SSC general math chapter 3 exercise 3.3 solution

SSC general math chapter 3 exercise 3.3 solution

উৎপাদকে বিশ্লেষণ

   উৎপাদক বা গুণনীয়ক: কোনো রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলের সমান হলে, শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক বলা হয়।

     উৎপাদকে বিশ্লেষণ : কোনো বীজগাণিতিক রাশির সম্ভাব্য উৎপাদকগুলো নির্ণয় করার পর রাশিটিকে লব্ধ উৎপাদকগুলোর গুণফলরূপে প্রকাশ করাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বলা হয়।

        বীজগাণিতিক রাশিগুলো এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট হতে পারে। সেজন্য উক্ত রাশির উৎপাদকগুলোও এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট হতে পারে।

উৎপাদক নির্ণয়ের কতিপয় কৌশল :

          (ক)    কোনো বহুপদীর প্রত্যেক পদে সাধারণ উৎপাদক থাকলে তা প্রথম বের করে নিতে হয়। যেমন:

          (i) 3a²b + 6ab² + 12a²b² = 3ab(a + 2b + 4ab)         (ii) 2ab(x – y) + 2bc(x – y) + 3ca(x – y) = (x – y)(2ab + 2bc + 3ca)

          (খ)     একটি রাশিকে পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করে।

          যেমন: 4x² + 12x + 9 = (2x)² + 2 × 2x × 3 + (3)² = (2x + 3)² = (2x + 3) (2x + 3)

     (গ) একটি রাশিকে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করে এবং a² – b² = (a + b) (a – b) সূত্র প্রয়োগ করে|

     (ঘ) x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) সূত্রটি ব্যবহার করে।

          এ পদ্ধতিতে x² + px + q আকারের বহুপদীয় উৎপাদক নির্ণয় করা সম্ভব হয় যদি দুইটি পূর্ণসংখ্যা a ও b নির্ণয় করা যায় যেন, a + b = p এবং ab = q হয়| এজন্য q- এর দুইটি স্বচিহ্ন উৎপাদক নিতে হয় যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি p হয়। | q > 0 হলে, a  ও b একই চিহ্নযুক্ত এবং q < 0 হলে, a ও b বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে।

     (ঙ) ax² + bx + c আকারের বহুপদীর মধ্যপদ বিভক্তিকরণ পদ্ধতিতে : ax² + bx + c = (rx + p)(sx + q) হবে।

          অতএব, ax² + bx + c আকারের বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় করতে হলে ac, অর্থাৎ, x² এর সহগ এবং x বর্জিত পদের গুণফলকে এমন দুইটি উৎপাদকে প্রকাশ করতে হবে, যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি x এর সহগ b এর সমান হয়।

          (চ)      একটি রাশিকে পূর্ণ ঘন আকারে প্রকাশ করে।

          (ছ)      a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)  এবং a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²) সূত্র দুইটি ব্যবহার করে।

Easy and clear solution for SSC General Math Chapter 3 Exercise 3.3 | SSC সাধারণ গণিত অধ্যায় ৩ অনুশীলনী ৩.৩ এর সহজ এবং পরিষ্কার সমাধান

          (জ)     ভগ্নাংশসহগযুক্ত রাশির উৎপাদক : ভগ্নাংশযুক্ত রাশির উৎপাদকগুলোকে বিভিন্নভাবে প্রকাশ করা যায়।

        যেমন, \[ a^3+\frac1{27}= a^3+\frac1{3^3} = \left(a + \frac13\right)\left(a^2-\frac a3 + \frac19\right) \]

          আবার,  \[ a^3+\frac1{27}=\frac1{27}\left(27a^3+1\right)=\left\{\left(3a\right)^3+\left(1\right)^3\right\}=\frac1{27}\left(3a+1\right)\left(9a^2-3a+1\right) \]

          এখানে, দ্বিতীয় সমাধানে চলক-সংবলিত উৎপাদকগুলো পূর্ণসংখ্যা সহগবিশিষ্ট। এই ফলকে প্রথম সমাধানের মতো প্রকাশ করা যায় :

          \[ a^3+\frac1{27}=\frac1{27}\left(27a^3+1\right)=\left\{\left(3a\right)^3+\left(1\right)^3\right\}=\frac1{27}\left(3a+1\right)\left(9a^2-3a+1\right) \]

 =\[ \left(a + \frac13\right)\left(a^2-\frac a3 + \frac19\right) \]

উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর (১ – ৪৩) :

প্রশ্ন \ 1 \ a² + ab + ac + bc

সমাধান : a² + ab + ac + bc

       = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c) (Ans.)

প্রশ্ন \ 2 \ ab + a – b – 1

সমাধান : ab + a – b – 1

       = a(b + 1) – 1(b + 1) = (b + 1) (a – 1) (Ans.)

প্রশ্ন \ 3 \ (x – y)(x + y) + (x – y)(y + z) + (x – y)(z + x)

সমাধান : (x – y)(x + y) + (x – y)(y + z) + (x – y)(z + x)

       = (x – y){(x + y) + (y + z) + (z + x)}

       = (x – y) (x + y + y + z + z + x)

       = (x – y) (2x + 2y + 2z)

       = (x – y) {2(x + y + z)}

       = 2(x – y) (x + y + z) (Ans.)

Step-by-step guide to solving SSC Math Chapter 3 Exercise 3.3 | SSC গণিত অধ্যায় ৩ অনুশীলনী ৩.৩ সমাধান ধাপে ধাপে গাইড

প্রশ্ন  \ 4 \ ab(x – y) – bc(x – y)

সমাধান : ab(x – y) – bc(x – y)

       = (x – y)(ab – bc) = (x – y) {b(a – c)}

       = b(x – y)(a – c) (Ans.)

প্রশ্ন \ 5 \ 9x² + 24x + 16

সমাধান : 9x² + 24x + 16

       = (3x)² + 2 × 3x × 4 + (4)² = (3x + 4)² (Ans.)

SSC general math exercise 3.3 solution

প্রশ্ন \ 6 \ a⁴ – 27a² + 1                         

সমাধান : a⁴ – 27a² + 1

       = (a²)² – 2.a².1 + (1)² – 25a²

       = (a² – 1)² – (5a)²

       = (a² – 1 + 5a) (a² – 1 – 5a)

       = (a² + 5a – 1) (a² – 5a – 1) (Ans.)

প্রশ্ন \ 7 \ x⁴ – 6x²y² + y⁴

সমাধান : x⁴ – 6x²y² + y⁴

       = (x²)² – 2 × x² × y² + (y²)² – 4x²y²

       = (x² – y²)² – (2xy)²

       = (x² – y² + 2xy)(x² – y² – 2xy)

       = (x² + 2xy – y²) (x² – 2xy – y²) (Ans.)

প্রশ্ন \ 8 \  (a² – b²) (x² – y²) + 4abxy

সমাধান : (a² – b²) (x² – y²) + 4abxy

       = a²x² – a²y² – b²x² + b²y² + 2abxy + 2abxy

       = a²x² + 2abxy + b²y² – a²y² + 2abxy – b²x²

       = a²x² + 2abxy + b²y² – (a²y² – 2abxy + b²x²)

       = {(ax)² + 2.ax.by + (by)²}– {(ay)²– 2.ay.bx + (bx)²}

       = (ax + by)² – (ay – bx)²

       = (ax + by + ay – bx) (ax + by – ay + bx) (Ans.)

প্রশ্ন \ 9 \ 4a² – 12ab + 9b² – 4c²

সমাধান : 4a² – 12ab + 9b² – 4c²

       = (2a)² – 2 × 2a × 3b + (3b)² – 4c²

       = (2a – 3b)² – (2c)²

       = (2a – 3b + 2c)(2a – 3b – 2c) (Ans.)

প্রশ্ন \ 10 \ 9x⁴ – 45a²x² + 36a⁴

সমাধান : 9x⁴ – 45a²x² + 36a⁴

       = 9(x⁴ – 5a²x² + 4a⁴)

       = 9(x⁴ – 4a²x² – a²x² + 4a⁴)

       = 9{x²(x² – 4a²) – a²(x² – 4a²)}

       = 9(x² – 4a²)(x² – a²)

       = 9{(x²)² – (2a)²}(x + a)(x – a)

       = 9 (x + 2a)(x – 2a)(x + a)(x – a)

       = 9 (x + a)(x – a)(x + 2a)(x – 2a) (Ans.)

প্রশ্ন  \ 11\ a² + 6a + 8 – y² + 2y

সমাধান : a² + 6a + 8 – y² + 2y

       = a² + 6a + 9 – 1 – y² + 2y

       = a² + 6a + 9 – (1 – 2y + y²)

       = (a)² + 2 . a . 3 + (3)² – (1² – 2 . 1 . y + y²)

       = (a + 3)² – (1 – y)²

       = (a + 3 + 1 – y)(a + 3 – 1 + y)

       = (a – y + 4)(a + y + 2) (Ans.)

প্রশ্ন \ 12 \  16x² – 25y² – 8xz + 10yz

সমাধান : 16x² – 25y² – 8xz + 10yz

       = (4x)² – (5y)² – 2z(4x – 5y)

       = (4x – 5y) (4x + 5y) – 2z(4x – 5y)

       = (4x – 5y) (4x + 5y – 2z) (Ans.)

প্রশ্ন \ 13 \ 2b²c² + 2c²a² + 2a²b² – a⁴ – b⁴ – c⁴

সমাধান : 2b²c² + 2c²a² + 2a²b² – a⁴ – b⁴ – c⁴

       = 4b²c² – 2b²c² + 2c²a² + 2a²b² – a⁴ – b⁴ – c⁴

            = 4b²c² – (a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2b²c² – 2c²a² – 2a²b²)

         = 4b²c² – {(b²)² + (c²)² + (-a²)² + 2.b².c² + 2.c².(-a²) + 2.(-a²).b²}

       = (2bc)² – (b² + c² – a²)²

       = (2bc + b² + c² – a²)(2bc – b² – c² + a²)

       = (b² + 2bc + c² – a²){a² – (b² – 2bc + c²)}

       = {(b + c)² – a²}{a² – (b – c)²}

       = (b + c + a)(b + c – a)(a + b – c)(a – b + c)

       = (a + b + c)(b + c – a)(a + b – c)(c + a – b) (Ans.)

প্রশ্ন \ 14 \ x² + 13x + 36

সমাধান : x² + 13x + 36

       = x² + 4x + 9x + 36

       = x(x + 4) + 9(x + 4) = (x + 4)(x + 9) (Ans.)

প্রশ্ন  \ 15 \ x⁴ + x² – 20

সমাধান : x⁴ + x² – 20

       = x⁴ + 5x² – 4x² – 20

       = x²(x² + 5) – 4(x² + 5)

       = (x² + 5)(x² – 4)

       = (x² + 5)(x² – 2²)

       = (x² + 5) (x + 2) (x – 2) = (x + 2)(x – 2)(x² + 5) (Ans.)

প্রশ্ন  \ 16 \ a² – 30a + 216

সমাধান : a² – 30a + 216

       = a² – 18a – 12a + 216

       = a(a – 18) – 12(a – 18) = (a – 18)(a – 12) (Ans.)

প্রশ্ন  \ 17 \ x⁶y⁶ – x³y³ – 6

       mgvavb : x⁶y⁶ – x³y³ – 6

         = x⁶y⁶ – 3x³y³ + 2x³y³ – 6 = x³y³(x³y³ – 3) + 2(x³y³ – 3)

          = (x³y³ – 3)( x³y³ + 2) (Ans.)

প্রশ্ন  \ 18 \ a⁸ – a⁴ – 2

সমাধান : a⁸ – a⁴ – 2

       = a⁸ – 2a⁴ + a⁴ – 2

       = a⁴(a⁴ – 2) + 1(a⁴ – 2) = (a⁴ – 2)(a⁴ + 1) (Ans.)

প্রশ্ন \ 19 \ a²b² – 8ab – 105

সমাধান : a²b² – 8ab – 105

       = a²b² – 15ab + 7ab – 105

       = ab(ab – 15) + 7(ab – 15)

       = (ab – 15) (ab + 7) = (ab + 7)(ab – 15) (Ans.)

প্রশ্ন  \ 20 \ x² – 37x – 650

সমাধান : x² – 37x – 650

       = x² – 50x + 13x – 650

       = x(x – 50) + 13(x – 50)

       = (x – 50)(x + 13) = (x + 13) (x – 50) (Ans.)

প্রশ্ন  \ 21 \ 4x⁴ – 25x² + 36

সমাধান : 4x⁴ – 25x² + 36

       = 4x⁴ – 16x² – 9x² + 36 = 4x²(x² – 4) – 9(x² – 4)

       = (x² – 4)(4x² – 9)

       = (x² – 2²) {(2x)² – 3²} = (x + 2)(x – 2)(2x + 3)(2x – 3) (Ans.)

Learn how to solve SSC General Math Chapter 3 Exercise 3.3 effortlessly | SSC সাধারণ গণিত অধ্যায় ৩ অনুশীলনী ৩.৩ অল্প সময়ে কিভাবে সমাধান করবেন

প্রশ্ন \ 22 \ 12x² – 38x + 20

সমাধান : 12x² – 38x + 20

       = 12x² – 30x – 8x + 20 = 6x(2x – 5) – 4(2x – 5)

       = (2x – 5)(6x – 4)

       = (2x – 5) {2(3x – 2)} = 2(2x – 5)(3x – 2) (Ans.)

To know more about math

প্রশ্ন  \ 23 \ 9x²y² – 5xy² – 14y²

সমাধান : 9x²y² – 5xy² – 14y²

       = y²(9x² – 5x – 14) = y²(9x² + 9x – 14x– 14)

       = y² {(9x(x + 1) – 14(x + 1)}

       = y²(x + 1)(9x – 14) = y²(x + 1)(9x – 14) (Ans.)

প্রশ্ন \ 24 \ 4x⁴ – 27x² – 81

সমাধান : 4x⁴ – 27x² – 81

       = 4x⁴ – 36x² + 9x² – 81 = 4x²(x² – 9) + 9(x² – 9)

       = (x² – 9)(4x² + 9)

       = (x² – 3²)(4x² + 9) = (x + 3)(x – 3)(4x² + 9) (Ans.)

প্রশ্ন \ 25 \ ax² + (a² + 1)x + a

সমাধান : ax² + (a² + 1)x + a

       = ax² + a²x + x + a

       = ax(x + a) + 1(x + a) = (x + a)(ax + 1) (Ans.)

প্রশ্ন \ 26 \ 3(a² + 2a)² – 22(a² + 2a) + 40

সমাধান :           ধরি, a² + 2a        = x

          ∴ প্রদত্ত রাশি  = 3x² – 22x + 40

                       = 3x² – 12x – 10x + 40

                       = 3x(x – 4) – 10(x – 4)

                       = (x – 4)(3x – 10)

                       = {(a² + 2a) – 4}{3(a² + 2a) – 10}

 [x এর মান বসিয়ে)

                       = (a² + 2a – 4)(3a² + 6a – 10) (Ans.)

প্রশ্ন \ 27 \ 14(x + z)² – 29(x + z)(x + 1) – 15(x + 1)²

সমাধান :           ধরি, x + z = a Ges x + 1 = b

          ∴ প্রদত্ত রাশি            = 14a² – 29ab – 15b²

                       = 14a² – 35ab + 6ab – 15b²

                       = 7a(2a – 5b) + 3b(2a – 5b)

                       = (2a – 5b)(7a + 3b)

                       = {2(x + z) – 5(x + 1)} {7(x + z) + 3(x + 1)}

 [a ও b এর মান বসিয়ে]

                       = (2x + 2z – 5x – 5) (7x + 7z + 3x + 3)

                       = (2z – 3x – 5)(10x + 7z + 3) (Ans.)

প্রশ্ন 28 \ (4a – 3b)² – 2(4a – 3b)(a + 2b) – 35(a + 2b)²

সমাধান :           ধরি, 4a – 3b        = x এবং a + 2b = y

          ∴ প্রদত্ত রাশি  = x² – 2xy – 35y²

                       = x² + 5xy – 7xy – 35y²

                       = x(x + 5y) – 7y(x + 5y)

                       = (x + 5y)(x – 7y)

                       = {(4a – 3b) + 5(a + 2b)}{(4a – 3b) –
             7(a + 2b)} [x ও y এর মান বসিয়ে]

                       = (4a – 3b + 5a + 10b)(4a – 3b – 7a – 14b)

                       = (9a + 7b)(- 3a – 17b)

                       = ( – 1)(9a + 7b)(3a + 17b)

                       = – (3a + 17b)(9a + 7b) (Ans.)

Clear and simple SSC Math Exercise 3.3 solution for students | SSC গণিত অনুশীলনী ৩.৩ শিক্ষার্থীদের জন্য সহজ ও স্পষ্ট সমাধান

প্রশ্ন \ 29 \ (a – 1)x² + a²xy + (a + 1)y²

সমাধান :           ধরি, a – 1 = p এবং a + 1 = q

        ∴(a – 1)(a + 1) = pq ev, a² – 1 = pq

          ∴a² = pq + 1

          ∴ প্রদত্ত রাশি  = px² + (pq + 1)xy + qy²

                       = px² + pqxy + xy + qy²

                       = px(x + qy) + y(x + qy)

                       = (x + qy)(px + y)

                       ={x + (a + 1)y} {(a – 1)x + y}

 [p ও q এর মান বসিয়ে]

                       = (x + ay + y)(ax – x + y) (Ans.)

প্রশ্ন \ 30 \ 24x⁴ – 3x

সমাধান : 24x⁴ – 3x

       = 3x (8x³ – 1) = 3x{(2x)³ – 1}

       = 3x{(2x – 1){(2x)² + 2x.1 + (1)²}

       = 3x(2x – 1)(4x² + 2x + 1) (Ans.)

প্রশ্ন \ 31 \ (a² + b²)³ + 8a³b³

সমাধান : (a² + b²)³ + 8a³b³

       =          (a² + b²)³ + (2ab)³

       =          {(a² + b²) + 2ab}{(a² + b²)² – (a² + b²).2ab + (2ab)²}

       =         (a² + b² + 2ab){(a²)² + 2.a².b² + (b²)² – 2a³b – 2ab³ + 4a²b²}

       =         (a + b)²(a⁴ + 2a²b² + b⁴ – 2a³b – 2ab³ + 4a²b²)

       =          (a + b)²(a⁴ – 2a³b + 6a²b² – 2ab³ + b⁴) (Ans.)

প্রশ্ন 32 \ x³ + 3x² + 3x + 2

সমাধান : x³ + 3x² + 3x + 2

       = (x)³ + 3.x².1 + 3.x.1² + (1)³ + 1

       = (x + 1)³ + 1

       = (x + 1)³ + (1)³

       = {(x + 1) + 1}{(x + 1)² – (x + 1).1 + (1)²}

       = (x + 1 + 1)(x² + 2x + 1 – x – 1 + 1)

       = (x + 2)(x² + x + 1) (Ans.)

প্রশ্ন 33 \ a³ – 6a² + 12a – 9

সমাধান : a³ – 6a² + 12a – 9

       = (a)³ – 3.(a)².2 + 3.a.(2)² – (2)³ – 1

       = (a – 2)³ – 1 = (a – 2)³ – (1)³

       = {(a – 2) – 1}{(a – 2)² + (a – 2).1 + (1)²}

       = (a – 2 – 1)(a² – 2.a.2 + 2² + a – 2 + 1)

       = (a – 3)(a² – 4a + 4 + a – 2 + 1)

       = (a – 3)(a² – 3a + 3) (Ans.)

প্রশ্ন 34 \  a³ – 9b³ + (a + b)³

সমাধান : a³ – 9b³ + (a + b)³

       = a³ – b³ + (a + b)³ – 8b³

            = (a – b)(a² + ab + b²) + (a + b)³ – (2b)³

       = (a – b) (a² + ab + b²) + (a + b – 2b){(a + b)² + (a + b)×2b + (2b)²}

       = (a – b) (a² + ab + b²) + (a – b)(a² + 2ab + b² + 2ab + 2b² + 4b²)

       = (a – b) (a² + ab + b²) + (a – b) (a² + 4ab + 7b²)

       = (a – b) (a² + ab + b² + a² + 4ab + 7b²)

       = (a – b) (2a² + 5ab + 8b²) (Ans.)

প্রশ্ন 35 \ 8x³ + 12x² + 6x – 63

সমাধান : 8x³ + 12x² + 6x – 63

       = (2x)³ + 3.(2x)².1 + 3.2x.(1)² + (1)³ – 1 – 63

       = (2x + 1)³ – 64 = (2x + 1)³ – (4)³

       = {(2x + 1) – 4}{(2x + 1)² + (2x + 1) × 4 + (4)²}

       = (2x + 1 – 4){(2x)² + 2.2x.1 + (1)² + 8x + 4 + 16)}

       = (2x – 3)(4x² + 4x + 1 + 8x + 20)

       = (2x – 3)(4x² + 12x + 21) (Ans.)

প্রশ্ন 36 \ \[ 8a^3+\frac{b^3}{27} \]                                                                               

সমাধান : \[ 8a^3+\frac{b^3}{27} \]          

                   = \[ \left(2a\right)^3+\left(\frac b3\right)^3 \]     

                   = \[ \left(2a+\frac b3\right)\left\{\left(2a\right)^2-2a.\frac b3+\left(\frac b3\right)^2\right\} \]             

                   = \[ \left(2a+\frac b3\right)\left(4a^2-\frac{2ab}3+\frac{b^2}9\right) \]

                   = \[ \frac{6a\;+b}3\left(\frac{36a^2+-6ab+b^2}9\right) \]      

                 = \[\frac13\left(6a\;+b\right).\frac19\left(36a^2-6ab+b^2\right)\]

                   =  \[ \frac1{27}\left(6a\; + b\right)\left(36a^2 -6ab+b^2\right) \]        (Ans.)

Find the detailed answer key for SSC General Math Chapter 3 Exercise 3.3 | SSC সাধারণ গণিত অধ্যায় ৩ অনুশীলনী ৩.৩ এর বিস্তারিত সমাধান

প্রশ্ন 37 \ \[ a^3-\frac18 \]

সমাধান : \[ a^3-\frac18 \]   

                = \[ a^3-\left(\frac12\right)^3 \]

                = \[ \left(a-\frac12\right)\left\{\left(a\right)^2+a.\frac12+\left(\frac12\right)^2\right\} \]

                =  \[ \left(a-\frac12\right)\left(a^2+\frac a2+\frac14\right) \]

                = \[ \left(\frac{2a-1}2\right)\left(\frac{4a^2+2a+1}4\right) \]

                = \[ \frac12\left(2a-1\right).\frac14\left(4a^2+2a+1\right) \]

                = \[ \frac18\left(2a-1\right).\left(4a^2+2a+1\right) \] (Ans.)

প্রশ্ন \ 38 \ \[ \frac{a^6}{27}-b^6 \]

সমাধান : \[ \frac{a^6}{27}-b^6 \]   

                             = \[ \left(\frac{a^2}3\right)^3-\left(b^2\right)^3 \]           

                  = \[ \left(\frac{a^2}3-b^2\right)\left\{\left(\frac{a^2}3\right)^3+\frac{a^2}3.b^2+\left(b^2\right)^2\right\} \]                            

                  =  \[ \left(\frac{a^2}3-b^2\right)\left\{\frac{a^4}9+\frac{a^2b^2}3+b^4\right\} \]              (Ans.)

প্রশ্ন \39 \ \[ 4a^2+\frac1{4a^2}-2+4a-\frac1a \]                                                    

সমাধান : \[ 4a^2+\frac1{4a^2}-2+4a-\frac1a \]   

       = \[ \left(2a\right)^2-2.2a.\frac1{2a}+\left(\frac1{2a}\right)^2+4a-\frac1a \]           

       = \[ \left(2a-\frac1{2a}\right)^2+4a-\frac1a \]       

       = \[ \left(2a-\frac1{2a}\right)^2+2\left(2a-\frac1{2a}\right) \]

       =  \[ \left(2a-\frac1{2a}\right)\;\left(2a-\frac1{2a}+2\right) \]  (Ans.)

প্রশ্ন \40 \ (3a + 1)³ – (2a – 3)³

সমাধান : ধরি, 3a + 1 = p Ges 2a – 3 = q

∴ প্রদত্ত রাশি,   

= p³ – q³ = (p – q)(p² + pq + q²)

= {(3a + 1) – (2a – 3)} {(3a + 1)² + (3a + 1) (2a – 3) + (2a – 3)²}

 [p ও q এর মান বসিয়ে]

= (3a + 1 – 2a + 3){((3a)² + 2.3a.1 + (1)² + 6a² – 9a + 2a – 3 +                       (2a)² – 2.2a.3 + (3)²}

= (a + 4){9a² + 6a + 1 + 6a² – 7a – 3 + 4a² – 12a + 9}

 = (a + 4) (19a² – 13a + 7) (Ans.)

প্রশ্ন 41 \ (x + 5)(x – 9) – 15

সমাধান : (x + 5)(x – 9) – 15

       = x² + (5 – 9)x + 5.(-9) – 15

       = x² – 4x – 45 – 15 = x² – 4x – 60

       = x² – 10x + 6x – 60 = x(x – 10) + 6(x – 10)

       = (x – 10)(x + 6) = (x + 6)(x – 10) (Ans.)

প্রশ্ন 42 \ (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 48

সমাধান : (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 48

       = (x + 3)(x + 4)(x + 2)(x + 5) – 48

       = (x² + 7x + 12)(x² + 7x + 10) – 48

       ধরি, x² + 7x = a

      ∴ প্রদত্ত রাশি     = (a + 12)(a + 10) – 48

                    = a² + (12 + 10)a + 12.10 – 48

                    = a² + 22a + 120 – 48

                    = a² + 22a + 72

                    = a² + 4a + 18a + 72

                    = a(a + 4) + 18(a + 4)

                    = (a + 4)(a + 18)

                    = (x² + 7x + 4)(x² + 7x + 18) [a এর মান বসিয়ে]  (Ans.)

প্রশ্ন 43 \ (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – 7) – 65

সমাধান : (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – 7) – 65

       = (x – 1)(x – 7)(x – 3)(x – 5) – 65

       = (x² – 8x + 7)(x² – 8x + 15) – 65

       ধরি, x² – 8x = a

      ∴ প্রদত্ত রাশি     = (a + 7)(a + 15) – 65

                    = a² + (7 + 15)a + 7.15 – 65

                    = a² + 22a +105 – 65 = a² + 22a + 40

                    = a² + 20a + 2a + 40

                    = a(a + 20) + 2(a + 20)

                    = (a + 20)(a + 2)

                    = (x² – 8x + 20)(x² – 8x + 2) [a এর মান বসিয়ে](Ans.)

প্রশ্ন \ ৪৪ \ দেখাও যে, x³ + 9x² + 26x + 24 = (x + 2)  (x + 3)(x + 4)

সমাধান : বামপক্ষ       = x³ + 9x² + 26x + 24

                  = (x)³ + 3.(x)².3 + 3.x.(3)² + (3)³ – x – 3

                  = (x + 3)³ – x – 3 = (x + 3)³ – 1(x + 3)

                  = (x + 3){(x + 3)² – (1)²}

                  = (x + 3)(x + 3 + 1)(x + 3 – 1)

                  = (x + 3)(x + 4)(x + 2)

                  = (x + 2)(x + 3)(x + 4) = ডানপক্ষ

          ∴ x³ + 9x² + 26x + 24 = (x + 2)(x + 3)(x + 4) (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \৪৫ \ দেখাও যে, (x + 1)(x + 2)(3x – 1)(3x – 4) = (3x² + 2x – 1) (3x² + 2x – 8)

সমাধান :      বামপক্ষ :         = (x + 1)(x + 2)(3x – 1)(3x – 4)

                  = (x + 1)(3x – 1)(x + 2)(3x – 4)

                  = (3x² + 3x – x – 1) (3x² + 6x – 4x – 8)

                  = (3x² + 2x – 1)(3x² + 2x – 8) = ডানপক্ষ

∴ (x + 1)(x + 2)(3x – 1)(3x – 4) = ( 3x² + 2x – 1) (3x² + 2x – 8) (দেখানো হলো)