \]
আবার, সমীকরণ (ii) এর x2 এর সহগ সমীকৃত করে পাই,
A + 2B = 1
বা, 2B = \[ 1 – \frac{1}{2} \]
বা, 2B= \[\frac{25 – 1}{25} \]
বা, B = \[\frac{24}{25×2} \]
∴ B = \[\frac{12}{25} \]
এখন, A, B ও C এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,
\[\frac{x^2}{\left(2x+1\right)\left(x+3\right)^3}=\frac{\displaystyle\frac1{25}}{2x+1}+\frac{\displaystyle\frac{12}{25}}{x+3}+\frac{\displaystyle\frac{-9}5}{\left(x+3\right)^2} \]
∴ \[\frac{x^2}{\left(2x+1\right)\left(x+3\right)^3} =\frac1{25\left(2x+1\right)} +\frac{12}{25\left(x+3\right)}-\frac9{5\left(x+3\right)^2} \]এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।
প্রশ্ন \ ১৪ \ চলক x এর একটি বহুপদী P(x) = 7x2 – 3x + 4x4 – a + 12x3
ক. বহুপদীটির আদর্শরূপ লেখ।
খ. P(x) এর একটি উৎপাদক (x + 2) হলে a এর মান নির্ণয় কর।
গ. যদি Q(x) = 6x3 – x2 – 5x + 2 এর ক্ষেত্রে Q\[(\frac{1}{2})\] = 0 হয়, তবে P(x) এবং Q(x) এর সাধারণ উৎপাদক দুইটি নির্ণয় কর।
সমাধান :
ক. দেওয়া আছে, P(x) = 7x2 – 3x + 4x4 – a + 12x3
x চলকের বহুপদীকে x-এর ঘাতের অধঃক্রমে সাজালে বহুপদীর এরূপ বর্ণনাকে বহুপদীটির আদর্শরূপ বলে।
∴ P(x) এর আদর্শরূপ হলো : 4x4 + 12x3 + 7x2 – 3x – a
খ. দেওয়া আছে, P(x) = 7x2 – 3x + 4x4 – a + 12x3
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, (x + 2), P(x) – এর একটি উৎপাদক হবে যদি P( – 2) = 0 হয়।
এখন, P ( – 2)
= 7( – 2)2 – 3 ( – 2) + 4( – 2)4 – a + 12( – 2)3
= 28 + 6 + 64 – a – 96
= 2 – a
যেহেতু P( – 2) = 0 সুতরাং, 2 – a = 0
∴ a = 2 (Ans.)
গ. দেওয়া আছে, Q(x) = 6x3 – x2 – 5x + 2
যেহেতু Q\[(\frac{1}{2})\] = 0, সুতরাং ((2x – 1), Q(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, Q(x) = 6x3 – x2 – 5x + 2
= 6x3 – 3x2 + 2x2 – x – 4x + 2
= 3x2(2x – 1) + x(2x – 1) – 2(2x – 1)
= (2x – 1)(3x2 + x – 2)
= (2x – 1)(3x2 + 3x – 2x – 2)
= (2x – 1) {3x(x + 1) – 2(x + 1)}
= (2x – 1)(x + 1)(3x – 2)
আবার, P(x) = 7x2 – 3x + 4x4 – a + 12x3
= 4x4 + 12x3 + 7x2 – 3x – 2 [Q a = 2]
∴ P( – 1) = 4( – 1)4 + 12( – 1)3 + 7( – 1)2 – 3 ( – 1) – 2
= 4 – 12 + 7 + 3 – 2
= 14 – 14
= 0
∴ (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 4x4 + 12x3 + 7x2 – 3x – 2
= 4x4 + 4x3 + 8x3 + 8x2 – x2 – x – 2x – 2
= 4x3(x + 1) + 8x2(x + 1) – x(x + 1) – 2 (x + 1)
= (x + 1)(4x3 + 8x2 – x – 2)
= (x + 1){4x2(x + 2) – 1(x + 2)}
= (x + 1)(x + 2)(4x2 – 1)
= (x + 1)(x + 2){(2x)2 – 1}
= (x + 1)(x + 2)(2x + 1)(2x – 1)
∴ P(x) ও Q(x) উভয় বহুপদীর সাধারণ উৎপাদক (x + 1) I (2x – 1) (Ans.)
প্রশ্ন \ ১৫ \ x, y, z এর একটি বহুপদী হলো,
F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 – 3xyz
ক. দেখাও যে, F(x, y, z) হলো একটি চক্র-ক্রমিক রাশি।
খ. F(x, y, z) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর এবং যদি
F(x, y, z) = 0, (x + y + z) ¹ 0 হয়,
তবে দেখাও যে, (x2 + y2 + z2) = (xy + yz + zx)
গ. যদি x = (b + c – a), y = (c + a – b), এবং z = (a + b – c) হয়, তবে দেখাও যে, F(a, b, c) : : F(x, y, z) = 1 : 4
সমাধান :
ক. দেওয়া আছে, F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 – 3xyz
এখন, রাশিটিতে x এর পরিবর্তে y, y এর পরিবর্তে z এবং z এর পরিবর্তে x বসিয়ে পাই,
F(y, z, x) = y3 + z3 + x3 – 3y.z.x
= x3 + y3 + z3 – 3xyz
∴ F(x, y, z) = F(y, z, x) = F(z, x, y)
দেখা যাচ্ছে চলকগুলো স্থান পরিবর্তন করলেও রাশিটি একই থাকে।
সুতরাং F(x, y, z) হলো একটি চক্র-ক্রমিক রাশি।(দেখানো হলো)
খ. দেওয়া আছে, F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 – 3xyz
= (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz
= (x + y)3 + z3 – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z){(x + y)2 – (x + y)z + z2} – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)(x2 + 2xy + y2 – zx – yz + z2) – 3xy (x + y + z)
= (x + y + z)(x2 + 2xy + y2 + z2 – zx – yz – 3xy)
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)
প্রশ্নানুসারে F(x, y, z) = 0
বা, x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0
বা, (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = 0
বা, x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx = 0 [Q x + y + z ¹ 0]
∴ x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx (দেখানো হলো)
গ. দেওয়া আছে, F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 – 3xyz …….. (i)
∴ F(a, b, c) = a3 + b3 + c3 – 3abc
সমীকরণ (i) হতে পাই,
F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 – 3xyz
= \[\frac{1}{2}\] (x + y + z){x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2}
= \[\frac{1}{2}\] (b + c – a + c + a – b + a + b – c){(b + c – a – c – a
+ b)2 + (c + a – b – a – b + c)2 + (a + b – c – b – c + a)2}
[x, y, z এর মান বসিয়ে]
= \[\frac{1}{2}\] (a + b + c){(2b – 2a)2 + (2c – 2b)2 + (2a – 2c)2}
= \[\frac{1}{2}\] (a + b + c)[{ – 2(a – b)}2 + { – 2 (b – c)}2 + { – 2(c – a)}2]
= \[\frac{1}{2}\] (a + b + c){4(a – b)2 + 4(b – c)2 + 4(c – a)2}
= 4. \[\frac{1}{2}\] (a + b + c){(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2}
∴ F(x, y z) = 4(a3 + b3 + c3 – 3abc)
∴ F(a, b, c) : F(x, y z) = (a3 + b3 + c3 – 3abc) : 4(a3 + b3 + c3 – 3abc)
= 1 : 4
∴ F(a, b, c) : F(x, y, z) = 1 : 4 (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ১৬ \ চলক x এর চারটি রাশি (x + 3), (x2 – 9), (x3 + 27)
এবং (x4 – 81)
ক. উপরিউক্ত রাশিগুলো হতে একটি প্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ এবং একটি অপ্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ বের কর।
খ. \[\frac{x^3 + 27}{x^2 – 9}\] কে সম্ভাব্য আংশিক ভগ্নাংশের সমষ্টিরূপে উপস্থাপন কর।
গ. উপরের প্রথম, দ্বিতীয় এবং চতুর্থ রাশিসমূহের প্রত্যেকের গুণাত্মক বিপরীত রাশির সমষ্টিকে সরলরূপে প্রকাশ কর।
সমাধান :
ক. প্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ = \[\frac{x^2 – 9}{x^3 + 27}\]
এবং অপ্রকৃত মূলদ ভগ্নাংশ = \[\frac{x^4 – 81}{x^3 + 27}\]
খ. প্রদত্ত ভগ্নাংশ \[\frac{x^3 + 27}{x^2 – 9}\]
= \[\frac{x^3 + 3^3}{x^2 – 3^2}\]
= \[\frac{(x + 3)(x^2 – x.3 + 3^2)}{(x – 3)(x + 3)}\]
= \[\frac{x^2 – 3x + 3^2}{x – 3}\]
= \[\frac{x(x – 3) + 9}{x – 3}\]
= \[\frac{x(x – 3)}{x – 3}+ \frac{9}{x – 3}\]
= \[ x + \frac{9}{x – 3}\]
গ. প্রথম রাশি (x + 3) এর গুণাত্মক বিপরীত রাশি \[\frac{1}{x +3} \]
দ্বিতীয় রাশি (x2 – 9) এর গুণাত্মক বিপরীত রাশি \[\frac{1}{ x^2 – 9}\]
এবং চতুর্থ রাশি (x4 – 81) এর গুণাত্মক বিপরীত রাশি \[\frac{1}{ x^4 – 81}\]
গুণাত্মক বিপরীত রাশিগুলোর সমষ্টি
= \[ \frac1{x+3}+\frac1{x^2-9}+\frac1{x^4-81} \]
= \[ \frac1{x+3}+\frac1{x^2-9}+\frac1{\left(x^2\right)^2-9^2} \]
= \[ \frac1{x+3}+\frac1{x^2-9}+\frac1{\left(x^2+9\right)\left(x^2-9\right)} \]
= \[ \frac1{x+3}+\frac{\left(x^2+9\right)+1}{\left(x^2+9\right)\left(x^2-9\right)} \]
= \[ \frac{\left(x-3\right)\left(x^2 + 9\right)+x^2+ 10}{\left(x^2+ 9\right)\left(x^2-9\right)} \]
= \[ \frac{x^3+9x-3x^2-27+x^2+10}{\left(x^2+9\right)\left(x^2-9\right)} \]
= \[ \frac{x^3-2x^2+9x-17}{x^4-81} \]
প্রশ্ন \ ১৭ \ (x + 1)3 y + (y + 1)2 রাশিটিকে
ক. x চলকের বহুপদীর আদর্শ আকারে বর্ণনা কর এবং x চলকের বহুপদীরূপে তার মাত্রা, মুখ্য সহগ ও ধ্রুব পদ নির্ণয় কর।
খ. y চলকের বহুপদীর আদর্শ আকারে বর্ণনা কর এবং y চলকের বহুপদীরূপে তার মাত্রা, মুখ্য সহগ ও ধ্রুব পদ নির্ণয় কর।
গ. x ও y চলকের বহুপদীরূপে বিবেচনা করে তার মাত্রা নির্ণয় কর।
সমাধান :
ক. দেওয়া আছে, (x + 1)3 y + (y + 1)2
= (x3 + 3x2 + 3x + 1) y + y2 + 2y + 1
= x3y + 3x2y + 3xy + y + y2 + 2y + 1
= x3y + 3x2y + 3xy + (y2 + 3y +1) এটি x চলকের আদর্শ আকার।
এখানে, x চলকের মাত্রা = 3
মুখ্য সহগ = y
এবং ধ্রুব পদ = y2 + 3y + 1
খ. দেওয়া আছে, (x + 1)3y + (y + 1)2
= (x3 + 3x2 + 3x + 1) y + y2 + 2y + 1
= x3y + 3x2y + 3xy + y + y2 + 2y + 1
= y2 + (x3 + 3x2 + 3x + 3) y + 1; এটি y চলকের আদর্শ আকার।
এখানে, y চলকের মাত্রা = 2
মুখ্য সহগ = 1
এবং ধ্রুব পদ = 1
গ. দেওয়া আছে, (x + 1)3y + (y + 1)2
= (x3 + 3x2 + 3x + 1) y + y2 + 2y + 1
= x3y + 3x2y + 3xy + y2 + 3y + 1;
এখানে x ও y এর ঘাতের যোগফলের সর্বোচ্চ মান 4 যা x3y পদে পাওয়া যায়।
∴ রাশিটিকে x ও y চলকের বহুপদী বিবেচনা করলে বহুপদীটির মাত্রা ৪.
SSC higher math chapter 2 solution part 1
