SSC General Math Exercise 13.2 on Geometric Series solution
প্রশ্ন \ ১৬ \ 2 + 4 + 8 + 16 + …….. ধারাটির n-সংখ্যক পদের সমষ্টি ২৫৪ হলে, n এর মান কত?
সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 2 + 4 + 8 + 16 + …….. একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = \frac42 = 2 ; r >1
এবং n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = 254
আমরা জানি, একটি গুণোত্তর ধারার n তম পদের সমষ্টি
Sn = \frac{a(r^n-1)}{r-1} [যখন r >1]
প্রশ্নমতে,
\frac{a(r^n-1)}{r-1} = 254
বা, 2 × \frac{(2^n-1)}{2-1} = 254 [মান বসিয়ে]
বা, 2^n-1 = \frac{254}{2}
বা, 2^n-1 = 127
বা, 2^n = 127 + 1 = 128
বা, 2^n = 2^7
∴ n = 7
নির্ণেয় n এর মান 7
প্রশ্ন \ ১৭ \ 2 – 2 + 2 – 2 + …….. ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?
সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি 2 – 2 + 2 – 2 + ……..
এটি একটি গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = \frac{-1}{1} = – 1 < 1 [∵ r < 1]
এবং পদ সংখ্যা = 2n + 2
∴ প্রদত্ত ধারার (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি
= \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r}\\\\=\frac{2\left\{1-\left(-1\right)^{2n+2}\right\}}{1-\left(-1\right)}\\\\=\frac{2\left(1-1\right)}{1+1}\\\\=\frac{2\times0}2\\\\=0
প্রশ্ন \ ১৮ \ প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441vহলে, n এর মান নির্ণয় কর এবং ঐ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধান : আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = \left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\}^2
প্রশ্নানুসারে, \left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\}^2 = 441
বা, \left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\}^2=\left(21\right)^2
বা, \frac{n\left(n+1\right)}2 = 21 [বর্গমূল করে]
বা, n(n + 1) = 42
বা, n2 + n = 42
বা, n2 + n – 42 = 0
বা, n2 + 7n – 6n – 42 = 0
বা, n(n + 7) – 6(n + 7) = 0
বা, (n + 7) (n – 6) = 0
হয়, n + 7 = 0 অথবা, n – 6 = ০
∴ n = – 7 ∴ n = 6
কিন্তু পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n = 6
∴ n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = \frac{n(n + 1)}{2}
∴ S6 = \frac{6(6 + 1)}{2} [∵ n = 6]
= \frac{6 × 7}{2} = 3 × 7 = 21
∴ n এর মান 6 এবং সমষ্টি 21
প্রশ্ন \ ১৯ \ প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 225 হলে, n এর মান কত? ঐ সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি কত?
সমাধান : আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = \left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\}^2
প্রশ্নানুসারে, \left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\}^2 = 225
বা, \left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\}^2 = (15)2
বা, \left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\} = 15 [বর্গমূল করে]
বা, n(n + 1) = 30
বা, n2 + n – 30 = 0
বা, n2 + 6n – 5n – 30 = 0
বা, n(n + 6) – 5(n + 6) = 0
বা, (n + 6) (n – 5) = 0
হয়, n + 6 = ০ অথবা, n – 5 = ০
∴ n = – 6 ∴ n = 5
কিন্তু পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n = 5
আমরা জানি, হ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি
Sn = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{2}
S5 = \frac{5(5 + 1) (2 ×5 + 1)}{6} [ ∵ n = 5]
= \frac{5 × 6 × 11}{6}
= 5 × 11 = 55
সুতরাং n এর মান 5 এবং বর্গের সমষ্টি 55 (Ans.)
প্রশ্ন \ ২০ \ দেখাও যে, 13 + 23 + 33 + 43 + … … … + 103
= (1 + 2 + 3 + 4 + … … … … + 10)2
সমাধান :
বামপক্ষ = 13 + 23 + 33 + 43 + … … … + 103
যেহেতু 13 + 23 + 33 + 43 + … … … + 103 = \left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\}^2
∴ 13 + 23 + 33 + 43 + … … … + 103 = \left\{\frac{10\left(10+1\right)}2\right\}^2
= {\frac{10 × 11}2}^2
= (5 × 11)^2
= (55)^2
= 3025
ডানপক্ষ = (1 + 2 + 3 + 4 + … … … … 10)2
যেহেতু (1 + 2 + 3 + 4 + … … … … + n = \frac{n(n + 1)}{2}
∴ (1 + 2 + 3 + 4 + … … … … + 10 = \frac{10(10 + 1)}{2}
= \frac{10 × 11}{2}
= 5 × 11
= 55
∴ (1 + 2 + 3 + ………… + 10)2 = (55)2 = 3025
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, 13 + 23 + 33 + 43 + … … … + 103 = (1 + 2 + 3 + 4 + … … + 10)2 (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ২১ \ \frac{1^3+2^3+3^3+4^3+..........+n^3}{1+2+3+.......+n}=210 হলে, n এর মান কত?
সমাধান : দেওয়া আছে,
\frac{1^3+2^3+3^3+4^3+..........+n^3}{1+2+3+.......+n}=210
বা, \frac{\left\{{\displaystyle\frac{n(n+1)}2}\right\}^2}{\displaystyle\frac{n\left(n+1\right)}2}=210 [সূত্র প্রয়োগ করে]
বা, \left\{\frac{n(n+1)}2\right\}^2\times\frac2{n(n+1)}=210
বা, n (n + 1) = 420
বা, n2 + n – 420 = 0
বা, n2 + 21n – 20n – 420 = 0
বা,n(n + 21) – 20(n + 21) = 0
বা, (n + 21) (n – 20) = 0
হয়, n + 21 = 0 অথবা, n – 20 = 0
∴ n = – 21 ∴ n = 20
কিন্তু, n = – 21 গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n = 20
নির্ণেয় n এর মান 20.
প্রশ্ন \ ২২ \ 1 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি লৌহদণ্ডকে 10 টি টুকরায় বিভক্ত করা হলো যাতে টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য গুণোত্তর ধারা গঠন করে। যদি বৃহত্তম টুকরাটি ক্ষুদ্রতম টুকরার 10 গুণ হয়, তবে ক্ষুদ্রতম টুকরাটির দৈর্ঘ্যরে মান আসন্ন মিলিমিটারে নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, প্রথম টুকরার দৈর্ঘ্য = a মিলিমিটার
সাধারণ অনুপাত = r
∴ বৃহত্তম টুকরার দৈর্ঘ্য = ar10 –1 = ar9
শর্তমতে, ar9 = 10a
বা, r9 = 10
বা, r = 10^\frac19
∴ r = 1.29
অর্থাৎ, r > 1
∴ ধারার সমষ্টি, S = \frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}
বা, 1000 = \frac{a\left\{\left(1.29\right)^{10}-1\right\}}{1.29-1} [∵ 1 মি. = 1000 মি.মি.]
বা, 1000 = \frac{a\left\{\left(1.29\right)^{10}-1\right\}}{0.29}
বা, a{(1.29)10 – 1} = 290
বা, a(12.76 – 1) = 290
বা, a × 11.76 = 290
বা, a = \frac{290}{11.76}=24.46
∴ a = 24.66 মিলিমিটার (প্রায়)
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম টুকরার দৈর্ঘ্য a = 24.66 মিলিমিটার (প্রায়)।
প্রশ্ন \ ২৩ \ একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a, সাধারণ অনুপাত r, ধারাটির ৪র্থ পদ – 2 এবং ৯ম পদ 8\sqrt{2}
ক. উপরোক্ত তথ্যগুলোকে দুইটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
খ. ধারাটির 12 তম পদ নির্ণয় কর।
গ. ধারাটি নির্ণয় করে প্রথম 7 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধান :
ক. দেওয়া আছে, একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
আমরা জানি, ধারাটির n তম পদ = ar n –1
প্রশ্নানুসারে, চতুর্থ পদ, a 4 – 1= – 2 বা, ar3 = – 2……….. (i)
৯ম পদ, ar9 –1 = 8\sqrt{2}
বা, ar8 = 8\sqrt{2} , ……. (ii)
খ. সমীকরণ (ii) কে (i) দ্বারা ভাগ করে পাই,
\frac{ar^8}{ar^3}=\frac{8\sqrt2}{-2}
বা, r8 – 3 = – 4\sqrt{2}
বা, r5 = – 4\sqrt{2}
বা, r5 = – \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2}
বা, r5 = \left(-\sqrt2\right)^5
∴ r = – \sqrt{2}
r এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,
a \left(-\sqrt2\right)^3 = – 2
বা, a - 2\left(\sqrt2\right) = – 2
বা, a = \frac{-2}{-2\sqrt2}
∴ a = \frac{1}{\sqrt2}
∴ ধারাটির 12 তম পদ = ar12 – 1
= \frac1{\sqrt2}\left(-\sqrt2\right)^{11}
= \frac{-32\sqrt2}{\sqrt2}
= – 32 (Ans.)
গ. ‘খ’ থেকে পাই, ১ম পদ, a = \frac{1}{\sqrt2}
সাধারণ অনুপাত, r = – \sqrt{2}
নির্ণেয় ধারাটি \frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt2}\times\left(-\sqrt2\right)+\frac1{\sqrt2}\left(-\sqrt2\right)^2 …………………
= \frac1{\sqrt2}-1+\sqrt2 …………..
প্রথম 7 টি পদের সমষ্টি, S = \frac{a\left(1-r^7\right)}{1-r} [ ∵ r = -1 < 1]
= \frac{{\displaystyle\frac1{\sqrt2}}\left\{1-\left(-\sqrt2\right)^7\right\}}{1-\left(-\sqrt2\right)}\\\\=\frac{1+8\sqrt2}{\sqrt2\left(1+\sqrt2\right)}\\\\=\frac{1+8\sqrt2}{\sqrt2\left(\sqrt2+1\right)}\times\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}\\\\=\frac{\sqrt2+8.2-1-8\sqrt2}{\sqrt2\left(2-1\right)}\\\\=\frac{15-7\sqrt2}{\sqrt2}\\\\=\frac{15-7\sqrt2}{\sqrt2}\times\frac{\sqrt2}{\sqrt2}\\\\=\frac{15\sqrt2-14}2\\\\=\frac12\left(15\sqrt2-14\right) (Ans.)
প্রশ্ন \ ২৪ \ কোন ধারার n তম পদ 2n – 4
ক. ধারাটি নির্ণয় কর।
খ. ধারাটির 10 তম পদ এবং প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
গ. প্রাপ্ত ধারাটির প্রথম পদকে প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তরকে সাধারণ অনুপাত ধরে একটি নতুন ধারা তৈরি কর এবং সূত্র প্রয়োগ করে ধারাটির প্রথম 8 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধান :
ক. দেওয়া আছে, কোনো ধারার n তম পদ = 2n – 4
n = 1, 2, 3, 4, ……… বসিয়ে পাই,
এখন, n = 1 হলে, ১ম পদ = 2.1 – 4 = – 2
n = 2 হলে, ২য় পদ = 2.2 – 4 = 0
n = 3 হলে, ৩য় পদ = 2.3 – 4 = 2
n = 4 হলে, ৪র্থ পদ = 2.4 – 4 = 4
… … … … … … … … … … … … …
… … … … … … … … … … … … …
∴ নির্ণেয় ধারাটি – 2 + 0 + 2 + 4 + ……….. + (2n – 4)
খ. এখানে, ধারাটির ১ম পদ = – 2
সাধারণ অন্তর = 0 – ( – 2) = 0 + 2 = 2
∴ 10 ম পদ = = -2 + (10 -1)2 = -2 + 9 × 2 = – 2 + 18 = 16
∴ ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি, S20 = \frac{20}{2} {2( – 2) + (20 – 1)2}
= 10 (- 4 + 38)
= 10 × 34
= 340 (Ans.)
গ. ধরি, ধারাটির, ১ম পদ, = arn–1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = 2
তাহলে ধারাটি হবে একটি গুণোত্তর ধারা যার
n তম পদ = arn–1
∴ ২য় পদ = ( – 2)22–1
= ( – 2) × 2
= – 4
৩য় পদ = ( – 2) 23 –1
= ( – 2) × 22
= – 8
৪র্থ পদ = (- 2)24–1
= (- 2) × 23
= – 16
নির্ণেয় নতুন ধারাটি = – 2 – 4 – 8 – 16 – ……….
∴ ধারাটির প্রথম 8 পদের সমষ্টি S8 = \frac{-2\left(2^8-1\right)}{2-1} [∵ r = 2 > 1]
= \frac{-2\left(256 -1\right)}{1}
= – 2 × 255
= – 510
সুতরাং ধারাটি, – 2 – 4 – 8 – 16 – ……… এবং সমষ্টি – 510
SSC General Math Exercise 13.2 on Geometric Series solution part 1
