easiest method to find LCM and HCF for job exams
Easy method to find LCM and HCF for job exams,Step-by-step guide to calculate LCM and HCF in job exams,LCM and HCF solving techniques for job exams,Quick ways to calculate LCM and HCF for competitive exams
গুণনীয়ক : একটি সংখ্যা যে সকল সংখ্যা দ্বারা নিংশেষে বিভাজ্য সে সকল সংখ্যাকে প্রথম সংখ্যাটির গুণনীয়ক বলে। গুণনীয়কের অপর নাম উৎপাদক।
উদাহরণ: মনে করি, একটি সংখ্যা 24
24 সংখ্যাটি 1, 2, 3,4, 6, 8, 12 ও 24 দ্বারা নি:শ্বেষে বিভাজ্য
সুতরাং 24 এর গুণনীয়কগুলো হলো 1, 2, 3,4, 6, 8, 12 ও 24
গুণিতক: একটি সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা গুন করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় সেগুলো প্রদত্ত সংখ্যাটির গুণিতক।
মনেকরি, একটি সংখ্যা 3
এবং আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যা 1, 2, 3, 4, 5 ,… … …. ….
3 × 1 = 3, 3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9, 3 × 4 = 12, 3 × 5 = 15, 3 × 6 = 18, ইত্যাদি।
তাহলে 3 এর গুণিতক হবে 3,6,9,12,15,18 ইত্যাদি
মৌলিক সংখ্যা: যে সংখ্যাগুলো শুধুমাত্র 1 এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নি:শ্বেষে বিভাজ্য হয় না সে সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা।
যেমন: 5 সংখ্যাটিকে 1 এবং 5 ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নি:শ্বেষে ভাগ করা যায় না তাই 5 একটি মৌলিক সংখ্যা।
এধরণের আরো মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে 7, 11, 13, 17, 19 ইত্যাদি।
গ.সা.গু বা গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (Highest Common Factor): প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটিকে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু বলা হয়।
ধরি, 36,40 ও 48 এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে-
প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গুননীয়কগুলো বের করি,
36 এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে-1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
40 এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে-1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
এবং 48 এর গুণনীয়কগুলো হচ্ছে-1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,16,24
তাহলে 36, 40 ও 48 এর সাধারণ গুণনীয়ক হবে -1, 2, 4
এই সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে গরিষ্ঠ বা বড় সংখ্যাটি হচ্ছে 4
সুতরাং 36, 40 ও 48 এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক হবে বা গ.সা.গু= 4
গ.সা.গু নির্ণয়ের পদ্ধতি: সাধারণত দুটি পদ্ধতিতে গ.সা.গু নির্ণয় করা হয়।
১. মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি
২. প্রচলিত ভাগ পদ্ধতি
১. মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি: প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু হচ্ছে সংখ্যাগুলোর সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলোর ধারাবাহিক গুনফল।
মনেকরি, 36, 40, 48 এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে,
36, 40, 48 এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো বের করি,
36 = 2 × 2 × 3 × 3
40 = 2 × 2 × 2 × 5
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
সংখ্যাগুলোর গুণনীয়কগুলো লক্ষ্য করলে দেখা যাচ্ছে দুইটা 2 তিনটি সংখ্যার গুণনীয়কগুলোর মধ্যেই আছে, আর অন্য কোনো সংখ্যা তিনটির মধ্যে নেই।
তাই 2 × 2 = 4
সুতরাং 36, 40, 48 এর গ.সা.গু 4
২. প্রচলিত ভাগ পদ্ধতি:
মনে করি, 36,40 ও 48 এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে-
প্রথমে 36 দ্বারা 40 কে ভাগ করতে হবে এবং ভাগশেষ শূন্য না হওয়া পর্যন্ত ভাগ করতে হবে,
এখন 4 দ্বারা 48 কে ভাগ করতে হবে,
4)48(12
48
0
সুতরাং 36,40 ও 48 এর গ.সা.গু = 4
লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু (Lowest Common Multiple):
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটিকে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু বলা হয়।
ধরি, 6, 8, ও 12 এর ল.সা.গু বের করতে হবে-
6 এর গুণিতকগুলো হচ্ছে-6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72…… … 8 এর গুণিতকগুলো হচ্ছে- 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, …. এবং 12 এর গুণিতকগুলো হচ্ছে-12, 24, 36, 48, 60, 72, ….. ….. …
এখানে 6, 8, ও 12 এর সাধারণ গুণিতকগুলো হচ্ছে 24, 48, 72, ….. …..
এই সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে লঘিষ্ঠ বা ছোট সংখ্যাটি হচ্ছে 24
সুতরাং লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক হবে 24
সাধারণত দুটি পদ্ধতিতে ল.সা.গু নির্ণয় করা হয়।
১. মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি
২.ইউক্লিডীয় পদ্ধতি
১. মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি:
ধরি, 6, 8, ও 12 এর ল.সা.গু বের করতে হবে-
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক বের করি,
6 = 2 × 3
8 = 2 × 2 × 2
12 = 2 × 2 × 3
লক্ষ্য করো, প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদকে 2 আছে সর্বাধিক তিনবার, 3 আছে সর্বাধিক একবার। তাহলে 2 তিনবার এবং 3 একবার নিয়ে ধারাবাহিক গুন করলে সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু পাওয়া যাবে।
অর্থাৎ 2 × 2 × 2 × 3 = 24
সুতরাং 6, 8, ও 12 এর ল.সা.গু 24
২. ইউক্লিড পদ্ধতি:
ধরি, 6, 8, ও 12 এর ল.সা.গু বের করতে হবে-
সুতরাং 6, 8, ও 12 এর ল.সা.গু 24
দুটি সংখ্যার গুণফল এবং তাদের লসাগু ও গসাগু এর মধ্যে সম্পর্ক: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু এর গুণফল সংখ্যাদুটির গুণফলের সমান।
যেমন: 15 ও 20 দুটি সংখ্যা হলে,
এই সংখ্যাদুটির গ.সা.গু =5 এবং ল.সা.গু=60
তাহলে সংখ্যাদুটির গ.সা.গু ও ল.সা.গু এর গুণফল=5×60=300
আবার, প্রদত্ত সংখ্যাদুটির গুণফল=15×20=300
অর্থাৎ দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদুটির গ.সা.গু×সংখ্যাদুটির ল.সা.গু
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল 500 এবং সংখ্যাদুটির ল.সা.গু 100 হলে, সংখ্যাদুটির গ.সা.গু কত হবে?
সমাধান: আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদুটির গ.সা.গু × সংখ্যাদুটির ল.সা.গু
বা, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = \[ \frac{ দুটি সংখ্যার গুণফল }{ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু } \]
বা, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = \[ \frac{ 500 }{ 100 } \]
= 5
সুতরাং সংখ্যাদুটির গ.সা.গু 5
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৮০ এবং গ, সা. গু ১৩. সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?
আমরা জানি, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু.= \[ \frac{ সংখ্যা দুইটির গুণফল}{ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু.} \]
= \[ \frac{৩৩৮০}{১৩} \]
= ২৬০
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. যথাক্রমে ৬০ ও ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার \[ \frac{2}{3} \] অংশ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ৬০০
প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে ৫ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৬ এবং ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?
সমাধান: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৬ ও ১০ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৫ বেশি।
৬ = ১ × ২ × ৩ × ৫
১০ = ১ × ২ × ৫
৬ ও ১০ এর লসাগু = ১ × ২ × ৩ × ৫ = ৩০
তাহলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা থেকে ৫ বিয়োগ করলে ৬ ও ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য = ৩০ + ৫ = ৩৫
ল,লসাগু, গসাগু অংক গুলো করার শর্টকাট টেকনিক 👌👌
দুটি সঙখ্যার অনুপাত ৫:৬ । তাদের গ.সা.গু ৪ হলে, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?
ক) ১
খ) ১৫০
গ) ১২০
ঘ)১৮০
শর্টকাট সমাধান:-
টেকনিক:- (অনুপাত দুটির গুণফল) × (গ.সা.গু)
= (৫ × ৬) × ৪
= ৩০×৪
= ১২০
উত্তর :গ) ১২০
২) দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৭ তাদের গ.সা.গু ৬ হলে সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?
ক)২০০
খ)২১০
গ)১৮০
ঘ)২২০
শর্টকাট সমাধান:-
টেকনিক: – (অনুপাত দুটির গুণফল)×(গ.সা.গু)
= (৫×৭)×৬
= ৩৫×৬
= ২১০
উত্তর:খ)২১০
৩) দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৬ তাদের গ.সা.গু ৮ হলে সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?
ক)২০০
খ)২২৪
গ)২৪০
ঘ)২৪৮
শর্টকাট সমাধান:-
টেকনিক:- (অনুপাত দুটির গুণফল)×(গ.সা.গু)
= (৫×৬)×৮
= ৩০×৮
= ২৪০
উত্তর :গ)২৪০
৪) দুটি সংখ্যার অনুপাত ৭:৫ এবং তাদের ল.সা.গু ১৪০ হলে সংখ্যা দুটির গ.সা.গু কত?
ক)৪
খ)১২
গ)৯
ঘ)৬
শর্টকাট সমাধান:-
টেকনিক:- ল.সা.গু ÷ অনুপাত দুটির গুণফল
= ১৪০÷(৭×৫)
= ১৪০÷৩৫
= ৪
উত্তর : ক)৪
৫) দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১১ এবং ল.সা.গু ৭৭০০। একটি সংখ্যা ২৭৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত ?
ক)৩১৮
খ)২৮০
গ)৩০৮
ঘ)২৮৯
শর্টকাট সমাধান:-
টেকনিক: দুইটি সংখ্যার একটি=গ.সা.গু×ল.সা.গু÷একটি সংখ্যা
= ১১×৭৭০০ ÷ ২৭৫
= ৮৪৭০০ ÷ ২৭৫
অপর সংখ্যাটি = ৩০৮
উত্তর : গ) ৩০৮
৬)দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে ২ ও ৩৬০ ।একটি সংখ্যা ৩৬ হলে অপর সংখ্যাটি কত ?
ক) ১০
খ) ৩০
গ) ১৫
ঘ) ২০
শর্টকাট সমাধান:-
টেকনিক:—দুইটি সংখ্যার একটি = গ.সা.গু × ল.সা.গু ÷ একটি সংখ্যা
= (২×৩৬০) ÷ ৩৬
= ৭২০ ÷ ৩৬
অপর সংখ্যাটি = ২০
উত্তর : ঘ) ২০
৭) দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৬ এবং ল.সা.গু ১৯২ একটি সংখ্যা ৪৮ হলে অপর সংখ্যাটি কত ?
ক)৬০
খ)৬৪
গ)৬২
ঘ)৬৮
শর্টকাট সমাধান:-
টেকনিক: দুইটি সংখ্যার একটি = গ.সা.গু × ল.সা.গু ÷ একটি সংখ্যা
= (১৬×১৯২) ÷ ৪৮
= ৩০৭২ ÷ ৪৮
অপর সংখ্যাটি = ৬৪
উত্তর: খ) ৬৪
৮)দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫ এবং ল.সা.গু ৯০। একটি সংখ্যা ৩০ হলে অপর সংখ্যাটি কত ?
ক) ৬০
খ) ৫০
গ) ৭৫
ঘ) ৪৫
শর্টকাট সমাধান:-
টেকনিক: দুইটি সংখ্যার একটি = গ.সা.গু×ল.সা.গু ÷ একটি সংখ্যা
= (১৫×৯০) ÷ ৩০
= ১৩৫০ ÷ ৩০
অপর সংখ্যাটি =৪৫
৯) দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ৪ এবং ল.সা.গু ৬০। একটি সংখ্যা ২০ হলে অপর সংখ্যাটি কত ?
ক)৯
খ)১২
গ)১৫
ঘ)১৮
শর্টকাট সমাধান:-
টেকনিক: দুইটি সংখ্যার একটি = গ.সা.গু × ল.সা.গু ÷ একটি সংখ্যা
= (৪×৬০) ÷ ২০
= ২৪০ ÷ ২০
অপর সংখ্যাটি = ১২
উত্তর:- খ)১২
১০) দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৩৬ ও গ.সা.গু ৬। একটি সংখ্যা ১২ হলে অপর সংখ্যাটি কত ?
ক) ৯
খ) ১২
গ) ১৫
ঘ) ১৮
শর্টকাট সমাধান:-
টেকনিক: দুইটি সংখ্যার একটি = ল.সা.গু × গু.সা.গু ÷ একটি সংখ্যা
= (৩৬×৬) ÷ ১২
= ২১৬ ÷ ১২
অপর সংখ্যাটি = ১৮
উত্তর:- ঘ) ১৮
সারসংক্ষেপ:
(ক) প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটিকে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু বলা হয়
(খ) প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটিকে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু বলা হয়
(গ) দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদুটির গ.সা.গু × সংখ্যাদুটির ল.সা.গু
বিসিএস পরীক্ষায় আসা কিছু প্রশ্ন
১। দুটি সংখ্যার গুণফল 3380 এবং গ.সা.গু 13. সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত? [৩৬তম বিসিএস]
২। দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. 11 এবং ল.সা.গু 7700. একটি সংখ্যা 275 হলে, অপর সংখ্যাটি-[৩৫তম বিসিএস]
৩। কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে 2 যোগ করলে যোগফল 12, 18 এবং 24 দ্বারা বিভাজ্য হবে? [৩০তম বিসিএস]
৪। Which of the following integers has the most divisors? [২৯তম বিসিএস]
৫। 2002 সংখ্যাটি কোন সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু নয়? [২৪তম বিসিএস (বাতিল)]
৬। 999999-এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল 2, 3, 4, 5 এবং 6 দ্বারা নি:শেষে বিভাজ্য হবে? [২১তম বিসিএস]
৭। কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 3, 5ও 6 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে 1 ? [১৭তম বিসিএস]
৮। দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. , বিয়োগফল এবং ল.সা.গু যথাক্রমে 12,60 এবং 2448. সংখ্যা দুটি কত? [১৭তম বিসিএস]
৯। কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে 3 যোগ করলে যোগফল 24, 36 এবং 48 দ্বারা বিভাজ্য হবে? [১৬তম বিসিএস]
১০। দুটি সংখ্যার গুনফল 1536. সংখ্যা দুটির ল.সা.গু 96 হলে গ.সা.গু কত? [১০তম বিসিএস]
১১. কোন লগিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে? (৩০তম বিসিএস)
ক. ৮৯
খ. ৭০
গ. ১৫০
ঘ. ১৪২
১২. কত জন বালককে ১২৫টি কমলালেবু এবং ১৪৫টি কলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যায়?
ক. ১০
খ. ৫
গ. ১৫
ঘ. ২৫
১৩. ২০০২ সংখ্যাটি কোন সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু নয়? (২৪তম বিসিএস)
ক. ১৩,৭৭,৯১,১৪৩
খ. ৭,২২,২৬,৯১
গ. ২৬,৭৭,১৪৩,১৫৪
ঘ. ২,৭,১১,১৩
১৪. ৯৯৯৯৯৯-এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২,৩,৪,৫ এবং ৬ দ্বারা নি:শেষে বিভাজ্য হবে? (২১তম বিসিএস)
ক. ২১
খ. ৩৯
গ. ৩৩
ঘ. ২৯
১৫. কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে?
ক. ১৫
খ. ১৪
গ. ১৩
ঘ. ১২
১৬. দু’টি সংখ্যা গুণফল ৩৩৮০ এবং গ.সা.গু ১৩। সংখ্যা দু’টির ল.সা.গু কত? (৩৬তম বিসিএস)
ক. ২৬০
খ. ৭৮০
গ. ১৩০
ঘ. ৪৯০
১৭. দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৮ হলে, তাদের ল.সা.গু কত?
ক. ২০০
খ. ২২৪
গ. ২৪০
ঘ. ২৪৮
১৮. ৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে- (২৬তম বিসিএস)
ক. ৯টি
খ. ১০টি
গ. ১১টি
ঘ. ১২টি
১৯. Which of the following integers has the most divisors? (২৯তম বিসিএস)
ক. ৮৮
খ. ৯১
গ. ৯৫
ঘ. ৯৯
২১. কোনো লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ২৪ ও ৩৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১৪ ও ২৬ অবশিষ্ট থাকবে?
ক. ৪৮
খ. ৭২
গ. ৬২
ঘ. ৮৪
উত্তর: গ
২২. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্রাকে ৪, ৫, ৬ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১ অবশিষ্ট থাকে?
ক. ১২১
খ. ১৬৯
গ. ৬১
ঘ. ১১১
উত্তর : গ
২৩. কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ১০২ ও ১৮৬ কে ভাগ করলে প্রত্যেক বার ৬ অবশিষ্ট থাকবে?
ক. ১২
খ. ১৫
গ. ১৬
ঘ. ২২
উত্তর: ক
২৪. একটি স্কুলে ছাত্রদের ড্রিল করবার সময় ৮, ১০ এবং ১২ সারিতে সাজানো যায়। আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ স্কুলে কমপক্ষে কত ছাত্র আছে? (১২তম বিসিএস)
ক. ৩৬০০
খ. ২৪০০
গ. ১২০০
ঘ. ৩০০০
উত্তর: ক
২৫. সব থেকে ছোট কোন সংখ্যা যেটা ৩, ৪, ৫ ও ৬ এবং ৭ দিয়ে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রেই ২ অবশিষ্ট থাকে?
ক. ৪২২
খ. ৮৪২
গ. ২৫২২
ঘ. ১২৬২
উত্তর: ক
২৬. তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৫, ১০ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
ক. ৫
খ. ১০
গ. ১৫
ঘ. কোনটি নয়
উত্তর : খ
২৭. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ৩, ৬, ৯, ১২ এবং ১৫ দ্বারা নি:শেষ বিভাজ্য হবে?
ক. ১৭৮
খ. ৩৫৮
গ. ৩৬৮
ঘ. ৭১৮
