SSC general math ex – 4.3 solution

SSC general math ex – 4.3 solution

সংখ্যার বৈজ্ঞানিক রূপ

          সূচকের সাহায্যে আমরা অনেক বড় বা অনেক ছোট সংখ্যাকে ছোট ও সহজ আকারে প্রকাশ করতে পারি। যেমন,

          আলোর গতি = 300000 কি.মি./সে. = 300000000 মিটার/সে.

                   = 3 × 100000000 মি/সে. = 3 × 10⁸ মি/সে.

          সুবিধার জন্য অনেক বড় বা অনেক ছোট সংখ্যাকে a × 10ⁿ আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে, 1 ≤ a < 10 এবং n ∈ Z× কোনো সংখ্যার  a × 10ⁿ রূপকে বলা হয় সংখ্যাটির বৈজ্ঞানিক রূপ।

       লগারিদম পদ্ধতি

          লগারিদম পদ্ধতি দুই ধরনের :

(ক)     স্বাভাবিক লগারিদম (Natural Logarithm) : স্কটল্যান্ডের গণিতবিদ জন নেপিয়ার (John Napier : 1550-1617) ১৬১৪ সালে e কে ভিত্তি ধরে প্রথম লগারিদম সম্পর্কিত বই প্রকাশ করেন। e একটি অমূলদ সংখ্যা, e = 2.71828…..। তাঁর এই লগারিদমকে নেপিরিয়ান লগারিদম বা e ভিত্তিক লগারিদম বা স্বাভাবিক লগারিদমও বলা হয়। log_e x কে ln x আকারেও লেখা হয়।

(খ)     সাধারণ লগারিদম (Common Logarithm) : ইংল্যান্ডের গাণিতবিদ হেনরি ব্রিগস (Henry Briggs : 1561-1630) ১৬২৪ সালে 10 কে ভিত্তি করে লগারিদমের টেবিল (লগ টেবিল বা লগ সারণি) তৈরি করেন। তাঁর এই লগারিদমকে ব্রিগস লগারিদম বা 10 ভিত্তিক লগারিদম বা ব্যবহারিক লগারিদমও বলা হয়।

          দ্রষ্টব্য : লগারিদমের ভিত্তির উল্লেখ না থাকলে রাশির (বীজগণিতীয়) ক্ষেত্রে e কে এবং সংখ্যার ক্ষেত্রে 10 কে ভিত্তি হিসেবে ধরা হয়। লগ সারণিতে ভিত্তি 10 ধরতে হয়।

       সাধারণ লগারিদমের পূর্ণক ও অংশক

(ক)     পূর্ণক (Characteristics) : ধরি, একটি সংখ্যা N কে বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করে পাই, N = a × 10ⁿ, যেখানে N > 0, 1 ≤ a < 10 এবং n ∈ Z । উভয় পক্ষে 10 ভিত্তিতে লগ নিয়ে পাই, log₁₀N = log₁₀(a × 10ⁿ)

           log₁₀N= log₁₀a + log₁₀10ⁿ ভিত্তি 10 উহ্য রেখে পাই, log N = n + log a; n কে বলা হয় logN এর পূর্ণক।

          দ্রষ্টব্য : ১ পূর্ণক ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে। কিন্তু অংশক সর্বদা ধনাত্মক।

          দ্রষ্টব্য : ২ কোনো পূর্ণক ঋণাত্মক হলে, পূর্ণকটির বামে ‘-’ চিহ্ন না দিয়ে পূর্ণকটির উপরে ‘-’ (বার চিহ্ন) দিয়ে লেখা হয়।

          যেমন, পূর্ণক – 3 কে লেখা হয় – 3  দিয়ে। তা না হলে অংশকসহ লগের সম্পূর্ণ অংশটি ঋণাত্মক বোঝাবে।

(খ)     অংশক (Mantissa) : কোনো সংখ্যার সাধারণ লগের অংশক 1 অপেক্ষা ছোট একটি অঋণাত্মক সংখ্যা। এটি মূলত অমূলদ সংখ্যা। তবে একটি নির্দিষ্ট দশমিক স্থান পর্যন্ত অংশকের মান বের করা হয়।

          কোনো সংখ্যার লগের অংশক লগ তালিকা থেকে বের করা যায়। আবার তা ক্যালকুলেটরের সাহায্যেও বের করা যায়।

প্রশ্ন ১: কোন শব্দে \[ a^0 = 1 \] 

    (ক) \[ a = 0 \]

     (খ) \[ a \neq 0, a > 0 \]

    (গ) \[a \neq 1 \]

   (ঘ) \[ a > 0, a \neq 1 \]

প্রশ্ন ২: \[ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \]এর মান কত? 

    (ক) \[\sqrt{5} \]

    (খ) \[ \sqrt{25} \]

    (গ)  5

    (ঘ) 25

ব্যাখ্যা: [/latex] \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5 \times 5} = \sqrt{25} = 5 [/latex]

প্রশ্ন ৩: কোন শব্দে \[ \log_a a = 1\]? 

    (ক) \[ a > 0, a \neq 1\] 

    (খ)\[ a \neq 0, a > 1 \] 

    (গ) \[ a > 0, a \neq 1 \]

    (ঘ) \[ a \neq 0, a > 1 \]

প্রশ্ন ১: কোন শব্দে \[  \log_x 4 = 2 \]  হলে,  x এর মান কত? 

    (ক)  2

    (খ) \[  \pm 2 \] 

    (গ)  4  

    (ঘ)  10

ব্যাখ্যা: \[  \log_x 4 = 2 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \]

প্রশ্ন ২: কোন সংখ্যা \( a \times 10^n \) আকারে লেখা যাবে শর্ত কী? 

    (ক) \[ 1 \leq a < 10 \] 

    (খ) \[  1 \leq a \leq 10 \] 

    (গ) \[  0 \leq a < 10 \]

প্রশ্ন ৩: নিচে উল্লিখিত এক্সপ্রেশন গুলি কি সঠিক? 

1. \[ \log (m^p) = p \log m \] 
2. \[ 2^4 = 16 \] এবং [/latex]  \log_2 16 = 4 [/latex]  সমার্থক 

    iii. \[ \log (m + n) = \log m + \log n \]

উল্লিখিত প্রকৃতি থেকে কোনটি সঠিক? 

    (ক) i এবং ii 

    (খ) ii এবং iii 

    (গ) i এবং iii 

    (ঘ) i, ii এবং iii

(৩) সংখ্যাটির সাধারণ লঘুর পূর্ণক কত? 

    (ক) ২ 

    (খ) ১ 

    (গ) ০ 

    (ঘ) ২ 

ব্যাখ্যা: [/latex]  0.0225 = 2.25 \times 10^{-2} [/latex]

অতএব, 0.0225 এর সাধারণ লঘুর পূর্ণক =  -2  বা ২

প্রশ্ন \ ৯ \ বৈজ্ঞানিকরূপে প্রকাশ কর :

(ক)     6530

সমাধান : প্রদত্ত স্বাভাবিক রাশি = ৬৫৩০

                   = ৬৫৩ × ১০

                   = \[ \frac{653}{100}\] × 100 × 10

                   = \[ \frac{653}{100}\] × 10² × 10

                  = 6×53 × 10³

নির্ণেয় বৈজ্ঞানিকরূপে প্রকাশিত রাশি 6×53 × 10³

(খ)     60×831

সমাধান : প্রদত্ত স্বাভাবিক রাশি = 60×831

                            = \[ \frac{60831}{1000}\]

                             = \[ \frac{60831}{1000}\] ´ 10

                            = 6×0831 × 10¹

নির্ণেয় বৈজ্ঞানিকরূপে প্রকাশিত রাশি 6×0831 × 10¹

(গ)     0×000245

সমাধান : প্রদত্ত স্বাভাবিক রাশি = 0×000245

                            =  \[ \frac{245}{1000000}\]

                            = 245 × \[ \frac{1}{10^6}\]

                            = \[ \frac{245}{100}\] ´ 100 ´ \[ \frac{1}{10^6}\]

                            = 2×45 × \[ \frac{10^2}{10^6}\]

                            = 2×45 × (10)^{2 – 6}

                            = 2×45 × 10^–4

নির্ণেয় বৈজ্ঞানিকরূপে প্রকাশিত রাশি 2×45 × 10^–4

(ঘ)     37500000

সমাধান : প্রদত্ত স্বাভাবিক রাশি = 37500000

                            = 375 × 100000

                            = 375 × 10⁵

                            = \[ \frac{375}{100}\] × 100 × 10⁵

                            = \[ \frac{375}{100}\]  × 10² × 10⁵

                            = 3×75 × 10⁷

নির্ণেয় বৈজ্ঞানিকরূপে প্রকাশিত রাশি 3×75 × 10⁷

(ঙ)               0×00000014

সমাধান : প্রদত্ত বৈজ্ঞানিক রাশি =  0×00000014

                             =   \[ \frac{14}{100000000}\]  

                             = 14 × \[ \frac{14}{10^8}\]  

                             = \[ \frac{14}{10}\]  × 10 × \[ \frac{14}{10^8}\]  

                              = 1×4 × \[ \frac{10}{10^8}\]  

                             = 1×4 × (10)^{1 – 8}

                             = 1×4 × 10^–7

          নির্ণেয় বৈজ্ঞানিকরূপে প্রকাশিত রাশি 1×4 × 10^–7

প্রশ্ন \ ১০ \ সাধারণ দশমিকরূপে প্রকাশ কর :

(ক)     105

সমাধান : প্রদত্ত বৈজ্ঞানিক রাশি = 10⁵

                                    = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100000

নির্ণেয় সাধারণ দশমিকরূপে প্রকাশিত রাশি ১০০০০০

 (খ)                             10 ^{– 5}

সমাধান : প্রদত্ত বৈজ্ঞানিক রাশি = 10 ^{– 5}

                             = \[ \frac{1}{10^5}\]  

= \[ \frac{1}{100000}\]  

= 0×00001

নির্ণেয় সাধারণ দশমিকরূপে প্রকাশিত রাশি 0×00001

(গ)     2×53 × 10⁴

সমাধান : প্রদত্ত বৈজ্ঞানিক রাশি = 2×53 × 10⁴

                                      = \[ \frac{253}{100}\]  × 10000

                                      = 25300

নির্ণেয় সাধারণ দশমিকরূপে প্রকাশিত রাশি 25300

(ঘ)     9×813 × 10^–3

সমাধান : প্রদত্ত বৈজ্ঞানিক রাশি = 9×813 × 10^–3

                            = \[ \frac{9813}{1000}\] × \[ \frac{1}{10^3}\]     

                            = \[ \frac{9813}{1000}\] × \[ \frac{1}{1000}\]     

                                    = \[ \frac{9813}{1000000}\]

                            = 0×009813

নির্ণেয় সাধারণ দশমিকরূপে প্রকাশিত রাশি 0×009813

(ঙ)     3×12 × 10^–5

সমাধান : প্রদত্ত বৈজ্ঞানিক রাশি = 3×12 × 10^–5

                             = \[ \frac{312}{100}\] × \[ \frac{1}{10^5}\]

                             = \[ \frac{312}{100}\] × \[ \frac{1}{100000}\]

                                    = \[ \frac{312}{10000000}\]

                             = 0×0000312

নির্ণেয় সাধারণ দশমিকরূপে প্রকাশিত রাশি 0×0000312

প্রশ্ন \ ১১ \ নিচের সংখ্যাগুলোর সাধারণ লগের পূর্ণক বের কর (ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করে) :

(ক)     4820

সমাধান : 4820 = 4×820 × 1000 = 4×820 × 10³

          ∴ সংখ্যাটিতে লগের পূর্ণক 3

          অন্যভাবে, দেওয়া আছে, সংখ্যাটি =  4820

          ৪৮২০ সংখ্যাটিতে অঙ্কের সংখ্যা 4 টি

          ∴ সংখ্যাটিতে লগের পূর্ণক = 4 – 1 = 3 (Ans.)

(খ)     72×245

সমাধান : 72×245 = 7×2245 × 10¹

          ∴ সংখ্যাটির লগের পূর্ণক 1

          অন্যভাবে, সংখ্যাটির দশমিকের বামে অর্থাৎ পূর্ণ অংশে 2 টি অঙ্ক আছে।

          ∴ সংখ্যাটিতে লগের পূর্ণক = 2 – 1 = 1 (Ans.)

 (গ)    1×734

সমাধান : 1×734 = 1×734 × 10⁰

          ∴ সংখ্যাটির পূর্ণক 0

          অন্যভাবে, সংখ্যাটির দশমিকের বামে অর্থাৎ পূর্ণ অংশে 1 টি অঙ্ক আছে।

          ∴ সংখ্যাটিতে লগের পূর্ণক = 1 – 1 = 0 (Ans.)

 (ঘ)    0×045

সমাধান : 0×045 = 4×5 × 10^–2

          ∴ সংখ্যাটিতে লগের পূর্ণক – 2 বা, 2

          অন্যভাবে, সংখ্যাটির দশমিক বিন্দু ও এর পরবর্তী প্রথম সার্থক অঙ্ক 4 এর মাঝে 1 টি 0 (শূন্য) আছে।

          ∴ সংখ্যাটিতে লগের পূর্ণক = – (1 + 1) = – 2 বা, – 2 (Ans.)

 (ঙ)    0×000036

সমাধান : 0×000036 = 3×6 × 10^–5

          ∴ সংখ্যাটির পূর্ণক – 5 বা,

          অন্যভাবে, সংখ্যাটির দশমিক বিন্দু ও এর পরবর্তী প্রথম সার্থক অঙ্ক 3 এর মাঝে 4 টি 0 (শূন্য) আছে।

          ∴ সংখ্যাটিতে লগের পূর্ণক = – (4 + 1) = – 5 বা, (Ans.)

SSC general math 4.2 solution